[初一数学]一元一次方程应用题归类汇集讲义补课用_中学教育-初中教育.pdf

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1、一元一次方程应用题归类汇集 一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题 数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度等问题。一、行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度时间。（2）基本类型有：相遇问题；追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关 类型 等 量 关 系 列一元一次方程解行程问题 直线 相遇 追及 相遇 追及 顺逆流问题 错车问题 两者的路程之和=两地的距离 两者的路程之差=两地的距离 两者的路程之和=环形

2、跑道一圈的长度 两者的路程之差=环形跑道一圈的长度 路程或静水中的速度相等 两者路程和或差=两个车身的长度和 系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例 1：甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢

3、车？（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（一）相遇：1.甲、乙两人在相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，1 小时 48 分相遇，如果甲比乙早出发 40 分钟，那么在乙出发 1 小时 30 分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。2.A、B 两地相距 15 千米.甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米.调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相

4、背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，几小时后两人相遇？3 A、B 两地相距 15 千米.甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米.甲、乙两人分

5、别从 A、B 两地相向而行，甲先出发 1 小时后乙再出发，几小时后两人相遇？4 A、B 两地相距 15 千米.甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米.甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，背向而行，几小时后两人相距 60 千米？5.甲乙两人从相距 32 千米的两地相向而行,甲步行每小时走 4 千米,先行 1 小时后,乙骑自行车出发 2 小时后与甲相遇,问乙骑自行车每小时走多少千米?6.某汽车和电动车从相距 298 千米的两地同时出发相对而行，汽车的速度比电动车速度的 6 倍还多 15 千米，半小时后相遇。求两车的速度。7.甲、乙两站相距 280 千米，一列慢车从甲站出发，每小时行驶 60

6、 千米，一列快车从乙站 出发，每小时行驶 80 千米，问：（1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？（2）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？8.一列快车从甲地开往乙地需 5 小时,一列慢车从乙地开往甲地需要的时间比快车多51小时.两列火车同时从两地相对开出,2 小时后,慢车在调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静

7、水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同一个车站停了下来,快车继续行驶 96 千米与慢车相遇.问甲、乙两地相距多少千米?9.一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶,客车长 200 米,货车长 310 米,客货两车的速度比为 4:3.如果客车从后面追赶货车,从车头赶上到车尾超过的时间为 2 分钟.求两列火车的速度

8、.10.一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15 公里，早到 24 分钟，如果每小时走 12 公里，就要迟到 15 分钟，原定时间是多少？他去某地的路程是多远？（二）追击：1.一列客车长 200 m,一列货车长 280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过 16 秒,已知客车与货车的速度之比是 3 2,问两车每秒各行驶多少米?2.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时 3.6Km，骑自行车的人的速度是每小时 10.8Km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是 22 秒，通过骑自行车人的时间是 26 秒。（

9、1）行人的速度为每秒多少米；（2）求这列火车的身长是多少米。3.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了 1 小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时 6 千米的速度去追，如果我和妈妈每小时行 2 千米，从家里到外婆家需要 1 小时 45调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度

10、和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？4.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度 60 公里/小时，我们的速度是 5 公里/小时，步行者比汽车提前 1 小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人。出发地到目的地的距离是 60 公里。问：步行者在出发后经多少时间与回头

11、接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）？5某中学学生步行去某地参加社会公益活动，每小时行走 4 千米.出发 30 分钟后，学校派一名通信员骑自行车以 12 千米时的速度追赶队伍，问通信员用多少时间可以追上学生队伍？6某中学学生步行去某地参加社会公益活动，每小时 4 千米.出发 30分钟后，队长派一名通信员以 8 千米时原路的速度返回学校取重要信件，然后以 12 千米时的速度追赶队伍，问通信讯员拿到信件后用多少时间可以追上学生队伍？7.甲乙两人练习短距离赛跑,甲每秒跑 7.5 米,乙每秒跑 7 米,如果乙先跑 1 秒种,甲经过几秒钟可以追上乙?8.甲、乙两人练习跑步，从同一地点出发，甲每分钟

