全国初中数学竞赛试题含答案解析_中学教育-竞赛题.pdf

《全国初中数学竞赛试题含答案解析_中学教育-竞赛题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学竞赛试题含答案解析_中学教育-竞赛题.pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 一、选择题 1D 解：第 k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是 2.B 解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3 4=12种选择.3B 解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式0，且为完全平方数 0，又2，所以，当时，解得 ；当时，解得 4.C 解：当函数为二次函数时，有 k210，=(k+1)24(k21)0.解得 k，或 k1 当函数为一次函数时，k=1，此时 y=2x+1与 x 轴有公共点，不符合题意 当函数为常数函数时，k=1，此时 y=1与 x 轴没有公共点.所以，

2、k的取值范围是 k，或 k1.5.B （第5题）解：如图，设，作BKCE，则 ，于是 A，B，E，C 四点共圆.因为是的中点，所以，从而有 ，可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连

3、接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不即平分.二、填空题 6.30 （第6题）解：如图，连接 PD，则 7180 解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟 x，y，z 米，由题意知 ，消去 z，得 设甲车出发后 t 分钟追上乙车，则，即 可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第

4、题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不，解得 8 解：由 an=，得 a1+a2+a2012=1.925 解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有 19，且 ，（1）即 ，（2）于是 因此中必有一个取5不妨设，代入（1）式，得到 可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对

5、角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不 此时，y 可取1，2，8，9（相应地 z

6、 取 9，8，2，1），共9种放法同理可得 y=5，或者 z=5时，也各有9种放法但时，两种放法重复因此共有 932=25种放法 10.6 （第10题）解：如图，设ABC 内切圆为I，半径为 r，I 与 BC，CA，AB分别相切于点 D，E，F，连接 IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得 AF=pa，BD=pb，CE=pc，其中 p=(a+b+c).在 RtAIF 中，tanIAF=，即 tan.可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得

7、或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不同理，tan，tan.代入已知等式，得 .因此 a+c=.三、解答题 11.解：已知，又，且，所以 b，c 是关于 x 的一元二次方程 的两个根.故 0，0，即 0，所以20 可由

8、对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以

9、不 于是-10，10，从而10，故 30，当时，等号成立 12.解：将 abc=d 代入10ab+10bc+10ca=9d 得 10ab+10bc+10ca=9abc.因为 abc0，所以，.不妨设 abc，则 0.于是，即 ，a.从而，a=2，或3.可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得

10、解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不 若 a=2，则.因为，所以，b5.从而，b=3，4，5.相应地，可得 c=15，(舍去)，5.当 a=2，b=3，c=15时，d=90；当 a=2，b=5，c=5时，d=50.若 a=3，则.因为，所以，b.从而，b=2（舍去），3.当 b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为 (a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，

11、3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入

12、已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不 (2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13.证明：延长 DA 至，使得，则，于是 DPC，故 ，所以 PO （第13题）又因为DPO，所以 同理可得 ，可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由

13、题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不 而 ABCD，所以，故 OPOQ 14.解：（1）由题设可得，或，或 .由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数1）满足首项与末项的积是中 间项的平方，则有 ，解得，这与矛盾.可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种

14、选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不 故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均

15、为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么 ，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.2012-04-16 人教网 2012年全国初中数学竞赛试题（副题）题 号 一 二 三 总 分 15 610 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 答题时注意：可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三

16、车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不 1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.小王在做数

17、学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）10200 2.如图，在34表格中，左上角的11小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）（A）11 （B）12 （C）13 （D）14（第 2题）3如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题

18、第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不整数的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4.若函数 y=（k21）x2（k+1）x+1（k为参数）的图象与 x 轴没有公共 点，则 k的取值范围是（）（A）k，或 k1 （B）1k，且 k1（C）k，或 k1 （D）k，或 k1

19、5.ABC 中，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）无法确定 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.如图，正方形 ABCD 的面积为90点 P 在 AB 上，；X，Y，Z 三点在BD 上，且，则PZX 的面积为 （第6题）7甲、乙、丙三辆车都匀速从 A 地驶往 B 地乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车 可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又

20、所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不 8.设 an=（n 为正整数），则 a1+a2+a2012的值 1.（填“”，“”或“”）9红、黑、白三种颜色的球各10个把它们全部

21、放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有 种放法 10.ABC 中，已知，且 b=4，则 a+c=.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.已知 cba，且，求的最小值 12.求关于 a，b，c，d 的方程组 的所有正整数解.13.如图，梯形 ABCD 中，ABCD，AC，BD 相交于点 OP，Q 分别是 AD，BC 上的点，且，求证：OPOQ （第13题）可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数

22、为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不 14.（1）已知1,1+a,1+2a 三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数 满足首尾两项的积等于中间项

23、的平方？（3）设为非零实数，若将一列数 中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方.试求的所有可能的值 可由对角线的两个端点确定由于包含黑色小方格于是对角线的一个端点确定另一个端点有种选择解由于方程的两根均为有理数所以根的判别式且为完全平方数又所以时解得时解得当当解当函数为二次函数时有解得或当函数为一次函则于是四点共圆因为是的中点所以从而有即平分二填空题第题解如图连接则解设甲乙丙三车的速度分别为每分钟米由题意知消去得设甲车出发后分钟追上乙车则即解得解由得解设甲袋中红黑白三种颜色的球数分别为则有且即于是因此共有种放法第题解如图设内切圆为半径为与分别相切于点连接由切线长定理得其中在中即同理代入已知等式得因此三解答题解已知又且所以是关于的一元二次方程的两个根故即所以于是从而故当时等号成立解将代入得因为所以不