考研数学（二）解析2016.pdf

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1、2016年数学（二）真题解析一一、选择题选择题（1）【答案答案】（B）.解 因为 5 （X j=x2,g 丘 Vx=x 6,as 三工，所以以上三个无穷小量从低阶到高阶的次序为,应选（E）.（2）【答案答案】（D）.【解解】F（_z）=x(In x 1)+C+I9 2彳彳1（工 一）2 工取C=o得/（工）的一个原函数为F（）=,八、应选（D）.（In jc 1）+19 工乍 1.（3）【答案答案】【解解】(B).fo因为+1 1e*Ax=一 er x1丄 1eT d:r=一 er x0=(0 1)=1，=+,0+1 丄-vex Ax发散9应选(B).0 XJ 01 丄 二扌山收敛，-X（4）

2、【答案答案】（E）.【解解】如图所示,fx）的零点从左到右依次为工1（0,/（jc）0,/（）0,/a）0,/（工）0,值点；八工）0,fO o,故f（J7）有两个极值点.f在工=1处不存在，又切线水平对应的点为工。及工3,即/（工。）=0,7（工3）=0.由由“（工）fj f f）即y=/（x）有三个拐点，应选（E）.所以*0 x L x,Hi C x VI zi V 工 1,得工=Z X x21 工3由 0,0,0,0,了 V 得（1,/（1）为曲线y=f（工）的拐点；1 H Xq、。得（zo/Qo）为曲线y=f（工）的拐点；x q C x -了心。）一T 得 咒（工。）0=g（z 0）E

3、i+/lo）2T Li+/；（x0）2r 存在50,当0 VI工一工。|g（z）,x 6 Cx 0 3,x 0）,I/；（z）V 兀 Q）V g（h）,x G（jt0 o+（）.再由/i（J?o）=/z-20）=g（Zo），得在工0的邻域内有九（工）几（工）g（H）,从而/1（JC）几（2）Wg（z）,应选（A）.（6）【答案答案】（D）.e(鼻j/)2e2(X yY则咒+：亍)+r 初、r/_e(x y)eJ _ e(jt 3/1)【解几=解几=二匚二川二匚二川，二7=三=八应选(7)(8)【答案答案】（C）.【解解】由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P AP=B.对 P AP=B 两边

4、取转置得 PAT（pT）T=B，或（pT）TTAT（pT）T=B,即At与Bt相似,（A）正确；由p lAP 得P*A P=B 即与IT】相似，（E）正确；由 P AP=B RP A P=B 1，得 P】（A 十A jp=B+B_,即A+AT与B+B 1相似，（D）正确，应选（C）.【答案答案】（C）.1/a 1 1【解】方法一二次型的矩阵为A=1 6Z 1,1 laA 一 a-1-11 1 1由丨XE-A =1 A 一 a 一 1=(A a 2)1 A 一 a 一 1一 1 一 1 A 一 a1 一 1 A 一 a110(A a 2)=(Aa 2)(入 一 a+1)2=0?a+100A q+

5、10得A a+2?A 2=A 3=a 一 1.因为正、负惯性指数分别为】2所以解得-2G(j：)=q(jc),2x+工？力(工)=q(z).解得pO=l,q(_z)=2jt x2，故所求的微分方程为y y X2.方法二 设所求的微分方程为夕+p(攵)y=q(_z).令$1=g2 _ eJ,夕2=工2,由线性微分方程解的结构得y 2 yi=eJ为_y+p(x)y=0的解，代入得(工)=一1,将加二工？代入;V一)=2 时，/(n)(a：)=5 2TJ工，故/(n)(0)=5 2 151 淘宝店铺：光速考研工作室(13)【答案答案】2麗【解解】设 t 时刻 P 点的坐标为(工=丿工2(/)+，？(

6、/)=a/j；2()+J：6(i),由题意得atd/(Z)+5(Z)djcdt 2 丿工2&)+工6&)&取)=1,將则汾島=2g.(14)【答案答案】2.-11 01 10 1【解解】令111因为A与B等价，所以r(A)=r(B),/I 1/I 10由 B=0-10-11得r(B)=2,从而r(A)=2,于是|A 1=0.1 0Jo 0o11 11 11由|A|=(a 2)-1a 一 1=(a_2)0 a+10=(a 2)(a+l)2=0,1一 1 a0 0Q+1得a=2或a=1,而当a=1时9厂(A)=1=1舍去，故a=2.三、解答题4 11111 4(15)【解】方法一 lim(cos

7、2jc+2x sin x V=eJ_*?x*0h、.In(cos 2+sin x)v lnl+(cos 2jc+sin x 一1)nulim-=lim-4-工-0 X HfO Xcos 2x+2工 sin x 1.一 2sin 2z+2sin jc 2jc coslim-=lim-*o X LO=limZf 02cos 2工+2cos x 一 x sin jc.4sin 一 3sin jc 一 x cos x=忸-12-/1 sin 2x=liml -zf 0 3 3C-1 sin X cos 工 _ 1 T 12-)3故 lim(cos 2x+sin jcx=e3 x-0_1方法二 lim(

8、cos 2z+2jc sin 工)x-*0=lim 1+(cos 2jc+2jc sin x x-*0 I1D cos 2x-|-2x sin x 1.cos 2x+2xsin x hm-7-a-1-1a6工2由 Wl-/+2)=-2 八+(),152 淘宝店铺：光速考研工作室4 2 力 I/4 x sm x=x-o)9J!得 cos 2工+2工 sin x-1-x4,曰 cos 2x+2jc sin x 一1 1,-十是lim-=,i5xlim(cos 2x 十 2jt sin x VHfO X 3 jr-0(16)【解解】当0 1时9厂(z)=2工.由由lim心心)TI f 1_X 一 1

