2023年广州执信中学高二下学期期末数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共6页 2022-2023 学年度第二学期高二级数学科期末考试试卷学年度第二学期高二级数学科期末考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分为页，满分为 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出

2、答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不

3、按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁和平整考生必须保持答题卡的整洁和平整.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.设集合03Mxx=，163Nxx=，则()RMN=（）A.06xxB.133xx C.36xxD.36xx2.复数4i1iz=+，则z=（）A.22i B.22i+C.22i+D.22i3.函数(sinsin2)yxxx=的部分图象大致为（）A.B.2023年广州执信中学高二下学期

4、期末数学试题第2页/共6页 C.D.4.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，且该圆台侧面积为3 5，则原圆锥的母线长为（）A.2B.5C.4D.2 55.某兴趣小组研究光照时长 x（h）和向日葵种子发芽数量 y（颗）之间的关系，采集 5组数据，作如图所示的散点图若去掉()10,2D后，下列说法正确的是（）A 相关系数 r 变小 B.决定系数2R变小C.残差平方和变大D.解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强6.已知函数()()ee2xxxf x=，则21log3af=，342bf=，432cf=的大小关系为（）A.bacB.abcC.cabD.

5、acb7.已知抛物线21:4Cyx=的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与1C及抛物线22:4Cyx=的所有公共点从左到右分别为点A B C，则BC=（）A.4B.6C.8D.108.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距,a b分别作为点P的x坐标和y坐标，记(),P a b.若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，则该坐标系中()11,M x y和()22,N xy两点间的距离为（）.第3页/共6页 A.()()()()221212121

6、22cosxxyyxxyy+B.()()()()22121212122cosxxyyxxyy+C.()()()()22121212122cosxxyyxxyy+D.()()()()22121212122cosxxyyxxyy+二二 多选题：本题共多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的在每小题给出的 4 个选项中，有多项符合个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.下列结论正确的是（）A.若随机变量X服从两点分布，1(1)2P X=，则()

7、12E X=B.若随机变量Y的方差()2D Y=，则(32)8D Y+=C 若随机变量服从二项分布14,2B，则1(3)4P=D.若随机变量服从正态分布()25,N，(2)0.1P=，则(28)0.8P=10.已知函数21()3sin coscos2f xxxx=+，则下列说法正确的是（）A ()sin 26f xx=B.函数()f x的最小正周期为C.函数()f x的图象的对称轴方程为()Z12xkk=+D.函数()f x的图象可由cos2yx=的图象向左平移12个单位长度得到11.一口袋中有除颜色外完全相同的 3个红球和 2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取 1 个球，记事件 A1：第

8、一次取出的是红球；事件 A2：第一次取出的是白球；事件 B：取出的两球同色；事件 C：取出的两球中至少有一个红球，则（）.第4页/共6页 A.事件1A，2A为互斥事件 B.事件 B，C为独立事件C.()25P B=D.()234P C A=12.已知函数()sinlnf xxx=+，将()f x所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 nx，对于正整数 n，则下列说法中正确的有（）A.()1 nnxn B.1nnxx+三三 填空题：本题共填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.函数()lnf xxx=在ex=处的切线方程为_14.若12nxx展开式的二

9、项式系数之和为 64，则展开式中的常数项是_.15.某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5 门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报 2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有_种.（用数字作答）16.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质例如，点 P为双曲线（1F，2F为焦点）上一点，点 P处的切线平分12FPF已知双曲线 C：22142xy=，O 为坐标原点，l是点103,2P处的切线，过左焦点1F作 l的垂线，垂足为 M，则OM=_ 四四

10、 解答题：本题共解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知等差数列 na的前 n项和为nS，数列 nb为等比数列，满足12542,30,2abSb=+是3b与5b的等差中项.（1）求数列 ,nnab的通项公式；（2）设()(1)nnnncab=+，求数列 nc前 20项和20T.18.近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完

11、之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄褐两种颜色的蜂蜡罐，对,M N两个品种的蜜蜂各的的第5页/共6页 60 只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐褐色蜂蜡罐M品种蜜蜂 40 20 N品种蜜蜂 50 10（1）依据小概率值0.05=的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？（2）假设要计算某事件的概率()P B，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：()()()()()()()P BP ABP ABP AP B AP AP B A=+=+求解，现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不

12、放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B，求()P B（用,a b表示()P B）附：()()()()22()n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+.临界值表：0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.如图，在平面四边形 ABCD中，4AC=，BCCD（1）若2AB=，3BC=，15CD=，求ACD的面积；（2）若23B=，6D=，求3162ADBC+的最大值20.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，2ABAP=，PA 平面ABCD，E，F分别是线段PB，P

