全等三角形证明中考题选(答案齐全)_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 新人教版八年级上学期全等三角形中考证明题 一解答题（共10 小题）1（2013 泉州）如图，已知 AD 是ABC 的中线，分别过点 B、C 作 BEAD 于点 E，CFAD 交 AD的延长线于点 F，求证：BE=CF 2（2013 河南）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 _；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 _ （2）猜想论证 当

2、DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究 已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4）若在射线 BA上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF 的长 学习必备 欢迎下载 3（2013 大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90 ）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置F，G 分别是 BD，BE 上的点，

3、BF=BG，延长 CF 与DG 交于点 H（1）求证：CF=DG；（2）求出FHG 的度数 4（2012 阜新）（1）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0 90），如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由 甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE 90

4、；乙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE 90 作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置

5、关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 5（2009 仙桃）如图所示，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，如图，然后将ADE绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N，使 DM=BD，EN=CE，得到图，请解答下列问题：（1）若 AB=AC，请探究下列数量关系：在图 中，BD 与 CE 的数量关系是 _；在图 中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想；（2）若 AB=k AC（k1），按上述操作方法，

6、得到图，请继续探究：AM 与 AN 的数量关系、MAN与BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明 6（2008 台州）CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=（1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 BE _ CF；EF _|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图 2，若 0 BCA180，请添加一个关于与BCA 关系的条件 _，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提

7、出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙

8、桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 7（2007 绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1，己知四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，DAB=60 ，B 与D 互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图 2，可证 AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为 E、F（请你补全证明）8（2007 常德）如图，已知 A

9、B=AC，（1）若 CE=BD，求证：GE=GD；（2）若 CE=m BD（m 为正数），试猜想 GE 与 GD 有何关系（只写结论，不证明）9（2006 泰安）（1）已知：如图，在AOB 和COD 中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60 ，求证：AC=BD；APB=60 度；（2）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，则 AC 与 BD 间的等量关系式为 _；APB 的大小为 _；（3）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=k OB，OC=k OD（k1），AOB=COD=，则 AC 与BD 间的等量关系式为 _；APB 的大小为 作于点交的

10、延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习

11、必备 欢迎下载 10（2005 南宁）（A 类）如图，DEAB、DFAC垂足分别为 E、F请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）AB=AC；BD=CD；BE=CF 已知：DEAB、DFAC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BD=CD 求证：BE=CF 已知：DEAB、DFAC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BE=CF 求证：BD=CD 已知：DEAB、DFAC，垂足分别为 E、F，BD=CD，BE=CF 求证：AB=AC （B 类）如图，EGAF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出

12、一种情况）AB=AC；DE=DF；BE=CF 已知：EGAF，AB=AC，DE=DF 求证：BE=CF 作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍

13、然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 参考答案与试题解析 一解答题（共 10 小题）1（2013 泉州）如图，已知 AD 是ABC 的中线，分别过点 B、C 作 BEAD 于点 E，CFAD 交 AD的延长线于点 F，求证：BE=CF 考点：全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：根据中线的定义可得 BD=CD，然后利用“角角边”证明BDE 和CDF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证 解答：证明：AD 是ABC 的中线，BD=CD，BEAD，CFAD，BED=CFD=90，在BDE 和CDF

14、中，BDECDF（AAS），BE=CF 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用 2（2013 河南）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 DEAC；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 S1=S2 （2）猜想论证 作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如

15、图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜

16、想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究 已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4）若在射线 BA上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF 的长 考点：全等三角形的判定与性质 专题：几何综合题；压轴题 分析：（1）根据旋转的性质可得 AC=CD，然后求出ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD=60，然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得 AC=AD，再根据直角三角形 30 角所对的直角

17、边等于斜边的一半求出 AC=AB，然后求出 AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到 AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得 BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角边”证明ACN和DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点 D 作 DF1BE，求出四边形 BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得 BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点 F1为所求的点，过点 D 作 DF2BD，求出F1DF2=60，从而得到DF1F2是等

18、边三角形，然后求出 DF1=DF2，再求出CDF1=CDF2，利用“边角边”证明CDF1和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点 F2也是所求的点，然后在等腰BDE中求出 BE 的长，即可得解 解答：解：（1）DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，AC=CD，BAC=90 B=90 30=60，ACD 是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60 ，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设

19、的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的高相等，BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的

20、面积相等），即 S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2；（2）如图，DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90 ，DCM+BCN=180 90=90，ACN=DCM，在ACN 和DCM 中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2；（3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等，此时 SDCF=SBDE，过点 D 作 DF2BD，ABC=60，F1DF2=ABC=60 ，DF1F2是等边三角形，DF1=DF

