2008数学一解析.pdf

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1、2008年数学（一）真题解析一一、选择题选择题（1）【答案答案】（E）.【解解】由广（工）=2_zln（2+/）=o,得工=0,即十（工）只有一个零点，应选（E）.（2）【答案答案】（A）.3f _ _ 1丄I 2=1空【解解】1夕 J 1于+尹行_21十 2 y由等(0,1)(0,1)=0,则f（x,y）在（0,1）处的梯度为i,应选（A）.XyX2丄 2（3）【答案答案】（D）.【解解】由微分方程的通解为y=Ge*+C2cos 2x+C3sin 2工，得三阶常系数齐次线性微分方程的特征根为入i=1，入2,3=2i,特征方程为（入-1）（A2+4）=0,即入3 F+4入一4=0,故所求微分方

2、程为歹 一/+4夕一 4=0,应选（D）.（4）【答案答案】（E）.【解解】方法一极限存在定理因为yCz）单调，所以当&”单调时，产（工”）单调；又因为于（工）有界，所以/（）单调有界，由极限存在定理得/&”）收敛，应选（E）.方法二 反例法f 1,攵 0,/一 1”=3 5/（o-）=显然）发散，（A）不对；11,n=2,4,6,*,2 2取/（J?）=-，工”=,_/（工”）=-,-2，显然/（：）收敛，但工”发散，（C）不对;1+工 1十/?取/（jr）=arctan x,x n=，显然）单调增加，但z”发散,（D）不对，应选（B）.（5）【答案答案】（C）.【解解】方法一逆矩阵的定义由

3、 a3=O,得 E=E-A3=（E-A）（E+A+人2）.由可逆矩阵的定义得E-A可逆且（E-A）1=E+A+A2；再由 E+A3=（E+A）（E-A+A2）得 E+A 可逆且（E+A）=E-A+A2,应选（C）.方法二 定义法求特征值令AX=AX（X H 0）,则A3X=/X,由A?=O得入収=0,从而A的特征值为入】=&=入 3=0，于是 E A 与 E+A 的特征值为 1,1,1,由|_E A|=|E A.1 工 0 得 E A与E+A都可逆，应选(C).(6)【答案答案】(E).(2 2空一儿=空一儿=1【解解】题目图中的曲面是由L：U2 b2 绕工轴旋转一周而成的曲面，z=02 2

4、2曲面方程为工：3 忤一寻忤一寻=1，则A的正特征值个数为1个，应选(E).a b h(f(无(无 y)=0方法点评方法点评：(i)平面曲线l：绕工轴旋转所得的旋转曲面为=0：/(j:,+Vy2 z2)=0；平面曲线L绕y轴旋转所得的旋转曲面为Sy:/(+Jx2+z2,y)=0.(2)二次型的标准形不唯一，但二次型的正、负惯性指数是唯一的，即二次型标准化后正、负惯性指数不变.(7)【答案答案】(A).【解解】由分布函数的定义得FzQ)=PZ 工工 =Pmax(X,Y)WW工工,由 X,Y 独立同分布，得 Fz(T)-PXj：,Y=PXxPy=F2(),应选(A).方法点评：设(X,Y)为二维随

5、机变量，Z=(X,Y)为(X,y)的函数.求Z的分布时，一般采用定义法，即Fz(z)=PZ Q=P(X,Y)如下两种常见的随机变量的函数的分布需要熟练掌握：Z=maxX,YF z(z)=P Z z P maxX,Y z=PX若 X,Y 相互独立，则 Fz(z)=PXz,yz=PXzPy z 1-PX z,Y z,若X,Y相互独立，则Fz(z)=l-PXzPYz=l l-PXz l PYWz=1 一一 1 Fx(z)1-Fy(z)l(8)【答案答案】(D).【解解】因为p xy=1的充分必要条件是PY=aX+b=1C其中a 0),排除(A),(C);由 E(X)=0,E(Y)=1,得 E(2X+

