第八章 二元一次方程组和消元;解二元一次方程组_中学教育-初中教育.pdf

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1、 年 级 初一 学 科 数学 版 本 人教新课标版 课程标题 第八章 8.1 8.2 二元一次方程组和消元解二元一次方程组 编稿老师 高静 一校 林卉 二校 黄楠 审核 路子华 一、考点突破 本讲主要学习二元一次方程和它的解，二元一次方程组及其解法，在中考试题中这两个考点时有出现。与二元一次方程组有关的试题一般难度不大，以选择题居多，与二元一次方程有关的问题常以填空题的形式出现，难度中等，可能会出现难题，学习以上内容时应注意“化归”思想的运用。二、重难点提示 重点：二元一次方程组的解法。难点：消元思想在解方程组中的运用，二元一次方程的特殊解。知识脉络图 二元一次方程二元一次方程的解二元一次方程

2、组 二元一次方程组的解法方程组代入消元法加减消元法 知识点一：二元一次方程和二元一次方程组 要点精讲：方程二元一次方程方程组二元一次方程组 典例精析：例题 1 已知x12y 1是方程组ax 3y 152x by 1的一个解，求 4（a 4b）3b2的值。思路导航：把x12y 1代入方程组ax 3y 152x by 1得出一个关于 a、b的方程组，求出方程组的解，再代入 4（a 4b）3b2进行计算即可。答案：因为x12y 1是方程组ax 3y 152x by 1的一个解，所以代入得：1 115 321ba，解得 a 24b 0。所以 4（a 4b）3b2 4（24 4 0）3 02 96 0

3、96。点评：这是一道求值问题，所求式子中字母的值是通过解方程组得到的，正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键。例题 2 写出方程 3x 4y 20的非正的整数解。思路导航：二元一次方程的解可以从不同的角度进行探究。一般情况下，应用一个未知数表示另一个未知数，然后猜测验证方程的特殊解。答案：移项，得 4y 20 3x，将 y的系数化为 1，得 y 534x，由此可得 x必须是 4的倍数时，y才可能是整数。令 x 0、4、8、，则 y 5、2、1、。所以原方程的非正的整数解为x 0y 5或x 4y 2。点评：要求二元一次方程的特殊解（如本题要求方程的解必须是零和负整数），需将方程进行变形，用一个

4、未知数表示另一个未知数，然后根据代数式的特点，经过多次检验，才能得到符合要求的解。知识点二：用代入消元法解二元一次方程组 要点精讲：用代入法解二元一次方程组的一般步骤 用一个未知数表示另一个未知数代入转化成一元一次方程得一元一次方程的解代入求另一个未知数的值 典例精析：例题 1 解方程组x y 35x 3（x y）1。思路导航：把代入即可求得 x，然后把 x的值代入即可求得 y的值。答案：把代入得：5x 3 3 1，解得，x 2。把 x 2代入得：y 1。所以方程组的解是x 2y 1。点评：用代入法解二元一次方程组时，一般情况下应选择系数较为简单的一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，将

5、其代入另一个方程。但有的时候应根据方程组的特点，采取灵活的代入方法，如本题可将 x y做为一个整体代入，而不必用一个未知数表示另一个未知数再代入。例题 2 用代入消元法解方程组x2y3132x3y432。思路导航：先将两个方程化简，再根据题目要求用代入消元法求解。答案：原方程化简得3x 2y 39 4x 3y 18，由得 y39 3x2 把代入中得 4x 339 3x2 18，解得 x 9。把 x 9代入中得 y 6。所以原方程组的解为x 9y 6。点评：方程组中的方程不是最简方程时，最好先将其化成最简方程，再选择合适的方法林卉二校黄楠审核路子华一考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解二元一

6、次方程组及其解法在中考试题中这两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题居多与二元一次方程有关的问题常以填空题的 法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图二元一次方程的解二元一次方程方程组二元一次方程组二元一次方程组的解法代入消元法加减消元法知识点一二元一次方程和二元一次方程组要点精讲典例精析 个解求的值得出一个关于的方程组求出方程组答案因为是方程组的一个解所以代入得解得所以点评这是一道求值问题所求式子中字母的值是通过解方程组得到的正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键例题写出方程的非正的整解方程。注意：用代入消元法解方程组时，由一个方程得出的表示式

7、必须代到另一个方程中去，稍有不慎就容易将其代到原方程中去。知识点三：用加减消元法解二元一次方程组 要点精讲：用加减法解二元一次方程组的一般步骤 将某个未知数的系数变得相同或相反两方程相加或相减转化成一元一次方程得一元一次方程的解求另一个未知数的值 典例精析：例题 1 解方程组4（x y 1）3（1 y）2x2y3 2。思路导航：首先对原方程组化简，然后运用加减消元法求解。答案：原方程组可化为：4x y 53x 2y 12，2得：11x 22，所以 x 2，把 x 2代入得 y 3。所以方程组的解为x 2y 3。点评：可用加减消元法来解的二元一次方程组，一般来说，某个未知数的系数应成整数倍，并且

