2022年三湘教育联盟高考仿真模拟数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高 考 数 学 模 拟 试 卷 请 考 生 注 意：1.请 用 2B铅 笔 将 选 择 题 答 案 涂 填 在 答 题 纸 相 应 位 置 上，请 用 0.5 毫 米 及 以 上 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 主 观 题 的 答 案 写 在 答 题 纸 相 应 的 答 题 区 内。写 在 试 题 卷、草 稿 纸 上 均 无 效。2.答 题 前，认 真 阅 读 答 题 纸 上 的 注 意 事 项，按 规 定 答 题。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合

2、 题 目 要 求 的。1.若 函 数/（x）=xlnx-公 2有 两 个 极 值 点，则 实 数”的 取 值 范 围 是（）A.B.C.（1,2）D.（2,e）2.若 复 数 二 满 足（l+i）z=|3+4i|,贝!|二 对 应 的 点 位 于 复 平 面 的（）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 3.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，图 中 圆 的 半 径 为 1,等 腰 三 角 形 的 腰 长 为 3,则 该 几 何 体 表 面 积 为（）A.B.6兀 C.5万 D.44-c|xy+304.已 知 y=与 函 数/（x）=21nx

3、+5和 g（x）=f+4 都 相 切，则 不 等 式 组，、所 确 定 的 平 面 区 域 在 x+by-20 2+/+2%一 2一 22=0 内 的 面 积 为（）A.2兀 B.3 4 C.（371 D.12万 5.中 国 古 代 中 的“礼、乐、射、御、书、数”合 称“六 艺”*礼”，主 要 指 德 育；“乐%主 要 指 美 育；“射”和“御”，就 是 体 育 和 劳 动；“书”，指 各 种 历 史 文 化 知 识；“数”，数 学.某 校 国 学 社 团 开 展“六 艺”课 程 讲 座 活 动，每 艺 安 排 一 节，连 排 六 节，一 天 课 程 讲 座 排 课 有 如 下 要 求：“乐

4、”不 排 在 第 一 节，“射”和“御”两 门 课 程 不 相 邻，则“六 艺”课 程 讲 座 不 同 的 排 课 顺 序 共 有（）种.A.408 B.120 C.156 D.2406.已 知 集 合 知=划 一 1 5,=卜|国 2,则 M C|N=（）A.x|-l%2 B.x 2x5 C.x|-lx5 D.x0 x27.i是 虚 数 单 位，复 数 二=1-，在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于（）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 8.直 线 y=A x+l 与 抛 物 线 C：炉=4)，交 于 4,B 两 点,直 线/A 8,且/与

5、C相 切，切 点 为 尸，记 的 面 积 为 S,则 S-|A的 最 小 值 为()9 27 32A.-B.-C.-4 4 2729.已 知 x 0,a=x,b=x J c=ln(l+x),贝!(2A.c b a B.b a c C.c a b10.如 图，圆。是 边 长 为 2 b 的 等 边 三 角 形 ABC的 内 切 圆，其 与 8 C边 相 切 于 点。，点”为 圆 上 任 意 一 点,BM=xBA+yBD(x,ye R),则 2x+y 的 最 大 值 为()D.D.6427b c O,O 0W)的 图 象 如 图 所 示，则 下 列 说 法 错 误 的 是()A.函 数/(力 在-

6、，一,上 单 调 递 减 37rB.函 数/(x)在 兀,w 上 单 调 递 增C.函 数/（X）的 对 称 中 心 是 侵 q,o 仅 ez）D.函 数/（力 的 对 称 轴 是 x=g（攵 e Z）/7T T C 7112.已 知 函 数/（x）=2cos/x 0）在 一 上 单 调 递 增，则 的 取 值 范 围（）.2（21 2-A.,2 B.0,C.D.（0,2.3 J I 3 _3二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.（2-X，）的 展 开 式 中 x 的 系 数 为.x314.在 一 次 医 疗 救 助 活 动 中，需 要 从 A 医 院 某

7、 科 室 的 6 名 男 医 生、4 名 女 医 生 中 分 别 抽 调 3 名 男 医 生、2 名 女 医 生,且 男 医 生 中 唯 一 的 主 任 医 师 必 须 参 加，则 不 同 的 选 派 案 共 有 种.（用 数 字 作 答）15.在 AA B C中，2AB=3AC,A Q 是 NBAC的 角 平 分 线，设=则 实 数，的 取 值 范 围 是.16.已 知 以 x2y=0为 渐 近 线 的 双 曲 线 经 过 点（4,1）,则 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 为.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.（12

