应用高等数学教案_小学教育-小学学案.pdf

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1、 应用高等数学教案 第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则。同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续，和连续函数的若干重要性质。具体的要求如下：1 理解极限的概念。2 掌握极限四则运算法则。3 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。4 了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。5.理解函数在一点连续的概念。6.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。7.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理、零点定理和最大、最小值定理）。绪论 数学

2、：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像 17 世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。张顺燕数学与文化在北大数学文化节上的报告：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。有了微积分，人类才有能力把握运动和

3、过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了。初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学工具解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概

4、念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。第一节 函数、第二节 初等函数 1.掌握区间、邻域的概念。2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。5.掌握基本初等函数的性质及其图形。一邻域开区间(,)(,)U a a a，以 a 为中心的邻域(,)(,)(,)U a a a a a，以 a 为中心的去心邻域 二函数：定义 1（P3）)(x f y，)(x y，)(x y y，定义域，函数值，值

5、域。函数的两个要素：对应法则、定义域。三分段函数 1 0,5 40,3)(x xx xx f y 0 x称为“分界点”。2符号函数 0,10,00,1sgnxxxx y 3取整函数 x y，3.1=3，-3.1=-4。四反函数的定义：设有函数),(x f y 其定义域为W，如果对于W中的每一个y值，都可以从关系式),(x f y 确定唯一的x值（D x）与之对应，这样所确定的以y为自重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概

6、念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与变量的函数)()(1y f x y x 或 叫做函数)(x f y 的反函数，它对定义域为W，值域为D。习惯上，函数的自变量都用x表示，氢反函数通常表示为).(1x f y 五函数的几种特性 1有界性：设

7、)(x f y，定义域为 D，xD，0 M，恒有M x f)(。则称函数在 D 上有界。否则称函数在 D 上无界。xx f1)(，在 1，+)，有界；在(0,1)，无界。2单调性：设)(x f y，定义域为 D，2 1,x xD，当2 1x x 时)()(2 1x f x f，单调递增 当2 1x x 时)()(2 1x f x f，单调递减 单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。3 奇偶性：)()(x f x f 偶函数)()(x f x f 奇函数 4周期性：xD，T xD，)()(x f T x f 例 1狄里克莱函数 为无理数为有理数xxx D y,0,1)(。狄里克莱函数是周期函数

8、，但它没有最小正周期。2符号函数 0,10,00,1sgnxxxx y 3取整函数 x y，3.1=3，-3.1=-4。六复合函数)(u f y，)(x u)(x f y 例 3将下列函数“分解”成“简单”的函数：2sin x y，x y2sin，xe y arctan 七基本初等函数与初等函数：重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大

9、最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与1、常数函数)(为常数 C C y 2、幂函数)(为实常数 x y 3、指数函数),1,0(为常数 a a a a yx 4、对数函数),1,0(log 为常数 a a a x ya 5、三角函数x y x y x y x y x y x y csc,sec,cot,tan,cos,sin

10、6、反三角函数：x arc y x y x y x y cot,arctan,arccos,arcsin 初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。八双曲函数与反双曲函数 2sinhx xe ex y，2coshx xe ex y，作业 P2021 习题 2（3）、（4）、（6）；5；7。第四节 数列的极限 数列极限的定义 数列的定义：数列实质上是整标函数)(n f xn，n正整数集N（i）nxn1：1，21，31，n1，0（ii）nxnn1)1(1：2，21，34，1+nn 1)1(，1 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限

11、概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与确定 nxn11：要使 1

12、 nx100；要使1 nx10000；要使1 nx1。（iii）1)1(nnx：1，-1，1，1)1(n，不存在 数列极限描述性定义（P27）：如果当n无限增大时，数列 nx无限接近于一个确定的常数a，那么a就叫做数列 nx的极限，或称数列 nx收敛于a，记作 a xnn lim 或 当.,a x nn 时 数列极限定义：如果存在常数a，使得对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数 N，只要 nN，绝对值不等式a xn恒成立，则称数列 nx 以常数a为极限，记为nnx lim=a（或a xn，n）。数列极限的分析（N）定义：设R a，0，0 N，当N n 时，a xn恒成立，则将数列

13、nx 以常数a为极限，记为nnx lim=a（或a xn，n）。例 1 证明数列 2，21，34，43，nnn 1)1(，的极限是 1。证：分析 令nx=nnn 1)1(，记 a=1，要使a xn=1)1(1 nnn=n1=n1，取 N=1。重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科

14、数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与 证 明 0，1N，当 nN 时，恒 有 1)1(1nnn，故nnnn1)1(l i m=1。例 2 若21)(nn in sxn，证明：0 lim nnx。证：分析 a xn=0)1(sin2 nn=2)1(sin nn2)1(1 n11 nn1，要使a xnN 时，01)(nn sin2恒成立，故01)(nn sinlim2 n。例 3 设1

