全等三角形知识点与例题_中学教育-中考.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 19 全等三角形 19.1 命题与定理 1.命题 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题 许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成“如果，那么”的形式 例 1 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果，那么”的形式，并分别指出命题的题设与结论 解 这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”要判断一个命题是真命题，

2、可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了 练习 1 把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并指出它的题设和结论 （1）全等三角形的对应边相等；（2）平行四边形的对边相等 2 指出下列命题中的真命题和假命题（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于 180 2公理、定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms）我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线

3、被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角分别相等 在本书中我们将这些真命题均作为公理 从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）学习好资料 欢迎下载 19.2 三角形全等的判定 1.全等三角形的判定条件 如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？练习 1.如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AOB绕O旋转 180，可以与_重合，这说明AOB_.这两个三角形的对应边是AO与_，OB与_，BA

4、与_；对应角是AOB与_，OBA与_,BAO与_.(第 1 题)（第 2 题）2 如图，AE是平行四边形 ABCD 的高，将ABE沿 AD方向平移，使点 A与点D重合，点 E与点 F重合，则ABE _，F_ 3 如图，点 D是等腰直角三角形 ABC内一点，AB AC，将ABD绕点 A逆时针旋转 90，点 D与点 E重合，则ABD _，AD _，BD _ 第 3 题 2 边角边 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 S.A.S.（或边角边）3角边角 现在，讨论相对的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？这时同样应有两种不同的情

5、况：如图 19.2.6所示，一种情况是两个角及这两命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出

6、来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫学习好资料 欢迎下载 角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边 图 19.2.6 如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 A.S.A.（或角边角）如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 A.A.S.（或角角边）4 边边边 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为SSS（或边边边）.我们可以将前面探索得到的结论归纳成下表：对应相等的元素 两边一角 两角一边 三角 三边 两 边 及其夹角 两 边 及 其中 一 边 的对角 两 角 及其夹边 两

7、角 及 其中 一 角 的对边 三角形是否全等 一定（S.A.S）不一定 一定(A.S.A)一定(A.A.S)不一定 一定(S.S.S)5 斜边直角边 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为 H L（或斜边直角边）19.3 尺规作图 只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图 1 作一条线段等于已知线段 图 19.3.1 图 19.3.2 命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么

8、的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫学习好资料 欢迎下载 2作一个角等于已知角 图 19.3.3 已知：AOB。求作：一个角，使它等于AOB。步骤如下：(1)作射线 OA (2)以 O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点

9、 C，交 OB于点 D (3)以 O为圆心，以OC的长为半径画弧，交 OA于点C (4)以点 C为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D (5)过 D作射线OB 则AOB就是所求作的角 练习 1 任意画出两条线段 AB和 CD，再作一条线段，使它等于 AB 2CD 2 任意画出两个角1 和2，使12，再作一个角，使它等于12 3 作已知角的平分线 如图 1934，AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB的平分线 第一步：在射线 OA和 OB上，分别截取 OD、OE，使 OD OE；第二步：分别以点 D、E 为圆心，以适当长（大于线段 DE长的一半）为半径作弧，在AOB内，两弧

10、交于点 C；第三步：作射线 OC 射线 OC就是所要作的AOB的平分线 图 19.3.4 图 19.3.5 我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即证明AOC BOC 如图 1935，连结 EC、DC，ODOE，DCEC，OC OC，OCD OCE（SSS），AOC BOC（全等三角形的对应角相等）命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻

11、辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫学习好资料 欢迎下载 练习 1 如图，已知A，试作B12A（不写作法，保留作图痕迹）(第 1 题)（第 2 题）2 作出图中三角形三个内角的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）4 经过一已知点作已知直线的垂线(做过该点的角平分线)已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上，点不在直

12、线上 因此要分别按这两种情况作图（1）经过已知直线上一点作已知直线的垂线 已知直线 AB和 AB上一点 C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点 C作出直线 AB的垂线 图 19.3.6 如图 1936，由于点 C在直线 AB上，因此所求作的垂线正好是平角 ACB的平分线所在的直线 第一步：作平角 ACB的平分线 CD；第二步：反向延长射线 CD 直线 CD就是所要作的垂线（2）经过已知直线外一点作已知直线的垂线 动手试一试，现在你知道具体作法了吧，你能说说其中的道理吗？已知直线 AB和 AB外一点 C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线 AB的垂线 图 19.3.7 图 19.3

13、.8 如图 1937，若以点 C为圆心，作能与直线 AB相交于 D、E两点的弧，则命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题

