等比数列知识点并附例题及解析_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 精品知识点 等比数列知识点并附例题及解析 1、等比数列的定义：*12,nnaq q n n Na 0 且，q 称为 公比 2、通项公式：111 10,0n n nnaa a q q A B a q A Bq，首项：1a；公比：q 推广：n m n mn nn mn mm ma aa a q q qa a 3、等比中项：（1）如果,a A b 成等比数列，那么 A叫做 a 与 b 的等差中项，即：2A ab 或A ab 注意：同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项 有两个（2）数列 na 是等比数列21 1 n n na a a 4、等比数列的前 n 项和nS 公式：（1）

2、当 1 q 时，1 nS na（2）当 1 q 时，1111 1nnna qa a qSq q 1 1 1 1n n na aq A A B A B Aq q（,A B A B 为 常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 n，都有 11(0)nn n n nnaa qa q q a aa 或 为常数，为等比数列（2）等比中项：21 1 1 1(0)n n n n n na a a a a a 为等比数列（3）通项公式：0 nn na A B A B a 为等比数列 6、等比数列的证明方法：学习必备 精品知识点 依据定义：若*12,nnaq q n n Na 0 且 或1 n n

3、na qa a 为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N，在等比数列 na 中，有n mn ma a q。（3）若*(,)m n s t m n s t N，则n m s ta a a a。特别的，当 2 m n k 时，得2n m ka a a 注：1 2 1 3 2 n n na a a a a a（4）数列 na，nb 为等比数列，则数列 nka，nk a，kna，n nk a b，nnab（k为非零常数）均为等比数列。（5）数列 na 为等比数列，每隔*()k k N 项取出一项2 3(,)m m k m k m ka a a a 仍为等比数列（6）如果 na 是各项

4、均为正数的 等比数列，则数列 log a na 是 等差数列（7）若 na 为等比数列，则数列nS，2n nS S，3 2,n nS S，成等比数列（8）若 na 为等比数列，则数列1 2 na a a，1 2 2 n n na a a，2 1 2 2 3 n n na a a 成等比数列（9）当 1 q 时，110 0 nna aa a，则 为递增数列，则 为递减数列 当 1 q 0 时，110 0 nna aa a，则 为递减数列，则 为递增数列 当 1 q 时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当 0 q 时,该数列为摆动数列.（10）在等比数列 na 中，当项数为*2()n n

5、N 时，1SS q奇偶 二 例题解析【例 1】已知 Sn是数列 an 的前 n 项和，Sn pn(p R，n N*)，那么数列 an（）如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为

6、时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 A 是等比数列 B 当 p 0 时是等比数列 B C当 p 0，p 1 时是等比数列 D 不是等比数列【例 2】已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求 x1x2x3x2n【例3】a(1)a=4 an 2 5等比数列 中，已知，求通项公12 式；(2)已知 a3a4a5 8，求 a2a3a4a5a6的值【例 4】求数列的通项公式：(1)an 中，a1 2，an+1 3an 2(2)an 中，a1=2，a2 5，且 an+2

7、3an+1 2an 0 三、考点分析 考点一：等比数列定义的应用 1、数列 na 满足 1123n na a n，143a，则4a _ 2、在 数 列 na 中，若11 a，12 1 1n na a n，则 该 数 列 的 通 项na _ 考点二：等比中项的应用 1、已知等差数列 na 的公差为 2，若1a，3a，4a 成等比数列，则2a（）如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数

8、列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 A 4 B 6 C 8 D 10 2、若 a、b、c 成等比数列，则函数2y ax bx c 的图象与 x 轴交点的个数为（）A 0 B 1 C 2 D 不确定 3、已知数列 na 为等比数列，32 a，2 4203a a，