15、 q，证明数列：1，q，2q，1 nq，的极限是 0。证：分析 令1 nnq x，记 a=0，由于01 nq=1 nq=1 nq，要使 a xn，只要 1 nq，只要 ln ln)1(q n，只要q lnln1-n，只要1lnln qn，取 N=1lnlnq。证明 0，1lnln qN，当 nN 时，恒有 01 nq，故1lim nnq=0（当1 q时）。例 4 数列 nx 有界，又0 lim nny，证明n nny x lim=0。证：0 M，对一切 n 均有M xn，又0，对于01 M，0 N，当nN 时，恒有 0n ny x，1M y M y xn n n，所以n nny x lim=0

16、。重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里

17、张顺燕数学与收敛数列的性质 性质 1（有界性）收敛数列一定有界。注：有界数列不不一定收敛。性质 2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。数列极限的运算法则 如果a xnn lim，b ynn lim，那么（1）)(limn nny xnnx lim+b a ynn lim（2）n nny x lim nnx lim b a ynn lim（3）nnnyxlim)0(limlim bbayxnnnn 特别地，如果 C 为常数，那么由（2）得 nnCx lim Cn lim Ca xnn lim 无穷递缩等比数列的和（P30）qaq a q a q a a Sn 11 1121 1 1 化

18、循环小数为分数 例（P29 例 3）作业 P32 第 2 题（1）、（3）、（6）、（8）；第 3 题（3）、（4）；第 4 题（2）第五节 函数的极限 一、函数在当 x时极限 函数极限的描述性定义：设函数)(x f当|x|a 时有定义（a为某个常数），如果当自变量x的绝对值无限增大（记作 x）时，函数)(x f无限接近于某确定的常数A，则称A为函数)(x f当 x时的极限，记作 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念

19、并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与A x fn)(lim 或 当 x时，A x f)(函数在当 x时（X）定义：0，0 X，当X x 时，a x f)(恒成立，A x fx)(lim 注意：X x X x 或X x)(lim)(lim.3)

20、(lim.2)(lim.1)(limx f x fx fx fa x fx xxxx存在存在 二、函数在有限点处的极限 引例：11)(2xxx f，当1 x时，1)(x x f，1 x时，2)(x f 2)(lim1x fx 研究：)(x f在点0 x的某个去心邻域内有定义，当0 x x 时，a x f)(定义：如果存在常数 a，使得对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，当 00 x x时，a x f)(恒成立，记a x fx x)(lim0。0，0，当 00 x x时，a x f)(恒成立。例 1 证明下列极限：（1）C Cx x0lim；（2）00lim x xx x；（3）0

21、sin lim0 xx。证：（1）分析 这里0)(C C a x f，0 恒成立 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人

22、类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与证明 0，任取一个正数，当 00 x x时，0 C C恒成立，证之。（2）分析 由于 0)(x x a x f，只要 0 x x，取 证明 0，当 00 x x时，0 x x恒成立，故00lim x xx x（3）分 析 由 于x x a x f s i n 0 s i n)(，要 使 0 x x，只 要 x s i n，只要 arcsin arcsin x，即 a r c s i n 0 0 x，取 a r c s i n 证明 0，arcsin，当 x 0，0 sin x恒成立，故0 sin lim

23、0 xx 例 2 证明21 24 1lim221 xxx。证：分析 21 x，21 x，0 1 2 x 由于a x f)(=1 22 4 4 12 xx x=1 2)1 2(2 xx=1 2 x 要使 a x f)(，只要 1 2x，即)21(2 x，只要2 21 x，取2 证明 0，2，当)21(0 x时，21 24 12xx恒成立，证之。例 3 证明1 lim0 xxe。证：分析 由于1)(xe a x f，要使 1xe，只要 1 1xe，只要)1 ln()1 ln(x，即)1 l n(0)1 l n(x，取)1 l n(,)1 l n(m i n 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念

24、密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与证明 0，)1 ln(,)1

25、ln(min，当 0 0 x时，1xe 恒成立，证之。左极限)0()(lim)(lim0000 x f x f x fx xx x 右极限)0()(lim)(lim0000 x f x f x fx xx x 极限存在 右极限 左极限右极限存在左极限存在.3.2.1 例 4 当2 x时，讨论2,2,)(x ex xx fx的极限 三、极限的性质)(lim)(limlim0 x fx fxx xxnn具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。性质 1极限的 唯一性：如果)(lim0 x fx x存在，则极限唯一。证：反证法。设a x fx x)(lim0，b x fx x)(lim0

26、，且a b。02 a b，01，当1 00 x x时，有2)(a ba x f；02 a b，02，当2 00 x x时，有()2b af x b。重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯

