2000数学一解析.pdf

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1、2000年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】7T方法一x2 dx=f a/1 (jc l)2 d(j?1)=J 0a/1 x2 dj?方法二1/-帀 x=sin tV 1 无=o根据定积分的几何应用，屆工认即以曲线J 0y=Jlx jc2（0 工W 1）为曲边的曲边梯形的面积.如图所示，显然丿2工-工f=中.【答案】千1_卄2_2-46cos2/d/=/2=x Ko 2【解解】=F：,F；,F；|（1,一2,2）=2工，4y,6z|（i,_2,2）=2,8,12,qr 1 yi I 2 N 2则曲面在点（1.2,2）处的法线方程为、工占=乞丁.（3）【答案】y=q+C2（C】，C2为任

2、意常数）.X【解解】方法一 由xy+33/=0,得y-y=0.X 解得/hCojM=$，积分得原方程的通解为y=+C2（C15C2为任意常数）.X JC方法二 由砂+3yf=0,得 x7,y+3x2yf=0 或（x3yY=0.C于是工s，=c。，解得y=-|,积分得原方程通解为=4+C2（C.,C2为任意常数）.jc x（4）【答案】一1.【解解】因为原方程组无解，所以r（A）r（A）,而r（A）三3,所以r（A）0-1-*1 31132i oo 1-3；-100 00得r（A）=r（A）=2,原方程组有无数个解，所以a工3,故a=-1.2(5)【答案】y.【解解】PCAB)=PCA)-F(A

3、B),P CAB)=P(B)-P(AB),由 P(AB)=P(AB),得 P(A)=P(B).-1 由 P(AB)=P(A+B)=l-P(A+B)=y,得 P(A+B)=.又 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A)-P2(A),o o得 P2(A)-2P(A)+y=0,解得 P(A)=y.二、选择题(6)【答案】(A).【解解】由厂Q)gQ)TQ)gQ)力黑侏.gd g(工)g lb)于是/(z)g(b)f(b)gO,应选(A).方法点评：本题考查函数单调性.若y(H)o或y(_z)z)/(H)g(_z)时，一般构造辅助函数；g(H)若题中出现f(j;)+/(a-)gz(j：

4、),一般构造辅助函数/(JC)g(J7).(7)【答案】(C).【解解】由对面积的曲面积分的对称性质，得又因为six dS=JJ ydSsiFds=.sjjj/dS=0,sn dS 9所以n dS=4JJS S SzdSZ(1S 9s】x dS 9 应选(C).方法点评：二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分有类似的对称性,对面积的曲面积分的对称性如下：若关于jrOy平面对称，其中工0夕平面上方为I】，则有J/(z,z)dS=J0,12jJ/(jr,w)dS,I习f(.x,y,z)=f(工,y,z),f(a:,y,2)=fx,y,z).其他两种情形同上.(8)【答案】(D).【

5、解解】方法一 令S”=+“2-”，因为工”收敛，所以lim“”=0且limS存在.”=-8 8设limS”=S，令 S：=(+“2)+(2+3)+(”+i)=2S”一 i+“卄i.OO因为limS：,=2S-，所以级数工(”+”+i)收敛，应选(D).心00”=1(1 H g/_ 1 W 1方法二 取Un=丄1、，级数工|/,1、收敛，而工丄1、发散，(A)不对;ln(z?+1)/z=1 ln(n+1)z/=1 n ln(7?+1)取”=上?，级数7=工丄发散，(B)不对；寸Tl n=”=1(1 nl 00 吕 1取U”=，级数工(“2”T “2”)=Y 发散，(C)不对，应选(D).n n=

6、n=n(9)【答案答案】(D).【解】令 A=(a 1.a?,，a”)，B=(0i，02，0,”).由 a i,a2,am 线性无关，得 r(A)=m.若山，卩-仇线性无关，则r(B)=m,因为r(A)=r(B)所以矩阵A.B等价；反之,若矩阵A.B等价，则r(A)rCB),因为r(A)加，所以r(B)=加，又因为矩阵的秩 与矩阵列向量组的秩相等，所以你，02,，血的秩为加，即你心，0”线性无关，应选(D).(10)【答案答案】(E).【解解】W诃不相关的充分必要条件是Cov(f，)=0.而 Cov(Wq)=Cov(X+Y,X Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=D(X)-D(Y),又