8、 分）已 知/（x）=e-加 x.（1）若 曲 线 y=lnx在 点（f,2）处 的 切 线 也 与 曲 线 y=/（x）相 切，求 实 数，的 值;（2）试 讨 论 函 数 零 点 的 个 数.18.（12分）在 平 面 直 角 坐 标 系 宜 为 中，直 线/的 的 参 数 方 程 为 x=2+aty=4+向（其 中 r为 参 数），以 坐 标 原 点。为 极 点，工 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中，点 A 的 极 坐 标 为 2，W J,直 线/经 过 点 A.曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 psin2=4cos.（1）求 直 线/的 普 通 方 程 与

9、曲 线。的 直 角 坐 标 方 程；（2）过 点 P（G,0）作 直 线/的 垂 线 交 曲 线 C 于。,E 两 点（。在 x 轴 上 方），求 向 一 向 的 值.7T 7T19.（12分）如 图，在 AAOB中，已 知 乙 4。8=一，/840=，AB=4,O 为 线 段 A 3 的 中 点，AOC是 由 AAOB2 6绕 直 线 A。旋 转 而 成，记 二 面 角 的 大 小 为 9.DB(1)当 平 面 COD_L平 面 A O B 时，求。的 值；27r(2)当。=q-时，求 二 面 角 6-Q D C 的 余 弦 值.20.(12分)设 数 列 4,其 前“项 和 S,=3 2,

10、又 也 单 调 递 增 的 等 比 数 列，4贴 3=512,4+乙=a3+b5.(1)求 数 列 叫，也 的 通 项 公 式;b,、9(11)若%=伯-2)色-1)求 数 列 匕 的 前 11项 和 小 并 求 证：1x=C O S 721.(12分)曲 线 G 的 参 数 方 程 为,(。为 参 数)，以 原 点。为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中，曲 线 G 的 极 坐 标 方 程 为 cos2e=3sin6.(1)求 曲 线 G 的 极 坐 标 方 程 和 曲 线 G 的 直 角 坐 标 方 程;若 直 线/：丁=依 与 曲 线 G，G 的 交 点

11、分 别 为 A、B(A、8 异 于 原 点)，当 斜 率 丘 等，6 时，求 1 川+血 的 最 小 值.22.(10分)已 知 函 数/(力=+：+1.(1)证 明：当 x()时，(2)若 函 数/(x)只 有 一 个 零 点，求 正 实 数。的 值.参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。【解 析】试 题 分 析：由 题 意 得 了(力=111%+1-2公=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，所 以 尸(村=,-2。=0 必 有 解，则。0,

12、X且/便 卜 考 点：利 用 导 数 研 究 函 数 极 值 点【方 法 点 睛】函 数 极 值 问 题 的 常 见 类 型 及 解 题 策 略(I)知 图 判 断 函 数 极 值 的 情 况.先 找 导 数 为 0 的 点，再 判 断 导 数 为 0 的 点 的 左、右 两 侧 的 导 数 符 号.(2)已 知 函 数 求 极 值.求，(x)-求 方 程 F(x)=0 的 根 一-列 表 检 验。(x)在。(x)=0 的 根 的 附 近 两 侧 的 符 号 一 一 下 结 论.(3)已 知 极 值 求 参 数.若 函 数 f(x)在 点(xo,yo)处 取 得 极 值，则 f，(xo)=0,

13、且 在 该 点 左、右 两 侧 的 导 数 值 符 号 相 反.【解 析】利 用 复 数 模 的 计 算、复 数 的 除 法 化 简 复 数 z,再 根 据 复 数 的 几 何 意 义，即 可 得 答 案;【详 解】5(1-05 5.-12 2z对 应 的 点 位 于 复 平 面 的 第 四 象 限.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 复 数 模 的 计 算、复 数 的 除 法、复 数 的 几 何 意 义，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.3.C【解 析】几 何 体 是 由 一 个 圆 锥 和 半 球 组 成，其 中 半 球 的 半 径 为 1,圆 锥 的 母 线 长 为

