2023年重庆永川中考数学真题及答案(A卷).pdf

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1、20232023 年重庆永川中考数学真题及答案年重庆永川中考数学真题及答案(A(A 卷卷)（全卷共三个大题，满分（全卷共三个大题，满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1.1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2 2B B铅笔完成；铅笔完成；4.4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线考试结束，由监考人员将试

2、题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线20yaxbxc a）的顶点坐标为）的顶点坐标为2424,bacbaa，对称轴为，对称轴为2bxa 一一、选择题选择题：（本大题本大题 1010 个小题个小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 4040 分分）在每个小题的下面在每个小题的下面，都给出了代都给出了代号为号为A A、B B、C C、D D的四个答案的四个答案，其中只有一个是正确的其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑对应的方框涂黑1.8 的相反数是（）A.8B.8C.18D.18【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数

3、进行解答即可得【详解】解：8 的相反数是8，故选 A【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【详解】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图3.反比例函数4yx 的图象一定经过的点是（）A.14，B.14，C.2 2，D.2 2，【答案】C【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数4yx 即可解答【详解】解：A、将1x 代入反比例函数4y

4、x 得到14y ，故A项不符合题意；B、项将1x 代入反比例函数4yx 得到44y ，故B项不符合题意；C、项将代入反比例函数4yx 得到22y，故C项符合题意；D、项将2x 代入反比例函数4yx 得到22y ，故D项不符合题意；故选C【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答【详解】解：两个相似三角形周长的比为

5、1:4，相似三角形的对应边比为1:4，故选B【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键5.如图，,ABCD ADAC，若155，则2的度数为（）A.35B.45C.50D.55【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB的度数，根据垂直的定义可得90CAD，然后根据2CABCAD=-即可得出答案【详解】解：ABCD，155，18055125CAB=-=，ADAC，90CAD，21259035CABCAD=-=-=，故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键6.估计2810

6、的值应在（）A.7 和 8 之间B.8 和 9 之间C.9 和 10 之间D.10 和 11 之间【答案】B【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断【详解】解：2810162042 5252.5，42 55，842 59，故选：B【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第个图案用了 9 根木棍，第个图案用了 14 根木棍，第个图案用了 19 根木棍，第个图案用了 24 根木棍，按此规律排列下去，则第个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.54【答案】B【解

7、析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案【详解】解：第个图案用了459根木棍，第个图案用了45 214 根木棍，第个图案用了45 319 根木棍，第个图案用了45424 根木棍，第个图案用的木棍根数是45 844 根，故选：B【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键8.如图，AC是O的切线，B为切点，连接OAOC，若30A，2 3AB，3BC，则OC的长度是（）A.3B.2 3C.13D.6【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB，再根据勾股定理得到13OC【详解】解：连接OB，AC是O的

8、切线，B为切点，OBAC，30A，2 3AB，在Rt OAB中，3tan2 323OBABA，3BC，在Rt OBC中，2213OCOBBC，故选C【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键9.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，45EAF若BAE，则FEC一定等于（）A.2B.902C.45D.90【答案】A【解析】【分析】利用三角形逆时针旋转90后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解【详解】将ADF绕点A逆时针旋转90至ABH，四边形ABCD是正方形，ABAD，90BDBADC，由旋转性质可

9、知：DAFBAH，90DABH，AFAH，180AHBABC，点HBC，三点共线，BAE，45EAF，90BADHAF，45DAFBAH，45EAFEAH，90AHBBAH，45AHB，在AEF和AEH中AFAHFAEHAEAEAE，AFEAHE SAS，45AHEAFE，45AHEAFDAFE，902DFEAFDAFE，90DFEFECCFEC，2FEC，故选：A【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度10.在多项式xyzmn（其中xyzmn）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号

10、后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”例如：xyzmnxyzmn，xyzmnxyzmn ，下列说法：存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据“绝对操作”的定义及绝对值的性质对每一项判断即可解答【详解】解：xyzmn，xyzmnxyzmn ，存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等，故正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式xyzmn（其中xyzmn）中，经过绝对操作后，znm、的符号都有可能改变，但是xy

11、、的符合不会改变，不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故正确；在多项式xyzmn（其中xyzmn）中，经过“绝对操作”可能产生的结果如下：xyzmnxyzmn ，xyzmnxyzmn，xyzmnxyzmnxyzmn，xyzmnxyzmnxyzmn ，xyzmnxyzmn，共有5种不同运算结果，故错误；故选 C【点睛】本题考查了新定义“绝对操作”，绝对值的性质，整式的加减运算，掌握绝对值的性质是解题的关键二、填空题二、填空题：（本大题（本大题 8 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分）请将每小题的答案直接填在答题分）请将每小题的答案直接填在答题卡中