7、D(X)=E(X2)-E(X)T，D(Y)=E(Y2)E(Y)2,所以不相关的充分必要条件是D(X)=D(Y),即 E(X2)E(X)J2=E(Y2)-E(Y)2,应选(E).三、解答题(11)【解解】.1/2+sin j-2-h e7由 lim T+I I=lim-r+limz-o+l+e 1 1 乂_*1+=0+1=1,.1/2+eJ.sin jc 9 4-e7 sin rlim(T I x I j=lim-lim-=2 1=19/2+eT sin x 得啸匚/+甘)7(12)【解解】由复合函数求偏导法则，得券=yf；+fi 气 g，dx y xdy=f+y(工咒y-gX1li 无 1/y

8、 f 2+yf 11 J 22 g s y yQ(Z 9)=(13)【解解】令 PCx.y)=,2 i 24j?+ydQ dp y2 4 工2 3jc(4jc 2+y2)2(乂，)#(0,0).如图所示，作L0：42+y2=r2(r 0且L。位于L内9取逆时针方向)，设L,与L围成的区域为Dl9L0围成的区 域为。2，由格林公式得x4 无2+j/2三(13)题图于z dy y djrL+L0 4工 2+jy 2Diapdjr-dy=0,dcr工七-皿一 x Ay y Ax4工2+y2 Lo 4 j-2-y2D22(14)1 解】P=xf(.x),Q=xy/(jc),由高斯公式得 x dy 一

9、y dx52 7r r rR=-e2xz,r7=7r-z Ax d=土IX+lfQ J血e2r dv=0,其中O为S围成的有界闭区域.由曲面 S 的任意性 9 得/(jc)+xff(j?)xf(x)e2r=0 9 整理得/(jc)+(丄一1)/(工)=兰工 丿 X孑(丄一 1)dr,一八 d_z+CX解得/(工)=”(”=土上2Px(Px 1)因为 lim/(j?)=19所以 C=1,于是 f(x)=-工-*()+H(15)【解】由lira|=lim00 CLn8 72+13+(2)3+i 十(2)+i+得工 n=13+(2)壬-的收敛半 n径为R=3,幕级数工；1=i 3+(2)”的收敛区间

10、为(一3 93).n当X=3时，2n=1331因为3+(-2)n3”3+(2)丄n=l 洛0且乞5 n=3+(2)n1 吕亦发散，所以若12/731+(2)3”L发散,n即3时，级数g亍;_ 2)”发散;n当z=3时，8 1y_倉 3+(2)(3)nV”=1Xn=133+(2)(-1)n21(-1)_“=1n2”3+(2)171对正项级数头+(2”+】_3+】+(2)+i由lim2n+冷再略(1)nn1得级数.”+)”2收敛得工=-3时，级数工:小”二收敛.=1 3 十(一/)兀（16）【解】设球体为+y2+z2 点P（0,0,R）为球面X上一点，且设0的重心坐标为,由对称性得x=09y=0.

11、一 R）2du Jj 2+y2+Cz R）2JdvnM N 怡工 2+?2+(N QZ=rcr-|jj k _jc 2+y2+(z 一 R)2 n_jc 2+y2+Cz R)2dua由奇偶性得Jj a-2+夕2+(Z 一 R)2du=JJ(X2+y2+z2)d?7+jjj K2 dx；n n nR 4-.4兀疋r sin 卩 d厂-o 3rR 4,4兀应 32兀疋r dr+o2 XQf 2n=2ttsin(pd(po150d0 d卩J 03JJnR?+y2+(z R)2 df=_2Rnx2+y2+/)du8 Tri?615n于是N-手，故0的重心坐标为（0,0,j）R4方法点评：本题考查三重积

