“数形结合”在二次函数中的应用_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载“数形结合”在二次函数中的应用 数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。1、“以形解数”例 1：已知：点（-1，1y）（-3，2y）（2，3y）在 y=3x2+6x+2的图象上，则：1y、2y、3y的大小关系为（）A.1y 2y 3y B.2y1y3y C.2y3y1y D.3y2y1y 分析：由 y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象 1，由图象可以看出：抛物线的对称轴为直

2、线 x=-1 图 1 即：x=-1 时,y 有最小值,故排除 A、B，由图象可以看出：x=2 时 y3的值,比 x=-3 时 y2的值大,故选 c.例 2:已知抛物线 y=2x2+x-2m+1 与 x 轴的两个交点，在原点的两 侧，则 m 的取值范围是（）A m 12 B m 12 C m-12 D m716 x y O-1-1 2 学习必备 欢迎下载 分析：按常规,此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法，先画出抛物线 y=2x2+x-2m+1 的草图，易知当 x=0 时，y 0,因此，只要解不等式-2m+1 0 即 可，即 m12，故选 A 图 2 例 3：二次函

3、数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点在第三象限,且不经过第四象限,则此抛物线开口向，c 的取值范围，b 的取值范围，b2-4ac的取值范围。解：由题意画出图象，如图：从而判断：a 0,c 0 对称轴：x=-2ba 0 b 0 图象与 x 轴有两个交点：0 即 b2-4ac 0 注：以上各题是“以形助数”即 图 3 将数量关系借于图形及其性质，使其直观化，形象化，从而使问题得以解决。2、“以数助形”例 4:已知：二次函数m x m x y 1)1(22的图像与x轴交于A（1x，0）、B（2x，0），2 10 x x，与 y 轴交于点 C，且满足CO BO AO2 1 1 求：这个二次函数的解析

4、式；解:2 10 x x O x y X Y O-2m+1 体化数形结合是初中数学基本思想之一是用来解决数学问题的重要思想近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大本文通过实例浅谈数形结合在二次函数中的应用以形解数例已知点在的图象上则的大小关系为分析由画出 抛物线与轴的两个交点在原点的两侧则的取值范围是学习必备欢迎下载分析按常规此题要用判别式根与系数的关系列出不等式组解之若用数形结合的方法先画出抛物线的草图易知当时因此只要解不等式即可即故选图例二次函数的图 图从而判断对称轴图象与轴有两个交点即注以上各题是以形助数即图将数量关系借于图形及其性质使其直观化形象化从而使问题得以解决以数助形例已

5、知二次函数的图与轴交于与轴交于点且满足求这个二次函数的解析式解学习必备学习必备 欢迎下载 AO=-x1 OB=x2 a=1 0 CO=m+1 0 m-1 CO BO AO2 1 1 CO(OB-OA)=2AOOB 即(m+1)(x1+x2)=-2 x1x2 x1+x2=2（m-1），x1x2=-（1+m）图 4（m+1）2（m-1）=2（1+m）解得 m=-1（舍去），m=2 二次函数的解析式y=x2-2x-3 注：本题是“以数助形”即将线段长度关系CO BO AO2 1 1 转化为点的坐标，通过解方程求出m 的值，从而使问题轻易而举得以解决。3、“以数助形”“以形解数”例 5：如图 5，已知

6、二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象过点 C（0，53），与 x 轴 交 于 两 点 A 1,0 x、B 2 2 1,0 x x x，且1 2 1 24,5 x x x x.求（1）A、B 两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点 P 的坐标；（3）若一次函数 y=kx+m 的图象的顶点 P，把 PAB 分成两个部分，其中一部分的面积不大于PAB 面积的13，求 m 的取值范围。x O B A Y C 体化数形结合是初中数学基本思想之一是用来解决数学问题的重要思想近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大本文通过实例浅谈数形结合在二次函数中的应用以形解数例已知点在的图象上则的

7、大小关系为分析由画出 抛物线与轴的两个交点在原点的两侧则的取值范围是学习必备欢迎下载分析按常规此题要用判别式根与系数的关系列出不等式组解之若用数形结合的方法先画出抛物线的草图易知当时因此只要解不等式即可即故选图例二次函数的图 图从而判断对称轴图象与轴有两个交点即注以上各题是以形助数即图将数量关系借于图形及其性质使其直观化形象化从而使问题得以解决以数助形例已知二次函数的图与轴交于与轴交于点且满足求这个二次函数的解析式解学习必备学习必备 欢迎下载 解：（1）1 21 245x xx x 1 2x x 且 15 x，21 x.A、B 两点的坐标是 A（5，0），B（-1，0）（2）由 A（5，0），

8、B（-1，0），C（0，53），求得 y=-13（x-2）2+3.图 5 顶点 P 的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点 P（2，3）且过点 M（1，0）或 N（3，0）时，就把PAB 分成两部分，其中一个三角形的面积是PAB 的面积的13.过 N（3，0），P（2，3）的一次函数解析式为 y=-3x+9；过点 A（5，0），P（2，3）的一次函数解析式为 y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当 x=0 时，y=m，此一次函数图象与 y 轴的交点的纵坐标为 m，观察图形变化，可得 m 的取值范围是 5 m 9.过 B（-1，0），P（2，3）的一次函数解析式为 y=x+1；过点

9、M（1，0），P（2，3）一次函数解析式为 y=3x-3，观察图形变化，得 m 的取值范围是-3 m 1.m 的取值范围是-3 m 1 或 5 m 9.注：本题先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去进行观察分析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想。x O M N A B Y P C 体化数形结合是初中数学基本思想之一是用来解决数学问题的重要思想近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大本文通过实例浅谈数形结合在二次函数中的应用以形解数例已知点在的图象上则的大小关系为分析由画出 抛物线与轴的两个交点在原点的两侧则的取值范

10、围是学习必备欢迎下载分析按常规此题要用判别式根与系数的关系列出不等式组解之若用数形结合的方法先画出抛物线的草图易知当时因此只要解不等式即可即故选图例二次函数的图 图从而判断对称轴图象与轴有两个交点即注以上各题是以形助数即图将数量关系借于图形及其性质使其直观化形象化从而使问题得以解决以数助形例已知二次函数的图与轴交于与轴交于点且满足求这个二次函数的解析式解学习必备学习必备 欢迎下载 通过以上例子可以看出，正确地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易举得以解决。体化数形结合是初中数学基本思想之一是用来解决数学问题的重要思想近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大本文通过实例浅谈数形结合在二次函数中的应用以形解数例已知点在的图象上则的大小关系为分析由画出 抛物线与轴的两个交点在原点的两侧则的取值范围是学习必备欢迎下载分析按常规此题要用判别式根与系数的关系列出不等式组解之若用数形结合的方法先画出抛物线的草图易知当时因此只要解不等式即可即故选图例二次函数的图 图从而判断对称轴图象与轴有两个交点即注以上各题是以形助数即图将数量关系借于图形及其性质使其直观化形象化从而使问题得以解决以数助形例已知二次函数的图与轴交于与轴交于点且满足求这个二次函数的解析式解学习必备