27、在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与取,min2 1，上面两式均成立，由()()()()2 2b a b ab a f x a f x b f x a f x b b a 矛盾！性质 2 有极限函数的局部有界性：如果)(lim0 x fx x存在，则在点0 x的某个去心邻域内，函数)(x f有界。证：令)(lim0 x fx x=a，由定义，0，（对于=1），0，当0(,)x U x，a x f)(，()()()f x f x a a f x a a a。推论：收敛数列必有

28、界；无界数列必发散。性质 3有极限函数的保号性：如果a x fx x)(lim0且0 a（或0 a），则在点0 x的某个去心邻域内，函数0)(x f（或0)(x f）。证：不 妨 令0 a，取2a，0，当0(,)x U x 时，a x f)(，a x f a)(，02 2)(a aa a x f。性质 4函数极限的归并性：设)(lim0 x fx x存在，又设 nx是函数)(x f的定义域中的这样一个数列，它满足：0 x xn（n=1，2，），且)(lim)(lim0 x f x fx xnn。证：设a x fx x)(lim0，0，0，当0(,)x U x，恒有 a x f)(，即()(,)

29、f x U a。由于0lim x xnn，故知数列 nx只有有限多项在(,)U a 之外，根据数列极限的定义得)(lim)(lim0 x f a x fx xnn 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无

30、处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与例 1 数列)1(1 n是发散的。为什么？从概念可得出。例 2 证明当0 x时，xsin没有极限。证：取两个收敛于 0 的数列：1sin lim,021210 sin lim,01nnnnnnxnxx nx 极限不存在 不存在)(lim)(lim00 x fx fx xx x 例 3 对于数列 nx，若)(1 2 k a xk，)(2 k a xk，证明)(n a xn 证：0，01 N，当1 2 1 21 N k时，a

31、xk 1 2 0，02 N，当22 2 N k 时，a xk 2 0，2,1 2 max2 1N N N，当N n 时，恒有 a xn，即 a xnn lim 作业：P38 T1（1）、92）（3）、（7）、（8）。T5。第六节 函数极限的运算法则、两个重要极限 一、函数极限的四则运算法则 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值

32、定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与定理 1：设 A x f)(lim，B x g)(lim。则（1）)(lim)(lim)()(lim x g x f B A x g x f；（2）)(lim)(lim)()(lim x g x f B A x g x f；（3）当0 b时，)(lim)(lim)()(limx gx fBAx g

33、x f。推论 1、常数因子可以提到极限符号外面去，即).(lim)(lim x f C x Cf 推论 2 如果)(lim x f存在，则 k kx f x f)(lim)(lim)(为 自 然 数 k 注：上述法则对于 x时的情形也是成立的。例 1求下列极限：（1）164lim24 xxx；（2）4 53 2lim21 x xxx 例 2求下列极限：（1）1 3 72 4 3lim2 33 x x xx xx（2）1 3 72 4 3lim2 32 x x xx xx（3）1 3 72 4 3lim23 x xx xx 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的

34、概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与例 3设0 a，求33 3lima xa xa x。解：0)(

35、)()()()()()(3 23 3 2323 23 3 23 3323 3323 333 3 a ax xa xa ax x a xa x a xa xa x a xa xa x 二、极限存在准则 准则、如果数列 nx、ny、nz满足下列条件：（1）、（2）那么数列 nx的极限存在，且.lim a xnn 准则、单调有界数列必有极限。第一个重要极限：.1sinlim0 xxx 例 1 求下列极限：（1）xxxtanlim0（2）220202sin 2limcos 1limxxxxx x（3）lxmxxsinsinlim0 例 2 求xxxarcsinlim0 第二个重要极限：exxx 11

36、lim 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正

37、是这里张顺燕数学与例 3 求下列极限：（1）xxxtanlim0（2）220202sin 2limcos 1limxxxxx x（3）lxmxxsinsinlim0 例 4 求xxxarcsinlim0 作业：P43 T1（1）、（3）、（5）、（7）。T2（2）（4）、（6）。T（1）、（2）。第七节、无穷小与无穷大 一、无穷小 1、无穷小的定义 定义：以 0 为极限的函数（变量），称为无穷小量。定理：在自变量同一变化过程中，函数 f(x)有极限A的充分必要条件是)()(x A x f，其中()x 是无穷小量。2、无穷小的性质 性质 1、有限个无穷小量之和是无穷小量；证：（1）设0lim()

38、0 x xx，0)(lim0 xx x 0，01，当1 00 x x时，()2x 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人

39、类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与0，02，当 2 00 x x时，2)(x 1 2 0min,()()2 2x x x x 取 当 0 时，性质 2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。性质 3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。例 1求xxx1sin lim0。二、无穷大 1、无穷大的定义 定义 2、如果当)(0 x x x时，函数)(x f的绝对值无限增大，那么称)(x f为当)(0 x x x时的无穷大量，简称无穷大，记为)(lim()(lim0 x f x fx x x 定义 2、0 M（不论它多

