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1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(III卷)文科数学(适用地区:云南、广西、贵州、四川)注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则AB中元素的个数为A1 B2 C3 D42复平面内表示复数z
2、=i(2+i)的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4已知 ,则=A B C D5设x,y满足约束条件则z=xy的取值范围是A3,0 B3,2 C0,2 D0,36函数f(x)=sin(x+)+cos(x)的最大值为A B1 C D7函数y=1
3、+x+的部分图象大致为 A. B. C. D.8执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为A5 B4 C3 D29已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为A B C D10在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC11已知椭圆C:=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切,则C的离心率为A B C D12已知函数f(x)=x22x+a(ex1+ex+1)有唯一零点,则a=A B C D1二、填空题
4、:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知向量=(2,3),=(3,m),且,则m= 14双曲线(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a= 15ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60,b=,c=3,则A= 16设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x)1的x的取值范围是 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17(12分)设数列满足(1)求的通项公式;(2)求数列的前n项和18(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本
5、每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y
6、(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率19(12分)如图四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比20(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值21(12分)已知函数 (1)讨论的单调性;(2)当时,证明(二)选考题
7、:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数)设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径23选修45:不等式选讲(10分)已知函数(1)求不等式的解集;(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(III卷)文科数学(适用地区:云南、广西、贵州、四川)注意事项:1答
8、卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则AB中元素的个数为A1B2C3D4【解答】解:集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,AB=2,4,AB中元素的个数为2故选:B2(5分)(2017新课标)复平面内表示复数z
9、=i(2+i)的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解:z=i(2+i)=2i1对应的点(1,2)位于第三象限故选:C3某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【解答】解:由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:月接待游客量逐月有增有减,
10、故A错误;年接待游客量逐年增加,故B正确;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确;故选:A4已知sincos=,则sin2=ABCD【解答】解:sincos=,(sincos)2=12sincos=1sin2=,sin2=,故选:A5设x,y满足约束条件则z=xy的取值范围是A3,0B3,2C0,2D0,3【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=xy,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,由解得A(0,3),由解得B(2,0),目标函数的最大值为:2,最小值为:3,目标函数的取值范围
11、:3,2故选:B6函数f(x)=sin(x+)+cos(x)的最大值为AB1CD【解答】解:函数f(x)=sin(x+)+cos(x)=sin(x+)+cos(x+)=sin(x+)+sin(x+)=sin(x+)故选:A7函数y=1+x+的部分图象大致为 A. B. C. D.【解答】解:函数y=1+x+,可知:f(x)=x+是奇函数,所以函数的图象关于原点对称,则函数y=1+x+的图象关于(0,1)对称,当x0+,f(x)0,排除A、C,点x=时,y=1+,排除B故选:D8执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为A5B4C3D2【解答】解:由题可知初始值t=1
12、,M=100,S=0,要使输出S的值小于91,应满足“tN”,则进入循环体,从而S=100,M=10,t=2,要使输出S的值小于91,应接着满足“tN”,则进入循环体,从而S=90,M=1,t=3,要使输出S的值小于91,应接着满足“tN”,则进入循环体,从而S=91,M=0.1,t=4,要使输出S的值小于91,应不满足“tN”,跳出循环体,此时N的最小值为3,故选:C9已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为ABCD【解答】解:圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,该圆柱底面圆周半径r=,该圆柱的体积:V=Sh=故选:B10在
13、正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2,则A1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(2,1,2),=(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,2),=(2,2,0),=2,=2,=0,=6,A1EBC1故选:C11已知椭圆C:=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+
14、2ab=0相切,则C的离心率为ABCD【解答】解:以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切,原点到直线的距离=a,化为:a2=3b2椭圆C的离心率e=故选:A12已知函数f(x)=x22x+a(ex1+ex+1)有唯一零点,则a=ABCD1【解答】解:因为f(x)=x22x+a(ex1+ex+1)=1+(x1)2+a(ex1+)=0,所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1(x1)2=a(ex1+)有唯一解,等价于函数y=1(x1)2的图象与y=a(ex1+)的图象只有一个交点当a=0时,f(x)=x22x1,此时有两个零点,矛盾;当a0时,由于y=1(x1)2在(,1)上递增、在
15、(1,+)上递减,且y=a(ex1+)在(,1)上递增、在(1,+)上递减,所以函数y=1(x1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex1+)的图象的最高点为B(1,2a),由于2a01,此时函数y=1(x1)2的图象与y=a(ex1+)的图象有两个交点,矛盾;当a0时,由于y=1(x1)2在(,1)上递增、在(1,+)上递减,且y=a(ex1+)在(,1)上递减、在(1,+)上递增,所以函数y=1(x1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex1+)的图象的最低点为B(1,2a),由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a=,符合条件;综上所述,a=,故选:C二、填空题13