9、limr 1_ I?=2,即 fl心f力1 L1+limHf i+得厂(1)=2,4工2 一 2jc 92工9令厂(工)=0得工=*,x3+-x2x 一 12_1_ 3 3-=2,艮卩艮卩几(1)=2,工一1=2；于是fj)=0 V z 0 且 A 0 得 z=z(jt,y)的极大值为 z(1,1)=1.由奇偶性得方法一rr z2 夕2工22 I 2JJ x y D 丿A x=rcos 6 9令 y=rsin 0,3n:曲2dr dj/=I2 2工夕吐曲=rr 2 2于苧，0 Ycsc0）,则csc 0厂(cosO 一 sin2)drocos2(9 sin2i9 1sin。,3k:(csc20

10、 一 2)d0T方法二,3nTT+2d-心=e3nTn 7TT)Trr 2 2怦dD22 XDy1-4卜伽02 dr dj/+夕 dz2|_22十(19)【解解】将 y2=u(j：)ex(2工-1)=i_4(oj/arctan yo=1 7tydy0代入原方程得u+(2a*一 3)/=0 9 或况+(1 22x 一 1U=0 9解得/（工）=GeT占）=C（2工 一 l）e7 154 淘宝店铺：光速考研工作室从而(_z)=Cj(2j?1)d_z+C2=一 Ci(2jc+1)+C2,由 u(1)=e,(0)=1 得(Ci e+C2=e,I Ci+C2=1.解得 Ci=1,C2=0,于是 u(a:

11、)(2j:+l)e_J,故原方程的通解为y=Cie+C2(2_z+1)(G,C2为任意常数).(20)【解解】区域D绕工轴旋转所得旋转体的体积为2 f1 2 2 r.6 2.1 Ct(3兀 一)cos x IJo 石弓也2 fl cos t/3tt ,1 待,1=贏=贏1。亦二真（yr丿&=真cos/山二殆.V=7T 一 兀|y dj?=ti 7T sint (一 3cos rsin t)dt3 Jo 3 J 今=tt 一 3tc I sin71 (1 sin2 t)dt=it 一 3tc(/7 一 19)3 Jo 32 16 18=7T-7T=TV.3 105 35区域D绕工轴旋转所得旋转体

12、的表面积为S=2托+2托2兀+2兀sinsin3 A/9sin4Zcos2+9cos4sin2Z dt02兀+6tc2 sin4 cos tdt02兀兀+瞥瞥b16k（2i）（i）t解解】方法一由题意，得z（）=rJ 0 O7T八3兀于（工）在上的平均值为7=|-fT/（）ci,OTCJ 0r I 竺 r 由/(j：)djr=jc/(jc)一 xJ 0 Io Joo杰匸討J。亦二真山3兀.3k 7COS X r3n2 ZS T X COS X方法二 由题意，得/&）=&,J 0 Zt 0 71 37tl/（z）在0,y上的平均值为 155 淘宝店铺：光速考研工作室（n）证明】/U）COS X一

13、 3兀 兀当o 工 牛时,八工）0（工）在o,y 上单调递减，u _ u _再由/（0）=0得/（2）0（0工守），特别地,_/（守）V 0.由积分中值定理，存在C C 0,甞，使得/（c）=f=-0,显然c G 4,警 由零点定理，存在W C（守,C）U,，使得/（）=0.因为守Vh V苧时，f O 0,所以f Cjc）在（，丁）内最多只有一个零点，(22)故心）在（0,罗）内存在唯一的零点.1 1 11 a.0Z111 一 a 0【解】（I）（4“）=1 0a；1A0-12a-1 1a+1 1a+1 12a-2o0a$+2(i:a 2因为AX=0无解，所以r(A)#r(A),从而一a?+2

14、a=0,于是a=0或a=2./I 1-l：0当 a=2 时 9(A【0)f O 13 1o 0o i o此时 r(A)=r(A)=2 V 3,所以a=2时，方程组有无数个解，矛盾，故a=0./I 1 1、I32 2/T(I)A=1 0 09 A 1A=22 29AP=-29h 1 I12 2/-2/3 2 2:1I100:1由 Wa A7P)=2 2 2-2-011-22 2 2 1-2丿000 i0/0/1 得方程组atax 的通解为X=k-11+-2（k为任意常数）.10/-11+30A2 A(23)【解解】(I)由|XE-A|=0=A（A+1）（入+2）=0,得矩阵A的特征A0值为入1=

15、一1,入2=2,入3=0.将入 1=1 代入(AE-A)X=0,12-1-2-114o由 _E _A=00-1000-100 156淘宝店铺：光速考研工作室入1=1对应的特征向量为学10将入2=2代入QE0,由厂 011_ 101丄200-2001得入2=2对应的特征向量为S011000将A 3=0代入QEA)X=0,1由A=I 2 0130-100入3=0对应的特征向量为S令4o12032210011得A99001000，由 p AP2Z/-1000-20Q2-111(-1)2 22100 2000Z113/(-I)990(-2)0P 1-1220(-2)00)002/0022-2莓21002-20000-1010-2丄兀,0(U)由=BA 得 3“=B98B2=BA/2 2100-2即(01,02,03)=(a!,a2,a3)2=.=BA1-21-21002 2982 2000I0i=(2 2)a i+(2100 2)a2+Oct3,故丿02=(1 2)a +(1 2100)a 2+Oa3,jj3 (2 298)ct i+(2 2)z2 Oa3.157 淘宝店铺：光速考研工作室