2010数学一解析.pdf

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1、2010年数学（一）真题解析一一、选择题选择题(1)【答案答案】(C)(ra)(工+6)z(ab)j+a6(a6)x+a6 (xa)(x+6)【解解】lim工f 8limHf 8(a b)工+ab(j?一 a)(工+b)X 2(re a)(jc+b)应选（C）.（2）【答案答案】（E）.【解解】方法一复合函数求导法则方法一复合函数求导法则dzjr-nF（）=0两边对工求偏导，得一三尺-三 F；=O9解得乎=（yF+zFf2）；工工）x x 工 jcF2F）=0两边对y求偏导，得丄F：+丄F；0 9解得护=x x f x x dy dy r 2于是工 另+y 拿=rCyF+nF；）=z,应选（E

2、）.方法二方法二 公式法公式法令 GQ,y,z)=F(2由由 G；=F-F；,Gy=F G；=F；,得得x x u xWf；+x x3z_3jcG：x=丐（歼；+汀；）,F；于是 工+y 子=+zF；）=z，应选（E）.方法三方法三 全微分法全微分法$zF(-z X-）=0两边求全微分，得F#（工）+F；d（）x，F；迪打2虫+冗=0,整理得X 21 F从而有dz=尹(厨+zF；)d_z 詁切于是 J=-z(yF：+zF；),字=?,ox xr 2 cJy r 2故 jc#+=寺(yF：+zF；)-=z,应选(B).3C/攵dz zAx 宀=0,X 2(3)【答案答案】(D).【解解】工=0及

3、工=1为反常积分1如些迈dr的瑕点,0/ln2(1 jr)丄因为lim z厂万厂万_ro+1 yin2(1 jc)1 zz 9i 774如)山收敛dx=/ln2(1 j?)口 1 2-=1且&=-0,若lim|/(jr)dz存在，则称反常积分Pf(j;)dz收敛，否则称为发散.+J a+e J a判别法：设lim(j:a y fCx)=A(工),则当0 k 1,0 A V+时，反常积分r f abhf(x)dx收敛；当k 1,0 0,若lim|/(a-)dz存在，则称反常积分yGJdz收敛，否则称为发散.bLo+J a J a判别法：设 lim(b jc)k f jc)=A(工)，则当 0 Z

4、 k 1,0 A 时，反常积分|/Q)cLz发散.(4)【答案答案】(D).【解解】取 D=(x,y)|0工 WlOWjyWl,1(1+工)(1+0由乞厂+：)：+2)七乞,=1；=1(兀十(72 十丿)兀,=1 7=11+1+有，根据二重积分的定义，得lim S S(丰)：2 亠.2)00 =1 丿=1(7?十 Z)(72+J)应选(D).：市7)；1+0切Da1 n/0方法点评：用定积分、重积分等的定义求极限是极限计算的一种重要类型，重点考查定积 分定义求极限.(1)定积分的定义求极限：lim f(丄)=fCa:)djr111【例】求极限嶼齐万予+齐皐+7【解解】一 772n+dtsm t

5、27sm xcos x托o sm x 十 cos jcdz=sm t 十 cos to sin x+cos ocTodj：，(5)【答案答案】(A).【解解】r(AB)=r(E)=m.因为 r(AB)r(A)且 r(AB)r(B),所以 r(A)m,r(B)m.又显然 r(A)m,r(B)m,故 r(A)=/*(B)=加应选(A).方法点评:本题使用矩阵秩的两个性质：(1)r(AB)minr(A),r(B),研究矩阵秩的时候，如果出现矩阵的积，使用此性质；(2)设 A 为加 X n 矩阵，则 r(A)W min?7?,n.(6)【答案答案】(D).【解解】令AX=AX(XH0),由(A+A)X

6、=(A2+入)X=0且XH0得入+入=0,于是 A=0或入=一1.因为A可对角化且r(A)=3,所以入=1为三重特征值，故A _1 _，应选(D).o(7)【答案答案】(C).【解解】pX=1=PX1-PX1=F(l)-F(l-0)=1-e-1-j=应选(C).方法点评：本题需要熟练掌握随机变量分布函数的性质.设X为随机变量，F(_z)具有如下四个特征：(1)0 WFQ)1；(2)FQ)单调不减；(3)F(h)右连续；(4)F()=0,F(+*)=l.反之，若FQ)具有(1)(4)的特征，则FQ)为分布函数.另夕卜，若FQ)为分布函数，则(1)PX Va=F(a 0)；(2)PX=a =PX