9、求 na 的通项公式 考点三：等比数列及其前 n 项和的基本运算 1、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（）A 3 B 4 C 5 D 6 2、已 知 等 比 数 列 na 中，33 a，10384 a，则 该 数 列 的 通 项na _ 3、若 na 为等比数列，且4 6 52a a a，则公比 q _ 4、设1a，2a，3a，4a 成等比数列，其公比为 2，则 1 23 422a aa a的值为（）A 14 B12 C 18 D 1 5、等 比 数 列 an 中，公 比 q=21且 a2+a4+a100=30，则 a1+a2+a100=_.考点四：等比数列及

10、其前 n 项和性质的应用 1、在等比数列 na 中，如果66 a，99 a，那么3a 为（）A 4 B 32 C 169 D 2 2、如果 1，a，b，c，9 成等比数列，那么（）A 3 b，9 ac B 3 b，9 ac C 3 b，9 ac D 3 b，9 ac 3、在等比数列 na 中，11 a，103 a，则2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a 等于（）A 81 B 5 27 27 C 3 D 243 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义

11、对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 4、在等比数列 na 中，9 100 a a a a，19 20a a b，则9 9 1 0 0a a 等于（）A 98ba B

12、9ba C 109ba D 10ba 5、在等比数列 na 中，3a 和5a 是二次方程25 0 x kx 的两个根，则2 4 6a a a 的值为（）A 25 B 5 5 C 5 5 D 5 5 6、若 na 是等比数列，且 0na，若2 4 3 5 4 62 25 a a a a a a，那么3 5a a 的值等于 考点五：公式11,(1),(2)nn nS naS S n 的应用 1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+an，满足条件 log2Sn=n，那么 an 是()A.公比为 2 的等比数列 B.公比为21的等比数列 C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

13、 2、等比数列前 n 项和 Sn=2n-1，则前 n 项的平方和为()A.(2n-1)2 B.31(2n-1)2 C.4n-1 D.31(4n-1)3、设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn=3n+r，那么 r 的值为 _.一、等差和等比数列比较：等差数列 等比数列 定义 d a an n 1)0(1 q qaann 递推公式 d a an n 1；md a an m n q a an n 1；m nm nq a a 通项公式 d n a an)1(1 11nnq a a（0,1 q a）中项 2k n k na aA（0,*k n N k n）)0(k n k n k n k na a a

14、 a G（0,*k n N k n）如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列

15、不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 二、等差数列的定义与性质 定义：1 n na a d（d 为常数），通项：11na a n d 等差中项：x A y，成等差数列 2A x y 前 n 项和：1112 2nna a n n nS na d 性质：na 是等差数列（1）若 m n p q，则m n p qa a a a；（2）数列 1 2 2 1 2,n n na a a 仍为等差数列，2 3 2 n n n n nS S S S S，仍为等差数列，公差为 d n；（3）若n na b，是等差数列，且前 n 项和分别为n nS T，则 2 12 1m mm ma

16、 Sb T（4）na 为等差数列2nS an bn（a b，为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数，可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数 n 2 的等差数列 na，有),)()()(1 1 1 2 2 2 1 2为中间两项 n n n n n n na a a a n a a n a a n S nd S S 奇 偶，1 nnaaSS偶奇.(6)项数为奇数 1 2 n 的等差数列 na，有)()1 2(1 2为中间项n n na a n S，na S S 偶 奇，1 nnSS偶奇.前n项和)(21 n na anS dn nna Sn2)1(1)2(1 11)1(1 11qqq a

17、aqq aq naSnnn 重要 性质),(*q p n m N q p n ma a a aq p n m),(*q p n m N q p n ma a a aq p n m 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差

18、数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 三、等比数列的定义与性质 定义：1 nnaqa（q 为常数，0 q），通项：11nna a q.等比中项：x G y、成等比数列2G xy，或 G xy.前 n 项和：11(1)1(1)1nnna qSa qqq（要注意 q！）性质：na 是等比数列（1）若 m n p q，则m n p qa a a a（2）2 3 2 n n n n nS S S S S，仍为等比数列,公比为nq.

