2023年重庆八中高二下学期期末数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共5页 重庆八中重庆八中 20222023 学年度（下）期末考试高二年级学年度（下）期末考试高二年级数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的）1.若集合2560Ax xx=，()ln 25Bx yx=，则()AB=R（）A.5,32B.5,62 C.()3,+D.()6,+2.已知圆22:25C xy+=，则圆C关于点(3,4)对称的圆的方程为（）A.22(3)(4)16xy+=B.22(3)(4)25xy

2、+=C.22(6)(8)16xy+=D.22(6)(8)25xy+=3.古代数学名著九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自信，五日织五尺，问日织几何？“意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的 2倍，已知 5天共织布 5尺，问该女子每天分别织布多少？按此条件，若织布的总尺数不少于 25尺，该女子需要的天数至少为（）A.7B.8C.9D.104.已知正三棱锥的底面边长为 6，高为 3，则该三棱锥的表面积是（）A.54 3B.27 3C.18 3D.15 35.下列说法中正确的是（）A.“A与B是对立事件”是“A与B互为互斥事件”的必要不充分条件B.已知随机变量X服从二项分布14,3B，则8

3、()9E X=C.已知随机变量X服从正态分布2(4,)N且(6)0.85P X=，则(24)0.35PX，(1)1f=，则不等式1()exf x的解集是（）A.(0,)+B.(1,)+第2页/共5页 C.(,0)D.(0,1)7.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的 5 块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A.120 种B.720 种C.840 种D.960 种8.已知函数()2lnf xx=+，()g xa x=，若总存在两条不同的直线与函数()yf x=，()yg x=图象均相切，则实数 a的取值范围为（）A.()0

4、,1B.()0,2C.()1,2D.()1,e二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分）9.已知0a，0b，2ab+=，下列说法正确的是（）A.1ab B.222 2ab+C.1492ab+D.222ab+10.少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学

5、生的营养健康监测，某校在 3000名学生中，抽查了 100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本众数为 65B.该校学生中低于 65kg的学生大约为 1200 人C.样本的第 80百分位数为 72.5D.样本的平均值为 66.75的11.已知函数2()lnf xxax=，aR，则下列结论正确的是（）A.当1a=时，函数()f x在(1,(1)f处的切线方程为yx=B.当12a=时，不等式()0f x 时，()f x有极小值D.若()f x在区间()0,2上单调递增，则12a 12.已知数列 na满足18a=，21a=，2,2,nnna

6、 naan+=为偶数为奇数，nT为数列 na前n项和，则下列说法正确的有（）A.112a=B.2291nTnn=+C.992049T=D.nT的最大值为21 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡相应位置上）把答案填在答题卡相应位置上）13.12xx6的二项展开式中的常数项为_.14.甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6.乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为_.15.已知点 B1，B2分别是双曲线22221(0,0)xyabab=虚轴的两个顶点，过 B1且垂

7、直于 y 轴的直线与双曲线交于 P，Q 两点，若2PQB为正三角形，则该双曲线的离心率 e为_.16.已知数列 na的首项135a=，1321nnnaaa+=+，*nN，记12111nnSaaa=+，若100kS，令11nnnca a+=，求数列 nc的前 n 项和nT.18.某新能源汽车公司对其产品研发投资额 x（单位：百万元）与其月销售量 y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.的第4页/共5页 x 1 2 3 4 5 y 0.69 1 61 1 79 2.08 2.20（1）通过分析散点图的特征后，计划用()lnybxa=+作为月销售量 y关于产品研发投资额 x 的回归分

8、析模型，根据统计表和参考数据，求出 y关于 x 的回归方程；（2）公司决策层预测当投资额为 11 百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资 11 百万元进行产品促销后，月销售量的分布列为：3 4 5 P 232pp 16p+结合回归方程和的分布列，试问公司的决策是否合理.参考公式及参考数据：()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx=，aybx=，ln71.95.y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 ey（保留整数）2 5 6 8 9 19.如图，在三棱柱111ABCABC中，底面 ABC是边长为 8的等