7、Wa X Z a =F(a)F(a 0)；(3)Pa VXWb=PXWb-PXa=F(b)F(a)；(4)Pa X b-PX b-PX a-FCb-Q)-FCa).(8)【答案答案】(A).土，ng,0,1 上【解解】九九(工)=ze 2(00 V z V+)9 九(工)=727其他.因为/()为概率密度函数，所以Efof(a:)d j?=cl /j(jc)dj?+6J oo*-|-OO/(jr)dj?=1.f2)dj?=+b o Z*3而01 1 a 丄 3汕=+才,所以务+-b=1,即 2a+3b=4,应选(A).2 4二二、填空题填空题(9)【答案答案】0.【解解】学=蚪=-曲+学=蚪=

8、-曲+/2),Ax aj?/dt/山/山业=2djr2 dx/dt2/eUnCl+e1+r=e2/2tS(l+宀+屮于是器=0.0(10)【答案答案】一一4tt.cos chr=2 2 cos t(t=2 Z2 d(sin t)o J o J o【解解】2z2 sin t4 I Zsin tdt=4|Zsin tdt=一2tc sin tdt=4兀J o sin tdt=一4兀o00方法点评：本题考查定积分计算的方法和性质.定积分计算主要使用两大工具，即定积分的性质及积分法.本题使用三角函数定积分性 质，三角函数定积分的性质总结如下：(1)/(sin 工)dz=2/(cos z)dr，特别地，

9、J 0 Jorf rf n 1 7tIn=sin77dx=cos工 dw,且 匚=-In_2?Io=1J o J o n Z(2)f(sin xJ 0)dx=2 j 2/(sin 2)dz，或/(sin e)do*=n/(sin)dj?ToT(3)J/(|cos jc|)dj?=2 I/(cos jc)d:r.o(4)j jr/(sin jc)djr=7T2/(sin 工工)dz 0(11)L答案答案】o.【解解】方法一方法一补充L：j/=0(起点(1,0),终点(-1,0),由格林公式而L+L)xydx+2 dj/一 xyAx j:2 dyL+L xy dr x2 dy=JJx Ax Ay=

10、J dyDocyAx+x 2 dj/=ipx djr=0 9，一 iLi5J xydx+je 2 dj/=|xy6.x=0,所以原式=0.方法二方法二(12)【答案答案】|xy6.x 亍.+工述=_+工述=_【解解】方法一方法一Jrdv QZ=-叫QJo JJdjr dy=7t/2dz=izdz=手，所以z=0 6 OQ一 aZ=-Tvy-方法二方法二Q由 Q=(_z,y,z)|(工，夕)E 得Dxy,jc2+y2 1几其中 Dxy=(jc,j/)|jc2+j/2 11I肿=ma(*2nd0 r(1 r2)dr=J ock=JJ(l 一%2tc(r 厂 3)d 厂=2ttJ 0 x 2 一 y

11、2)dr dj/L_12 47T0 x2+y2)2 djr dyMo d4or(1 宀卄=l(r-r5)dr=x(|-|)=7t7方法点评：形心的计算是重积分及线和面积分的物理应用之一.（1）设D为平面有限区域，其面密度为p（x,y）,则jj xp(z)clcr D（工，y）dcrD（2）设Q为空间有限区域，其体密度为q（工,y)da Dy=-xp(.X,Z)d77JNp(工 7，N)duQy z)dvn（3）设L为平面有限曲线段，其线密度为q（z，j/）9则xp(jc，夕)dsL 7-，)严(z,y)d.p x,3/)dsp(jc y)ds故z7p(jc，N)duQ玄jjp(z y)da D

12、，jy，n)，则jjj W(工，夕，z)d ay=-卅Q（工Q，之）髭Qz（4）设丫为空间有限曲面，其面密度为p（x T，N），则jj(z 93/,n)dSJ，z)dSjjzp(x z)dS_ 工 z=2p(jc，z)dSpx，n)dSjjp（JT，夕，N）dS（13）【答案答案】6.2121121【解解】（。1，。2，。3）=-101.02a因为由a 9a2 g组成的向量红的2 9所以a=6.112112（）1-3013013000.02a00a 一一 6X，方法点评：向量组的秩与向量组所构成的矩阵的秩相等，因为向量组al9a2,a3的秩为2,所以其构成的矩阵的秩为2,经过初等行变换阶梯化后

