考研数学之线性代数讲义(考点知识点概念定理总结)_研究生考试-考研数学.pdf

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1、 线性代数讲义 目录 第一讲 基本概念 线性方程组 矩阵与向量 初等变换和阶梯形矩阵 线性方程组的矩阵消元法 第二讲 行列式 完全展开式 化零降阶法 其它性质 克莱姆法则 第三讲 矩阵 乘法 乘积矩阵的列向量和行向量 矩阵分解 矩阵方程 逆矩阵 伴随矩阵 第四讲 向量组 线性表示 向量组的线性相关性 向量组的极大无关组和秩 矩阵的秩 第五讲 方程组 解的性质 解的情况的判别 基础解系和通解 第六讲 特征向量与特征值 相似与对角化 特征向量与特征值概念,计算与应用 相似 对角化判断与实现 附录一 内积 正交矩阵 施密特正交化 实对称矩阵的对角化 第七讲 二次型 二次型及其矩阵 可逆线性变量替换

2、实对称矩阵的合同 标准化和规范化 惯性指数 正定二次型与正定矩阵 附录二 向量空间及其子空间 附录三 两个线性方程组的解集的关系 附录四 06,07 年考题 第一讲 基本概念 1线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a2nxn=b2,am1x1+am2x2+amnxn=bm,其中未知数的个数 n 和方程式的个数 m不必相等.线性方程组的解是一个 n 维向量(k1,k2,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数 xi都用 ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的

3、主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=bm=0 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成 0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量 (1)基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由 m n 个数排列成的一个 m行 n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个 m n型矩阵.例如 2-1 0 1 1 1 1 1 0 2 2

4、 5 4-2 9 3 3 3-1 8 是一个 4 5 矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵 a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1 A=a21 a22 a2n 和(A|)=a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn am1 am2 amn bm 为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第 i 行第 j 列的数称为(i,j)位元素.元素全为 0 的矩阵称为零矩阵,通常就记作 0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由

5、 n 个数构成的有序数组称为一个 n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是 a1,a2,an的向量可表示成 行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未

6、知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 a1 (a1,a2,an)或 a2 ,an 请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是 1 n 矩阵,右边是n 1 矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个 m n 的矩阵的每一行是一个 n 维向量,称为它的行向量;每一列是一个 m维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2,n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(

7、1,2,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为 0 的向量称为零向量,通常也记作 0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2)线性运算和转置 线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个 m n 的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是 m n 矩阵,记作 A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).数乘:一个 m n 的矩阵A与一个数 c 可以相乘,乘积仍为 m n 的矩阵,记作 cA,法则为A的每个元素乘 c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:加法交换律:A+B=B+A.加法结合律:(A+B)+C=A+(B+

8、C).加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.数乘结合律:c(d)A=(cd)A.c A=0 c=0 或 A=0.转置:把一个m n的矩阵A行和列互换,得到的n m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A).有以下规律:(AT)T=A.(A+B)T=AT+BT.(cA)T=cAT.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时,T表示行向量,当是行向量时,T表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,s是一组 n 维向量,c1,c2,cs是一组数,则称 c11+c22+css 为1,2,s的(以 c1,c2,cs为系数的)线性组合.

9、n 维向量组的线性组合也是 n 维向量.(3)n 阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为 n 的矩阵也常常叫做 n 阶矩阵.把 n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量

10、空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 下面列出几类常用的 n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵:对角线外的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为 1 的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数 c 的对角矩阵,它就是 cE.上三角矩阵:对角线下的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.对称矩

11、阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何 i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的 n 阶矩阵.(反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于 0 的 n 阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是 0.)3.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 矩阵有以下三种初等行变换:交换两行的位置.用一个非 0 的常数乘某一行的各元素.把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:如果它有零行,则

12、都出现在下面.如果它有非零行,则每个非零行的第一个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0 元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:台角位置的元素为 1.并且其正上方的元素都为 0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意:1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4.线性方程组的矩阵消元法 线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用

13、同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:交换两个方程的上下位置.用一个非 0 的常数乘某个方程.把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆

14、线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|).(2)用(B|)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数 r(r不会大于未知数个数 n),r=n时唯一解；rn 时无穷多解.(推论:

15、当方程的个数 mn时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|)的零行,得到一个n(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|),则就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数 r=n 时只有零解；rn 时有非零解(求解方法在第五章讲).(推论:当方程的个数 m2 时,(A*)*=|A|n-2A；n=2 时,(A*)*=A.二 典型例题 1.计算题 例 1=(1,-2,3)T,=(1,-1/2,1/3)T,A=T,求A6.讨论:(1)一般地,如果 n 阶矩阵A=T,则Ak

16、=(T)k-1A=(tr A)k-1A.(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.1 -1 1 T=-1 1 -1 ，求T.（2003 一）行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一

17、个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 设=(1,0,-1)T,A=T,求|aE-An|.n 维向量=(a,0,0,a)T,a1)例 3 1 0 0 设A=1 0 1 ，(1)证明当 n1时An=An-2+A2-E.(2)求An.例 4设A为 3 阶矩阵,1,2,3是线性无关的 3 维列向量组,满足 A1=1+2+3,A2=22+3,A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B.(2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=

18、(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)例 6 3 维向量1,2,3,1,2,3满足 1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例 7 设A 是 3 阶矩阵,是 3 维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又 3 阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0 例 8 3 阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A=1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1 例 9 3-5 1 设 3 阶矩阵A=1-1 0 ,A-1XA=XA+2A,求X.-1

19、0 2 例 10 1 1-1 设 3 阶矩阵A=-1 1 1 ,A*X=A-1+2X,求X.1-1 1 例 11 4 阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知 1 0 0 0 A*=0 1 0 0 ,求B.(00一)1 0 1 0 0-3 0 8 行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正

20、定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 例 12 3 0 0 1 0 0 已知A=2 1 0 ,B=0 0 0 ,XA+2B=AB+2X,求X11.2 1 3 0 0-1 例 13 设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足 A1=(4,3)T,A2=(7,-8)T,A3=(5,-5)T,求A.2.概念和证明题 例 14 设A 是

21、n 阶非零实矩阵,满足A*=AT.证明:(1)|A|0.(2)如果 n2,则|A|=1.例 15 设矩阵A=(aij)33满足A*=A T,a11,a12,a13为 3 个相等的正数,则它们为(A)3/3.(B)3.(C)1/3.(D)3.(2005年数学三)例 16 设A 和B都是 n 阶矩阵,C=A 0 ,则C*=0 B (A)|A|A*0 .(B)|B|B*0 .0|B|B*0|A|A*(C)|A|B*0 .(D)|B|A*0 .0|B|A*0|A|B*例 17 设A是 3 阶矩阵,交换A的 1,2 列得B,再把B的第 2 列加到第 3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例 18 设A是

22、3 阶可逆矩阵,交换A的 1,2 行得B,则(A)交换A*的 1,2 行得到B*.(B)交换A*的 1,2 列得到B*.(C)交换A*的 1,2 行得到-B*.(D)交换A*的 1,2 列得到-B*.(2005 年)例 19 设A是 n 阶可逆矩阵,交换A的 i,j行得到B.(1)证明B可逆.(2)求AB-1.例 20 设 n 阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数 c,A-cE可逆.讨论:如果 f(A)=0,则(1)当 f(x)的常数项不等于 0 时,A可逆.(2)f(c)0 时,A-cE可逆.(3)上述两条的逆命题不成立.例 21 设是 n

23、维非零列向量,记A=E-T.证明 行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求

24、解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组(1)A2=AT=1.(2)T=1 A不可逆.(96一)讨论:(2)的逆命题也成立.例 22 设A,B都是 n 阶矩阵,证明 E-AB可逆 E-BA可逆.例 23 设 3 阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1)证明A-E可逆.(2)设 1-3 0 B=2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例 24 设A,B是 3 阶矩阵,A可逆,它们满足 2A-1B=B-4E.(1)证明A-2E可逆.(2)设 1-2 0 B=1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例 25 设 n 阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中 ab 0,证明(1)A-bE和B-aE都可逆