6、1)=1=E(Y),应选(D).方法点评：(l)Qxy=1的充分必要条件是PY=aX+6=l(a 0)；(2)(o xy=1 的充分必要条件是 PY aX+b=l(a V 0).二二、填空题填空题（9）【答案答案】丄.丄.X【解解】方法一 由工夕+夕=0,得半+丄y=0,解得y Ce=.djr x x由夕（1）=1,得C=l,于是；y=丄.x方法二 由xy+3/=0,得（巧）=0,即攵夕=（3.再由夕（1）=1,得C=l,故所求的特解为夕=丄.X（10）【答案答案】y=H+1.【解解】方法一 sindy）+ln（j/x）=x两边对工求导数.得cos(jcj/)越丿y 将x 0,y 1代入得字=

7、1.dr x=o故曲线sin(巧)+ln(j/J?)=X在点(0,1)处的切线方程为夕一1=工一Ch即:y=力+1方法二 令 F(jC9j/)=sin(Hj/)+ln(jy 无)一 2，1 /3；cos xy-1ay _ 戶工 _夕工d7=_兀=I-x cos xy H-y 切线的斜率为怡=1?dr(0,1)故切线方程为夕一1=久，即）=工十1.(11)答案答案】(1,51【解解】由5”（工+2）在工=0处收敛得的收敛半径R羽0+2|=2且 n=0 n=0”2收敛；n=000 8由工Q”（Z+2）在工=4处发散得工5工的收敛半径R W|4+2|=2且n=0 n=0”（一2）发散，n=Q即幕级数

8、工a”的收敛半径为R=2,收敛域为（一2,2,“=0故（2 3）的收敛域为一2Vh 32,即（195.n=0（12）【答案答案】4兀.【解解】方法一高斯公式法方法一高斯公式法补充 SQ:z=0（jc2+y2 W 4）,S0 取下侧贝 贝IId;y dz+工 工 c!n dr+j?2dj?dj/2xyAydz+jr dz dj+工工?dr djy Jjjrj/dj/dz+j?dzdj：+j?2 djr,打仙打仙=0,n=甘#jjydydz+jc ddjr-x2 dx dy oJJ xydy dz+zr dzdjr+j?2 djr dj=%11 jr2 djr dj/_丄_2D-jjx2 djr

9、dy D-J(2+_/)clzdy=*2nd6 I r3 dr=4兀 兀 9 J o而工+50故原式=4兀.方法二方法二 二重积分法二重积分法令：z=/4 y2 z2(y2+的奇偶性质得z20),取前侧，由对坐标的曲面积分及二重积分y J y2 z2 Aydz=0,j2+z24H_zjydyclz=2jj xydydz=22 為jj x dz dj：=0,2n de0J*=*J异+/4 J2+y20sin jc 一 sin(sin x)sin x lim-;-sin x=t(/sin t)t lim.4 arcsin t(f 一 sin t)t.t 一 sin t=lim-=lim0limZ-

10、01 cos t3?由 sin xsin(sin)=sin jcx 一 sin(sin jc)1.TsinJCsin xsinCsin x)sin x1.sin=lim-6o JCsin3 工3!+o(sin3)9X 4X 33x31333八八6f 014/f 036X43工_-o(工3)得16x16方法点评：计算不定型#型的极限需要熟练掌握等价无穷小、麦克劳林公式、洛必达法则 等工具型的极限需要补充如下两点：(1)工，sin x,tan x,arcsin x,arctan x五个函数中任意两个函数之差为三阶无穷小.【例】求limx-*0arctan x arcsin x【解解】.arctan

11、 x arcsin x.arctan x jc.v lim-；-=lim-F limx arcsin xx-*0T-*-0而limx-*0arctan x jc=tan r t tan t limo tan31I.t tan t=limlimi-*01 sec21.x arcsin x 工=sm r lim-；-limsin t tsin3i sin l lim-Z-*0=limcos t 10,arctan x arcsin x 故hmJ7-*0JC 3(2)加减法使用等价无穷小时一定要保证精确度，否则会出现错误结果.如lim Cretan于_ rcsin壬今若分子使用arctan jc无,