13、应为2个非零行，故可求出a.（14）【答案答案】2.【解】方法一 由概率的归一性得l=c-=Ce,则0=丄，走！怡！e由 PX=k=-e1（k=0,1,2,-）得 X P（l）,于是 E(X)=D(X)=1,故 E(X?)=D(X)+(EX严=2.8 00 I方法二 由工=cTT=Ce=1 得 C=,rzf)k!,=0 k!ek则 E(X2)=丄e&=o1 二4s匕k=l疋_ 1右&2 _ 十 上_ _ 1十k-1 i _ i 召 1以一1)!十：占 以一1)!_ E 2 以2)!(1)+1(-D!+垃宀e k=2.方法点评：随机变量的分布中若含有待定参数，则可以利用概率的归一性求出参数值.三

14、、解答题(15)【解解】微分方程y 3/+2j/=0的特征方程为A 2 3A+2=0,特征值为儿=1,入2=2,则方程一3+2=0的通解为yC.e+C2e2；令原方程的特解为(工)=工(a_z+b)e*=ax2+bz)e,代入原方程得7=1,6=2,于是原方程的通解为y=CQ+C2e2j(工2十2工疋(C】，C2为任意常数).方法点评：求解二阶非齐次线性微分方程是常考的考点.求解过程分两步：第一步，求齐次线性微分方程的特征值，并求出齐次线性微分方程的通解；第二步，按/()的具体形式假设特解，代入原方程求出原方程的特解，齐次线性微分方 程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和即非齐次线性微分方程的

15、通解.Cx2 2 异 2(16)【解解】/(J7)J(J?2 t)e d/=工打 0,_/(0)=2 e di C 0,所以J i e JoX=一1,工=1为fix)的极小值点，极小值为(土 1)=0,工=0为/(J7)的极大值点，极 大值为/XO)=*(1-)./()在(一叮及0,1上单调减少/(a?)在1,0及1,+)上单调增加.方法点评：一元函数的单调性与极值是同一个问题的两个方面.求一元函数的极值步骤为：(1)求函数的定义域；(2)求函数的驻点及不可导点；(3)运用第一充分条件或第二充分条件判断所找到的点是否为极值点.(17)解解】(I)因为当 0 t 1 时,ln(l+z)所以|ln

16、 i|ln(l+/)|lnf|，于是 P|In i|ln(l+刀”山|In Z|dr.J 0 Jo(U)因为 0 cf1|ln Z I ln(l+i)Tdf|ln i|di,J 0 Jo而”|In t|曲一占n次”)一占广J 呵=-r+1ln t+-,+1 0(+l)丄因为 limz+1 In t=lim 耳丄=lim-=-limn+1=0,o+lo+lo+兀十 1 n+1lo+广+1 广+2所以 ntdt=-，从而 0|lnr|ln(l+/)”d/-,Jo(+1)Jo(+1)由迫敛定理得limp nt ln(l+/)ck=0.n-ooJ 0(18)L解解】由lim|上巴|=1,得幕级数工 号

17、丄q=的收敛半径为R=l.I S I”=i 加 _ 00(1 1 00/_ 1 nl 00/_ i n1当工=土1时，j 八=丫宁 由交错级数审敛法得工 收敛，故n=l G 丄 n=l厶71 丄 n=l加丄00(_ 1 nl幕级数工 W 兴的收敛域为1,1.”=1 2”一1J30、z_-J x nl令 U-x2n=S(g),”=1 2/?-1则SQ)=午斗八=-S 丁二心=石(工)，=i 2/z-1”=2n-100(_ T nl其中Sg)=S再匕p/T.”=2-100-I而 S：(_Z)=(一1)一】工-2=-,S(0)=0,”=1 1+fx 吕(一)T所以 Si(h)=S；(z)(lr=ar

18、ctan 工，故 S(z)=/,-x2n=j?S1(j;)=jrarctanj?.Jo”=1 2/?-1(19)【解解】令P的坐标为(jc,y,z),由S zac2 y2+z2 yz 1=0,得S在点P处切平面 的法向量为 n=2h,2y z,2z y.因为S在点P处的切平面与hOj/平面垂直，所以有y=2z,注意到P 6 S,jc2 y2+z2 一 yz 1,y=2z.r+箱)丨y 2z丨站=所以P点的轨迹方程为C：x+V3-)(2z y)_dS,s 丿4+y 2+才一4*22 y 1x 十-7-W 194Jx2+y2+z2 yz 1=0两边对x求导，得2工+22:字一y字=0,解得拿=OX