12、对应的横线上卡中对应的横线上11.计算1023_.【答案】1.5【解析】【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.【详解】102311=1.52.故答案为1.5.【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于 0 的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于 1.12.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则BAC的度数为_【答案】36【解析】【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得BAC 的度数【详解】正五边形内角和：（52）18031805405401085B，180B

13、1801083622BAC.故答案为 36【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）180是解答此题的关键13.一个口袋中有 1 个红色球，有 1 个白色球，有 1 个蓝色球，这些球除颜色外都相同从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是_【答案】19【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可【详解】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球（红球，红球）（白球，红球）（蓝球，红球）白球（红球，白球）（白球，白球）（蓝球，白球）蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由

14、表知，共有 9 种等可能结果，其中两次都摸到红球的有 1 种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为19，故答案为：19【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为_【答案】21501 11815x【解析】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意得，21501 11

15、815x，故答案为：21501 11815x【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键15.如图，在RtABC中，90BAC，ABAC，点D为BC上一点，连接AD过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F 若4BE，1CF，则EF的长度为_【答案】3【解析】【分析】证明AFCBEA，得到,BEAF CFAE，即可得解【详解】解：90BAC，90EABEAC，BEAD，CFAD，90AEBAFC，90ACFEAC，ACFBAE，在AFC和BEA中：AEBCFAACFBAEABAC ，AASAFCBEA，4,1AFBEAECF，4 13EFAF

16、AE，故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质 利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键16.如图，O是矩形ABCD的外接圆，若4,3ABAD，则图中阴影部分的面积为_（结果保留）【答案】25124【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到5BD，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答【详解】解：连接BD，四边形ABCD是矩形，BD是O的直径，4,3ABAD，225BDABAD，O的半径为52，O的面积为254，矩形的面积为3 412，阴影部分的面积为25124；故答案为25124；【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握

17、矩形的性质是解题的关键17.若关于x的一元一次不等式组+34222xxa，至少有 2 个整数解，且关于y的分式方程14222ayy有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_【答案】4【解析】【分析】先解不等式组，确定a的取值范围6a，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得12ay，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案【详解】解：+34222xxa解不等式得：5x，解不等式得：1+2ax，不等式的解集为1+52ax，不等式组至少有 2 个整数解，1+42a，解得：6a；关于y的分式方程14222ayy有非负整数解，1422ay=解得：12ay，即102a且122a，解得：1

18、a 且5a a的取值范围是16a，且5a a可以取：1，3，1 34，故答案为：4【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键18.如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为 0，满足abbccd，那么称这个四位数为“递减数”例如：四位数 4129，41 1229，4129 是“递减数”；又如：四位数 5324，53 322124，5324 不是“递减数”若一个“递减数”为a312，则这个数为_；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被 9 整除，则满足条件的数的最大值是_【答案】.4312.81

19、65【解析】【分析】根据递减数的定义进行求解即可【详解】解：a312是递减数，103 31 12a，4a，这个数为4312；故答案为：4312一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被 9 整除，101010abbccd，1001010010abcbcdabcbcd，110010110100110001abcbcdabcbbababc ，11010199112ababab，能被9整除，112ab能被 9 整除，各数位上的数字互不相等且均不为 0，12345678,87654321aaaaaaaabbbbbbbb，最大的递减数，8,1ab，10 8 9 1

20、10ccd ，即：1171cd，c最大取6，此时5d，这个最大的递减数为 8165故答案为：8165【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用理解并掌握递减数的定义，是解题的关键三、解答题三、解答题：（本大题（本大题 8 8 个小题，第个小题，第 1919 题题 8 8 分，其余每题各分，其余每题各 1010 分，共分，共 7878 分）解答时每小分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形画出必要的图形（包括辅助线包括辅助线），请将解答过程书请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上写在答题卡中对应的位置上19.计算：（1）211aaa

21、a；（2）22.211xxxxxx【答案】（1）21a（2）11x【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算【小问 1 详解】解：原式2221aaa21a；【小问 2 详解】原式222.11xxxxxx22211xxxx22211xxxx11x【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算 熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分 她的解决思路是通过证明

22、对应线段所在的两个三角形全等得出结论 请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O求证：OEOF证明：四边形ABCD是平行四边形，DCABECOEF垂直平分AC，又EOC_COEAOF ASA OEOF小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线【答案】作图：见解析；FAO；AOCO；FOA；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被

23、对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论【详解】解：如图，即为所求；证明：四边形ABCD是平行四边形，DCABECOFAOEF垂直平分AC，AOCO又EOCFOACOEAOF ASAOEOF故答案为：FAO；AOCO；FOA；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键21.为了解A、B两款品质相近

24、的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格6070 x，中等7080 x，优等80 x），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别AB平均数7070中位数71b众数a67方差30.42

25、6.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a_，b _，m_；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1）72，70.5，10；（2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架【解析】【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出a，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，