9、边三角形，132AAAB=，1AAAC，160BAA=，D 在1CC上且满足12CDDC=.第5页/共5页（1）求证：平面11ACC A 平面BAD；（2）求平面ABC与平面11ABC夹角的正弦值.20.某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明箱子中放入3个红球和3个白球（球的取状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设此时袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元.（1）求X的分布列与数学期望；（2）若企业有 1000 名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布2(,)N，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，2为数据的

10、方差，计算结果为225万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.参考数据：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()0.6827P+，(22)0.9545P的右焦点为F，,A B是椭圆上关于原点O对称的两个动点，当点A的坐标为141,2时，ABF的周长恰为7 2.（1）求椭圆的方程；（2）过点F作直线l交椭圆于,C D两点，且CDAB，求ACD面积的最大值.22.已知函数()1 ln(R)f xxkx k=+.（1）求()f x的单

11、调区间；（2）若函数()()exf xF xx=的最小值为 0，求实数 k 的取值范围.的第1页/共22页 重庆八中重庆八中 20222023 学年度（下）期末考试高二年级学年度（下）期末考试高二年级数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的）1.若集合2560Ax xx=，()ln 25Bx yx=，则()AB=R（）A.5,32B.5,62 C.()3,+D.()6,+【答案】D【解析】【分析】求出集合A、B，利

12、用补集和交集的定义可求得结果.【详解】因为256016Ax xxxx=，则1Ax x=()5ln 252Bx yxx x=，因此，()()6,AB=+R.故选：D.2.已知圆22:25C xy+=，则圆C关于点(3,4)对称的圆的方程为（）A.22(3)(4)16xy+=B.22(3)(4)25xy+=C.22(6)(8)16xy+=D.22(6)(8)25xy+=【答案】D【解析】【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点(3,4)对称后的坐标即可解决.【详解】圆22:25C xy+=的圆心为(0,0)，半径为5，(0,0)关于(3,4)对称的点为(6,8)，圆C对称

13、后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为5，因此所求的圆的方程为22(6)(8)25xy+=.故选：D 3.古代数学名著九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自信，五日织五尺，问日织几何？“意思第2页/共22页 是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的 2倍，已知 5天共织布 5尺，问该女子每天分别织布多少？按此条件，若织布的总尺数不少于 25尺，该女子需要的天数至少为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】设女子第一天织布1a尺，则数列na是公比为 2的等比数列，由题意得55S=，解得1a，即可得到nS，再解不等式即可【详解】设女子第一天织布1a尺，则数列na是公比为2的等

14、比数列，由题意得515(12)512aS=，解得1531a=，5(1 2)31251 2nnS=，解得2156n，因为72128=，82256=，该女子所需的天数至少为8天 故选：B 4.已知正三棱锥的底面边长为 6，高为 3，则该三棱锥的表面积是（）A.54 3B.27 3C.18 3D.15 3【答案】B【解析】【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积.【详解】如图，正三棱锥OABC中，OM为正三棱锥OABC的高，则3OM=，取BC的中点N，连接AN，ON，则M在AN上，且13MNAN=，又6AB=，3BN=，所以22633 3AN=，所以133MNAN=，则222 3

15、ONOMMN=+=，所以16 32OBCSBCON=，19 32ABCSBCAN=故三棱锥的表面积为6 3 39 327 3+=.第3页/共22页 故选：B 5.下列说法中正确的是（）A.“A与B是对立事件”是“A与B互为互斥事件”的必要不充分条件B.已知随机变量X服从二项分布14,3B，则8()9E X=C.已知随机变量X服从正态分布2(4,)N且(6)0.85P X=，则(24)0.35PX=D.已知随机变量X的方差为()D X，则(23)4()3DXD X=【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断 A，根据二项分布的期望公式判断 B，根据正态分布的性质判断 C，根据方差