14、3,底 面 半 径 为 1,计 算 得 到 答 案.【详 解】几 何 体 是 由 一 个 圆 锥 和 半 球 组 成，其 中 半 球 的 半 径 为 1,圆 锥 的 母 线 长 为 3,底 面 半 径 为 1,故 几 何 体 的 表 面 积 为 1,一 x3x2+2%x r=5万.2故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 了 根 据 三 视 图 求 表 面 积，意 在 考 查 学 生 的 计 算 能 力 和 空 间 想 象 能 力.4.B【解 析】根 据 直 线 丁=公+匕 与“X)和 g()都 相 切，求 得 的 值，由 此 画 出 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 以 及 圆

15、x2+y2+2x-2y-22=0,由 此 求 得 正 确 选 项.【详 解】2 2/(x)=-，g(x)=2x.设 直 线 y=+b 与“X)相 切 于 点 A(Xo,21n%+5),斜 率 为 一，所 以 切 线 方 程 为 XX02 2 2 1/1、1y_(21nx()+5)=(%/),化 简 得/=二+2111%+3.令 g(x)=2x=,解 得 x=，g=+4,X()演)玉)X。I 玉)J 玉)(、2/1、2 1 1所 以 切 线 方 程 为+4=x-一，化 简 得)，=一 尤-T+4.由 对 比 系 数 得 21nx+3=-?+4,(X。)xo k xo J xo xo X。化 简

16、得 21nx0+4 l=0.构 造 函 数(x)=21nx+3-l(x0),人(尤)=2 一 之=亚 芈 二 U,所 以 从 同 在 o X X X X(0,1)上 递 减，在(1,内)上 递 增，所 以(X)在 x=l处 取 得 极 小 值 也 即 是 最 小 值，而 M1)=O,所 以/?(x)=0 有 唯 一 解.也 即 方 程 有 唯 一 解 毛=1.所 以 切 线 方 程 为 y=2x+3.即 a=2,b=3.不 等 式 组 X-。即 x+h y-2 Qx-2y+30 x+3 2 0画 出 其 对 应 的 区 域 如 下 图 所 示.圆 x2+/+2x-2y-22=0 可 化 为(x

17、+if+(y=2 4,圆 心 为.而 方 程 组|xx-+23yy-+23=0。的 解 也 x 是=l 1.画 出 图 像 如 下 图 所 示 不 等 式 组|，x-+23y,+一 32?0。所 确 定 的 平 面 区 域 在/+/+2%-2 丁-22=0 内 的 部 分 如 下 图 阴 影 部 分 所 示.直 线 x-2y+3=()的 斜 率 为;，直 线 x+3y 2=()的 斜 率 1 11为 己.所 以 tan A B A C=tan(ZAED+ZA)E)=上-告=1,所 以 Z5AC=?,而 圆 A 的 半 径 为 后=2#,所 1-X-2 3以 阴 影 部 分 的 面 积 是 g

18、x?x(2=3万.故 选：B【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 根 据 公 共 切 线 求 参 数，考 查 不 等 式 组 表 示 区 域 的 画 法，考 查 圆 的 方 程，考 查 两 条 直 线 夹 角 的 计 算，考 查 扇 形 面 积 公 式，考 查 数 形 结 合 的 数 学 思 想 方 法，考 查 分 析 思 考 与 解 决 问 题 的 能 力，属 于 难 题.5.A【解 析】利 用 间 接 法 求 解，首 先 对 6 门 课 程 全 排 列，减 去“乐”排 在 第 一 节 的 情 况，再 减 去“射”和“御”两 门 课 程 相 邻 的 情 况，最 后 还 需 加 上“乐”排 在

19、 第 一 节，且“射”和“御”两 门 课 程 相 邻 的 情 况；【详 解】解：根 据 题 意，首 先 不 做 任 何 考 虑 直 接 全 排 列 则 有 醴=720（种），当“乐”排 在 第 一 节 有 父=120（种），当“射，和“御，两 门 课 程 相 邻 时 有$6=240（种），当“乐”排 在 第 一 节，且“射”和“御”两 门 课 程 相 邻 时 有 A；A：=48（种），则 满 足“乐”不 排 在 第 一 节，“射”和“御”两 门 课 程 不 相 邻 的 排 法 有 720-120-240+48=408（种），故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 排 列、组 合 的 应 用，注

20、意“乐”的 排 列 对“射”和“御”两 门 课 程 相 邻 的 影 响，属 于 中 档 题.6.A【解 析】考 虑 既 属 于 M 又 属 于 N 的 集 合，即 得.【详 解】N=x-2x2,:.M ryN=x-lxx0=2k,j0=k2则 点。到 直 线 3=辰+1的 距 离 4=，尸+1之 1从 而 S=J A.M=2（Y+1）.“2+I5-|AB|=2(A:2+1)-VF+1-4(Jt2+1)=2J3-4J2(1).令-4x2=/z(x)=6x2-8x(xl)当 14x44 时，/,(x)时，/(x)0故/O i n=/图=即 S-|AB|的 最 小 值 为-捺 本 题 正 确 选 项