26、从而求得中位数及优秀等次的百分比；（2）根据方差越小越稳定即可判断；（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可【小问 1 详解】解：由题意可知10架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有72出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为72，即72a；由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为40%，则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：10 40%4（架）则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451（架）则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71，故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.52B款智能玩具飞机运行时间

27、优等的百分比为：1100%10%10即10m 故答案为：72，70.5，10；【小问 2 详解】B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；【小问 3 详解】200架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010（架）200架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192架，答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关

28、键是熟练掌握相关知识综合求解22.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品（1）该公司花费 3000 元一次性购买了杂酱面、牛肉面共 170 份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为 15 元、20 元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费 1260 元、1200 元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少 6 元，求购买牛肉面多少份？【答案】（1）购买杂酱面 80 份，购买牛肉面 90 份（2）购买牛肉面 90 份【解析】【分析】（1）设购买杂酱面x份，则购买牛肉面

29、170 x份，由题意知，15201703000 xx，解方程可得x的值，然后代入170 x，计算求解，进而可得结果；（2）设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，由题意知，1260120061.5aa，计算求出满足要求的解即可【小问 1 详解】解：设购买杂酱面x份，则购买牛肉面170 x份，由题意知，15201703000 xx，解得，80 x，17090 x，购买杂酱面 80 份，购买牛肉面 90 份；【小问 2 详解】解：设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，由题意知，1260120061.5aa，解得90a，经检验，90a 是分式方程的解，购买牛肉面 90 份【点睛】本题考查了一元

30、一次方程的应用，分式方程的应用解题的关键在于根据题意正确的列方程23.如图，ABC是边长为 4 的等边三角形，动点E，F分别以每秒 1 个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线ABC方向运动，点F沿折线ACB方向运动，当两者相遇时停止运动设运动时间为t秒，点E，F的距离为y（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距 3 个单位长度时t的值【答案】（1）当04t 时，yt；当46t 时，122yt；（2）图象见解析，当04t 时，y随x的增大而增大（3）t的值为 3

31、 或4.5【解析】【分析】（1）分两种情况：当04t 时，根据等边三角形的性质解答；当46t 时，利用周长减去2AE即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y 分别求解即可【小问 1 详解】解：当04t 时，连接EF，由题意得AEAF，60A，AEF是等边三角形，yt；当46t 时，122yt；【小问 2 详解】函数图象如图：当04t 时，y随x的增大而增大；【小问 3 详解】当04t 时，3y 即3t；当46t 时，3y 即1223t，解得4.5t，故t的值为 3 或4.5【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键24.为了满足

32、市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；ADCB；AEB经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60方向（参考数据：21.41,31.73)（1）求AD的长度（结果精确到 1 千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路还是线路？【答案】（1）AD的长度约为14千米（2）小明应该选择路线，理由见解析【解析】【分析】（1）过点D作DFAB于点F，根据题意可得四边形BCDF是矩形，进而得出10DFBC，然后解直角三角形即可

33、；（2）分别求出线路和线路的总路程，比较即可【小问 1 详解】解：过点D作DFAB于点F，由题意可得：四边形BCDF是矩形，10DFBC千米，点D在点A的北偏东45方向，45DAFDAN=，10 214sin45DFAD=千米，答：AD的长度约为14千米；【小问 2 详解】由题意可得：10BC，14CD，路线的路程为：10 214102410 238ADDCBC+=+=+（千米），10DFBC，45DAFDAN=，90DFA，DAF为等腰直角三角形，10AFDF，101424ABAFBFAFDC=+=+=+=，由题意可得60EBS=，60E，8 3tan60ABAE=，16 3sin60ABB

34、E=，所以路线的路程为：8 316 324 342AEBE+=+=千米，路线的路程路线的路程，故小明应该选择路线【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22yaxbx过点1,3，且交x轴于点1,0A，B两点，交y轴于点C（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PDBC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线

35、的对称轴上一点在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程【答案】（1）213222yxx（2）PDE周长的最大值6 5105，此时点2,3P（3）以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时5 9,2 2N或1 3 7,22或13 7,22【解析】【分析】（1）把1,3、1,0A 代入22yaxbx计算即可；（2）延 长PE交x轴 于F，可 得DEPBCO，进 而 得 到DPEOBC，DPEPEOBCBC周长周长，求出PE的最大值即可；（3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定

36、计算即可【小问 1 详解】把1,3、1,0A 代入22yaxbx得，3202abab，解得1232ab，抛物线的表达式为213222yxx；【小问 2 详解】延长PE交x轴于F，过点P作PDBC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，DEPBCO，90PDECOB，DPEOBC，DPEPEOBCBC周长周长，PEDPEOBCBC周长周长，当PE最大时PDE周长的最大抛物线的表达式为213222yxx，4,0B，直线BC解析式为122yx，222 5BCOCOB设213,222P mmm，则1,22E mm222131112222222222PEmmmmmm ，当2m 时2PE 最大，此时