21、2，BD=CD，ABC=60，点 D 是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180 30=150，CDF2=360 150 60=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点 F2也是所求的点，ABC=60，点 D 是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4 cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当

22、绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 故 BF 的长为或 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌

23、握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点 F 有两个 3（2013 大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置F，G 分别是 BD，BE 上的点，BF=BG，延长 CF 与 DG交于点 H（1）求证：CF=DG；（2）求出FHG 的度数 考点：全等三角形的判定与性质 分析：（1）在CBF 和DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得DHF=CBF=

24、60，从而求解 解答：（1）证明：在CBF 和DBG 中，CBFDBG（SAS），CF=DG；（2）解：CBFDBG，BCF=BDG，又CFB=DFH，DHF=CBF=60，FHG=180 DHF=180 60=120 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键 作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针

25、旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 4（2012 阜新）（1）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0 90），如图 2，线段 BD、

26、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由 甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE 90；乙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE 90 考点：全等三角形的判定与性质 专题：几何综合题；压轴题 分析：（1）BD=CE，BDCE根据全等三角形的判定定理 SAS 推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等ABF=ECA；然后在ABD 和CDF 中，由三角形内角和定理可以求得CF

27、D=90，即 BDCF；BD=CE，BDCE根据全等三角形的判定定理 SAS 推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等ABF=ECA；作辅助线（延长 BD 交 AC 于 F，交 CE于 H）BH 构建对顶角ABF=HCF，再根据三角形内角和定理证得BHC=90；（2）根据结论、的证明过程知，BAC=DFC（或FHC=90）时，该结论成立了，所以本条件中的BAC=DAE 90 不合适 解答：解：（1）结论：BD=CE，BDCE；结论：BD=CE，BDCE 1 分 理由如下：BAC=DAE=90 BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE 1 分 在ABD 与A

28、CE 中，ABDACE（SAS）BD=CE 1 分 延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H 在ABF 与HCF 中，ABF=HCF，AFB=HFC CHF=BAF=90 BDCE 3 分 （2）结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=902 分 作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一

29、点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质SSS，SAS，ASA，AAS，HL 均可作为判定三角形全等的定理 注意：在全等的判定中，没有 AAA（角角角）和 SSA（边边角）（特例：直角三角形为 HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于 SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形

30、状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等 5（2009 仙桃）如图所示，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，如图，然后将ADE绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N，使 DM=BD，EN=CE，得到图，请解答下列问题：（1）若 AB=AC，请探究下列数量关系：在图 中，BD 与 CE 的数量关系是 ；在图 中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想；（2）若 AB=k AC（k1），按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM 与 AN 的数量关系、MAN与BAC 的数量关

31、系，直接写出你的猜想，不必证明 考点：全等三角形的判定 专题：压轴题；探究型 分析：（1）根据题意和旋转的性质可知AECADB，所以 BD=CE；根据题意可知CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到BADCAE，在ABM 和ACN中，DM=BD，EN=CE，可证ABM ACN，所以 AM=AN，即MAN=BAC（2）直接类比（1）中结果可知 AM=k AN，MAN=BAC 解答：解：（1）BD=CE；AM=AN，MAN=BAC，DAE=BAC，作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面

32、积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 CAE=BAD，在BAD 和CAE 中 CAEBAD（SAS），ACE=ABD，DM=BD，EN=CE，BM=CN，在

33、ABM 和ACN 中，ABM ACN（SAS），AM=AN，BAM=CAN，即MAN=BAC；（2）AM=k AN，MAN=BAC 点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目 6（2008 台州）CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放

34、置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 （1）若直线 CD 经过BCA 的内部，

35、且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图 2，若 0 BCA180，请添加一个关于与BCA 关系的条件 +BCA=180 ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理 专题：几何综合题；压轴题 分析：由题意推出CBE=ACF，再由 AAS 定理证BCECAF，继而得答案 解答：解：（1）BCA=90 ，=90，BCE+

36、CBE=90，BCE+ACF=90，CBE=ACF，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|BEAF|所填的条件是：+BCA=180 证明：在BCE 中，CBE+BCE=180 BEC=180 BCA=180 ，CBE+BCE=BCA 又ACF+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF 点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识 注意对三角形全等，相似的综合应用 7（2007 绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1

37、，己知四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，DAB=60 ，B 与D 互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图 2，可证 AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为 E、F（请你补全证明）作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到

38、如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 考点：直角三角形全等的判定 专题：证明题；压轴题；开放型 分析：（1）如果：“B=D”，根据B 与D 互补，那么B=D=90，又因为DAC=BAC=30 ，因此我们可

