必修三数学知识点总结--_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 精品知识点 必修 5 第一章 解三角形 1、正弦定理：在C 中，a、b、c分 别为 角、C的 对边，R为C 的外接 圆 的半径，则 有2sin sin sina b cRC 2、正弦定理的 变 形公式：2 sin a R，2 sin b R，2 sin c R C；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sin a b c C；sin sin sin sin sin sina b c a b cC C（正弦定理主要用来解决两 类问题：1、已知两 边 和其中一 边 所 对 的角，求其余的量。2、已知两角和一 边，求其余的量。）对 于已知两 边 和其中一 边 所 对

2、 的角的 题 型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形 ABC 中，已知 a、b、A（A为锐 角）求 B。具体的做法是：数形 结 合思想 画出 图：法一：把 a 扰 着 C 点旋 转，看所得 轨 迹以 AD有无交点：当无交点 则 B 无解、当有一个交点 则 B 有一解、当有两个交点 则 B 有两个解。法二：是算出 CD=bsinA,看 a 的情况：当 absinA，则 B 无解 当 bsinAb 时，B 有一解 注：当 A为钝 角或是直角 时 以此 类 推既可。3、三角形面 积 公式：1 1 1sin sin sin2 2 2CS bc ab C ac 4、余弦定理：在C 中

3、，有2 2 22 cos a b c bc，2 2 22 cos b a c ac，2 2 22 cos c a b ab C 5、余弦定理的推 论：2 2 2cos2b c abc，2 2 2cos2a c bac，2 2 2cos2a b cCab(余弦定理主要解决的 问题：1、已知两 边 和 夹 角，求其余的量。2、已知三 边 求角)6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C 的角、C的 对边，则：若2 2 2a b c，则90 C；若2 2 2a b c，则90 C；若2 2 2a b c，则90 C 正余弦定理的 综 合 应 用：如 图 所示：隔河看两目 标 A、B,但不能到达，在岸

4、 边选 取相距3千米的 C、D两点，并 测 得 ACB=75 O,BCD=45 O,ADC=30 O,ADB=45 O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目 标 A、B 之 间 的距离。本 题 解答 过 程略 附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中 线 交点.外心：三角形三 边 垂直平分 线 相交于一点.内心：三角形三内角的平分 线 相交于一点.垂心：三角形三 边 上的高相交于一点 D bsinA A b a C C A B D 学习必备 精品知识点 第二章 数列 1、数列：按照一定 顺 序排列着的一列数 2、数列的 项：数列中的每一个数 3、有 穷 数列：项 数有限的数列 4、无 穷 数

5、列：项 数无限的数列 5、递 增数列：从第 2 项 起，每一 项 都不小于它的前一 项 的数列（即：an+1an）6、递 减数列：从第 2 项 起，每一 项 都不大于它的前一 项 的数列（即：an+1an）7、常数列：各 项 相等的数列（即：an+1=an）8、摆动 数列：从第 2 项 起，有些 项 大于它的前一 项，有些 项 小于它的前一 项 的数列 9、数列的通 项 公式：表示数列 na的第n项 与序号n之 间 的关系的公式 10、数列的 递 推公式：表示任一 项na与它的前一 项1 na（或前几 项）间 的关系的公式 11、如果一个数列从第 2 项 起，每一 项 与它的前一 项 的差等于

6、同一个常数，则这 个数列称 为 等差数列，这 个常数称 为 等差数列的公差符号表示:1 n na a d。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：),2(1为常数 d n d a an n 21 1 n n na a a(2 n)b kn an(k n,为 常数 12、由三个数a，b组 成的等差数列可以看成最 简单 的等差数列，则称 为a与b的等差中 项 若2a cb，则 称b为a与c的等差中 项 13、若等差数列 na的首 项 是1a，公差是d，则 11na a n d 14、通 项 公式的 变 形：n ma a n m d；11na a n d；11na adn；1 1 na and；n