13、D的中点，G是线段PC上的一点.第6页/共6页（1）求证：平面EFG 平面PAC；（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥EABG体积.21.已知函数()()2ln21f xaxxax=+，其中0a.（1）求函数()f x的单调区间；（2）当102a时，判断函数()f x零点的个数.22.已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆过点()23P,，且它的离心率12e=（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆()2211xy+=相切的直线:l ykxt=+交椭圆于M、N两点，若椭圆上一点C满足OMONOC+=，求实数的取值范围 第1页/共22页 2022-

14、2023 学年度第二学期学年度第二学期高二级数学科期末考试试卷高二级数学科期末考试试卷 命题人：尧禄华命题人：尧禄华 审题人：龚娅戬审题人：龚娅戬 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分为页，满分为 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用封线内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2.选择题每

15、小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液写上

16、新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁和平整考生必须保持答题卡的整洁和平整.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.设集合03Mxx=，163Nxx=，则()RMN=（）A.06xxB.133xx C.36xxD.36xx【答案】D【解析】【分析】先求集合 M 的补集RM，再取RM与集合 N 的交集即可.【详解】由03Mxx=，排除 A.故选：C.4.用一个平行

17、于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，且该圆台侧面积为3 5，则原圆锥的母线长为（）A.2B.5C.4D.2 5【答案】D【解析】第3页/共22页【分析】设圆台的母线长为l，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为3 5，则由圆台侧面积公式可得(12)33 5ll+=，所以5l=，设截去的圆锥的母线长为l，由三角形相似可得12lll=+，则25ll=+，解得5l=，所以原圆锥的母线长552 5ll+=+=，故选：D.5.某兴趣小组研究光照时长 x（h）和向日葵种子发芽数量 y（颗

18、）之间的关系，采集 5组数据，作如图所示的散点图若去掉()10,2D后，下列说法正确的是（）A.相关系数 r 变小B.决定系数2R变小C.残差平方和变大D.解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强【答案】D【解析】【分析】从图中分析得到去掉()10,2D后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可【详解】从图中可以看出()10,2D较其他点，偏离直线远，故去掉()10,2D后，回归效果更好，对于 A，相关系数r越接近于 1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D后，相关系数 r 变大，故 A错误；对于 B，决定系数2R越接近于 1，模型的拟合效果越好

19、，若去掉()10,2D后，决定系数2R变大，故 B错误；对于 C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D后，残差平方和变小，故 C 错误；第4页/共22页 对于 D，若去掉()10,2D后，解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强，且是正相关，故 D 正确故选：D 6.已知函数()()ee2xxxf x=，则21log3af=，342bf=，432cf=的大小关系为（）A.bacB.abcC.cabD.acb时，()()()eeee2xxxxxfx+=，因为0 x，所以e1,0e1xx，(ee)0 xxx+，所以()0fx，所以()f x在(0,)+上单调递增，因为2xy=

20、在R上单调递增，且340143，所以43013402222，即433402122，因为2logyx=在(0,)+上为增函数，且234，所以222log 2log 3log 4，即21log 32，所以4334202log 32，第5页/共22页 所以()433422log 32fff，即bac，代入22:4Cyx=，化简后由0=求出m的值，从而可得直线方程，再代入21:4Cyx=化简，结合弦长公式可得答案.【详解】由题意可得()1,0F，设直线l的方程为1(0)xmym=+，由题意可得直线l与抛物线1C必有 2 个交点，与抛物线2C相切，联立方程组214xmyyx=+=，可得2440ymy+=

21、，所以216160m=，解得1m=，故直线l的方程为1xy=+，与抛物线1C方程联立214xyyx=+=，得2610 xx+=，设()()1122,B x yC xy，则126xx+=，所以1228BCxx=+=.故选：C.8.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这的第6页/共22页 样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距,a b分别作为点P的x坐标和y坐标，记(),P a b.若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，则该坐标系中()11,M x y和()22,N xy两点间的距

22、离为（）A.()()()()22121212122cosxxyyxxyy+B.()()()()22121212122cosxxyyxxyy+C.()()()()22121212122cosxxyyxxyy+D.()()()()22121212122cosxxyyxxyy+【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.【详解】以 O 为坐标原点,原 x轴正方向为 x轴，垂直于 x 轴方向为 y轴建立平面直角坐标系，则在直角坐标系下，()111coss n,iM xyy+，()222coss n,iN xyy+,则()()22211221coscossinsinMNxyxyyy

23、+=+()()()()22121212122cosxxyyxxyy=+.故选：A.二二 多选题：本题共多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的在每小题给出的 4 个选项中，有多项符合个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.下列结论正确的是（）A.若随机变量X服从两点分布，1(1)2P X=，则()12E X=B.若随机变量Y的方差()2D Y=，则(32)8D Y+=的第7页/共22页 C.若随机变量服从二项分布14,2B，则1(3)4P