12、arcsin工工将导致错误结果，因为JT-*O分母为三阶无穷小，分子等价无穷小的精确度不够.(16)【解解】方法一方法一设点 A(K,0)(jc,y)=sin 2工，9y)=2(j：2 l)y 9 则sin 2j?dz+2(jc2l)ydy=_sin+2(无$+_sin 2jrdz+2(jc2,L4-ao OAX 3X 3T3Z3X 3L 03X 33厂厂3八1311XXX-2由格林公式得0 _sin 2x dz+2(jc 2 1=4j?j/djr dy=4 x djrL+AO JJ Jo JoD=2J x sin2jr dx=2 ydyosin2 j?djr0=7Tsin2 jc dr=2k

13、o 2Lsin2j?dzo=-2.I2=-2k.|.|2 7T T卞.1sin 2x dj?=cos 2oc o 22 故 I sin 2x dj?+2(jc 2 1=J L 2_sin 2j?dx+2(j?2 1)ydy=OA=0,0方法二sinin 2x dx+2(jc 2 Dj/d.y=sin 2jc+2(jr2 1)sin x cos x J 0 x2 sin 2jc djr=0jc2d(sin2jt:)o=x2 sin2 j?|o 2x sin2 jc djr=2煜sin2 j?djr=兀o.sin2 j?djr0=2 kdr=2兀士27t7N兀 2sin x07C2(17)解解】设

14、Px,y,z)为曲线C上任意一点，P到工0夕平面的距离为令 F(j：,y,z)=z2+A(j;2+y2 2z2)+(工+y+3z 5),F：2Ax+=0,F；=2 心+=0,由v F：=2z 4入z+3=0,得.F；=jc2 y2 2z2 0,、F；=z+，+3n 5=0,故曲线C到工Oy平面距离最近和最远的点分别为(1,1,1)和(-5,-5,5).fx+zlr 工 rf(t)di =0 J 0 J工=1,y=l,或 z=1jr=一 5 9y=_5,z=5.(18)【证明证明】(I)/XF(z)=F(乂+Zkz)F(h)=f(t)d 9因为/（工）连续，所以由积分中值定理j-H-Zkrf（t

15、）dt=_/（）Ajc，其中位于工与工+z之间，FQ)=F(n)从而一;-=于(),于是limr0工（H）设/（工+2）=f工）,则Cj+2AF(t)=lim/()=f y 即 F(h)=/(x).Ar f 0G(工+2)=22f Ct)dt (x+2)1J 002/(Z)d xJ 02+20 x+2(*2/(Odz-2 fdt)dtJ 0=G(j：)+2J+2由周期函数的平移性质得2 2 9J 02/(i)d=I/()di,于是 2*+2J z Jo故GQ+2)=G(h),即G(h)是以2为周期的函数.(19)【解解】将于(工)进行偶延拓，则2f(Odr-2J 00,a o_27t7t22(

16、1 jc2)d j?=2(1?o 327T*2 L/()cos nx djc=一0 7t0(1 Jf 2)cos2 I cos nx dx-J 02jc 2 sin nx +4 o n ttJ 7t7C3d(sin nx)n 7t4n2 tcfl,”);x d(cos TlX)0 x sin o22X cos0sin hjc djr4工 cos nx +07?2 7tI cos nx dx7?TT J on2 bn=0(/7=1,2,),于是/(j?)=1 x2 的余弦级数为2 00 4(_ 1 n+l1 一 x2=1 +艺-g-cos nx(0冬工三兀)93 n=l n8 Z 1、卄1令工=

17、0,则Y-2-=Yn=1 X n=17T212()T(20)【证明证明】(I)r(A)=r(aaI r(aaT)+r(fifiT)=r(a)+r(fi)1+1=2；(U)若a,0线性相关，则a.0成比例，不妨设0=ka,则 A=aa 1+妙=(1+怡$)aa 1,于是 r(A)=厂(1+k2)aa 1 =r(aa J=厂(a)l2.方法点评：本题需要熟悉矩阵秩的性质及向量相关性质.研究矩阵秩时，注意以下性质的使用：(1)当出现矩阵加减时，往往使用r(A B)r(A)+r(B)；(2)若出现 ATA 时，往往使用 r(ArA)=r(AAT)=r(A)；(3)若出现 AB 时，往往使用 r(AB)