7、ma adn m 15、若 na是等差数列，且m n p q（m、n、p、*q），则m n p qa a a a；若 na是等差数列，且2n p q（n、p、*q），则2n p qa a a 16、等 差 数 列 的 前n项 和 的 公 式：12nnn a aS；112nn nS na d 1 2 n ns a a a 17、等 差 数 列 的 前n项 和 的 性 质：若 项 数 为*2n n，则 2 1 n n nS n a a，且S S n d 偶 奇，1nnSaS a奇偶 若 项 数 为*2 1 n n，则 2 12 1n nS n a，且nS S a 奇 偶，1SnS n奇偶（其中nS

8、 na 奇，学习必备 精品知识点 1nS n a 偶）18、如果一个数列从第2项 起，每一 项 与它的前一 项 的比等于同一个常数，则这 个数列称 为 等比数列，这 个常数称 为 等比数列的公比符号表示：1 nnaqa（注：等比数列中不会出 现值为 0 的 项；同号位上的 值 同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0,2(1 且 为常数 q n q a an n 1 12 n n na a a(2 n，01 1 n n na a a)nncq a(q c,为 非零常数).正数列 na 成等比的充要条件是数列 n xa log（1 x）成等比数列.19、在a与b中 间 插入一个数G，使

9、a，G，b成等比数列，则G称 为a与b的等比中 项 若2G a b，则 称G为a与b的等比中 项（注：由2G ab 不能得出a，G，b成等比，由a，G，b 2G ab）20、若等比数列 na的首 项 是1a，公比是q，则11nna a q 21、通 项 公式的 变 形：n mn ma a q；11nna a q；11nnaqa；n mnmaqa 22、若 na是等比数列，且m n p q（m、n、p、*q），则m n p qa a a a；若 na是等比数列，且2n p q（n、p、*q），则2n p qa a a 23、等 比 数 列 na的 前n项 和 的 公 式：1111111 1nnn

10、na qSa qa a qqq q 1 2 n ns a a a 24、对 任意的数列 na 的前 n 项 和nS 与通 项na 的关系：)2()1(11 1n s sn a san nn 注：d a nd d n a an 1 11（d 可 为 零也可不 为 零 为 等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若 d 不 为 0，则 是等差数列充分条件）.等差 na 前 n 项 和 nda ndBn An Sn 2 212 2 2d可以 为 零也可不 为 零 为 等差的充要条件若 d 为 零，则 是等差数列的充分条件；若 d 不 为 零，则 是等差数列的充分条件.非零常数列既可 为 等比数列，也

11、可 为 等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常 见 的数列的思想方法：学习必备 精品知识点 1、等差数列的前 n 项 和 为nS，在 0 d 时，有最大 值.如何确定使nS 取最大 值时 的 n 值，有两种方法：一是求使 0,01n na a，成立的 n 值；二是由 nda ndSn)2(212 利用二次函数的性 质 求 n 的 值.数列通 项 公式、求和公式与函数 对应 关系如下：数列 通 项 公式 对应 函数 等差数列（时为 一次函数）等比数列（指数型函数）数列 前 n 项 和公式 对应 函数 等差数列（时为 二次函数）等比数列（指数型函数）我 们 用函数的 观 点揭开了数列

12、神秘的“面 纱”，将数列的通 项 公式以及前 n 项 和看成是关于 n 的函数，为 我 们 解决数列有关 问题 提供了非常有益的启示。例 题：1、等差数列 na中n a m am n,，)(m n 则 m na.分析：因 为 na是等差数列，所以na是关于 n 的一次函数，一次函数 图 像是一条直 线，则（n,m）,(m,n),),(m na m n三点共 线，所以利用每两点形成直 线 斜率相等，即m m nn an mm nm n)(，得0 m na（图 像如上），这 里利用等差 数列通 项 公式与一次函数的 对应 关系，并 结 合 图 像，直 观、简洁。例 题：2、等差数列 na中，251

13、 a，前 n 项 和 为nS，若17 9S S，n 为 何 值时nS最大？分析：等差数列前 n 项 和nS可以看成关于 n 的二次函数nda ndSn)2(212 是抛物 线nda ndn f)2(2)(12 上的离散点，根据 题 意，17 9S S，则 因 为 欲求nS最大 值，故其 对应 二次函数 图 像开口向下，并且 对 称 轴为13217 9 x，即当13 n时，nS最大。学习必备 精品知识点 例 题：3 递 增数列 na，对 任意正整数 n，n n an 2恒成立，求 分 析：1)构 造 一 次 函 数，由 数 列 na递 增 得 到：01 n na a对 于 一 切 恒 成 立，即