24、=D.若随机变量服从正态分布()25,N，(2)0.1P=，则(28)0.8P=【答案】ACD【解析】【分析】根据二点分布的期望公式，可判定 A正确；根据方差的性质，可判定 B 错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定 C 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定 D 正确.【详解】对于 A中，由随机变量X服从两点分布且1(1)2P X=，则()11122E X=，故 A 正确；对于 B中，由随机变量Y的方差()2D Y=，可得()2(32)318D YD X+=，故 B 错误；对于 C中，由变量服从二项分布14,2B，则334111(3)C()(1)224P=，所以 C正确；对于 D中，由随机

25、变量服从正态分布()25,N，(2)0.1P=，根据正态分布曲线的对称性，可得(28)1(2)0.8PP=，所以 D 正确.故选：ACD.10.已知函数21()3sin coscos2f xxxx=+，则下列说法正确的是（）A.()sin 26f xx=B.函数()f x的最小正周期为C.函数()f x的图象的对称轴方程为()Z12xkk=+D.函数()f x的图象可由cos2yx=的图象向左平移12个单位长度得到【答案】AB【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】2131 cos21()3sin coscossin22222xf

26、 xxxxx+=+=+31sin2cos2sin 2226xxx=，故 A正确；函数()f x的最小正周期为22T=，故 B正确；第8页/共22页 由2()62xkkZ=+，得(Z)32kxk=+，故 C 错误；由cos2yx=的图象向左平移12个单位长度，得cos2cos 2cos212623yxxx=+=+=2sinsin 22223sin33xxx=+=+，故 D错误.故选：AB 11.一口袋中有除颜色外完全相同的 3个红球和 2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取 1 个球，记事件 A1：第一次取出的是红球；事件 A2：第一次取出的是白球；事件 B：取出的两球同色；事件 C：取出的两

27、球中至少有一个红球，则（）A.事件1A，2A为互斥事件 B.事件 B，C为独立事件C.()25P B=D.()234P C A=【答案】ACD【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断 AB，由组合知识求得()P B判断 C，根据条件概率的定义求得2(|)P C A判断 D【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；由于是红球有 3 个，白球有 2个，事件B发生时，两球同为白色或同为红色，2325223225CC()3()CC()4CP BCP CP B=+，事件B不发生，则两球一白一红，()1P C=，,B C不独立，B错；223225CC2()C

28、5P B+=，C 正确；事件2A发生后，口袋中有 3个红球 1个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发生，所以23(|)4P C A=，D 正确 故选：ACD 12.已知函数()sinlnf xxx=+，将()f x的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 nx，对第9页/共22页 于正整数 n，则下列说法中正确的有（）A.()1 nnxn B.1nnxx+【答案】AC【解析】【分析】()f x的极值点为()fx的变号零点，即为函数cosyx=与函数1yx=图像在()0,+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC 选项，由图像可判断选项；

29、D选项，注意到(41)(41)1 ln22nnf=+，由图像可得()f x单调性，后可判断选项.【详解】()f x的极值点为()1cosfxxx=+在()0,+上的变号零点.即为函数cosyx=与函数1yx=图像在()0,+交点的横坐标.又注意到()0,x+时，10 x，Nk时，()1212cos+kk=.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A选项，注意到Nk时，120222fkk+=+，()12102fkk+=+.结合图像可知当21，Nnkk=，()()112,nxnnnn.当2，Nnkk=，()()()1112,nxnnnn.故 A 正确；第10页/共22页 B选项，由图像可知

30、325322，xx，故 B错误；C选项，(21)2nnx表示两点(),0nx与12,0n间距离，由图像可知，随着 n 的增大，两点间距离越来越近，即(21)2nnx为递减数列.故 C正确；D选项，由 A选项分析可知，()241212,，Nnnxnn，又结合图像可知，当()2412,nnxx 时，1cos xx，即此时 0fx，得()f x在()2412,nnx上单调递增，则()2(41)(41)1 ln22nnnf xf，所以依据0.05=的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，M品种进入黄色蜂蜡罐的频率为23，M品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13，N品种进入黄色蜂蜡罐的频率为56

31、，N品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16，依据频率分析，M品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N品种的蜜蜂的两倍，所以品种M N的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；【小问 2 详解】的第15页/共22页 由已知上式知，()()()()1,11aabaP AP B AP AP B Aabababab=+则()()()()()()()P BP ABP ABP AP B AP AP B A=+=+，所以1()11aabaP Bab abab ab=+，所以()()()()11a abaP Bababab+=+，所以()aP Bab=+.19.如图，在平面四边形 ABCD中，4AC=，BCCD（1）