19、四、数列求和的常用方法：1、裂项分组法：1 1 1 11 2 2 3 3 4 11 1 1 1 1 1 1 1()()()()1 2 2 3 3 4 11 11 1 1n nn nnn n（）、1 1 1 11,2,3,4,n3 9 27 811 1 1 11 2 3 43 9 27 81的前 和是：（+）+（+）2、错位相减法：凡 等差 数列和 等比 数列对应项的 乘积 构成的数列求和时用此方法，例：求：2 3 n-2 n-1 nnS=x 3x 5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x 1)解：2 3 n-2 n-1 nnS=x 3x 5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x

20、(x 1)2 3 4 n-1 n n+1nxS=x 3x 5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x 1)减 得：如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解

21、析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 2 3 n-1 n n+1n2 n-1n+1(1 x)S=x 2x 2x 2x 2x 2n 1 x2x 1 xx 2n 1 x1 x 从而求出nS。错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出式；(2)将式左右两边都乘以公比 q，得到式；(3)用，错位相减；(4)化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法 例：等差数列求和：n 1 2 3 n 2 n 1 nn n n 1 n 2 3 2 1S=a a a a a

22、 aS=a a a a a a 两式相加可得：n 1 n 2 n 1 3 n 2 3 n 2 2 n 1 1 n2S=a a a a a a a a a a a a 即：1 n2 n a anS 所以 等比数列例题解析【例 1】已知 Sn是数列 an 的前 n 项和，Sn pn(p R，n N*)，那么数列an A是等比数列 B当 p 0 时是等比数列 C当 p 0，p 1 时是等比数列 D不是等比数列【例 2】已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求 x1x2x3x2n 1 nn a a2nS如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是

23、等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点【例3】a(1)a=4 an 2 5等比数列 中，已知，求通项公1

24、2 式；(2)已知 a3a4a5 8，求 a2a3a4a5a6的值【例 4】已知 a 0，b 0 且 a b，在 a，b 之间插入 n 个正数 x1，x2，xn，使得 a，x1，x2，xn，b 成等比数列，求 证 x x xa bnn1 22【例 5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(b c)2(c a)2(d b)2(a d)2【例 6】求数列的通项公式：(1)an 中，a1 2，an+1 3an 2(2)an 中，a1=2，a2 5，且 an+2 3an+1 2an 0【例7】a a a a(a a)a 2a(a a)a a a=0 a a a a1 2 3 4 12224221 3

25、 4 22321 2 3 4若实数、都不为零，且满足 求证：、成等比数列，且公比为 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备

26、精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点【例 8】若 a、b、c 成等差数列，且 a 1、b、c 与 a、b、c 2 都成等比数列，求 b 的值【例 9】已知等差数列 an 的公差和等比数列 bn 的公比都是 d，又知 d 1，且 a4=b4，a10=b10：(1)求 a1与 d 的值；(2)b16是不是 an 中的项？【例10】a b=(12)b b b=218b b b=18n nan1 2 31 2 3设 是等差数列，已知，求等差数列的通项【例 11】三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数

27、列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数【例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知

28、是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数【例 13】已知三个数成等差数列，其和为 126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到 85，76，84 求这两个数列【例 14】已知在数列 an 中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列【例 15】已知(b c)logmx(c a)logmy(a b)logmz=0

29、(1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z 成等比数列(2)设正数 x，y，z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证：a，b，c 成等差数列 等比数列例题解析【例 1】已知 Sn是数列 an 的前 n 项和，Sn pn(p R，n N*)，那么数列an A是等比数列 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项

30、取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 B当 p 0 时是等比数列 C当 p 0，p 1 时是等比数列 D不是等比数列 分析 由 Sn pn(n N*)，有 a1=S1 p，并且当 n 2 时，an=Sn Sn-1 pn pn-1(p 1)pn-1 故，因此数列 成等比数列 a=(p 1)p a p 0p 1 0