14、恒成立，所以)1 2(n 对 一切 恒成立，设)1 2()(n n f，则 只需求出)(n f的最大 值 即可，显 然)(n f有最大 值3)1(f，所以的取 值 范 围 是：3。2)构造二次函数，看成函数，它的定 义 域是，因 为 是递 增数列，即函数 为递 增函数，单调 增区 间为,抛物 线对 称 轴，因 为 函数f(x)为 离散函数，要函数 单调递 增，就看 动轴 与已知区 间 的位置。从 对应图 像上看，对 称 轴 在的左 侧，也可以（如 图），因 为 此 时 B 点比 A点高。于是，得 2、如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的 对应项 乘 积，求此数列前 n 项 和可依照等

15、比数列前 n 项 和的推倒 导 方法：错 位相减求和.例如：,.21)1 2,.(413,211nn 3、两个等差数列的相同 项 亦 组 成一个新的等差数列，此等差数列的首 项 就是原两个数列的第一个相同 项，公差是两个数列公差2 1d d，的最小公倍数.4.判断和 证 明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定 义 法:对 于 n 2 的任意自然数,验证)(11nnn naaa a为 同 一 常 数。(2)通 项 公 式 法。(3)中 项 公 式 法:验 证2 12 n n na a a N n a a an n n)(221都成立。5.在等差数列 na 中,有关 Sn 的最 值问题：(

16、1)当1a0,d0 时，满 足001 mmaa的 项 数 m使得ms取最大 值.(2)当1a0 时，满 足001 mmaa的 项 数 m使得ms取最小 值。在解含 绝对值 的数列最 值问题时,注意 转 化思想的 应 用。学习必备 精品知识点 附：数列求和的常用方法 1.公式法:适用于等差、等比数列或可 转 化 为 等差、等比数列的数列。2.裂 项 相消法:适用于 1 n na ac其中 na 是各 项 不 为 0 的等差数列，c 为 常数；部分无理数列、含阶 乘的数列等。例 题：已知数列 an 的通 项为 an=1(1)n n,求 这 个数列的前 n 项 和 Sn.解：观 察后 发现：an=1

17、 11 n n 1 21 1 1 1 1(1)()()2 2 3 1111n ns a a an nn 3.错 位相减法:适用于 n nb a其中 na 是等差数列，nb是各 项 不 为 0 的等比数列。例 题：已知数列 an 的通 项 公式 为2nna n，求 这 个数列的前 n 项 之和ns。解：由 题设 得：1 2 3 n ns a a a a=1 2 31 2 2 2 3 2 2nn 即ns=1 2 31 2 2 2 3 2 2nn 把式两 边 同乘 2 后得 2ns=2 3 4 11 2 2 2 3 2 2nn 用-，即：ns=1 2 31 2 2 2 3 2 2nn 2ns=2 3

18、 4 11 2 2 2 3 2 2nn 得 2 3 111 111 2 2 2 2 22(1 2)21 22 2 2(1)2 2n nnnnn nns nnnn 1(1)2 2nns n 4.倒序相加法:类 似于等差数列前 n 项 和公式的推 导 方法.学习必备 精品知识点 5.常用 结论 1）:1+2+3+.+n=2)1(n n 2）1+3+5+.+(2n-1)=2n 3）23 3 3)1(212 1 n n n 4）)1 2)(1(613 2 12 2 2 2 n n n n 5）11 1)1(1 n n n n)21 1(21)2(1 n n n n 6）)()1 1(1 1q pq p

19、 p q pq 第三章 不等式 1、0 a b a b；0 a b a b；0 a b a b 2、不等式的性 质：a b b a；,a b b c a c；a b a c b c；,0 a b c ac bc，,0 a b c ac bc；,a b c d a c b d；0,0 a b c d ac bd；0,1n na b a b n n；0,1 n n a b a b n n 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 4、含 绝对值 不等式、一元二次不等式的解法及延伸（1）整式不等式（高次不等式）的解法 穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022