25、.(2)A可逆 B可逆.(3)AB=BA.例 26 设A,B都是 n 阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例 27 设A,B都是 n 阶矩阵使得A+B可逆,证明(1)如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2)如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3)等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例 28 设A,B,C都是 n 阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为 (A)E.(B)-E.(C)A.(D)-A.(2005年数学四)参考答案 1-1/2 1/3 例 1 35A=35-2 1 2/3 .3 -3/

26、2 1 3.a2(a-2n).-1.E.4.例 2 O.例 3 (1)提示:An=An-2+A2-EA n-2(A2-E)=A2-E A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k 时,1 0 0 An=k 1 0 .k 0 1 行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间

27、及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 n=2k+1时,1 0 0 An=k+1 0 1 .k 1 0 例 4 1 0 0 B=1 2 2 .1 1 3 例 5 2.例 6 4a.例 7 0 0 0 B=1 0 3 .|E+A|=-4 0 1-2 例 8 1/9.例 9 -6 10 4 X=-2 4 2 .-4 10 0 例 10 1 1 0 (1/4)0 1 1 .1 0 1 例 11 6 0 0 0

28、B=0 6 0 0 .6 0 6 0 0 3 0-1 例 12 1 0 0 2 0 0 .6-1-1 例 13 2-1 1 -4-2-5 .例 15 (A).例 16 (D).例 17 0 1 1 Q=1 0 0 .0 0 1 例 18(D).例19 E(i,j).例22 提示:用克莱姆法则.例如证明,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0 只有零解.例 23 1 1/2 0 A=-1/3 1 0 .0 0 2 例 24 0 2 0 A=-1-1 0 .0 0-2 例 25 提示:计算(A-bE)(B-aE).例 28(A).行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘

29、法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 第四讲 向量组的线性关系与秩 一.概念复习 1.

30、线性表示关系 设1,2,s是一个 n 维向量组.如果 n 维向量等于1,2,s的一个线性组合，就说可以用1,2,s线性表示.如果 n 维向量组1,2,t 中的每一个都可以可以用1,2,s线性表示,就说向量 1,2,t可以用1,2,s线性表示.判别“是否可以用1,2,s线性表示?表示方式是否唯一？”就是问：向量方程 x11+x22+xss=是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,s 为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A的列向量组线性表示?表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵

31、乘法有密切关系:乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,t可以用1,2,s线性表示,则矩阵(1,2,t)等于矩阵(1,2,s)和一个 s t 矩阵C的乘积.C可以这样构造:它的第 i 个列向量就是i对1,2,s的分解系数(C不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组1,2,t可以用1,2,s线性表示,而1,2,s可以用1,2,r线性表示,则1,2,t可以用1,2,r线性表示.当向量组1,2,s 和1,2,t互相都可以表示时 就说它们等价 并记作1,2,s1,2,t.等价关系也有传递性.2.向

32、量组的线性相关性(1)定义(从三个方面看线性相关性)线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组1,2,s 中有没有向量可以用其它的 s-1 个向量线性表示的问题.定义 设1,2,s 是 n 维向量组,如果存在不全为 0 的一组数 c1,c2,cs使得 c11+c22+css=0,则说1,2,s 线性相关 否则(即要使得c11+c22+css=0,必须c1,c2,cs全为0)就说它们线性无关.于是,1,2,s“线性相关还是无关”也就是向量方程 x11+x22+xss=0“有没有非零解”,也就是以(1,2,s)为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相

33、关(无关)就是它是(不是)零向量.两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.(2)性质 当向量的个数 s 大于维数 n 时,1,2,s 一定线性相关.行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量

34、未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 如果向量的个数 s 等于维数 n,则1,2,n线性相关|1,2,n|=0.线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量都不是零向量).如果1,2,s 线性无关 而1,2,s,线性相关,则可用1,2,s 线性表示.如果可用1,2,s 线性表示,则表示方式唯一1,2,s 线性无关.如果1,2,t可以用1,2,s 线性表示，并且 ts,则1,2,t线性相关.推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.3.向量组的极大无关组