31、(p 1)p2 nn 1()()p pp ppn212 但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D 说明 数列 an 成等比数列的必要条件是 an 0(n N*)，还要注 意对任，都为同一常数是其定义规定的准确含义 n*n 2 Naann 1【例 2】已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求 x1x2x3x2n 解 1，x1，x2，x2n，2 成等比数列，公比 q 2 1q2n+1 x1x2x3x2n qq2q3q2n=q1+2+3+2n=q2n(1+2n)2 qn n n()2 12【例3】a(1)a=4 an 2 5等比数列 中，已知，求通项公12 式；(2)已知 a3a4a5

32、 8，求 a2a3a4a5a6的值 解(1)a=a q q=5 25 2 12 a a q 4()()(2)a a a a a a a=8n 2n 2 n 2 n 43 5 423 4 5 43 1212 a4 2 又 a a a a aa a a a a=a=322 6 3 5 42 3 4 5 6 452 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数

33、列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点【例 4】已知 a 0，b 0 且 a b，在 a，b 之间插入 n 个正数 x1，x2，xn，使得 a，x1，x2，xn，b 成等比数列，求 证 x x xa bnn1 22 证明 设这 n 2 个数所成数列的公比为 q，则 b=aqn+1 qbax x

34、x aqaq aq aqaba bnnnnnn 11 22122【例 5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(b c)2(c a)2(d b)2(a d)2 证法 一 a、b、c、d 成等比数列 abbccd b2 ac，c2 bd，ad bc 左边=b2 2bc c2 c2 2ac a2 d2 2bd b2=2(b2 ac)2(c2 bd)(a2 2bc d2)a2 2ad d2(a d)2右边 证毕 证法二 a、b、c、d 成等比数列，设其公比为 q，则：b aq，c aq2，d=aq3 左边(aq aq2)2(aq2 a)2(aq3 aq)2 a2 2a2q3 a2q6=(a aq3

35、)2(a d)2=右边 证毕 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等

36、比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有 b、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、c 的路子证法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例 6】求数列的通项公式：(1)an 中，a1 2，an+1 3an 2(2)an 中，a1=2，a2 5，且 an+2 3an+1 2an 0 思路：转化为等比数列 解(1)a=3a 2 a 1=3(a 1)n+1 n n+1 n a

37、n 1 是等比数列 an 1=33n-1 an=3n 1(2)a 3a 2a=0 a a=2(a a)n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n an+1 an 是等比数列，即 an+1 an=(a2 a1)2n-1=32n-1 再注意到 a2 a1=3，a3 a2=321，a4 a3=322，an an-1=32n-2，这些等式相加，即可以得到 a=31 2 2 2=3=3(2 1)n2 n-2 n 1 2 12 11 n 说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现 an 1是等比数列，(2)中发现 an+1 an 是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现【例7】

38、a a a a(a a)a 2a(a a)a a a=0 a a a a1 2 3 4 12224221 3 4 22321 2 3 4若实数、都不为零，且满足 求证：、成等比数列，且公比为 证 a1、a2、a3、a4均为不为零的实数 为实系数一元二次方程等式 说明上述方程有实数根(a a)x 2a(a a)x a a=0(a a)a 2a(a a)a a a=0 a1222 22 1 3 22321222422 1 3 4 22324 上述方程的判别式 0，即 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时

39、为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 2a(a a)4(a a)(a a)=4(a a a)0(a a a)02 1 3212222232

40、221 32221 32 又 a1、a2、a3为实数 必有 即(a a a)0a a a=0 a=a a221 32221 3 221 3 因而 a1、a2、a3成等比数列 又 a=2a42()()()a aa aa a aa a aaa1 312222 1 3121 3212 a4即为等比数列 a1、a2、a3的公比【例 8】若 a、b、c 成等差数列，且 a 1、b、c 与 a、b、c 2 都成等比数列，求 b 的值 解 设 a、b、c 分别为 b d、b、b d，由已知 b d 1、b、b d 与 b d、b、b d 2 都成等比数列，有 b=(b d 1)(b d)b=(b d)(b