12、跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，甲因找跑鞋比乙晚出发 3 分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程。9.敌我相距 14 千米,得知敌军于 1 小时前以每小时 4 千米的速度逃跑,调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一

13、列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同现在我军以每小时 7 千米的速度追击敌军,问需几小时可以追上?10.甲、乙两站相距 245 千米,一列慢车由甲站开出,每小时行驶 50 千米;同时,一列快车由乙站开出,每小时行驶 70 千米;两车同向而行,快车在慢车的后面,经过几小时快车可以追上慢车?11.某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动,以每小时 4 千米的速度行进.走完 1 千米时,一个学生奉命回学校取一件东西,他以每小时 5千米的速度

14、跑回学校,取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍,结果在距农场 1.5 千米的地方追上队伍.求学校到农场的距离.12.甲、乙两人由 A村去 B 城办事,乙临时因事耽误了 30 分钟,若乙的速度比甲的速度每小时快 5 千米,那么乙用了 2 小时追上甲.求甲、乙两人的速度及追上时离 A村的距离.13.甲、乙两人从同一地点出发,同向而行,甲骑自行车,乙步行.如果乙先走 12 千米,那么甲用 1 小时就能追上乙;如果乙先走 1 小时,那么甲只用21小时就能追上乙.求两人的速度.14.甲从 A地出发以 6 千米/时的速度向 B 地行驶,40 分钟后,乙从 A地以 8 千米/时的速度按甲所走的路径追甲,

15、结果在甲行至离 B地还差 5 千米处追上了甲,求 A、B 两地间的距离.（三）行船问题：流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。流水问题有如下两个基本公式：调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每

16、小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同顺水速度=船速+水速（1）逆水速度=船速-水速（2）水速=船速-逆水速度（3）船速=逆水速度+水速(4)船速=（顺水速度+逆水速度）2(5)水速=（顺水速度-逆水速度）2(6)1.一艘船在两个码头之间航行，水流速度是 3 千米每小时，顺水航行需要 2 小时，逆水航行需要 3 小时，求两码头的之间的距离？2.一轮船航行于两个码头之间，逆水需 10 小时，顺水需 6 小时。已知该船在静水中每小时航行 12 千米，求水流

17、速度和两码头间的距离。3.一艘船从 A港到 B 港顺流行驶，用了 5 小时；从 B 港返回 A港逆流而行，用了 7.5 小时，已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的速度。4.一只轮船航行于甲、乙两地之间,顺水用 3 小时,逆水比顺水多 30 分钟,已知轮船在静水中速度是每小时 26 千米,求水流的速度.5.一艘轮船从甲乙码头顺流行驶用了两个小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶用了 2.5 小时。已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的平均速度。调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相

18、遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同6.某人乘船由 A地顺流而下到 B 地，然后又逆流而上到 C 地，共乘船 3小时，已知船在静水中的速度是每小时 8 千米，水流速度是

19、每小时 2 千米，若 A、C 两地距离为 2 千米，求 A、B 两地之间的距离。7.一只轮船航行于甲、乙两地之间，顺水用 3 小时，逆水用的时间比顺水多用 30 分钟，已知船在静水中的速度是每小时 26 千米，求水流的速度和甲、乙两地的距离。8.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时 24 千米，顺风飞行需要 2 小时 50 分钟，逆风飞行需要 3 小时，求两城市间距离。9.一架飞机在两城之间飞行，风速为 24 千米/小时。顺风飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。（四）上坡下坡 1.某人每小时可走平路 8 千米,可走下坡路 10 千米,可

20、走上坡路 6 千米.他从甲地到乙地去,先走一段上坡路,再走一段平路,到乙地后立即返回甲地.往返共用了 2 小时 36 分钟.若甲乙两地间的路程为 10 千米,问在这 10 千米路程中,上坡路及平路各有多少千米?（五）圆环跑道：1.在 800 米跑道上有两人练中长路，甲每分钟跑 320 米，乙每分钟跑280 米，两人同时同地同向起跑，t 分钟后第一次相遇，t 等于 分钟 调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长