35、和秩(1)定义 向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.定义 设1,2,s 是 n 维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 (I)线性无关.(I)再扩大就线性相关.就称(I)为1,2,s 的一个极大无关组.条件可换为:任何I都可用(I)线性表示,也就是(I)与1,2,s 等价.当1,2,s 不全为零向量时,它就存在极大无关组,并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等.定义如果1,2,s 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数 是一个正整数 称为1,2,s 的秩,记作r(1,2,s).如果1,2,s

36、全是零向量,则规定r(1,2,s)=0.由定义得出:如果 r(1,2,s)=k,则 i)1,2,s 的一个部分组如果含有多于 k 个向量,则它一定的相关.ii)1,2,s 的每个含有 k 个向量的线性无关部分组一定是极大无关组.(2)应用 1,2,s 线性无关 r(1,2,s)=s.可用1,2,s 线性表示r(1,2,s,)=r(1,2,s).(事实上若不可用1,2,s线性表示,则 r(1,2,s,)=r(1,2,s)+1.)推论 1:可用1,2,s 唯一线性表示r(1,2,s,)=r(1,2,s)=s.推论 2:如果 r(1,2,s=维数 n,则任何 n 维向量都可以用1,2,s 线性表示.

37、1,2,t可以用1,2,s 线性表示r(1,2,s,1,2,t)=r(1,2,s).推论:如果 1,2,t可以用1,2,s线性表示,则 r(1,2,t)r(1,2,s).1,2,s和1,2,t等价 r(1,2,s)=r(1,2,s,1,2,t)=r(1,2,t).极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性质仍然成立.行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实

38、对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 4.秩的计算,有相同线性关系的向量组 两个向量个数相同的向量组1,2,s,和1,2,s称为有相同线性关系,如果向量方程 x11+x22+xss=0 和 x11+x22+xss=0 同解,即齐次线性方程组(1,2,s)X=0 和(1,2,s

39、)X=0 同解.当1,2,s和1,2,s有相同线性关系时,(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.(3)它们有相同的内在线性表示关系.例如,当A经过初等行变换化为B时,AX=0 和BX=0 同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.这样,就产生了计算一个向量组1,2,s的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(1,2,s),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B,则B的非零行数就是1,2,s的秩,B的各台角所在列号对应的部分组是1,2,s的的一个极大无关组.如果A经过初等列变换化为B，则A的

40、列向量组和B的列向量组是等价关系，虽然秩相等,但是极大无关组并没有对应关系.5.矩阵的秩(1)定义 一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作 r(A).于是 r(A)=0 A=0.如果A是 m n 矩阵,则 r(A)Minm,n.当 r(A)=m 时,称A为行满秩的;当 r(A)=n 时,称A为列满秩的.对于 n 阶矩阵A,则行满秩和列满秩是一样的,此时就称A满秩.于是:n 阶矩阵A满秩r(A)=n(即A的行(列)向量组无关)|A|0A可逆.矩阵的秩还可以用它的非 0 子式来看.A的 r 阶子式:任取 A的 r 行和 r 列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式,

41、如果它的值不为 0,就称为非 0 子式.命题 r(A)就是A的非 0 子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于 r(A)的子式的值都为 0,但是A有阶数等于 r(A)的非 0 子式.)(2)计算 命题 初等变换保持矩阵的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵,则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.(3)在矩阵运算中,矩阵的秩有性质 r(A T)=r(A).如果 c 不为 0,则 r(cA)=r(A).r(AB)r(A)+r(B).行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向

42、量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 r(AB)Minr(A),r(B).当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或 r(A).如果AB=0,n 为

43、A的列数(B的行数),则 r(A)+r(B)n.如果A列满秩(r(A)等于列数),则 r(AB)=r(B).一般公式:r(A)+r(B)n+r(AB).下面给出和在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.设向量组1,2,s线性无关,向量组1,2,t可用1,2,m线性表示,表示矩阵为C,则 i)r(1,2,t)=r(C).ii)如果 t=s(此时C是 t 阶矩阵),则1,2,s线性无关 C可逆.(令A=(1,2,s),B=(1,2,t),则B=AC,并且 r(A)=列数 s,用得到r(1,2,s)=r(C).t=s 时,C可逆r(1,2,s)=r(C)=s 1,2,s线性无关.或直接用证明

