第四节随机变量函数的分布一、随机变量的函数定义如果存在一个函数_计算机-Python.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第四节 随机变量函数的分布 一、随机变量的函数 定义 如果存在一个函数)(X g,使得随机变量 Y X,满足:)(X g Y,则称 随机变量 Y 是随机变量 X 的函数.注:在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时,主要研究函数关系的确定性特征,例如:导数、积分等.而在概率论中,我们主要研究是随机变量函数的随机性特征,即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 的统计性规律.一般地,对任意区间 I,令)(|I x g x C,则,)(C X I x g I Y.)(C X P I x g P I Y P 注:随机变量 Y 与 X 的函数关系确定,为从 X 的分布出发导出

2、Y 的分布提供了可能.二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量 X 的概率分布为,2,1,i p x X Pi i 易见,X 的函数)(X g Y 显然还是离散型随机变量.如何由 X 的概率分布出发导出 Y 的概率分布?其一般方法是：先根据自变量 X 的可能取值确定因变量 Y 的所有可能取值,然后对 Y 的每一个可能取值,2,1,i yi确定相应的,)(|i j j iy x g x C 于是,)(i i i iC X y x g y Y.i jC xj i ix X P C X P y Y P 从而求得 Y 的概率分布.三、连续型随机变量函数的分布 一般地,连续型随机变量的函数不一定是

3、连续型随机变量,但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形,此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数,而且还希望求出其概率密度函数.设已知 X 的分布函数)(x FX或概率密度函数)(x fX,则随机变量函数)(X g Y 的分布函数可按如下方法求得:.)()(y YC X P y X g P y Y P y F 其中.)(|y x g x Cy 而 yC X P 常常可由 X 的分布函数)(x FX来表达或用其概率密度函数)(x fX的积分来精品资料 欢迎下载 表达:yCX ydx x f C X P)(进而可通过 Y 的分布函数)(x FY,求出 Y 的密度函数.定理 1

4、 设随机变量 X 具有概率密度),(),(x x fX,又设)(x g y 处处可导且恒有0)(x g(或恒有 0)(x g),则)(X g Y 是一个连续型随机变量,其概率密度为 其它,0|,)(|)()(y y h y h fy fY 其中)(y h x 是)(x g y 的反函数,且).(),(max(),(),(min(g g g g 例题选讲：离散型随机变量函数的分布 例 1（讲义例 1）设随机变量 X 具有以下的分布律,试求2)1(X Y 的分布律.4.0 1.0 3.0 2.02 1 0 1ipX 解 Y所有可能的 取值 0,1,4,由,2.0 1 4,7.0 2 0 1,1.0

5、 1 0)1(0 2 X P Y PX P X P Y PX P X P Y P 既得Y的分布律为 Y 0 1 4 iP 2.0 7.0 1.0.连续型随机变量函数的分布 例 2（讲义例 2）设随机变量,),1,0(Xe Y N X 求Y的概率密度函数.解 设)(),(y f y FY Y分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数.则当0 y时,有)(y Y P y FY y e PX P.0 当0 y时,因为xe x g)(是x的严格单调增函数,所以有,ln y X y eX 因而)(y Y P y FY y e PX ln y X P.21ln22 yxdx e 再由,)()(y F y f

6、Y Y 得.0,00,21)(2)(ln2yy ey fyY 通常称上式中的Y服从对数正态分布,它也是一种常用寿命分布.例 3（讲义例 3）设 其它,04 0,8/)(x xx f XX,求 8 2 X Y 的概率密度.机变量是随机变量的函数注在微积分中我们讨论变量间的函数关系时主要研究函数关系的确定性特征例如导数积分等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律一 的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机变量如何由的概率分布出发导出的概率分布其一般方法是先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值然后对的每一个可能

7、取值确定相应的于是从而求得 连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形此时我们不希望求出随机变量函数的分布函数而且还希望求出其概率密度函数设已知的分布函数或概率密度函数则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得其中而常常可由的分布精品资料 欢迎下载 解 设 Y 的分布函数为),(y FY 则 8 2)(y X P y Y P y FY 2/)8(2/)8(y F y X PX 于是 Y 的密度函数2128)()(yfdyy dFy fXYY 注意到 4 0 x 时，,0)(x fX即 16 8 y 时，,028 yfX且16828 y yfX 故.,016 8,32/)8()(其它y yy f

8、Y 例 4 设)1,0(N X,求 2X Y 的密度函数.解 记 Y 的分布函数为),(x FY 则.)(2x X P x Y P x FY 显然,当 0 x 时，;0)(2 x X P x FY 当 0 x 时,)(2x X P x FY.1)(2 x x X x P 从而2X Y 的分布函数为 0,00,1)(2)(xx xx FY 于是其密度函数为 0,00),(1)()(xx xxx F x fY Y.0,00,212/xx exx 注:以上述函数为密度函数的随机变量称为服从)1(2 分布,它是一类更广泛的分布)(2n 在 1 n 时的特例.关于)(2n 分布的细节将在第五章中给出.例

9、 5（讲义例 4）已知随机变量 X 的分布函数)(x F 是严格单调的连续函数,证明)(X F Y 服从 1,0 上的均匀分布.证明 设 Y 的分布函数是),(y G 由于,1 0 y 于是对,0 y;0)(y G 对,1 y;1)(y G 又由于 X 的分布函数 F 是严格递增的连续函数,其反函数1 F 存在且严格递增.对,1 0 y)()(y X F P y Y P y G y y F F y F X P)()(1 1 即 Y 的分布函数是 1,11 0,0,0)(yy yyy G 求导得 Y 的密度函数 其它,01 0,1)(yy g 可见,Y 服从 0,1上的均匀分布.证毕.注：本例的