14、的正确性是人们在长期实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫学习好资料 欢迎下载 CDE为等腰三角形，由“等腰三角形底边上的高就是顶角的平分线”可知，只需作出DCE的平分线 例 利用直尺和圆规作一个等于 45的角 作法：1 作直线 AB；2 过点 A作直线 AB的垂线 AC；3 作CAB的平分线 AD DAB就是所要作的角（如图 1938 所示）练习 1 如图，过点 P作O两边的垂线 (第 1 题)（第 2 题）2 如图，作ABC边 BC上的高 5 作已知线段的垂直平分线 思 考 如图 1939，对已知线段 AB的垂直平分线上的任意两点 C、D，总有 CA CB，D

15、ADB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？如图 19310，已知线段 AB，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段 AB的垂直平分线 第一步：分别以点 A和 B为圆心，以大于 AB一半的长为半径作弧，两弧相交于点 C和 D 第二步：作直线 CD 直线 CD就是所要作的线段 AB的垂直平分线 我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的，即证明直线 CD垂直平分线段 AB 如图 19311，连结 CA、CB、DA、DB，ACBC，ADBD，CD CD，图 19.3.9 图 19.3.10 图 19.3.11 命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是已知事项结论是由已

16、知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫学习好资料 欢迎下载 ACD BCD（SSS），ACD BCD（全等三角形的对应角相

17、等），CD 垂直平分线段 AB（等腰三角形“三线合一”）由于直线 CD与线段 AB的交点就是 AB的中点，因此我们可以用这种方法作出线段 AB的中点，从而也可以作出任一个三角形的三条中线 练习 1 四等分已知线段 AB 2 如图，作ABC边 BC的垂直平分线 (第 2 题)习题 193 完成下列作图，并写出作法 1 如图，已知线段 AB和 CD，求作一条线段，使它等于 AB 2CD （第 1 题）（第 2 题）2 如图，已知A和B，求作一个角，使它等于A2B 3 如图，已知线段 a 和 b，求作一个等腰三角形，使它的腰长等于 a，底边长等于 b （第 3 题）（第 4 题）4 如图，已知线段

18、a 和 b，求作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于线段 a 和 b 5 作一个四边形，使它的两组对边分别相等 6 已知等腰三角形 ABC，AB AC，A90，在 AC所在的直线上求作一点 P，使 PA PB 命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个

19、符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫学习好资料 欢迎下载 194 逆命题与逆定理 1互逆命题与互逆定理 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题 原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题 如果一个定理的逆命题

20、也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理 2 等腰三角形的判定 等腰三角形的底角相等，这是等腰三角形的性质定理它的逆命题“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”也是定理，是判定三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）3 角平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 三角形三条角平分线交于一点 从图 1946 中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了 请你

21、完成证明 练习 1 如图，在直线 l 上找出一点 P，使得点 P 到AOB的两边 OA、OB的距离相等 图 19.4.6 命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平

22、行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫学习好资料 欢迎下载 （第 1 题）（第 2 题）2 如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点 F，求证：点F在DAE的平分线上 4 线段垂直平分线 垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三角形三边的垂直平分线交于一点 从图 1949 中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了 试试看，现在你会证了吗？练习 1 如图，已

23、知点 A、点 B以及直线 l，在直线 l 上求作一点 P，使 PAPB (第 1 题)（第 2 题）（第 3 题）2 如图，已知 AE CE，BDAC 求证：ABCD AD BC 3 如图，在ABC上，已知点 D在 BC上，且 BD AD BC 求证：点 D在AC的垂直平分线上 习题 194 1 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果 xy，那么 x2y 2；（2）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角 2 如图，在ABC中，AB AC，DBDC 求证：图 19.4.9 （第 2 题）命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是

24、已知事项结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫学习好资料 欢迎下载（1）BAE CAE；（2）AEBC 3 如图

25、，在ABC中，ABC、ACB的平分线交于点 D，EF经过点 D，且EFBC 求证：EFBE CF 4 如图，E是AOB的平分线上一点，EC AO，EDBO，垂足分别是 C、D 求证：EDC ECD （第 3 题）（第 4 题）（第 5 题）（第 6 题）5 如图，在ABC中，A30，C90，BD是ABC的平分线，交AC于 D求证：点 D在 AB的垂直平分线上 6 如图，ABD、ACE都是等边三角形求证：CDBE （提示：找出分别以 CD、BE为边的两个全等三角形）命题错误的命题称为假命题许多命题是由题设或已知条件结论两部分组成的题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成如果那么的形式例把命题三个角都相等的三角形是等边三角形改写成如果那么的形式并分命题的题设是一个三角形的三个角都相等结论是这个三角形是等边三角形要判断一个命题是真命题可以用逻辑推理的方法加以论证而要判断一个命题是假命题只要举出一个例子说明该命题不成立即只要举出一个符合该命题题设而不边相等平行四边形的对边相等指出下列命题中的真命题和假命题同位角相等两直线平行多边形的内角和等于公理定理学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