12、分的物理应用.积分学的物理应用是数学一的考点，主要有:（1）重心设D设0设L为平面区域，面密度为px,?）,则重心坐标为jj xp(jc Q)d(xDjj，。（无,y）dcr_ D 肿工，皿 fD D为几何体，体密度为Q（工，夕9之），则重心坐标为，夕,z）ckQJJioCx,y,z）dv,y,z）diyQ Q为平面曲线段，线密度为px Q）,则重心坐标为xp（H，N）duzp(j;9y z)dv n y=|jj p(ar J,n)duQ7p(jc y)da设丫xp(h 9y)ds7-9 了=J Q(工，夕)dsyp（jc，歹）d s j*p（D）ds 为曲面9面密度为0（2，夕，之）9则重心

13、坐标为JJ Jtr/9（X，夕，N）dS 三=*（r jjp(h q,N)dSjj yp(jc，丿，n)dS2zp(jc 9夕，N)dS 工 N=jjo(jc，夕 9N)dS2jjO(J：,N)dS5(2)转动惯量 设D为平面区域，面密度为(工，)，则转动惯量为匚(z)dc,Zy=jjz F(工，y)ck,/”=(工2+3?)q(_zD D D对几何体、空间曲线、空间曲面绕某直线旋转的转动惯量有类似公式.(17)【解解】令 FQ)=F(tt)=0.J 0由罗尔定理，存在c e(0,兀)，使得F(c)=o,即/Xc)=0.用反证法.不妨设在(0,71)内/(jf)除C外没有其他零点，则/(工)在

14、(0,C)与(C,7T)内异 号，不妨设当z e(0,c)时，/(工)0；当工6(C,兀)时,/(jc)0,故(cos x 一 cos c)/(jc)cLz0而(cos jc 一 cos c)/(jc)dr=cos xfjc)dz 一 cos c/(jt)dz=09矛盾 9所以才(工)在 J 0 J 0 J 0(0,7T)内至少有两个零点.(18)L 解】|A*1=8,由|A*|=|A|3,得|A|=2.由 ABA 1=BA 1+3E,得=B+3A，解得(A-E)B=3A.于是 B=3(A-E)_1A=3A_1(A-E)-1=6(2E-2A)_1=6(2E-A*)_1,1000因为2E 010

15、0A*，所以(2E-A*)-1010.030_6160000600于是B=6060230-1(19)【解】(I)由题意得10 0 00 10 01 0 1 0-9 丄 2攵”+1=Jo137”百夕”，整理得丿”+】=存”+汀律A 10 5,/工卄1(X令 A=，则()=A1 3 y”+i/y/4 一 1(U)令卩=(小诃2)=()，因为小“2不成比例，所以小，可2线性无关.由At/j=t/i,得小为A的属于特征值入1=1的特征向量；由At2=-|可2得可2为A的属于特征值入2=*的特征向量.x卄1$卄1(IQ)X“11=A由 P AP=b，于是A2/11 014+24-2”-21p=土 51F

16、1-21 H-2/2”-2 而；)因此 A=po(20)【解解】随机变量X的分布律为PX=k=p(l-p)kk=1,2,)，则 E(X)=kPX=卫2(1 p)i.怡=1 上=1OO OO-令 S(工)=(|z|v 1),则 s(z)=()=-.3 A=1 1一工/(1J?)于是 E(X)=pS(p)=丄；E(xb=k2PX=pDU pL,p=1令 Si(工)=工 9k=则 Si(工)=才b(b 1)/t+kxkxk=i k=肛上 _1)工z+石士尹=(/)+d=(工 2 =1+X=U1_ J 十(1 )2 (1 工)3，则 E(X2)=pSi(l-p)，于是 D(X)=E(X2)-E(X)2=上字.P P(21)【解解】似然函数为2 U x +2九。L(0)=/(工 i；&”(工2;0)/(工”；0)=2e=(re,6,i=1,2,-,72),nIn L(0)=z?In 2 一 2 工 x，-+2n&91=1因为2山L(0)=2”0,所以In L(0)关于9为增函数，d(7于是0的最大似然估计值为9=min x,.1W i W“