10、结论在计算机模拟中有重要的应用.机变量是随机变量的函数注在微积分中我们讨论变量间的函数关系时主要研究函数关系的确定性特征例如导数积分等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律一 的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机变量如何由的概率分布出发导出的概率分布其一般方法是先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值然后对的每一个可能取值确定相应的于是从而求得 连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形此时我们不希望求出随机变量函数的分布函数而且还希望求出其概率密度函数设已知的分布函数或概率密度函数则随机变量函数的分

11、布函数可按如下方法求得其中而常常可由的分布精品资料 欢迎下载 例 6（讲义例 5）的线性函数 试证明 设随机变量 X N X).,(2 b aX Y)0(a 也服从正态分布.证 X 的概率密度为,21)(222)(xXe x f.x 由 b ax x g y)(解得,)(ab yy h x 且有从而 b aX Y 的概率密度为,|1)(ab yfay fX Y,y 即22221|1)(ab yYeay f22)(2)(2|1 aa b yea)(y 即有).)(,(2 a b a N b aX Y 特别地,若在本例中取,1 a,b 则得).1,0(NXY 这就是上节中一个已知定理的结果.例 7

12、 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,求 2,min X Y 的分布函数.解 根据已知结果,X 的分布函数 0,00,1)(xx ex FxX Y 的分布函数 2,min)(y X P y Y P y FY 2,min 1 y X P.2,1 y y X P 当 2 y 时，),(1)(y F y X P y X P y FX Y 当 2 y 时，.1)(y FY 代入 X 的分布函数中可得.2,12 0,10,0)(yy eyy FyY 注：在本例中,虽然 X 是连续型随机变量,但 Y 不是连续型随机变量,也不是离散型 随机变量,Y 的分布在2 y处间断.例 8（讲义例 6）设随机变量

13、X 在)1,0(上服从均匀分布,求 X Y ln 2 的概率密度.解 在区间(0,1)上,函数,0 ln x 故,0 ln 2 x y 02 xy 机变量是随机变量的函数注在微积分中我们讨论变量间的函数关系时主要研究函数关系的确定性特征例如导数积分等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律一 的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机变量如何由的概率分布出发导出的概率分布其一般方法是先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值然后对的每一个可能取值确定相应的于是从而求得 连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形

14、此时我们不希望求出随机变量函数的分布函数而且还希望求出其概率密度函数设已知的分布函数或概率密度函数则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得其中而常常可由的分布精品资料 欢迎下载 于是 y 在区间),0(上单调下降,有反函数2/)(ye y h x 从而 其它,01 0,)()()(2/2/2/yyyXYedye de fy f 已知 X 在在(0,1)上服从均匀分布,其它,01 0,1)(xx fX 代入)(y fY的表达式中,得其它,00,21)(2/y ey fyX 即 Y 服从参数为 1/2 的指数分布.例 9(对数正态分布)随机变量 X 称为服从参数为2,的对数正态分布,如果 X Y

15、ln 服从正态分布),(2 N.试求对数正态分布的密度函数.解 由于),(ln2 N X Y 等价地有,Ye X),(2 N Y 于是,当 0 x 时,)(x e P x X P x FYX);(ln ln x F x Y PY 当 0 x 时,显然.0)(x FX继而可得 X 的密度函数为 0,00),(ln1)()(xx x fxx F x f YX X.0,00,21222)(lnxx exx 注：在实际中,通常用对数正态分布来描述价格的分布,特别是在金融市场的理论研究中,如著名的期权定价公式（BlackScholes 公式）,以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格.设某种

16、资产当前价格为0P,考虑单期投资问题,到期时该资产的价格为一个随机变量,记作1P,设投资于该资产的连续复合收益率为 r,则有 re P P0 1 从而 0 101 ln ln ln P PPPr 注意到0P 为当前价格,是已知常数,因而假设价格1P 服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率 r 服从正态分布.课堂练习 1.设 X 的分布列为 10/3 10/1 10/1 10/1 5/12/5 2 1 0 1ipX 试求:(1)2 X 的分布列;(2)2X 的分布列.2.设随机变量X的概率密度为 机变量是随机变量的函数注在微积分中我们讨论变量间的函数关系时主要研究函数关系的确定性特征例如

17、导数积分等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律一 的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机变量如何由的概率分布出发导出的概率分布其一般方法是先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值然后对的每一个可能取值确定相应的于是从而求得 连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形此时我们不希望求出随机变量函数的分布函数而且还希望求出其概率密度函数设已知的分布函数或概率密度函数则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得其中而常常可由的分布精品资料 欢迎下载.,0,0,/2)(2其它 x xx f 求X Y sin 的概

18、率密度.机变量是随机变量的函数注在微积分中我们讨论变量间的函数关系时主要研究函数关系的确定性特征例如导数积分等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律一 的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机变量如何由的概率分布出发导出的概率分布其一般方法是先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值然后对的每一个可能取值确定相应的于是从而求得 连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形此时我们不希望求出随机变量函数的分布函数而且还希望求出其概率密度函数设已知的分布函数或概率密度函数则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得其中而常常可由的分布