18、minr(A),r(B)；(4)若出现AB=O时，往往使用r(A)+r(B)n.(21)【解解】(I)方法一方法一 数学归纳法数学归纳法当n=1时，|A|=Dj=2a,结论显然成立；设当 n k 时，|A I=Dk k 十 l)a*；当 n k+1 时，|A|=D*+i=2aDk 一 aDi=2,a(k+l)a*kak+1=2(怡+1)a4+1 一 kai+1=(k+2)ak+,由数学归纳法，对一切的自然数n有|A|=(“+l)a.方法三方法二a20 00 02a 1 a2 2a2a10 0o.03a1.001 02a 0=0a22a 00 15:000 10 2a000 2a1 002a03

19、aT 1.4a00=(”+l)a.000 00 01(+l)an令 D=|A|，将 D”按第一列展开，得 D”=2aD”_i a2D-2,从而D aD”_i=a(D”_i aDn-2),由递推关系得D”一 aD_x=a(D”_i aDn-2)=a2(D2 aD)=an,于是DnaD”_i+a=a CaD-2+anx)+a a2D-2+2aD!+(zz l)a=(“+l)a.或|A|H 0,即0nl_ n1n2=a(U)当 r(A)1=n100由Di=02a2 a102a0a H 0时，方程组有唯一解,=na，得工 in(n+l)a0(ID)当 r(A)00或|A|=0,即2a=b有无数个解,由

20、A=a=0时，方程组AXn010.0110 001.0001:，得通解为X=c0+0000.10:.000.00.o0,（C为任意常数）.方法点评：本题需要特别注意三对角行列式的计算方法，通常三对角行列式的计算方法 有按行（或列）展开、归纳法等.(22)r解解】(I)pzy X=0)=”YW*=J：ldy=*.(H)Fz(z)=PZWz=PX+Yz,从而 FZ(Z)=y(Z+1),、1,g,-12 时，Fz(z)=l；当一 1 z V 2 时，Fz(z)=PX=1 PX+Yz 丨 X=1+PX=0 PX+Yz 丨 X=0+PX=1-PX+Y z|X=l=yPY+l+yPY+jPyz-l,t 1

21、 1 u+1 1当一1 W z VO 时,Fz(z)=P Y Wn+1=dj/=(+1)；3 3 J o o,1 1 Ilf-1当 0z 1 时，Fz(z)=牙+PY Wz=+dy=(2+1)；O O D 3 J 0 o2 1 2 1 1当 1WnV2 时，Fz(z)=可+P Y z 1=+百|dy=可(z+1),o o o o J 0 oZ 1,1 z 2,z 2.,(Z=1,2,772),而随机 变量Y为连续型，其分布函数为 y 且X,丫独立，求Z=x+Y的分布函数时往往使用全 概率公式，即Fz(z)=PZ Wz=PX+Yz=PX=xPX+Yz|X=工】+PX=xmPX+Yz 丨 X=_z

22、”._/2 _ _ _ 2(23)【解解】(I)由 X-nL,得 E(X?)=D(X)+E(X)2=+/Z2.n f n_-1 2 2再由 E(S2),得 E(T)=E(X2)E(S2)=+2-=/.2.n n n I于是T=X2-S2为靑的无偏估计量.n(u)当 =o,c=1 时，乂N(0,-),标准化得庙乂 N(O,1),于是 nX2-X2(l).又(-1)S2=(_ 1)g2 右(“_),且乂与s?独立，得6一 1 1 一 1 D(T)=D(X2)+D(S2)=D(/；X2)+-DG-1)S2n n n(n 1)_2_ 25 1)_2_ 2=2n2?2(n 一 1)2 n2 n2(n 1)nn 1)