39、在直角三角形 ADC 和 ABC 中得出 AD=AB=AC，那么 AD+AB=AC（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形 CFD 和 BCD 全等即可得到（1）的条件根据 AAS 可证两三角形全等，DF=BE然后按照（1）的解法进行计算即可 解答：证明：（1）B 与D 互补，B=D，B=D=90，CAD=CAB=DAB=30 ，在ADC 中，cos30=，在ABC 中，cos30=，AB=AC，AD=AB+AD=（2）由（1）知，AE+AF=AC，AC 为角平分线，CFCD，CEAB，CE=CF 而ABC 与D 互补，ABC 与CBE 也互补，D=CBE 在 RtCDF 与 R

40、tCBE 中，RtCDFRtCBE DF=BE AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC 点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键 8（2007 常德）如图，已知 AB=AC，（1）若 CE=BD，求证：GE=GD；作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把

41、一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载（2）若 CE=m BD（m 为正数），试猜想 GE 与 GD 有何关系（只写结论，不证明）考点：全等三角形的判定与性质 专题：证明题；压轴题；探究型 分析：（1）要证 GE=GD，需证GDFGEC，由已知条件可根据 AAS 判定（2）若 CE=m BD（m 为

42、正数），那么 GE=m GD 解答：证明：（1）过 D 作 DFCE，交 BC 于 F，则E=GDF AB=AC，ACB=ABC DFCE，DFB=ACB，DFB=ACB=ABC DF=DB CE=BD，DF=CE，在GDF 和GEC 中，GDFGEC（AAS）GE=GD （2）GE=m GD 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL本题的辅助线是解决题目的关键 9（2006 泰安）（1）已知：如图，在AOB 和COD 中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60 ，求证：AC=BD；APB=60 度；（2）如图，在AOB 和

43、COD 中，若 OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，则 AC 与 BD 间的等量关系式为 AC=BD ；APB 的大小为 ；作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条

44、件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载（3）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=k OB，OC=k OD（k1），AOB=COD=，则 AC 与BD 间的等量关系式为 AC=k BD；APB 的大小为 180 考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理 专题：探究型 分析：（1）分析结论 AC=BD 可知，需要证明AOCBOD，围绕这个目标找全等的条件；（2）与图 比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明AOCBOD，方法类似；（3）转化为证明AOCBOD 解答：解：（1）AOB

45、=COD=60，AOB+BOC=COD+BOC 即：AOC=BOD 又OA=OB，OC=OD，AOCBOD AC=BD 由 得：OAC=OBD，AEO=PEB，APB=180（BEP+OBD），AOB=180 （OAC+AEO），APB=AOB=60 （2）AC=BD，（3）AC=k BD，180 点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 10（2005 南宁）（A 类）如图，DEAB、DFAC垂足分别为 E、F请你从下面三个条件中，再选出两个作为已

46、知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）AB=AC；BD=CD；BE=CF 已知：DEAB、DFAC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BD=CD 求证：BE=CF 已知：DEAB、DFAC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BE=CF 求证：BD=CD 作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转

47、到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 已知：DEAB、DFAC，垂足分别为 E、F，BD=CD，BE=CF 求证：AB=AC （B 类）如图，EGAF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）AB=AC；DE=DF；BE=CF 已知：EGAF，AB=AC，DE=DF 求证：BE=CF

48、 友情提醒：若两题都做的同学，请你确认以哪类题记分，你的选择是 A 类类题 考点：全等三角形的判定与性质 专题：证明题；开放型 分析：本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，对应三角形全等条件求解；再根据全等三角形的性质得出结论 解答：解：（A 类）已知：，AB=AC，BD=CD 求证：BE=CF 证明：AB=AC，B=C DEAB，DFAC，BED=CFD=90 在BDE 和CDF 中 BDECDF BE=CF 已知：，AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF 证明：EGAF，GED=F，BGE=BCA AB=AC，B=BCA，B=BGE，BE=EG 作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全

49、相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙中的哪个条件时使线段在中的位置关系仍然成立不必说明理由甲乙丙学习必备欢迎下载仙桃如图所示在中分别是上的点如图然后将绕点顺时针旋转一定角度得到图然后学习必备 欢迎下载 在DEG 和DF

50、C 中 DEGDFC，EG=CF，BE=CF 点评：这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种同时还考查了全等三角形的性质 作于点交的延长线于点求证河南如图将两个完全相同的三角形纸片和重合放置其中操作发现如图固定使绕点旋转当点恰好落在边上时填空线段与的位置关系是设的面积为的面积为则与的数量关系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的平分线上一点交于点如图若在射线上存在点使直接写出相应的的长学习必备欢迎下载大庆如图把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转使得点旋转到边上的一点点旋转到点的位置分别是上的点延长与交于点求证求出的度数阜新如图在段有怎样的数量关系和位置关系请说明理由当和满足下面甲乙丙