变分法基本引理与证明.docx

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1、变分法基本引理与证明一、基本引理:设C*代表人阶导数连续(及阶光滑)的函数空间，代表无限光滑的函数 空间。若任意九(1) G。”dU满意下列两式则 Vz (a. b) : f(x) = 0。设 z)eC8 反 6Proof：令r(0满意下列两个条件：r(a) = r(b) = 0.Vt (a. b) : r(z) 0.由于只要存在一个满意条件的八(工)使得/(工)=,那么不论有没有其他同样 满意条件的M0,此结果/(力=。都会为真，因此我们只须证明其中一个特 例。所以可令力。)=1)/(1)。这就是一个特例由h(x) =可得到0 = / f(x)h(x) dx =，r(x)f(x)2 dxJ

2、HJ tko由于r(0在 & 6是正值，所以/(必需恒等于0。define :/(x)2 = g(%) 0下证：Cg(x)r(x)dx = 0,其中g(x) 0, r(x) 0,对Vx G a,b上成立。必有 g(x)=0, Vx G a, b oproof：由积分中值定理得：30 E a, b, s. t. grdx = r(0) g(x)dx = 0.and r(。) 0,故 g(x)dx = 0.下面用反证法:假设,m6H 0, i.e.下) 0.由连续函数的局部保号性得:36 0, s. t.在去心邻域(|1 3, + 5)中,g(x) N 0.所以:Jebr l-8r /Z + 5r bg(x)dx = I g(x)dx + I g(x)dx + I g(x)dx 0 aJq(1-8上式中第1, 3项大于等于0,而其次项严格大于0.与题设冲突，则原假设不成立。得证：g(x)=0, for all %6见句，也即，g(x) = /(汽)2 = 三 0.即 Vz (a, 6) : /(x) = 0o三、欧拉方程的推导：max广产上第(。/6)也 其中%)表示函数以。对t的一阶导数。设已经解得 x(t) ”subject to x(t0) = xQ %Qi)=与设已经解得最优解*(。