21、：D【点 睛】本 题 考 查 直 线 与 抛 物 线 位 置 关 系 的 应 用，考 查 利 用 导 数 求 最 值 的 问 题.解 决 圆 锥 曲 线 中 的 面 积 类 最 值 问 题，通 常 采 用 构 造 函 数 关 系 的 方 式，然 后 结 合 导 数 或 者 利 用 函 数 值 域 的 方 法 来 求 解 最 值.9.D【解 析】令/(x)=ln(l+x)求 广(X)，利 用 导 数 判 断 函 数 为 单 调 递 增，从 而 可 得 ln(l+x)x 设 g(x)=ln(l+x)无，利 用 导 数 证 出 g(x)为 单 调 递 减 函 数，从 而 证 出 DxO,ln(l+x

22、)()时，X X-2令 f(%)=ln(l+x)x j,求 导 fx)=-+x=(2)1+x 1+xVx0,r(x)0,故/*)单 调 递 增：/(x)/(0)=0:.ln(l+x)X-当 工(),设 g(x)=ln(l+x)-x,一 X1+X0又 g(o)=o,.,.g(x)=ln(l+x)-x 0,ln(l+x)ln(l+x)x-.故 选：D【点 睛】本 题 考 查 了 作 差 法 比 较 大 小，考 查 了 构 造 函 数 法，利 用 导 数 判 断 式 子 的 大 小，属 于 中 档 题.10.C【解 析】建 立 坐 标 系，写 出 相 应 的 点 坐 标，得 到 2 x+），的 表

23、达 式，进 而 得 到 最 大 值.【详 解】以 D 点 为 原 点，BC所 在 直 线 为 x轴，A D所 在 直 线 为 y 轴，建 立 坐 标 系,设 内 切 圆 的 半 径 为 1,以（0,1）为 圆 心，1为 半 径 的 圆；根 据 三 角 形 面 积 公 式 得 到:x/周 长 x r=S=g x AB x AC x sin 60,可 得 到 内 切 圆 的 半 径 为 1；可 得 到 点 的 坐 标 为：川 6,0),C(6,0),A(0,3),0(0,0),M(cos仇 1+sin 0)丽=(cosd+迅,1+sin。)，丽=(6,3),丽=(6,0)故 得 到 BM=(cos

24、6+且+sinS)=(6 x+指 y,3x)故 得 至!|cos 0=+X+布 y-sin 8=3x 11+sin。x=-cos 6 sin。2y=7=-1+3 3cos。sin。4 2./八、4,八+-+-=sin(6+0)+W 2.J3 3 3 3 v 7 33,2 元+y故 最 大 值 为：2.故 答 案 为 C.【点 睛】这 个 题 目 考 查 了 向 量 标 化 的 应 用，以 及 参 数 方 程 的 应 用，以 向 量 为 载 体 求 相 关 变 量 的 取 值 范 围，是 向 量 与 函 数、不 等 式、三 角 函 数 等 相 结 合 的 一 类 综 合 问 题.通 过 向 量

25、的 运 算，将 问 题 转 化 为 解 不 等 式 或 求 函 数 值 域，是 解 决 这 类 问 题 的 一 般 方 法.【解 析】根 据 图 象 求 得 函 数 V=/(%)的 解 析 式，结 合 余 弦 函 数 的 单 调 性 与 对 称 性 逐 项 判 断 即 可.【详 解】由 图 象 可 得，函 数 的 周 期 T=2x5 7 1 兀 6 124=万，所 以=学=2.(j r、仃 rr 7 rr将 点 一,0 代 入/(x)=2cos(2x+0)中，得 2x上+9=2而 J(左 e Z),解 得 夕=2而(Z e Z),由 3 ZJ 3 2 60(p7T 9 可 得 夕=不，所 以

