2023年内蒙古包头中考数学真题及答案.pdf

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1、20232023 年内蒙古包头中考数学真题及答案年内蒙古包头中考数学真题及答案注意事项：注意事项：1 1本试卷共本试卷共 6 6 页，满分页，满分 120120 分考试时间为分考试时间为 120120 分钟分钟2 2答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置指定位置请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置3 3答题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效答题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效4 4考试

2、结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分每小题只有一个正确选项分每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑1下列各式计算结果为5a的是（）A23aB102aaC4aaD15(1)a2关于x的一元一次不等式1xm 的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（）A3B2C1D03定义新运算“”，规定：2|abab，则(2)(1)的运算结果为（）A5B3C5D34如图，直线ab，直线l与直线,a b分别相交于点

3、,A B，点C在直线b上，且CACB若132，则2的度数为（）A32B58C74D755几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（）ABCD6从 1，2，3 这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n若点A的坐标记作,m n，则点A在双曲线6yx上的概率是（）A13B12C23D567如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形若小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，则cos的值为（）A34B43C35D458在平面直角坐标系中，将正比

4、例函数2yx 的图象向右平移 3 个单位长度得到一次函数(0)ykxb k的图象，则该一次函数的解析式为（）A23yx B26yx C23yx D26yx 9如图，O是锐角三角形ABC的外接圆，,ODAB OEBC OFAC，垂足分别为,D E F，连接,DE EF FD若6.5,DEDFABC的周长为 21，则EF的长为（）A8B4C3.5D310如图，在平面直角坐标系中，OAB三个顶点的坐标分别为(0,0),(2 3,0),(3,1),OABOA B 与OAB关于直线OB对称，反比例函数(0,0)kykxx的图象与A B交于点C若A CBC，则k的值为（）A2 3B3 32C3D32二、填

5、空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 6 6 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1818 分请将答案填在答题卡上对应分请将答案填在答题卡上对应的横线上的横线上11若,a b为两个连续整数，且3ab，则ab_12若12,x x是一元二次方程228=0 xx的两个实数根，则1212xxx x_13如图，正方形ABCD的边长为 2，对角线,AC BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为_14已知二次函数223(0)yaxaxa，若点(,3)P m在该函数的图象上，且0m，则m的值为_15如图，在RtABC中，90,3,1AC

6、BACBC，将ABC绕点A逆时针方向旋转90，得到AB C 连接BB，交AC于点D，则ADDC的值为_16如图，,AC AD CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F下列结论：CF平分ACD；2AFDF；四边形ABCF是菱形；2ABAD EF其中正确的结论是_（填写所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共有三、解答题：本大题共有 7 7 小题，共小题，共 7272 分请将必要的文字说明、计算过程或推理过分请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置程写在答题卡的对应位置17（1）先化简，再求值：2(2)(2)(2)abab ab，其中11,4ab（2）解方程：335

7、11xxx18 在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续 8 年保持全球第一 图为我国某自主品牌车企 2022 年下半年新能源汽车的月销量统计图请根据所给信息，解答下列问题：(1)通过计算判断该车企 2022 年下半年的月均销量是否超过 20 万辆；(2)通过分析数据说明该车企 2022 年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议19为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为ABCAB点在A点的南偏东25方向3 2km处，C点在A点的北偏东80方向，行进路线AB和B

8、C所在直线的夹角ABC为45(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角BCA的度数；(2)求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）20随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品 2022 年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品 2022 年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图所示（图中ABC为一折线）(1)当110 x时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；(2)设该产品 2022 年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用1110mx来描述，求哪个月的销售收入最

9、多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）21如图，AB是O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接,AD DC CP(1)求证：90ADCBAC；（请用两种证法解答）(2)若ACPADC，O的半径为 3，4CP，求AP的长22 如图，在菱形ABCD中，对角线,AC BD相交于点O，点,P Q分别是边BC，线段OD上的点，连接,AP QP AP与OB相交于点E(1)如图 1，连接QA当QAQP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图 2，若90APB，且BAPADB，求证：2AEEP；当OQOE时，设EPa=，求PQ的长（用含a的代数式