41、d 2)22 整理，得 b=b d b db=b d 2b 2d2 2 22 2 2 b d=2b 2d 即 b=3d 代入，得 9d2=(3d d 1)(3d d)9d2=(2d 1)4d 解之，得 d=4 或 d=0(舍)b=12【例 9】已知等差数列 an 的公差和等比数列 bn 的公比都是 d，又知 d 1，且 a4=b4，a10=b10：(1)求 a1与 d 的值；(2)b16是不是 an 中的项？思路：运用通项公式列方程 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义

42、对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 解(1)a=ba=b3d=a da 9d=a da(1 d)=3da(1 d)=9d4 410 101 131 191319由 a

43、 d d 2=06 3 舍 或d da d d1 2313 31 22 2()(2)b16=b1d15=32b1 且 a=a 3d=2 2=bb=b d=2b=2 2b=a=24 1344 13131 13 b16=32b1=32a1，如果 b16是 an 中的第 k 项，则 32a1=a1(k 1)d(k 1)d=33a1=33d k=34 即 b16是 an 中的第 34 项【例10】a b=(12)b b b=218b b b=18n nan1 2 31 2 3设 是等差数列，已知，求等差数列的通项 解 设等差数列 an 的公差为 d，则 an=a1(n 1)d b=(12)b b=(1

44、2)(12)=(12)bna1 3a a+2d 2(a+d)2211 1 1()n d 1 由，解得，解得，代入已知条件整理得b b b=18b=18b=12b b b=18b b=14b b=1781 2 3 2321 2 3 1 31 3b b b1 2 3218 解这个方程组，得 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一

45、项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 b=2 b=18b=18b=21 3 1 3，或，a1=1，d=2 或 a1=3，d=2 当 a1=1，d=2 时，an=a1(n 1)d=2n 3 当 a1=3，d=2 时，an=a1(n 1)d=5 2n【例 11】三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等

46、差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数 解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a，aq，aq2 由已知：a，aq 4，aq2成等差数列 即：2(aq 4)=a aq2 a，aq 4，aq2 32 成等比数列 即：(aq 4)2=a(aq2 32)aq 2=4a，两式联立解得：或这三数为：，或，a=2q=3a=29q=52 6 1829109509 解法二 按等差数列设三个数，设原数列为 b d，b 4，b d 由已知：三个数成等比数列 即：(b 4)2=(b d)(b d)8b d=162 b d，b，b d 32 成等比数列 即 b2=(b d)(b d 32)32b d 3

47、2d=02 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数

48、列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点、两式联立，解得：或三数为，或，b=269d=83b=10d=82 6 1829109509 解法三 任意设三个未知数，设原数列为 a1，a2，a3 由已知：a1，a2，a3成等比数列 得：a=a a221 3 a1，a2 4，a3成等差数列 得：2(a2 4)=a1 a3 a1，a2 4，a3 32 成等比数列 得：(a2 4)2=a1(a3 32)、式联立，解得：或a=29a=109a=509a=2a=6a=18123123 说明 将三个成等差数列的数设为 a d，a，a d；将三个成 等比数列的数设为，或，是一种常用技巧，可起到 a aq aq(

49、a aq)2aq 简化计算过程的作用【例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数 分析 本题有三种设未知数的方法 方法一 设前三个数为 a d，a，a d，则第四个数由已知条 件可推得：()a da2 方法二 设后三个数为 b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为 2b bq 如果成等比数列那么叫做与的等差中项即或注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比中项有两个数列是等比数列等比数列的前项和公式当时当时为常数等比数列的判定方法用定义对任意的都有为常数或为等比数列等比中项为 质对任何在等比

50、数列中有若则特别的当时得注数列为等比数列则数列为非零常数均为等比数列数列为等比数列每隔项取出一项仍为等比数列如果是各项均为正数的等比数列则数列是等差数列若为等比数列则数列成等比数列若为等比 数列也为等差数列当时该数列为摆动数列在等比数列中当项数为时奇偶二例题解析例已知是数列的前项和那么数列学习必备精品知识点是等比数列当时是等比数列当时是等比数列不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求学习必备 精品知识点 方法三 设第一个数与第二个数分别为 x，y，则第三、第四个数依次为 12y，16 x 由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 a d a a