26、X)=2cos2x+54令 2k 2x+2%)+乃(k G Z),x Z：7 r+(Z:e Z),6 12 1257r 7 t故 函 数 y=/(x)在-+(&eZ)上 单 调 递 减,当 左=一 1时，函 数 y=x)在 一 17 1 1五 肛 一 五 乃 上 单 调 递 减，故 A正 确;令 2k冗 一 冗 4 2%+2k7r(k e Z),得 攵 万 一 x W%一 得(左 e Z),5 4故 函 数 y=/(x)在 k n一 5，-甘(6 Z)上 单 调 递 增.137r 1Q 7 7当 后=2时，函 数 y=/(x)在 上 单 调 递 增，故 B错 误;令 2*+葛=版+郛 e Z)

27、,得 x=苧 q(Z e Z),故 函 数 y=/(x)的 对 称 中 心 是 作 一 丑(Z e Z),故 C正 确；令 2%+2=攵(Z e Z),得 工=”一 包(Z e Z),故 函 数 y=/(x)的 对 称 轴 是=把 一.(w Z),故 D正 确.6 2 12 2 12故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 由 图 象 求 余 弦 型 函 数 的 解 析 式，同 时 也 考 查 了 余 弦 型 函 数 的 单 调 性 与 对 称 性 的 判 断，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 等 题.12.B【解 析】由 一 上 4 勺,可 得 一 上。一 4 3 一 4

28、结 合 y=cosx在-兀,0上 单 调 递 增，易 得 3 2 3 3 3 2 3-j6y-|,|(y-y u-兀,0,即 可 求 出 0 的 范 围.【详 解】,71 71 _ 2，71 7T 71 71 TC由“,可 得 co cox co,3 2 3 3 3 2 3(兀)71 兀 x=O0t,/(O)=2cos，而 0w,I 3/3，7T又 y=cos x 在-71,0上 单 调 递 增，且 一 w-71,0,兀 71-CD-2-713 3a)2 兀 兀 兀 兀 所 以 一 CO,CD 3 3 2 3C-71,O，则 71 兀 八 CD 02 3，即 2 2g W 一,故 0 0 刃

29、0故 选:B.【点 睛】本 题 考 查 了 三 角 函 数 的 单 调 性 的 应 用，考 查 了 学 生 的 逻 辑 推 理 能 力,属 于 基 础 题.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。13.80.【解 析】只 需 找 到(2-尤 2 展 开 式 中 的 一 项 的 系 数 即 可.【详 解】（2-）5展 开 式 的 通 项 为&1=禺 25-，（/）=（_ 1），仁 25一%2、令 r=2.则 7；=（-l）2C23x4=80/,故（2-,）的 展 开 式 中 X 的 系 数 为 80.%3故 答 案 为：80.【点 睛】本 题 考 查 二 项 式

30、定 理 的 应 用，涉 及 到 展 开 式 中 的 特 殊 项 系 数，考 查 学 生 的 计 算 能 力，是 一 道 容 易 题.14.60【解 析】首 先 选 派 男 医 生 中 唯 一 的 主 任 医 师，由 题 意 利 用 排 列 组 合 公 式 即 可 确 定 不 同 的 选 派 案 方 法 种 数.【详 解】首 先 选 派 男 医 生 中 唯 一 的 主 任 医 师，然 后 从 5名 男 医 生、4 名 女 医 生 中 分 别 抽 调 2名 男 医 生、2 名 女 医 生，故 选 派 的 方 法 为：=10 x6=60.故 答 案 为 60.【点 睛】解 排 列 组 合 问 题 要

31、 遵 循 两 个 原 则：一 是 按 元 素（或 位 置）的 性 质 进 行 分 类；二 是 按 事 情 发 生 的 过 程 进 行 分 步.具 体 地 说,解 排 列 组 合 问 题 常 以 元 素（或 位 置）为 主 体，即 先 满 足 特 殊 元 素（或 位 置），再 考 虑 其 他 元 素（或 位 置）.15 1 项【解 析】设 AB=,A C=2f,ABAD=A C A D=a，由 SBAD+SCAI）=S 曲，用 面 积 公 式 表 示 面 积 可 得 到 m u c o s a,利 用 即 得 解.【详 解】设 AB=3r,A C=2t,ZBAD=Z C A D=a,由 SAB

32、A。+Z CAD S 曲 c 得：-3/-2mt-sin a+2/-2mt sin a=3/-2/sin 2a,2 2 2化 简 得 m=cos a,由 于 a 6(0,卜 故 机 故 答 案 为：o,1【点 睛】本 题 考 查 了 解 三 角 形 综 合，考 查 了 学 生 转 化 划 归，综 合 分 析，数 学 运 算 能 力，属 于 中 档 题.16.A1 一 工=112 3【解 析】设 双 曲 线 方 程 为 x2-4y2=zl,代 入 点(4,1),计 算 得 到 答 案.【详 解】双 曲 线 渐 近 线 为 x2y=0,则 设 双 曲 线 方 程 为：x2-4y2=A,代 入 点(