8、要将它们变得相同或相反，所乘的数应尽量小，如果所乘的这个数非常大，则不建议用此法。例题 2 若 3x2m5n9 4y4m2n7 2是关于 x、y的二元一次方程，求（n 1）2013 m的值。思路导航：本题是应用二元一次方程的概念来解的一道题。其中 x、y为元，当然其次数应为 1，于是可以列出关于 m、n的二元一次方程组，进而可以求出 m、n。答案：由 3x2m5n9 4y4m2n7 2是关于 x、y的二元一次方程，得2m 5n 9 14m 2n 7 1，即2m 5n 8 4m 2n 8，2，12n 24，解得 n 2。代入式或式中可求得 m 1。所求（n 1）2013 m（2 1）2014（1

9、）2014 1。点评：本题主要考查二元一次方程的定义，m、n的值是通过方程组求得的，用加减法解二元一次方程组时，应根据两个未知数的系数的特点灵活运用，如本题也可用12。例题 1 在下列三个二元一次方程中，请你选择合适的两个方程组成二元一次方程组，然后求出方程组的解。可供选择的方程：y 2x 3，2x y 5，4x y 7。思路导航：根据二元一次方程组的定义（组成二元一次方程组的两个方程为各含两个未知数，且未知数的项的最高次数都是一次的整式方程）来组方程组，再选择合适的方法解方程组即可。答案：若选方程，得y 2x 3，2x y 5，。将代入得 4x 8，解得 x 2，将 x 2代入，解得 y 1

10、，故方程组的解是：x 2y 1。点评：本题主要考查了二元一次方程组的定义及二元一次方程组的解法。解答此题时，林卉二校黄楠审核路子华一考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解二元一次方程组及其解法在中考试题中这两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题居多与二元一次方程有关的问题常以填空题的 法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图二元一次方程的解二元一次方程方程组二元一次方程组二元一次方程组的解法代入消元法加减消元法知识点一二元一次方程和二元一次方程组要点精讲典例精析 个解求的值得出一个关于的方程组求出方程组答案因为是方程组的一个解所以代入得解得所以点

11、评这是一道求值问题所求式子中字母的值是通过解方程组得到的正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键例题写出方程的非正的整采用了“代入消元法”解二元一次方程组。若选择，用加减法较为合适。例题 2 已知：不论 k取什么实数，关于 x的方程2kx a3x bk6 1（a、b是常数）的根总是 x 1，试求 a、b的值。思路导航：首先把根 x 1代入原方程中得到一个关于 k的方程，再根据“方程与 k无关”的应满足的条件即可得 a、b的值。答案：把 x 1代入原方程并整理得（b 4）k 7 2a，要使等式（b 4）k 7 2a不论k取什么实数均成立，只有满足b 4 07 2a 0，解之得 a72，b 4。点

12、评：解答这类问题时应注意两点，一是正确理解“不论 k取什么实数”，说明原方程与 k无关，或 k的系数为 0；二是方程中字母较多，应注意分清已知数和未知数。1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。2.运用代入消元法解二元一次方程组的技巧和方法：（1）用代入法解题时，先比较两个方程的特点，选出一个系数比较简单的方程，并用一个未知数表示另一个未知数。（2）将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程

13、（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）。（3）当求出一个未知数的值后，通常把这个值代入用这个未知数表示另一个未知数的那个方程，去求另一个未知数的值。它远比把这个值代入原方程组中的任意一个方程去求另一个未知数的值要简便得多。3.运用加减消元法解二元一次方程组的技巧和方法：运用加减消元法解方程组时，要观察两个方程同一个未知数的系数，如果系数相等，将这两个方程直接相减；如果系数互为相反数，则将两个方程相加，消去该未知数，得到一个一元一次方程。4.一般来说，任何一个二元一次方程组都可以用代入法和加减消元法来解，但应根据方程组的特点灵活运用。第八章 8.3

14、8.4 实际问题与二元一次方程组和三元一次方程组的解法 一、预习新知 1.小颖用 36 元买了两种邮票共 40 枚，其中一种面值 1 元，另一种面值 0.8 元，则小颖买了面值 1 元的邮票 _枚，面值 0.8 元的邮票 _枚。2.某单位申请了甲乙两种贷款共 35 万元，每年需付利息 2.2 万元，甲种贷款的年利率为6%，乙种为 6.5%，若设甲、乙两种贷款的数额分别为 x、y 万元，则根据题意，可列方程组为 _。3.A、B 两地相距 150 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，同向而行，甲车 3 小时可追上乙车；相向而行，两车 1.5 小时相遇，那么甲、乙两车的速度分别为 _。林卉二校