40、么大），0，当 00 x x时，恒有M x f)(，认为)(lim0 x fx x 2、无穷大与无穷小的关系 定理：在自变量的同一变化过程中，（1）若)(x f是无穷大量，则)(1x f是无穷小量；反之（2）若)(x f是无穷小量，则)(1x f是无穷大量。三、无穷小的比较 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学

41、是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与引入 02lim20 xxx，2302limxxx，3232lim220 xxx，1sinlim0 xxx 定义：在自变量同一变化过程中，如果，均为无穷小量，若 10 lim，称是比高阶的无穷小量，记为)(；2 lim，称是比低阶的无穷小量；3C lim（0 C），称与是同阶无穷小量；4特别地当 C=1 时，即1

42、 lim，称与是等价无穷小量，记为 例 121)cos 1 tan(lim)cos 1(tanlimsin tanlim203030 xxxxxx xxx xx x x 21 cos 1lim20 xxx，称x cos 1 是 x 的二阶无穷小。四、等价无穷小量的性质 性质 1、与是等价无穷小的充分必要条件为).(性质 2、设，是无穷小量，且，如果a lim，则a lim 证：lim 1 lim 11lim lim。例 2求下列极限（1）)3 tan(5 sinlim0 xxx 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如

43、下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与（2）xx xxarcsinsin)1(lim0（3）1 ln)1 ln(lim)1 ln(lim10 0

44、 e xxxxx x（4）xexx1lim0（5）xxx550sinsinlim（6）x xx xx/sin/arcsinlim0 常见的等价无穷小有：当0 x时，（1）;sin x x（2）;tan x x（3）;arctan x x（4）221 cos 1 x x；（5）xnx n1 1。作业：P51 T2（1）、（2）、（5）、（8）。T3 第八节 函数的连续性 一、函数的连续性 1、函数的改变 定义 1、如果变量u从初值1u谈到2u，那么终值与初值的差1 2u u 叫做变量u的改变量（或增量），记作u，即 u=1 2u u。改变量u 可以是正的，也可以是负的。2、函数的连续性 重要性质

45、以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学

46、与定义 2：设函数)(x f y 在点0 x的某一邻域内有定义，若)(lim0 x fx x存在，且其极限值等于)(0 x f，即)()(lim00 x f x fx x，称函数)(x f在点0 x处连续，点0 x是)(x f的连续点。即：0，0，当 0 x x时，恒有)()(0 x f x f。记x x x x x x 0 0 0)(，)()(0 0 x f x x f y 定义 3：0 lim0 yx，函数)(x f在点0 x处连续，)()(lim00 x f x fx x函数值 极限值存在有意义 处有定义 在.3)(lim.2)(.100；x f）；（x x x fx x 连续)()(l

47、im.2)()(lim.10000 x f x fx f x fx xx x右连续左连续 如果函数在区间上的每一点处连续，则称为区间上的连续函数，基本初等函数在定义区间内连续。3、函数的间断点 如果函数)(x f在点0 x处不连续，则称0 x是)(x f的不连续点或间断点。如果函数)(x f有下列三种情形之一：（1）在点0 x处无定义，即)(0 x f不存在；（2）)(lim0 x fx x不存在；（3）)(lim0 x fx x及)(0 x f都存在，但)(lim0 x fx x)(0 x f 重要性质以及运算法则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重

48、要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与则 0 x就是)(x f的间断点。例 1研究下列函数在指定点的连续性：（1）xxysin

49、，点 x=0；（2）1,211,)(xx xx f当当；点 x=1；（3）0,10,00,1)(2x xxx xx f，点 x=0。例 2x y tan，点2 x。例 3xy1sin，点 x=0。例 4、证明函数)(x f=x sin在),(内是连续的。证明：x),(，当x有增量x 时，对应的函数的增量为)2c o s(2s i n 2 s i n)s i n(xxxx x x y，注意到|)2(cosxx x|1。得|2sin|2|sin)sin(|xx x x y 因为对于任意的角度，当0 时有，|sin|，所以有|2sin|2|sin)sin(|0 xxx x x y 重要性质以及运算法

50、则同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续和连续函数的若干重要性质具体的要求如下理解极限的概念掌握极限四则运算法则了解两个极限存在准则夹逼准则和单调有界准则会用两个 间断点的概念并会判别间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质介值定理零点定理和最大最小值定理绪论数学数学是研究空间形式和数量关系的一门学科数学是研究抽象结构及其规律特性的学科数学具有高的 巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学恩格斯在一切理论成就中未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那就正是这里张顺燕数学与因此，当