33、4,1),则 2=12.故 双 曲 线 方 程 为：4-4=1-12 3故 答 案 为：Z _=i，12 3【点 睛】本 题 考 查 了 根 据 渐 近 线 求 双 曲 线，设 双 曲 线 方 程 为 4)/=2 是 解 题 的 关 键.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(1)rnl-e-2(2)答 案 不 唯 一 具 体 见 解 析【解 析】(D 利 用 导 数 的 几 何 意 义，设 切 点 的 坐 标(%“。-加 面)，用 不 同 的 方 式 求 出 两 种 切 线 方 程，但 两 条 切 线 本 质 为 同 一 e

34、 m e 条，从 而 得 到 方 程 组、,，再 构 造 函 数 研 究 其 最 大 值，进 而 求 得 机=1-e/；ex0-x=1(2)对 函 数 进 行 求 导 后 得 广(幻=-加，对 加 分 三 种 情 况 进 行 一 级 讨 论，即 机 0,结 合 函 数 图 象 的 单 调 性 及 零 点 存 在 定 理，可 得 函 数 零 点 情 况.【详 解】解：(1)曲 线 y=lnx在 点(e?,2)处 的 切 线 方 程 为 y-2=(x-e2),即 丁=+1.令 切 线 与 曲 线/(x)=ex-nvc相 切 于 点(Xo,ex-mx0),则 切 线 方 程 为 y=(et(-m)x

35、-e%(x0-l),e*-m=e 2/J,eXa-xoeXu=1:.(？+e-2)i-n(2+e-2)=i,令 机+e-2=r,则 f(l-lnf)=l,记 g(f)=/(1-lnr),g)=1-(1+In r)=.In/于 是，g。)在(0,1)上 单 调 递 增，在(L”)上 单 调 递 减，二 g(/)max=g 6=l，于 是 t=z+e-2=i，m=-ez.(2)/f(x)=ex-m,I 1 当 相 0恒 成 立，f(x)在 R 上 单 调 递 增，且/(0)=1-机 0,/(_!_)=一 1 0 时，令/(x)0,则 x l n m,即 函 数/(x)的 增 区 间 是(him,+

36、8),同 理，减 区 间 是(-8,In机)，(x)min=rn(l-nm).i)若 0 m(x)mm=rn(l-lnm)0,fx在 R 上 没 有 零 点；ii)若?=e,则/(%)=-ex有 且 仅 有 一 个 零 点；iii)若 心 e,则/(X幻 而=m(l-lnm)e 时，/z(zn)单 调 递 增，h(m)h(e)0.:./(21n m)=m2-2mnm=m(m-2nm)m(e-2)0又/(0)=l0,./(制 在 口 上 恰 有 两 个 零 点，综 上 所 述，当()W?e时，函 数 f(x)没 有 零 点；当 加 e时，/(x)恰 有 两 个 零 点.【点 睛】本 题 考 查

37、导 数 的 几 何 意 义、切 线 方 程、零 点 等 知 识，求 解 切 线 有 关 问 题 时，一 定 要 明 确 切 点 坐 标.以 导 数 为 工 具，研 究 函 数 的 图 象 特 征 及 性 质，从 而 得 到 函 数 的 零 点 个 数，此 时 如 果 用 到 零 点 存 在 定 理，必 需 说 明 在 区 间 内 单 调 且 找 到 两 个 端 点 值 的 函 数 值 相 乘 小 于 0,才 算 完 整 的 解 法.18.(1)y=/3x-2 y?=4x；(2)；【解 析】X-O C O S 0(1)利 用 代 入 法 消 去 参 数 可 得 到 直 线/的 普 通 方 程，利

38、 用 公 式.八 可 得 到 曲 线。的 直 角 坐 标 方 程;(2)设 直 线 OEy-psin B的 参 数 方 程 为 2。为 参 数)，1y-tI-2代 入 V=4 x 得/+8后 一 1 6 6=0,根 据 直 线 参 数 方 程 的 几 何 意 义，利 用 韦 达 定 理 可 得 结 果.【详 解】x-2-J3+at,a-,得 Ly=4+t/3,则 直 线/的 普 通 方 程 为 y=瓜-2.由 psin*=4cos，得/?2sin2=4/7cos。，即 y?=4x.(1)由 题 意 得 点 A 的 直 角 坐 标 为(石)，将 点 A 代 入，故 曲 线 C 的 直 角 坐 标