15、黄楠审核路子华一考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解二元一次方程组及其解法在中考试题中这两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题居多与二元一次方程有关的问题常以填空题的 法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图二元一次方程的解二元一次方程方程组二元一次方程组二元一次方程组的解法代入消元法加减消元法知识点一二元一次方程和二元一次方程组要点精讲典例精析 个解求的值得出一个关于的方程组求出方程组答案因为是方程组的一个解所以代入得解得所以点评这是一道求值问题所求式子中字母的值是通过解方程组得到的正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键例题写出方程的非正的

16、整4.有一些苹果及苹果箱，若每箱装 25 千克，则剩余 40 千克无处装，若每箱装 30 千克，则余 20 只空箱，那么共有苹果 _千克，苹果箱 _只。5.方程组x y 3y z 22x 3y z 6的解为 _。二、问题思考 1.列方程组解应用题的基本思路是什么？2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤是怎样的？3.什么是三元一次方程组，怎样解三元一次方程组？（答题时间：60 分钟）一、选择题 1.若x 1y 2是关于 x、y 的二元一次方程 ax 3y 1 的解，则 a 的值为（）A.5 B.1 C.2 D.7 2.已知a 2b 43a 2b 8，则 a b 等于（）A.3 B.83 C.2

17、D.1 3.二元一次方程 x 2y 1 有无数多个解，下列四组值中，不是该方程的解的是（）A.x 0y12 B.x 1y 1 C.x 1y 0 D.x 1y 1 4.由方程组x m 6y 3 m，可得出 x 与 y 的关系式是（）A.x y 9 B.x y 3 C.x y 3 D.x y 9 5.楠溪江某景点的门票价格：成人票每张 70 元，儿童票每张 35 元。小明买 20 张门票共花了 1225 元，设其中有 x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（）A.x y 2035x 70y 1225 B.x y 2070 x 35y 1225 C.x y 122570 x 35y

18、 20 D.x y 122535x 70y 20 6.解方程组3m 4n 7 9m 10n 3 的 最好方法是（）A.由得 m7 4n3再代入 B.由得 m10n 39再代入 C.由得 3m 4n 7 再代入 D.由得 9m 10n 3 再代入*7.若 3x y 5 2x 2y 2 0，则 2x2 3xy 的值是（）A.14 B.4 C.12 D.12*8.已知x 4y 2与x 2y 5都是方程 y kx b 的解，则 k 与 b 的值为（）A.k12，b 4 B.k12，b 4 林卉二校黄楠审核路子华一考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解二元一次方程组及其解法在中考试题中这两个考点时有出

19、现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题居多与二元一次方程有关的问题常以填空题的 法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图二元一次方程的解二元一次方程方程组二元一次方程组二元一次方程组的解法代入消元法加减消元法知识点一二元一次方程和二元一次方程组要点精讲典例精析 个解求的值得出一个关于的方程组求出方程组答案因为是方程组的一个解所以代入得解得所以点评这是一道求值问题所求式子中字母的值是通过解方程组得到的正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键例题写出方程的非正的整C.k12，b 4 D.k12，b 4*9.若使方程组3x 5y a 42x 3y a的解 x 与 y

20、的和为 3，则 a 的值是（）A.7 B.4 C.0 D.4*10.若 4x 3y 6z 0，x 2y 7z 0（xyz 0），则式子5x2 2y2 z22x2 3y2 10z2的值等于（）A.12 B.192 C.15 D.13 二、填空题 11.已知 2xm1y3 与12xnym n是同类项，那么（n m）2012 _。12.若有理数 x、y 满足方程（x y 2）2 x 2y 0，则 x2 y3 _。*13.已知方程组2a 3b 133a 5b 30.9的解为a 8.3b 1.2，则方程组2（x 2）3（y 1）133（x 2）5（y 1）30.9的解是 _。*14.一个两位质数，它的个

21、位数字与十位数字之差的绝对值等于 5，这样的两位质数是_。三、解答题 15.解下列二元一次方程组：（1）x 3y 5 3y 8 2x；（2）4x 3y 11 2x y 13。*16.解方程组3x 6y 116x 3y 19，并求 xy的值。*17.儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8 折优惠，能比标价省 13.2 元。已知书包标价比文具盒标价的 3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？*18.已知 m 为整数，方程组4x 3y 66x my 26有整数解，求 m 的值。林卉二校黄楠审核路子华一考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解二元一次方程组及

22、其解法在中考试题中这两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题居多与二元一次方程有关的问题常以填空题的 法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图二元一次方程的解二元一次方程方程组二元一次方程组二元一次方程组的解法代入消元法加减消元法知识点一二元一次方程和二元一次方程组要点精讲典例精析 个解求的值得出一个关于的方程组求出方程组答案因为是方程组的一个解所以代入得解得所以点评这是一道求值问题所求式子中字母的值是通过解方程组得到的正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键例题写出方程的非正的整 1.D 解析：根据题意把x 1y 2代入 ax 3y 1，得 a 3