21、度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同2.甲,乙二人在 400 米的环形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方出发，同向跑，则 3 分 20 秒，相遇一次，若反向跑，则 40 秒相遇，求甲跑步的速度每秒跑多少米？3.甲、乙二人在长为 400 米

22、的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑 9 米，乙每秒钟跑 7 米(1)当两人同时同地背向而行时，经过几秒钟两人首次相遇？(2)两人同时同地同向而行时，经过几秒钟两人首次相遇 4.一环形公路周长是 24 千米,甲乙两人从公路上的同一地点同一时间出发,背向而行,3 小时后.他们相遇.已知甲每小时比乙慢 0.5 千米,求甲、乙两人速度各是多少?5.某市举行环城自行车赛,一圈 7 千米,甲的速度是乙的速度的75,出发后来 161小时,两人第二次相遇.问:甲、乙二人每分钟相差多少千米?（六）折返问题 1.某校学生列队以 8 千米/时的速度前进，在队尾，校长让一名学生跑步到队伍的最前面找带队老师传达一个指示，

23、然后立即返回队尾，这位学生的速度为 12 千米/时，从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了 7.2分钟，问学生队伍的长是多少米?2.某人骑自行车以每小时 10 千米的速度从甲地到乙地,返回时因事绕道而行,比去时多走 8 千米的路.虽然行车的速度增加到每小时 12 千米,但比去时还多用了 10 分钟.求甲、乙两地的距离.调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静

24、水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同3.小王骑车从 A地到 B地共用了 4 小时.从 B地返回 A地,他先以去时的速度骑车行 2 小时,后因车出了毛病,修车耽误了半小时,接着他用比原速度每小时快 6 千米的速度回到 A地,结果返程比去时少用了 10 分钟.求小王从 A地到 B 地的骑车速度.4.汽车从 A 地

25、往 B 地送货.如果往返都以每小时 60 千米的速度行驶,那么可以按时返回.可是当司机到达 B地后才发现,从 A地到 B地每小时只走了 55 千米,为了按时返回 A地,汽车应以多大速度往回开?（七）其他行程问题 1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用 3.6 小时，已知步行速度为每小时 8 千米，公交车的速度为每小时 40 千米，设甲乙两地相距 x 千米，则列方程为 _。2.某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米，可比预定的时间早到 15 分钟；若每小时行 9 千米，可比预定的时间晚到 15 分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？3.某人乘车行 121 千米 的路程,一共用了 3

26、小时.第一段路程每小时行42 千米,第二段每小时行 38 千米,第三段每小时行 40 千米.第三段路程为 20 千米,第一段和第二段路程各有多少千米？4.有两支成分不同且长度相等的蜡烛,其中一支 3 小时可燃烧完,另一支 4 小时燃烧完.现在要求到下午四点钟时,其中一支蜡烛的剩余部分恰是另一支剩余部分的二倍,问应在何时点燃这两支蜡烛?调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长

27、度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同5.粗蜡烛和细蜡烛长短一样,粗蜡烛可以点 5 小时,细蜡烛可以点 4 小时.同时点燃这两支蜡烛,点了一段时间后粗蜡烛比细蜡烛长 3 倍.问这两只蜡烛已点了多长时间?6.从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行 30 千米,那么比开车时间早到 15 分钟;如果

28、每小时行 18 千米,那么比开车时间迟到 15 分钟.现在打算在开车时间前 10 分钟到达,那么骑摩托车的速度应该是多少?18、好马走 15 天的路程,劣马需走 30 天,已知劣马每天走 150 千米,问好马每天走多少千米?7.某工人每天早晨在同一时刻从家骑自行车去工厂,如果以每小时 16千米的速度行驶,可在工厂上班时刻前 15 分钟到工厂;如果以每小时9.6 千米的速度行驶,则在工厂上 班时刻后 15 分钟到工厂.(1)求这位工人家到工厂的距离.(2)这位工人每天早晨以每小时 16 千米的速度行驶,在工厂上班时刻前多少小时从家里出发,可在上班前 15 分钟到工厂?8.甲乙两人登一座山，甲每分