39、 方 程 为：/=4x.X=yJ3-1,(2)设 直 线 O E 的 参 数 方 程 为 2(/为 参 数)，1代 入 y2=4%得 产+8 6 一 16后=0.设。对 应 参 数 为 4，对 应 参 数 为 则/1+马=一 8 6，秘 2=T 6 6,且 40/20-1-1-_-1 1 _ 1-1-_/-,-+-r-2-_-1-PD|PE|/,|r2|乙 r2%2*【点 睛】参 数 方 程 主 要 通 过 代 入 法 或 者 已 知 恒 等 式(如 cos2 a+sin2 a=1等 三 角 恒 等 式)消 去 参 数 化 为 普 通 方 程，通 过 选 取 相 应 的 参 数 可 以 把 普

40、 通 方 程 化 为 参 数 方 程，利 用 关 系 式 x-pcosGy=psin0，必 2+八 2 小 2y 等 可 以 把 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方=tan程 互 化，这 类 问 题 一 般 我 们 可 以 先 把 曲 线 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程，用 直 角 坐 标 方 程 解 决 相 应 问 题.19.(1)e=g；(2)正 2 5【解 析】平 面 C O D，平 面 AO8,建 立 坐 标 系，根 据 法 向 量 互 相 垂 直 求 得;(2)求 两 个 平 面 的 法 向 量 的 夹 角.【详 解】如 图，以。为 原 点，在 平 面 内 垂 直 于

41、 的 直 线 为 r轴，。民 Q 4 所 在 的 直 线 分 别 为)，轴,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz,则 A(0,0,26),5(0,2,0),(0,1,逐),C(2sin 0,2cos0,0),设 勺=(x,y,z)为 平 面 C Q D 的 一 个 法 向 量，由，伍.诙=0-OC=0 y+任=0 xsin+ycos=0，取 z=sin 夕,则 用=(/3 cos 6,-3 sin 0,sin 3)因 为 平 面 A O?的 一 个 法 向 量 为 后=(1,0,0)由 平 面 C O D,平 面 A O B,得 雇=0所 以 逐 cos8=0 即-27r(2)

42、设 二 面 角 B-O D-C 的 大 小 为,当。=，平 面 C O D 的 一 个 法 向 量 为 3-百 厂 万 1-(3J 3cos3-，-J“3 sin3 sin-3)=(-2-2 2)c osa-同 司/T V T 5 4+4+4综 上,二 面 角 B-O D-C 的 余 弦 值 为-逝.5【点 睛】本 题 考 查 用 空 间 向 量 求 平 面 间 的 夹 角，平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定，二 面 角 的 平 面 角 及 求 法，难 度 一 般.20.(1)an=-6n+3,b“=2(2)详 见 解 析.【解 析】(1)当=1 时，。=51=-3,当 力 N2 时，an

43、-Sn-Sn_1-3n2-3(/?-1)2=-6n+3,当 二 1时，也 满 足 6n+3,:.a”6+3,等 比 数 列 也,她=1,:b、b2b3=Z?23=512=Z?2=8,又 V q+=%+4，8 1二 _3+_=-15+84=4=2或 4=_(舍 去)，Q 2=刈 矿=2Z,+1；，八 上，.、一 加 _ 2+,_ 2 1 1(2)由(1)可 得：%(2+i _ 2)(2 1)一(2-1)(2加-1)-2 一-2用，1 2 3 v2-l 22-1 22-1 23-1 2-1 2n+,-1=1 一 福 二 晨 显 然 数 列 是 递 增 数 列，2 12 2:三 肛=,即 W7；L)

44、21.(1)G 的 极 坐 标 方 程 为 夕=sin6；曲 线 C,的 直 角 坐 标 方 程 V=3y.(2)巫 3【解 析】(1)消 去 参 数，可 得 曲 线 G 的 直 角 坐 标 方 程 x2+y2y=0,再 利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化，即 可 求 解.(2)解 法 1：设 直 线/的 倾 斜 角 为。，把 直 线/的 参 数 方 程 代 入 曲 线 G 的 普 通 坐 标 方 程，求 得|。4|=冏，再 把 直 线/的 参 数 方 程 代 入 曲 线 的 普 通 坐 标 方 程，得|。8|=卜,|,得 出|Q4|+=sina+箸 名，利 用 基 本 不 等