16、已知向量=(2,3),=(3,m),且,则m=2 【解答】解:向量=(2,3),=(3,m),且,=6+3m=0,解得m=2故答案为:214(5分)(2017新课标)双曲线(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a=5 【解答】解:双曲线(a0)的一条渐近线方程为y=x,可得,解得a=5故答案为:515(5分)(2017新课标)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60,b=,c=3,则A=75【解答】解:根据正弦定理可得=,C=60,b=,c=3,sinB=,bc,B=45,A=180BC=1804560=75,故答案为:7516(5分)(2017新课标)设函数f(x)=,则满足
17、f(x)+f(x)1的x的取值范围是x【解答】解:若x0,则x,则f(x)+f(x)1等价为x+1+x+11,即2x,则x,此时x0,当x0时,f(x)=2x1,x,当x0即x时,满足f(x)+f(x)1恒成立,当0x,即x0时,f(x)=x+1=x+,此时f(x)+f(x)1恒成立,综上x,故答案为:x三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17(12分)设数列an满足a1+3a2+(2n1)an=2n(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和【解答】解:
18、(1)数列an满足a1+3a2+(2n1)an=2nn2时,a1+3a2+(2n3)an1=2(n1)(2n1)an=2an=当n=1时,a1=2,上式也成立an=(2)=数列的前n项和=+=1=18(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频
19、数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率【解答】解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,得到最高气温位于区间20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶,如果最高气温
20、位于区间20,25),需求量为300瓶,如果最高气温低于20,需求量为200瓶,六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p=(2)当温度大于等于25C时,需求量为500,Y=4502=900元,当温度在20,25)C时,需求量为300,Y=3002(450300)2=300元,当温度低于20C时,需求量为200,Y=400(450200)2=100元,当温度大于等于20时,Y0,由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20C的天数有:90(2+16)=72,估计Y大于零的概率P=19(12分)如图四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD(1)证明:ACBD;(2)已知AC
21、D是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【解答】证明:(1)取AC中点O,连结DO、BO,ABC是正三角形,AD=CD,DOAC,BOAC,DOBO=O,AC平面BDO,BD平面BDO,ACBD解:(2)设AD=CD=,则AC=AB=BC=BD=2,AO=CO=DO=1,BO=,BO2+DO2=BD2,BODO,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,则C(1,0,0),D(0,0,1),B(0,0),A(1,0,0),设E(a,b,c),(01),则(a,b,c1)=(0,1),解得E(0,1)
22、,=(1,),=(1,),AEEC,=1+32+(1)2=0,由0,1,解得,DE=BE,四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h,DE=BE,SDCE=SBCE,四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为120(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值【解答】解:(1)曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点,可设A(x1,0),B(x2,0),由韦达定理可得x1x2=2,若ACBC,则kACkBC=
23、1,即有=1,即为x1x2=1这与x1x2=2矛盾,故不出现ACBC的情况;(2)证明:设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F0),由题意可得y=0时,x2+Dx+F=0与x2+mx2=0等价,可得D=m,F=2,圆的方程即为x2+y2+mx+Ey2=0,由圆过C(0,1),可得0+1+0+E2=0,可得E=1,则圆的方程即为x2+y2+mx+y2=0,再令x=0,可得y2+y2=0,解得y=1或2即有圆与y轴的交点为(0,1),(0,2),则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值321(12分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x(1)
24、讨论f(x)的单调性;(2)当a0时,证明f(x)2【解答】(1)解:因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x,求导f(x)=+2ax+(2a+1)=,(x0),当a=0时,f(x)=+10恒成立,此时y=f(x)在(0,+)上单调递增;当a0,由于x0,所以(2ax+1)(x+1)0恒成立,此时y=f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时,令f(x)=0,解得:x=因为当x(0,)f(x)0、当x(,+)f(x)0,所以y=f(x)在(0,)上单调递增、在(,+)上单调递减综上可知:当a0时f(x)在(0,+)上单调递增,当a0时,f(x)在(0,)上单调递增、在(,+)上单调递减;(2
25、)证明:由(1)可知:当a0时f(x)在(0,)上单调递增、在(,+)上单调递减,所以当x=时函数y=f(x)取最大值f(x)max=f()=1ln2+ln()从而要证f(x)2,即证f()2,即证1ln2+ln()2,即证()+ln()1+ln2令t=,则t0,问题转化为证明:t+lnt1+ln2(*) 令g(t)=t+lnt,则g(t)=+,令g(t)=0可知t=2,则当0t2时g(t)0,当t2时g(t)0,所以y=g(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+)上单调递减,即g(t)g(2)=2+ln2=1+ln2,即(*)式成立,所以当a0时,f(x)2成立(二)选考题:共10分。请考生
26、在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数)设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos+sin)=0,M为l3与C的交点,求M的极径【解答】解:(1)直线l1的参数方程为,(t为参数),消掉参数t得:直线l1的普通方程为:y=k(x2);又直线l2的参数方程为,(m为参数),同理可得,直线l2的普通方程为:x=2+ky;联立,消去k得:x2y
27、2=4,即C的普通方程为x2y2=4;(2)l3的极坐标方程为(cos+sin)=0,其普通方程为:x+y=0,联立得:,2=x2+y2=+=5l3与C的交点M的极径为=23选修45:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|x+1|x2|(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2x+m的解集非空,求m的取值范围【解答】解:(1)f(x)=|x+1|x2|=,f(x)1,当1x2时,2x11,解得1x2;当x2时,31恒成立,故x2;综上,不等式f(x)1的解集为x|x1(2)原式等价于存在xR使得f(x)x2+xm成立,即mf(x)x2+xmax,设g(x)=f(x)x2+x由(1)知,g(x)=,当x1时,g(x)=x2+x3,其开口向下,对称轴方程为x=1,g(x)g(1)=113=5;当1x2时,g(x)=x2+3x1,其开口向下,对称轴方程为x=(1,2),g(x)g()=+1=;当x2时,g(x)=x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=2,g(x)g(2)=4+2=3=1;综上,g(x)max=,m的取值范围为(,文科数学试题
限制150内