37、2,3PBOC周长为62 5OCOBBC，PDE周长的最大值为26 51062 552 5，此时2,3P，即PDE周长的最大值6 5105，此时点2,3P；【小问 3 详解】将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，可以看成是向右平移 2 个单位长度再向下平移一个单位长度，平移后的解析式为221317222 142222yxxxx ，此抛物线对称轴为直线72x，设7,2Mn，,N s t2,3P，1,0A 218PA，22227923324PMnn，22227811024AMnn，当PA为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形PA与MN互相平分，且PMAM22981344nn，解

38、得32n PA中点坐标为2 1 30,22，MN中点坐标为72,22snt，7123snt，解得5292st，此时5 9,2 2N；当PA为边长且AM和PN是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形AM与PN互相平分，且PMPA293184n，解得3 732n PN中点坐标为23,22st，AM中点坐标为7102,22n，721230stn，解得123 72st，此时1 3 7,22N或13 7,22N；同理，当PA为边长且AN和PM是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形AN和PM互相平分，且AMPA281184n，此方程无解；综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四

39、边形是菱形时5 9,2 2N或1 3 7,22或13 7,22；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度26.在Rt ABC中，90ACB，=60B，点D为线段AB上一动点，连接CD（1）如图 1，若9AC，3BD，求线段AD的长（2）如图 2，以CD为边在CD上方作等边CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G 若GBCE，求证：GFBFBE（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边CDE点M为CD所在直线上一点，将BEM沿B

40、M所在直线翻折至ABC所在平面内得到BNM 连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将BCP沿BC所在直线翻折至ABC所在平面内得到BCQ，请直接写出此时NQCP的值【答案】（1）5 3（2）见解析（3）435【解析】【分析】（1）解Rt ABC，求得AB，根据ADABBD即可求解；（2）延 长FB使 得FHFG，连 接EH，可 得SASGFDHFE，根 据60DECDBC，得 出,B C D E四 点 共 圆，则EDBBCE，BECBDC，得出6060BEHBECBDCEDB，结合已知条件得出HBEH，可得EBBH，即可得证；（3）在CD取得最小值的条件下，即CDA

41、B，设4ABa，则2BCa，2 3ACa，根据题意得出点N在以B为圆心，a为半径的圆上运动，取AB的中点S，连接SP，则SP是ABN的中位线，P在半径为12a的S上运动，当CP取最大值时，即,P S C三点共线时，此时如图，过点P作PTAC于点T，过点N作NRAC于点R，连接PQ，交NR于点U，则四边形PURT是矩形，得出PD是ANR的中位线，同理可得PT是ANR的中位线，BCS是等边三角形，将BCP沿BC所在直线翻折至ABC所在平面内得到BCQ，则2120QCPBCP，在Rt NUQ中，勾股定理求得NQ，进而即可求解【小问 1 详解】解：在Rt ABC中，90ACB，=60B，96 3sin

42、32ACABB，3BD，5 3ADABBD；【小问 2 详解】证明：如图所示，延长FB使得FHFG，连接EH，F是DE的中点则DFFE，FHFG，GFDHFE，SASGFDHFE，HG，EHGC，60HECECD DEC是等边三角形，60DECEDC，60DECDBC，,B C D E四点共圆，EDBBCE，BECBDC，6060BEHBECBDCEDB，GBCEBDEH ，HBEH，EBBH，FHFGBFBHBFEB；【小问 3 详解】解：如图所示，在CD取得最小值的条件下，即CDAB，设4ABa，则2BCa，2 3ACa，2 3234ACBCaaCDaABa，12BDBCa，将BEM沿BM

43、所在直线翻折至ABC所在平面内得到BNMBEBN点N在以B为圆心，a为半径的圆上运动，取AB的中点S，连接SP，则SP是ABN的中位线，P在半径为12a的S上运动，当CP取最大值时，即,P S C三点共线时，此时如图，过点P作PTAC于点T，过点N作NRAC于点R，S是AB的中点，60ABCSCSBBC，BCS是等边三角形，则60PCB，30PCAACBBCP，2BCa，4ABa，2CSBCa，12PSa52PCa，15sin24PTPCPCTPCa，5334TCPTa2 3ACa，334ATa，如图所示，连接PQ，交NR于点U，则四边形PURT是矩形，PUAR，P是AN的中点，1NUNPURPA即PD是ANR的中位线，同理可得PT是ANR的中位线，54NUURPTa，13324PUARATaBCS是等边三角形，将BCP沿BC所在直线翻折至ABC所在平面内得到BCQ，2120QCPBCP 53332PQQCPCa则537333244UQPQPUaaa在Rt NUQ中，222257433442NQNUUQaaa43432552aNQCPa【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键