45、 式，即 可 求 解;1 1 1 1 OB 3sin a解 法 2：设 直 线/的 极 坐 标 方 程 为 6=。，分 别 代 入 曲 线 G，C 的 极 坐 标 方 程，得|O4|=sina,|。叫=当 等，得 cos-a cos?oc出|Q4|+=sina+:74,即 可 基 本 不 等 式，即 可 求 解。|。回 3 sin a【详 解】(1)由 题 曲 线 的 参 数 方 程 为 1X 二 一 cos。；I(9为 参 数)，消 去 参 数,y=+sin(p可 得 曲 线 G 的 直 角 坐 标 方 程 为 V+(y-g)2=；,即 f+y2-y=0,则 曲 线 q 的 极 坐 标 方

46、程 为 22 一 夕 sine=0,即 夕=sine,又 因 为 曲 线 G 的 极 坐 标 方 程 为 pcos2 0=3sin 0,即 cos?0=32 sin 0,x=pcosO c根 据,八，代 入 即 可 求 解 曲 线 C,的 直 角 坐 标 方 程 V=3y.y=psin 9 解 法 h 设 直 线/的 倾 斜 角 为 X=tcosa 71 Jt则 直 线/的 参 数 方 程 为.(。为 参 数，-6Z-),y=tsina 6 3把 直 线/的 参 数 方 程 代 入 曲 线 C 的 普 通 坐 标 方 程 得：*-/sin a=0,解 得 4=0,=s i n,/.|04|=|

47、/2|=sinZ,把 直 线/的 参 数 方 程 代 入 曲 线 G 的 普 通 坐 标 方 程 得：*cos?二=3，sin a,八 3sin a 八 7 3sin a解 得，1=0，。2=5 9 08=,cos a-cos-a2sina+cos；a=-1(z-1-+2cs m.a),、3 sin a 3 sin a*/k e-,V3，即 tanap,G,:a 9:.snaz.+2sina 之 2、2sina=2近,sin a v sin a当 且 仅 当 一=2sina,即 sina=也 时 取 等 号，sma 2故|。山+血 的 最 小 值 为 手.解 法 2：设 直 线/的 极 坐 标

48、 方 程 为 6=。(;代 入 曲 线 G 的 极 坐 标 方 程，得。=sina,04=p=sina,把 直 线/的 参 数 方 程 代 入 曲 线 c2的 极 坐 标 方 程 得：pcos2 0=3sin a,3sincr 13 nl 八 川 3 sin a A 1.cos2 a 1 z 1 _.、:P=即。却=2=,.|OA|+i=sina+=-(-+2sina),cos a cos a OB 3sin a 3 sin a曲 线 G 的 参 丁 k G 二,即 tana G-,5/3,：a 9/.glnx,令 g(x)=x glnx,由 题 意 得，即 证 明 8(力 m 0 恒 成 立

49、，通 过 导 数 求 证 即 可(2)直 接 求 导 可 得,令 f(x)=0,得=2,或 x=0,故 根 据 0 与 2+，的 大 小 关 Cl CI系 来 进 行 分 类 讨 论 即 可【详 解】证 明：(1)令 g(x)=x Inx,则 g(x)=l-工=二 一.分 析 知，函 数 g(x)的 增 区 间 为(|,+8,减 区 间 为(og).所 以 当 X G(。+8)时,g(x)m g(|=|-|ln|=|(lTn|)(|(l-ln|卜 0).所 以 x|u n x,即 xn J2 A in A所 以 e*x所 以 当 x 0时，解：(2)因 为/(幻=r+”+1_ 1,所 以 a?

50、+(2 a _)x _ ex J(x)=-e2。一 1x-aexX讨 论:1 f 当 2 时 尸=一 了 2、Y-0,此 时 函 数/(x)在 区 间(f,m)上 单 调 递 减.7又/(0)=0,故 此 时 函 数/(X)仅 有 一 个 零 点 为 0；当 0 0,得 网 二！x 0,故 函 数/(x)的 增 区 间 为 2 a2a-la,o L 减 区 间 为 8,(0,+8 卜 又 极 大 值/(0)=0,所 以 极 小 值/2 一 1a 0.当 1 OJC 4-X 0,此 时“X)0,故 当 0“，时,令 尸(x)0得 0 0.若 x 2,贝！+一(依 2+工+)=%2一%一,得(。+