10、表示）23如图，在平面直角坐标系中，抛物线231yxx 交y轴于点A，直线123yx 交抛物线于,B C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E(1)求点,D E C的坐标；(2)F是线段OE上一点OFEF，连接,AF DF CF，且2221AFEF求证：DFC是直角三角形；DFC的平分线FK交线段DC于点,K P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan1PFK时，求点P的坐标参考答案参考答案1C【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则即可判断【详解】解：A、236aa，不符合题意；B、1028aaa，不符合题意；C、45aaa，符合题意；D、515(1)aa，不符合题意；故

11、选：C【点睛】题目主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键2B【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可【详解】解：1xm 解得1xm，由数轴得：13m，解得：2m，故选：B【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键3D【分析】根据新定义的运算求解即可【详解】解：2|abab，2(2)(1)(2)14 13 ，故选：D【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键4C【分析】由CACB，132，可得1801742CBACAB，由ab，可得2CBA ，进而可得2的度数【详解】解：CACB，132，18017

12、42CBACAB，ab，274CBA ，故选：C【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质解题的关键在于明确角度之间的数量关系5D【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列 1 个，中间一列 2个，右边一列 2 个，所以该几何体的主视图是故选：D【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键6A【分析】先求出点A的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线6yx上的坐标的个数，根据随机事件概率的计

13、算方法，即可得到答案【详解】解：从 1，2，3 这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有 6 种情况：1,2，2,1，1,3，3,1，2,3，3,2，并且它们出现的可能性相等点A坐标在双曲线6yx上有 2 种情况:2,3，3,2所以，这个事件的概率为2163P 故选：A【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 mP An7D【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为1a，再

14、接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出cos的值即可.【详解】小正方形的面积为1，大正方形的面积为 25，小正方形的边长为 1，大正方形的边长为 5，设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为1a，其中0a，22215aa，其中0a，解得：3a，14a，4cos5，故选：D.【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.8B【分析】根据一次函数的平移规律求解即可【详解】解：正比例函数2yx 的图象向右平移 3 个单位长度得：2(3)26yxx ，故选：B【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平

15、移规律是解题关键9B【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是ABBCAC、的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可【详解】解：O是锐角三角形ABC的外接圆，,ODAB OEBC OFAC，点D、E、F分别是ABBCAC、的中点，111,222DFBC DEAC EFAB，6.5,DEDFABC的周长为 21，21CBCAAB即22221DFDEEF，4EF，故选：B【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键10A【分析】过点B作BDx轴，根据题意得出1,3BDOD，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出2OB

16、AB，30BOABAO，利用各角之间的关系180OBAOBD，确定A，B，D三点共线，结合图形确定3,2C，然后代入反比例函数解析式即可【详解】解：如图所示，过点B作BDx轴，(0,0),(2 3,0),(3,1)OAB，1,3BDOD，3ADOD，3tan3BDBOAOD，222OBABODBD，30BOABAO，60OBDABD，120OBA，OA B与OAB关于直线OB对称，120OBA，180OBAOBD，A，B，D三点共线，2A BAB，A CBC，1BC，2CD，3,2C，将其代入(0,0)kykxx得：2 3k，故选：A【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数

17、及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键113【分析】根据夹逼法求解即可【详解】解：2132，即222132，132，1,2ab，3ab故答案为：3【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键1214#0.25【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，122xx，128x x ，然后代入求解即可【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，122xx，128x x ，121214xxx x，故答案为：14【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程20axbxc的两个实数根1x，2x满足12bxxa，12cx

18、xa13【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出2 2BD，再由扇形的面积公式求解即可【详解】解：正方形ABCD，,AOCO BODO ADCD，45DBE，(SSS)AODCOB，正方形ABCD的边长为 2，22222 2BD 阴影部分的面积为扇形BED的面积，即2452 2360，故答案为：【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键142【分析】将点(,3)P m代入函数解析式求解即可【详解】解：点(,3)P m在223yaxax 上，2323amam，(2)0am m，解得：2,0mm(舍去)故答案

19、为：2【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键155【分析】过点D作DFAB于点F，利用勾股定理求得10AB=，根据旋转的性质可证ABB、DFB是等腰直角三角形，可得DFBF，再由1122ADBSBCADDFAB，得=10ADDF，证明AFDACB，可得DFAFBCAC，即3AFDF，再由=10AFDF，求得10=4DF，从而求得52AD，12CD，即可求解【详解】解：过点D作DFAB于点F，90ACB，3AC，1BC，223110AB，将ABC绕点A逆时针方向旋转90得到AB C，=10ABAB，90BAB，ABB是等腰直角三角形，45ABB，又DFAB，45