19、 ojc ox*+y2+z2 yz =0 两边对 y 求导，得 2+2z-z=0,解得拿dy dy dy2 丿4+y2+/4$z将S向HOy平面投影，得投影区域为Dxy:2工$_ 2z，=N 2$2zydS+百 _ _djr dj/=-v 2+5y2+5z2 83/z dx Ay y-丿4+夕 2+J 4/n dx dy 9 y于是I=工+Q Lx_2zds=(工+屁山辿i 丿4 十$2+s；2 4*卷=罷cLr dj/=3 X7tXlX-|z=27r.(20)【解解】(I)因为线性方程组AXb存在两个不同解，所以r(A)3,即|A|=0,解得A=1 或入=1.当入=1时,A=-1111_ 1

20、11-11 0-20】020-120-111-120a+Y000a+2,因为 r(A)r(A)V 3,所以 a=一2；/I 1当入=1时,A=0 01 1H 1,故入10011 I11101-0000a-Jo00q显然r(A)工r(A),所以A(U)由 Az11_ 11020o000丿=1,a=一 2.，得方程组AX=b3 10_ 170101_ T0000.的通解为(k为任意常数).X=k10+22丄10(21)【解解】(I)因为二次型/(厂，工2，工3)=XTAX在正交变换X=QY下的标准形为山+疋，所以A的特征值为心=乙=1，入3=0,0的第3列为(普，0,晋)，所以心=0对应的特征向量

21、为 3因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，令心=入2=1对应的特征向量为=由X!+X 3=0得入1=入2 1对应的线性无关的特征向量为 I由=：”，则则 Q=(71，2,3)，得A=7o丄1丄 1 o 丄71100103_7o2702o 色(n)因为 A+E=2是实对称矩阵，且A的特征值为A J=A 2=1,入3=0,0所以A+E的特征值为儿=入2=2,入3=1,因为其特征值都大于零，所以A+E为正定矩阵.方法点评：本题需要掌握如下几个结论：(1)二次型经过正交变换化为标准形时，其标准形的系数即特征值；(2)设A为实对称矩阵，存在正交矩阵Q使得QTaq为对角矩阵，则Q的列

22、为矩阵A的特 征向量.(3)实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交；(4)由矩阵的特征值与特征向量可反推得矩阵A；(5)判断实对称矩阵为正定矩阵可以通过定义法、特征值法、顺序主子式法等方法，本题 通过特征值法证明矩阵正定.(22)【解解】方法一由归一性，得a+oof(x，夕)cLz djy=Aoor+oo又所以方法二*-Kfd)ckdj/=AJ J oo、2.d(j/e)=2f(jc,3/)d;r dj/=1,dr+x 2e-3F 现工)，ez df=dr=A兀，于是A=-7t+2eT droo*4-2(-v-r)d(jyx)=A+8 2X e|Je22dx dy,DA订r*其中D为工0夕平面

23、,而AD22,，dx dy=Ad0厂 e2=ttAJ o Joj+e_r2d(r2)-TrAfd)TX.A,01由归一性得A=7t-.r+i _ 2 r+,2,i _ 2而于x(h)=|=_e e-v dj/-e J,所以 fYxy&)=仔；，)=厶严_疔,00 a-+,OO v y+./x(h)賦方法点评：二维连续型随机变量的联合密度、边缘密度及条件密度关系如下：设(X,Y)的联合密度函数为fa,夕)，则(1)边缘密度函数f+f+几(工)=f(x,几(y)=/(;,y)dx,J oo J oo若X,Y独立，则=几(工)几(夕).(2)条件密度在X=工的条件下，Y的条件密度为fYxCy&).且fYxCy&)在Y=y的条件下，X的条件密度为fXAx),且fXlYCx|y)，丁).fxQ)f G,，)77GT*(23)【解解】显然 Ni 5,10),N2 EG#/),n3-B(n,02),e(nq=/?(l 0),E(N2)=“(0 护)，EZ)=脑,由 E(T)-aiECN!)+a2E(N2)+a3E(N3)=a!7?(1 O)+22”(0 92)a 3n02=0,得c 1 1ax=0,a2=9 3=n n因为 Ni+N2+N?=，所以 丁=丄(N2+N3)=1 丄Nj,n n故 D(T)=$D(Nn0(10)n