32、若2AB=，3BC=，15CD=，求ACD的面积；（2）若23B=，6D=，求3162ADBC+的最大值【答案】（1）7 154（2）4 63【解析】【分析】（1）先用余弦定理求出cosACB，再利用面积公式求解；（2）设BCA=，运用正弦定理分别表示出,BC AD，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【小问 1 详解】在ABC中，22216947cos224 38ACBCABACBAC BC+=，因为BCCD，所以7sincos8ACDACB=，所以ACD的面积1177 15sin4152284SAC CDACD=；第16页/共22页【小问 2 详解】设BCA=，03，则2ACD=，3BA

33、C=在ABC中，2sinsin33BCAC=，则8sin33BC=，在ACD 中，sinsin62ADAC=，则8cosAD=，所以314 384 cossin62333ADBC+=+4 34 34 6cossinsin3334=+=+，当4=时，3162ADBC+取得最大值4 63；综上，ACD的面积为7 154，3162ADBC+的最大值4 63.20.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，2ABAP=，PA 平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.（1）求证：平面EFG 平面PAC；（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，

34、求三棱锥EABG体积.【答案】（1）证明见解析（2）19【解析】第17页/共22页【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法求出G点坐标，然后求解即可.【小问 1 详解】证明：如图：连接BD，在正方形ABCD中BDAC，又PA 平面ABCD，故PABD.而PA，AC是平面PAC上的两条相交直线，所以BD平面PAC.在PBD中，EF为中位线，故EFBD.所以EF平面PAC.又EF 平面EFG，所以平面EFG 平面PAC.【小问 2 详解】如图：以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系Axyz，则()0,0,0A，()2,0,0B，()2,

35、2,0C，()0 0 2P,，()0,2,0D，()1,0,1E，()0,1,1F，()1,0,1AE=，()0,1,1AF=，设平面AEF的一个法向量为()111,mx y z=，第18页/共22页 则00AE mAF m=，即111100 xzyz+=+=，取()1,1,1m=，设101,2PGPC=.（1）求函数()f x的单调区间；（2）当102a时，判断函数()f x零点的个数.【答案】（1）答案见解析（2）一个零点，理由见解析【解析】第19页/共22页【分析】（1）求出()fx，分12a=、102a讨论可得答案；（2）由（1）当102a时，函数()f x的单调递增区间为()0,a，

36、1,2+，单调递减区间为1,2a可得函数()f x的极大值()f a，再利用导数证明()0f a，令()0fx=得21,2xxa=，当12a=时，()0fx，则函数()f x在()0,+上单调递增，当102a时，0 xa时，0fx，12ax时，()0fx时，102x时，0fx，12xa时，()0fx，所以函数()f x在10,2，(),a+上单调递增，在1,2a上单调递减.综上所述，当12a=时，函数()f x的单调递增区间为()0,+，无单调递减区间；当102a时，函数()f x的单调递增区间为在10,2，(),a+，单调递减区间为1,2a.【小问 2 详解】当102a时，函数()f x仅有

37、一个零点的个数，理由如下，由（1）得当10,2a时，函数()f x在()0,a，1,2+单调递增，在1,2a单调递减；则函数()f x极大值为()()()2ln21ln1f aaaaaaaaa=+=，且极小值为()12ff a，10,2x，所以()g x在10,2x上单调递增，所以()13ln2022g xg=，所以当10,2a时，()()ln10f aaaa=，可得()2e0f，如下图，作出函数()f x的大致图象，由图象可得当102a时，函数()f x仅有一个零点的个数.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.22.已知中心在坐标原

38、点，焦点在 x 轴上的椭圆过点()23P,，且它的离心率12e=（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆()2211xy+=相切的直线:l ykxt=+交椭圆于M、N两点，若椭圆上一点C满足OMONOC+=，求实数的取值范围【答案】（1）22186xy+；（2）()()2,00,2【解析】第21页/共22页【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得212tkt=(t0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于 x 的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点 C 的坐标，代入椭圆方程后整理得到22222222

39、34111tktt=+，根据t的范围可得202，由已知得2222243112abcacab+=，解得2286ab=，所以椭圆的标准方程为22186xy+=.（2）因为直线l：ykxt 与圆(x1)2y21 相切，所以21tkk+1，整理得212tkt=(t0)由22186ykxtxy=+=消去 y 整理得(34k2)x28ktx4t2240，因为直线l与椭圆交于 M，N 两点，所以()()()2 22222644 3442416 243180k tktkt=+，将212tkt=代入上式可得0 恒成立设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x1x22834ktk+，第22页/共22页 所以

40、 y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t2634tk+，因为OC=()1212,xxyy+2286,3434kttkk=+)，所以可得 C()()2286,3434kttkk+，又因为点 C 在椭圆上，所以()2 2222834k tk+()2222634tk+1,所以2222222234111tktt=+，因为 t20，所以221t21t11，所以202，所以的取值范围为()()2,00,2.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围