20、11 0 a a x a x a x ann n n 解法：将不等式化 为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则 找“线”在 x 轴 上方的区 间；若不等式是“0”,则 找“线”在 x 轴 下方的区 间.+学习必备 精品知识点（自右向左正 负 相 间）例 题：求不等式2 23 6 8 0 x x x 的解集。解：将原不等式因式分解 为：(2)(1)(4)0 x x x 由方程：(2)(1)(4)0 x x x 解得1 2 32,1,4 x x x 将 这 三个根按从小到大 顺 序在数 轴 上 标 出来，如 图 由 图 可看出不等式2 23 6 8 0 x x x 的解集 为：|

21、2 1,4 x x x 或 例 题：求解不等式(1)(2)(5)0(6)(4)x x xx x 的解集。解：略 一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式 axb 解的 讨论；一元二次不等式 ax 2+bx+c0(a0)解的 讨论.0 0 0 二次函数 c bx ax y 2（0 a）的 图象+-2 1 4 x 学习必备 精品知识点 一元二次方程 的根 002 ac bx ax 有两相异 实 根)(,2 1 2 1x x x x 有两相等 实 根 abx x22 1 无 实 根 的解集)0(02 ac bx ax 2 1x x x x x 或 abx x2 R 的解集)0(02 ac bx a

22、x 2 1x x x x 对 于 a0(或)()(x gx f0)；)()(x gx f 0(或)()(x gx f 0)的形式，2）转 化 为 整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x gx g x fx gx fx g x fx gx f 例 题：求解不等式：11x 解：略 例 题：求不等式11xx的解集。(3).含 绝对值 不等式的解法：基本形式：型如：|x|a(a 0)的不等式 的解集 为：|x a x a 型如：|x|a(a 0)的不等式 的解集 为：|,x x a x a 或 变 型：|(0)|ax b c c x c ax b c 型的不等式的解集可以由

23、解得。其中-cax+bc 等价于不等式 组ax b cax b c 在解-cax+bc 得注意 a 的符号)0(c c b ax型的不等式的解法可以由|,x ax b c ax b c 或来解。对 于含有两个或两个以上的 绝对值 的不等式：用“零点分区 间 法”分 类讨论 来解.绝对值 不等式解法中常用几何法：即根据 绝对值 的几何意 义 用数形 结 合思想方法解 题.例 题：求解不等式|2|1 x 解：略 例 题：求解不等式：|2|3|10 x x 解：零点分 类讨论 法：3 2 x 学习必备 精品知识点 分 别 令 2 0 3 0 x x 和 解得：3 2 x x 和 在数 轴 上，-3

24、和 2 就把数 轴 分成了三部分，如右上 图 当3 x 时，（去 绝对值 符号）原不等式化 为：(2)(3)103x xx 1123xx 1132x 当3 2 x 时，（去 绝对值 符号）原不等式化 为：3 2(2)(3)10 xx x 3 2 xx R 3 2 x 当2 x 时，（去 绝对值 符号）原不等式化 为：2(2)(3)10 xx x 292xx922x 由得原不等式的解集 为：11 9|2 2x x（注：是把的解集并在一起）函数 图 像法：令()|2|3|f x x x 则 有：2 1(3)()5(3 2)2 1(2)x xf x xx x 在直角坐 标 系中作出此分段函数及()1

25、0 f x 的 图 像如 图 由 图 像可知原不等式的解集 为：11 9|2 2x x(4).一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a0)的 实 根的分布常借助二次函数 图 像来分析：设 ax 2+bx+c=0 的两根 为、，f(x)=ax 2+bx+c,那么：若两根都大于 0，即0,0，则 有000 对称轴 x=2ba y o x 92 112 5()f x=10 y 3 o 2 x 学习必备 精品知识点 若两根都小于 0，即0,0，则 有002(0)0baf 若两根有一根小于 0 一根大于 0，即0，则 有(0)0 f 若两根在两 实 数 m,n 之 间，即m n，则 有02()0()0b