29、登高 10 米并且先出发 30 分，乙分每登高15 米，两人同时登上山顶。甲用多少时间登上山顶？这座山有多高？三、工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：个体工作量=个体工作时间个体工作效率 总工作量=各个个体量的和 调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走

30、的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。例 1 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？例题 2：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。那么两人合作多少小时完成？设两人合作 x 小时完成此工作，依题意可得：x/20+x/12

31、=1 解之得：x=7.5 答：两人合作 7.5 小时完成。变式 1：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。甲先单独做 4 小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？分析 1：此工作分两步完成的，故有相等关系：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量 调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等

32、错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同 解法一：设两人合作还需 x 小时完成此工作，依题意可得：4/20+（1/20+1/12）x=1 解之得：x=6 答：两人合作还要 6 小时完成。分析 2：此工作由甲、乙两人完成的，故有相等关系：甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量 解法二：设两人合作还需 x 小时完成此工作

33、，依题意可得：（4+x）/20+x/12=1 解之得：x=6 答：两人合作还要 6 小时完成。变式 2：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。甲先单独做 4 小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的 2/3？分析；本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量，故由此易建立方程：调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或

34、静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同 4/20+（1/20+1/12）x=2/3 解法：略 变式 3：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。甲先单独做 4 小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的 2/3？分析：本题目在前者的基础上改变了未知量，弄清问题中是总的时间，要特别

35、注意。相等关系：甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量 解：设共需 x 小时完成此工作，依题意可得：x/20+（x 4）/12=2/3 解之得：x=7.5 答：共要 7.5 小时完成此工作的 2/3。变式 4：一件工作，甲单独做 20 小时完成，甲、乙合做 7.5 小时完成。甲先单独做 4 小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之

36、差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同 分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。相等关系：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量 解：设两人合作还需 x 小时完成此工作，依题意可得：4/20+x/7.5=1 解之

37、得：x=6 答：两人合作还要 6 小时完成。变式 5：一件工作，甲单独做 20 小时完成，甲、乙合做 7.5小时完成。甲先单独做 4 小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。但还要求出乙的工作效率：1/7.5 1/20 相等关系：调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或

38、静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同 甲先单独完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量 解：设乙还需 x 小时完成此工作，依题意可得：4/20+（1/7.5 1/20）x=1 解之得：x=9.6 答：乙还要 9 小时 36 分完成。变式 6：一件工作，甲单独做 20 小时完成，甲、乙合做 3 小时完

39、成此工作的 2/5。现在甲先单独做 4 小时，然后乙加入合做 2 小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？分析：此题涉及到前面几个题目中的变化，且完成方式更为复杂化。但明确等量关系仍然不变：（1）此工作分三步完成的，故有：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量（2）此工作由甲乙二人完成的，故有：甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=完成的工作总量 调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船

40、问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同 类比前面变式练习便可解出此题：解法 1：设共需 x 小时完成此工作，依题意可得：4/20+2（2/5 3）+（x-4-2）（2/5 3-1/20）=1 解之得：x=1

41、2.4 答：共要 12 小时 24 分钟完成此工作。解法 2：设共需 x 小时完成此工作，依题意可得：（4+2）/20+（x 4）（2/5 3-1/20）=1 解之得：x=12.4 答：共要 12 小时 24 分钟完成此工作。反思：通过设计变式练习，可以脱离就题论题的模式，让学生从题海中逃匿，很轻松地就能理解此类题目，且能达到举一反三之功效。同时通过问题的循序渐进、由简到繁，让学生明确题目的演变过程，揭开了综合性较强的题目的神秘面纱，从而形成“析问题，抓本质”的习惯，增强战胜困难的信心和智慧。（一）具体工作问题 调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行

