高等数学(高等教育出版社第六版)第八章D8_2数量积与向量积.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束*三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积 数量积 向量积*混合积 第八章 目录 上页 下页 返回 结束 一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例.设一物体在常力 F 作用下,位移为 s,则力F 所做的功为目录 上页 下页 返回 结束 记作故2.性质为两个非零向量,则有目录 上页 下页 返回 结束 3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律目录 上页 下页 返回 结束 例1.证明三角形余弦定理证:如图.则设目录 上页 下页 返回 结束 4.数量积的坐标表示设 则当为非零向量时,由于两向量的

2、夹角公式,得目录 上页 下页 返回 结束 例2.已知三点 AMB.解:则求故目录 上页 下页 返回 结束 为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量m(流体密度例3.设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积:的夹角为且为单位向量目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为由力学知识：其方向按右手规则矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图

3、三角形面积S目录 上页 下页 返回 结束 2.性质为非零向量,则3.运算律(2)分配律(3)结合律目录 上页 下页 返回 结束 4.向量积的坐标表示式设 则目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法(行列式计算见上册 P355P358)目录 上页 下页 返回 结束 例4.已知三点角形 ABC 的面积.解:如图所示,求三目录 上页 下页 返回 结束*三、向量的混合积1.定义已知三向量 称数量混合积.记作几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其目录 上页 下页 返回 结束 2.混合积的坐标表示设目录 上页 下页 返回 结束 3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)目录 上页 下页 返回 结束 内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2.向量关系:目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:目录 上页 下页 返回 结束 证:由三角形面积公式所以因目录 上页 下页 返回 结束 练习题1.已知向量 的夹角且解：目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有