26、m naf mf n 若两个根在三个 实 数之 间，即m t n，则 有()0()0()0f mf tf n 常由根的分布情况来求解出 现 在 a、b、c 位置上的参数 例如：若方程2 22(1)2 3 0 x m x m m 有两个正 实 数根，求m的取 值 范 围。解：由型得000 2 224(1)4(2 3)02(1)02 3 0m m mmm m 111,3mmm m 或 3 m 所以方程有两个正 实 数根 时，3 m。又如：方程2 21 0 x x m 的一根大于 1，另一根小于 1，求m的范 围。解：因 为 有两个不同的根，所以由 对称轴 x=2ba o x y o y x X=2

27、ba n x m o y X=2ba y o m t n x 学习必备 精品知识点 0(1)0 f 2 22 2(1)4(1)01 1 1 0mm 5 52 21 1mm 1 1 m 5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式 6、二元一次不等式 组：由几个二元一次不等式 组 成的不等式 组 7、二元一次不等式（组）的解集：满 足二元一次不等式 组 的x和y的取 值 构成有序数 对,x y，所有这样 的有序数 对,x y构成的集合 8、在平面直角坐 标 系中，已知直 线0 x y C，坐 标 平面内的点 0 0,x y 若0，0 00 x y C，则 点 0 0,x y

28、在直 线0 x y C 的上方 若0，0 00 x y C，则 点 0 0,x y 在直 线0 x y C 的下方 9、在平面直角坐 标 系中，已知直 线0 x y C（一）由 B 确定：若0，则0 x y C 表示直 线0 x y C 上方的区域；0 x y C 表示直 线0 x y C 下方的区域 若0，则0 x y C 表示直 线0 x y C 下方的区域；0 x y C 表示直 线0 x y C 上方的区域（二）由 A的符号来确定：先把 x 的系数 A化 为 正后，看不等号方向：若是“”号，则0 x y C 所表示的区域 为 直 线 l:0 x y C 的右 边 部分。若是“”号，则0

29、 x y C 所表示的区域 为 直 线 l:0 x y C 的左 边 部分。（三）确定不等式 组 所表示区域的步 骤：画 线：画出不等式所 对应 的方程所表示的直 线 定 测：由上面（一）（二）来确定 求交：取出 满 足各个不等式所表示的区域的公共部分。例 题：画出不等式 组2 5 03 52 5 0 x yy xy x 所表示的平面区域。解：略 10、线 性 约 束条件：由x，y的不等式（或方程）组 成的不等式 组，是x，y的 线 性 约 束条件 目 标 函数：欲达到最大 值 或最小 值 所涉及的 变 量x，y的解析式 线 性目 标 函数：目 标 函数 为x，y的一次解析式 线 性 规 划

30、问题：求 线 性目 标 函数在 线 性 约 束条件下的最大 值 或最小 值问题 可行解：满 足 线 性 约 束条件的解,x y 学习必备 精品知识点 可行域：所有可行解 组 成的集合 最 优 解：使目 标 函数取得最大 值 或最小 值 的可行解 11、设a、b是两个正数，则2a b 称 为 正数a、b的算 术 平均数，ab称 为 正数a、b的几何平均数 12、均 值 不等式定理：若0 a，0 b，则2 a b ab，即2a bab 13、常用的基本不等式：2 22,a b ab a b R；2 2,2a bab a b R；20,02a bab a b；22 2,2 2a b a ba b R

31、 14、极 值 定理：设x、y都 为 正数，则 有：若x y s（和 为 定 值），则 当x y 时，积xy取得最大 值24s 若xy p（积为 定 值），则 当x y 时，和x y 取得最小 值2 p 例 题：已知54x，求函数1()4 24 5f x xx 的最大 值。解：54x，4 5 0 x 由原式可以化 为：1 1 1 1()4 5 5 2(5 4)3(5 4)3(5 4)3 1 3 24 5 5 4 5 4 5 4f x x x x xx x x x 当15 45 4xx，即2(5 4)1 x 31(2x x，或 舍去）时 取到“=”号 也就是 说 当1 x 时 有max()2 f x