23、 2 1，解得 a 7。2.A 解析：把两个方程相加得 4a 4b 12，方程的两边都除以 4 即可得出答案。3.B 解析：将 x、y 的值分别代入 x 2y 中，看结果是否等于 1，判断 x、y 的值是否为方程 x 2y 1 的解。4.A 解析：把 m y 3 代入 x m 6，得 x y 3 6，即 x y 9。5.B 解析：根据“小明买 20 张门票”可得方程 x y 20；根据“成人票每张 70 元，儿童票每张 35 元，共花了 1225 元”可得方程 70 x 35y 1225，把两个方程组合即可。6.C 解析：从答案上看，此题用代入法求解。A、B 都带有分数计算，D 代入时 9m

24、不能取代 3m，需除以 3，也带有分数计算，而 C 的代入只需在方程两边乘 3，即 9m 12n 21，后代入即可。可见方法 C 最简捷，最好计算，应选 C。7.B 解析：根据题意可得3x y 5 02x 2y 2 0，解得x 1y 2，所以 2x2 3xy 2（1）23（1）（2）4。8.A 解析：根据题意可得4k b 2 2k b 5，解得k12b 4。9.A 解析：解方程组3x 5y a 42x 3y a得x 2a 12y a 8，所以 x y（2a 12）（a 8）3，解得 a 7。10.D 解析：把 z 看成已知数，解关于 x、y 的方程组4x 3y 6z 0 x 2y 7z 0，解

25、得x 3zy 2z。因为xyz 0，所以 z 0，所以5x2 2y2 z22x2 3y2 10z25（3z）2 2（2z）2 z22（3z）2 3（2z）2 10z252z 4z 13。11.1 解析：由于 2xm1y3 与12xnym n是同类项，所以有m 1 n3 m n，由 m 1 n 得 1n m，所以（n m）2012（1）2012 1。注意本题不必求出 m、n 的值。12.8 解析：由题意得x y 2 0 x 2y 0，解得 x 4，y 2，则 x2 y3 8。13.x 6.3y 0.2 解析：根据题意可知x 2 ay 1 b，即x 2 8.3y 1 1.2，所以x 6.3y 0.

26、2。14.61 或 83 解析：设个位数字是 x，十位数字是 y，则 x y 5 即 x y 5 或 y x 5。满足题意的解是x 6y 1和x 8y 3，所以这样的两位质数是 61 或 83。15.解：（1）把代入得：3y 8 2（3y 5），解得 y 2，把 y 2 代入可得：x 3 2 5，解得 x 1，所以二元一次方程组的解为x 1y 2。（2）3 得 10 x 50，解得 x 5，把 x 5 代入，得 2 5 y 13，解得 y 3。所以方程组的解是x 5y 3。16.解：解方程组3x 6y 116x 3y 19得x 3y13，所以 xy 313 1 1。17.解：设书包和文具盒的标

27、价分别为 x 元和 y 元，根据题意，得（x y）（1 0.8）13.2x 3y 6，解得x 48y 18。答：书包和文具盒的标价分别为 48 元和 18元。林卉二校黄楠审核路子华一考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解二元一次方程组及其解法在中考试题中这两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题居多与二元一次方程有关的问题常以填空题的 法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图二元一次方程的解二元一次方程方程组二元一次方程组二元一次方程组的解法代入消元法加减消元法知识点一二元一次方程和二元一次方程组要点精讲典例精析 个解求的值得出一个关于的方程组求出

28、方程组答案因为是方程组的一个解所以代入得解得所以点评这是一道求值问题所求式子中字母的值是通过解方程组得到的正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键例题写出方程的非正的整18.解：4x 3y 6 6x my 26，2 3 得（2m 9）y 34，即 y342m 9，因为原方程组的解是整数，所以只有当 2m 9 1、2、17、34 时 y 才能是整数，又因为 m 也是整数，所以 2m 9 一定是奇数，所以 2m 9 1 或 17，解得 m 4、5、4、13。林卉二校黄楠审核路子华一考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解二元一次方程组及其解法在中考试题中这两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题居多与二元一次方程有关的问题常以填空题的 法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图二元一次方程的解二元一次方程方程组二元一次方程组二元一次方程组的解法代入消元法加减消元法知识点一二元一次方程和二元一次方程组要点精讲典例精析 个解求的值得出一个关于的方程组求出方程组答案因为是方程组的一个解所以代入得解得所以点评这是一道求值问题所求式子中字母的值是通过解方程组得到的正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键例题写出方程的非正的整