44、 ii):C可逆时 r(B)=r(A)=s,从而1,2,s线性无关.如果C不可逆,则r(1,2,s)r(C)s,从而1,2,s线性相关.)6.矩阵的等价 两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.二.典型例题 1.向量组秩的计算和应用 例 1a,b,c满足什么条件时向量组1=(a,0,c),2=(b,c,0),3=(0,a,b)线性无关？(02)例 2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且 a 1,求 a.(05)例 3 设1=(1+a,1,1)，2=(1,1+b,1)，3=(1

45、,1,1-b)，问 a,b满足什么条件时r(1,2,3)=2?例 4 设1=(1+，1，1)，2=(1，1+，1)，3=(1，1，1+)，=(0，,2)为何值时，可用1，2，3线性表示，并且表示方式唯一？为何值时，可用1，2，3线性表示，并且表示方式不唯一？为何值时，不可用1，2，3线性表示？例 5 设1=(1,0,1,1),2=(2,-1,0,1),3=(-1,2,2,0),1=(0,1,0,1),2=(1,1,1,1).问:c1,c2满足什么条件时 c11+c22可以用1,2,3线性表示?例 6 设1=(1,2,0,1),2=(1,1,-1,0),3=(0,1,a,1),1=(1,0,1,

46、0),2=(0,1,0,2).a 和 k 取什么值时,1+k2可用1,2,3线性表示?写出表示式.例 7 设1=(1,2,-3)，2=(3,0,1)，3=(9,6,-7)，1=(0,1,-1)，2=(a,2,1)，3=(b，1，0)已知 r(1,2,3)=r(1,2,3),并且3可用1,2,3线性表示，求 a,b.(00二)例 8 求常数 a,使得向量组1=(1,1,a),2=(1,a,1),3=(a,1,1)可由向量组1=(1,1,a),2=(-2,a,4),3=(-2,a,a)线性表示,但是1,2,3不可用1,2,3线性表示.(2005年数学二)行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则

47、第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程和方程式的个数不必相等线性方程组的解是一个维向量未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解特别是在有无穷多接时求通解的线性方程组 例 9 给定向量组()1=(1,0,

48、2)，2=(1,1,3)，3=(1,-1,a+2)和()1=(1,2,a+3)，2=(2,1,a+6)，3=(2,1,a+4)当 a 为何值时()和()等价?a 为何值时()和()不等价?(03 四)例10设1=(1,-1,2,4),2=(0,3,1,2),3=(3,0,7,14),4=(1,-2,2,0),5=(2,1,5,10).它们的下列部分组中,是极大无关组的有哪几个?(1)1,2,3.(2)1,2,4.(3)1,2,5.(4)1,3,4.2.向量组秩的性质的应用 例 11 已知1,2,3线性相关,而2,3,4线性无关,则1,2,3,4中,能用另外 3 个向量线性表示,而 不能用另外

49、3 个向量线性表示.例12已知r(1,2,3)=r(1,2,3,4)=3,r(1,2,3,4,5)=4，求r(1,2,3,4-5)(95 三)例 13 已知可用1,2,s 线性表示，但不可用1,2,s-1线性表示证明 s不可用1,2,s-1线性表示；s可用1,2,s-1,线性表示 例 141,2,3,线性无关,而1,2,3,线性相关,则 A)1,2,3,c+线性相关.(B)1,2,3,c+线性无关.(C)1,2,3,+c线性相关.(D1,2,3,+c线性无关.例 15 已知 n 维向量组1,2,s 线性无关,则 n 维向量组1,2,s 也线性无关的充分必要条件为 A)1,2,s 可用1,2,s

50、线性表示.(B)1,2,s可用1,2,s线性表示.(C)1,2,s 与1,2,s等价.(D矩阵1,2,s)和(1,2,s 等价.3.矩阵的秩 例 16 n 阶矩阵 1 a a a a 1 a a A=a a 1 a a a a 1 的秩为 n-1,求 a.(98 三)例 17 设 a b b 行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解化判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实