42、程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同1.整理一批图书，由一个人做要 40 小时完成。现计划由一部分人先做4

43、小时，再增加 2 人和他们一起做 8 小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。2.某车间加工 30 个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做 1 个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？3.两个班组工人，按计划本月应共生产 680 个零件，实际第一组超额20、第二组超额 15完成了本月任务，因此比原计划多生产 118 个零件。问本月原计划每组各生产多少个零件？4.为了搞好水利建设，某村计划修建一条长 800 米，横断面是等腰梯形的水渠.（1）设计横断面面积为 1.6 米2，渠深 1 米，水渠的上口

44、宽比渠底多0.8 米，求水渠上口宽和渠底宽；（2）某施工队承建这项工程，计划在规定的时间内完成，工作 4 天后，改善了设备，提高了工效，每天比原计划多挖水渠 10 米，结果比规定的时间提前 2 天完成任务，求计划完成这项工程需要的天数。5.某人承做一批零件，原计划每天做 40 个，可按期完成任务，由于改进工艺，工作效率提高了 20%，结果不但提前了 16 天完成，而且超额完成了 32 件，求原来预定几天完成？原计划共做多少零件？调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相

45、背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同5.一艘轮船发生漏水事故,海水以每分钟 24 桶的速度涌进底舱,发现时已漏进 600 桶海水.水手立即开动两部抽水机向外抽水,经 50 分钟将舱内的水抽完,已

46、知甲机抽水量是乙机的54,问甲、乙两机每分钟各抽水多少桶?6.一批材料,原计划用 6 辆汽车 12 次运完,为了提前完成任务,再增加 3辆汽车,问几次可以运完?7.修一条路,原计划每天修 75 米,20 天修完,实际每天计划多修32,问可以提前几天修完?（二）总工作量看成“1”的问题 1.一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作 4 天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？2.某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需 16 天，乙队单独完成需12 天。如先由甲队做 4 天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？3.有一个水池，用两个水管注水。如果单开

47、甲管，2 小时 30 分注满水池，如果单开乙管，5 小时注满水池。如果甲、乙两管先同时注水 20 分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满？调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开

48、出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同 假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管 3 小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？4一件工作，甲单独做 20 个小时完成，乙单独做 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？5一件工作，甲单独做 20 个小时完成，乙单独做 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？6.某工作由甲、乙两队单独做分

49、别需要 3 小时、5 小时，求两人合做这项工作的 80%需要几小时？7一项工程，甲队单独施工 15 天完成，乙队单独施工 9 天完成，现在由甲队先工作 3 天，剩下的由甲、乙两队合作，还需几天可以完成？8甲，乙两工程队，单独铺设一段管道分别 需要 20 天、25 天。现由甲队铺设 5 天，余下的部分两队合作，还需多少天铺好？调配问题分配问题配套问题增长率问题数字问题方案设计与成本分析古典数学浓度等问题一行程问题行程问题中的三个基本量及其关系路程速度时间基本类型有相遇问题追及问题常见的还有相背而行行船问题环形跑道问题列一元一 路程之和环形跑道一圈的长度追及两者的路程之差环形跑道一圈的长度顺逆流问

50、题路程或静水中的速度相等错车问题两者路程和或差两个车身的长度和解此类题的关键是抓住甲乙两物体的时间关系或所走的路程关系一般情况下问题 一列快车从乙站开出每小时行公里慢车先开出小时快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇两车同时开出相背而行多少小时后两车相距公里两车同时开出慢车在快车后面同向而行多少小时后快车与慢车相距公里两车同9.修筑一条公路，甲工程队单独承包要 80 天完成，乙工程队单独承包要 120 天完成,现在由两个工程队合作承包，如果甲、乙两工程队合作了 30 天后，因甲工作队另有任务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？10.修筑一条公路，甲工程队单独承包要 8