20、FDB，DFB是等腰直角三角形，DFBF，1122ADBSBCADDFAB，即=10ADDF，90CAFD，CABFAD，AFDACB，DFAFBCAC，即3AFDF，又=10AFDF，10=4DF，105=10=42AD，51=3=22CD，52=512ADCD，故答案为：5【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键16【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可【详解】解：正五边形ABCDE，180531085ABCBCDCDEDEA，AB

21、BCCDDEAE，180108362BACBCADAEADEDCECED，10836ACEBCADCEDCE，CF平分ACD；正确；36ACEDEC，DFEAFC，DEFACF，DFDEAFAC，2DEABABAC，12DFAF，即2AFDF，故错误；BACACE，1083636180ABCBAD，BCAD，ABCE，四边形ABCF是平行四边形，ABBC，四边形ABCF是菱形；正确；36CEDDAE，EDFADE，DEFDAE，DEEFADAE，ED AEAD EF，即2ABAD EF，正确；故答案为：【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解

22、题关键17（1）224aab，1；（2）4x【分析】（1）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并同类项，最后代入求解即可；（2）根据解分式方程的一般步骤进行求解即可【详解】解：（1）原式2222444aabbab224aab当11,4ab 时，原式212(1)4(1)14 （2）33511xxx方程两边乘(1)x，得35(1)3xx解得4x 检验：将4x 代入14 130 x ，4x 是原方程的根【点睛】此题考查了整式的乘法混合运算以及化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键18(1)该车企 2022 年下半年的月均销量超过 20 万辆(2)2022 年下半年月销量的特

23、点：月销量呈递增趋势；12 月的销量最大；有三个月的销量超过了 20 万辆；中位数为 20.5 万辆；月均销量超过 20 万辆等建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；（2）利用条形统计图中的数据进行阐述即可【详解】（1）解：15.9 16.9 19.221.823.023.520.056x（万辆），20.0520，该车企 2022 年下半年的月均销量超过 20 万辆（2）2022 年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12 月的销量最大；有三个月的销量超过了 20 万辆；中位数为 20.5 万辆；月均销量超过 20 万辆等建议：充

24、分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务【点睛】本题考查平均数及中位数等统计知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答19(1)行进路线BC和CA所在直线的夹角为60(2)检查点B和C之间的距离为(33)km【分析】（1）根据题意得，80,25NACSAB，45,3 2ABCAB，再由各角之间的关系求解即可；（2）过点A作ADBC，垂足为D，由等角对等边得出ADBD，再由正弦函数及正切函数求解即可【详解】（1）解：如图，根据题意得，80,25NACSAB，45,3 2ABCAB，180NAS，180180802575CABNACSAB在ABC中，180CABABCBCA

25、，180754560BCA答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为60（2）过点A作ADBC，垂足为D90ADBADC，45ABD，45BADABD ADBD,在RtABD中，sinADABDAB，23 23(km)2AD3(km)BDAD,在RtACD中，tanADBCACD，33(km)3CD，(33)kmBCBDCD答：检查点B和C之间的距离为(33)km【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键20(1)1503000yx(2)第 5 个月的销售收入最多，最多为 3375 万元【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求

26、得销售收入为w万元与销售月份x之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解【详解】（1）解：当110 x时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为(0)ykxb k图象过(1,2850),(10,1500)AB两点，2850,101500.kbkb，解得150,3000.kb 当110 x时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为1503000yx（2）设销售收入为w万元，当110 x时，21(1503000)115(5)337510wxxx ，150，当5x 时，3375w最大（万元）当1012x时，115001150150010wxx，1500，w随x的增大而增大，当12x 时，3300w最

27、大（万元）33753300，第 5 个月的销售收入最多，最多为 3375 万元【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键21(1)证明见解析(2)8【分析】（1）证法一：连接BD，得到90ADB，因为BACBDC，所以90ADCBAC；证法二：连接BC，可得180ADCABC，则180ABCADC，根据90ACB，可得90BACABC，即可得到结果；（2）连接OC，根据角度间的关系可以证得OCP为直角三角形，根据勾股定理可得边OP的长，进而求得结果【详解】（1）证法一：如图，连接BD，BCBC，BDCBAC

28、，AB是O的直径，90ADB，ADCADBBDC BACBDC，90ADCBAC，90ADCBAC，证法二：如图，连接BC，四边形ABCD是O的内接四边形，180ADCABC，180ABCADC，AB是O的直径，90ACB，90BACABC，18090BACADC，90ADCBAC，（2）解：如图，连接OC，ACPADC，90ADCBAC，90ACPBAC，OAOC，BACACO，90ACPACO，90OCPO的半径为 3，3AOOC，在Rt OCP中，222OPOCCP，4CP，2223425OP，5OP，8APAOOP，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角

29、度之间的关系是解题的关键22(1)点Q在线段PC的垂直平分线上(2)证明见解析，7PQa【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；（2）根据菱形的性质得出ABBCCDDA，再由各角之间的关系得出30BAPABDCBD ，由含 30 度角的直角三角形的性质求解即可；连接QC利用等边三角形的判定和性质得出2,3AEa APa，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可【详解】（1）解：如图，点Q在线段PC的垂直平分线上理由如下：连接QC四边形ABCD是菱形，对角线,AC BD相交于点O，,BDAC OAOCQAQCQAQP，QCQP，点Q在线段PC的垂直平分线上（2）证明

30、：如图，四边形ABCD是菱形，ABBCCDDA，ABDADB，CBDCDB，BDAC，ADOCDO，ABDCBDADO BAPADB，BAPABDCBD AEBE，90APB，90BAPABP，30BAPABDCBD 在RtBPE中，90,30EPBPBE，12EPBEAEBE12EPAE，2AEEP；如图，连接QC,60ABBCABC，ABC是等边三角形90APB，BPCPEPa，2,3AEa APa在Rt APB中，90APB，3tan3APABPBP，3BPa3CPBPaAOCO，,AOECOQ OEOQ，AOECOQ，2,AECQaEAOQCO AECQ，90APB，90QCP在RtP

31、CQ中，90QCP，由勾股定理得222PQPCCQ，2222(3)(2)7PQaaa7PQa【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键23(1)(3,1)C，(0,2)D，(6,0)E(2)证明见解析，点P的坐标为(1,3)或(7,3 76)【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）设(,0),F m然后利用勾股定理求解，2m，过点C作CGx轴，垂足为G再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；根据题意得出1tan3PFK，设点P的坐标为2,31ttt，根据题意得

32、133t 分两种情况分析：（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，11 1tan,23 3PFKt （ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，21tan,233P FKt 求解即可【详解】（1）解：直线123yx 交y轴于点D，交x轴于点E，当0 x 时，2,y 0,2D，当0y 时，6,x 6,0E直线123yx 交抛物线于,B C两点，213123xxx ，231030 xx，解得121,33xx点B在点C的左侧，点C的横坐标为 3，当3x 时，1y)1(3,C；（2）如图，抛物线231yxx 交y轴于点A，当0 x 时，1,y(0,1),A1OA,在Rt AOF中，90AOF，由勾股定理

33、得222AFOAOF，设(,0),F m,OFm221AFm，(6,0),E6,OE6EFOEOFm，2221,AFEF221(6)21,mm 122,4mm，,OFEF2,m2OF，(2,0)F(0,2),D2OD，ODOFDOF是等腰直角三角形，45OFD过点C作CGx轴，垂足为G(3,1),C1,3CGOG，1,GFOGOF,CGGFCGF是等腰直角三角形，45,GFC90,DFCDFC是直角三角形FK平分,90,DFCDFC45DFKCFK 90,OFKOFDDFK FKy轴3tan1PFK，1tan3PFK设点P的坐标为2,31ttt，根据题意得133t（i）当点P在直线KF的左侧抛

34、物线上时，11 1tan,23 3PFKt 过点1P作1PHx轴，垂足为H111,PHKFHPFPFK，11tan3HPF,HFOFOH2HFt，在1RtPHF中，111tan,3HFHPFPH13PHHF，2131PHtt，2313(2),ttt 2650,tt121,5tt（舍去）当1t 时，2313,tt 1(1,3)P（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，21tan,233P FKt 过点2P作2PMx轴，垂足为M2,PMKF22MP FP FK，21tan,3MP F,MFOMOF2MFt 在2RtP MF中，221tan,3MFMP FPM23PMMF，2231PMtt，2313(2),ttt 27,t347,7tt（舍去）当7t 时，2313 76,tt 2(7,3 76)P点P的坐标为(1,3)或(7,3 76)【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键