16、的性质判断 D.【详解】对于 A：若A与B是对立事件，则A与B是互斥事件，故充分性成立，若A与B是互斥事件得不到A与B是对立事件，故必要性不成立，所以“A与B是对立事件”是“A与B互为互斥事件”的充分不必要条件，故 A 错误；对于 B：已知随机变量14,3XB，则()14433E X=，故 B 错误；对于 C：因为随机变量()24,XN，()60.85P X=，所以()()()26160.15P XP XP X=，所以()()52420.30.5PXP X=，(1)1f=，则不等式1()exf x的解集是（）A.(0,)+B.(1,)+C.(,0)D.(0,1)【答案】B【解析】【分析】构造函

17、数()()exg xf x=，由()g x的单调性求解，【详解】构造函数()()exg xf x=，则()()()e0 xg xfxf x=+，故()g x在 R 上单调递增，(1)eg=，1()exf x可化为()e(1)g xg=，故原不等式的解集为(1,)+，故选：B 7.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的 5 块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A.120 种B.720 种C.840 种D.960 种【答案】D【解析】【分析】本题根据分步乘法计数原理结合排列直接求解即可.【详解】法一：A有 5 种颜色可选，B有

18、 4 种颜色可选，D有 3 种颜色可选，若CA同色，E有 4 种颜色可选；若CB同色，E有 4 种颜色可选；若C与A、B都不同色，则C有 2 种颜色可选，此时E有 4 种颜色可选，故共有第5页/共22页()5 4 3442 4960 +=种法二：当使用 5 种颜色时，有55120A=种涂色方法；当使用 4 种颜色时，必有两块区域同色，可以AC，BC，AE，BE，CE，共有455600A=种涂色方法；当使用 3 种颜色时，只能是AC同色且BE同色，AE同色且BC同色，ACE同色，BCE同色，共有354240A=种涂色方法，共有120600240960+=种涂色方法.故选：D.【点睛】本题即可用分

19、步乘法计数原理完成，也可用分类加法计数原理来完成，还考查分析推理能力，是中档题.8.已知函数()2lnf xx=+，()g xa x=，若总存在两条不同的直线与函数()yf x=，()yg x=图象均相切，则实数 a的取值范围为（）A.()0,1B.()0,2C.()1,2D.()1,e【答案】B【解析】【分析】设函数()yf x=，()yg x=的切点坐标分别为()11,2lnxx+，()22,x a x，根据导数几何意义可得2114ln4xax+=，1 0 x，即该方程有两个不同的实根，则设()4ln4,0 xh xxx+=，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数 a 的取值范围.【详解】

20、解：设函数()2lnf xx=+上的切点坐标为()11,2lnxx+，且1 0 x，函数()g xa x=上的切点坐标为()22,x a x，且20 x，又()()1,2afxgxxx=，则公切线的斜率1212akxx=，则0a，所以22214axx=，则公切线方程为()()11112lnyxxxx+=，即111ln1yxxx=+，代入()22,x a x得：22111ln1a xxxx=+，则22211111ln124aaxxxx=+，整理得2114ln4xax+=，若总存在两条不同的直线与函数()yf x=，()yg x=图象均相切，则方程2114ln4xax+=有两个不同的实根，是第6页

21、/共22页 设()4ln4,0 xh xxx+=，则()()244ln44lnxxxxh xxx+=，令()0h x=得1x=，当()0,1x时，()0h x，()h x单调递增，()1,x+时，()0h x，解得02a 0 x，()22,x a x，且20 x，可得1212akxx=，即有22214axx=，得公切线方程为111ln1yxxx=+，代入切点()22,x a x将双变量方程22111ln1a xxxx=+转化为单变量方程22211111ln124aaxxxx=+，根据含参方程进行“参变分离”得2114ln4xax+=，转化为一曲一直问题，即可得实数 a的取值范围.二、多项选择题

22、（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分）9.已知0a，0b，2ab+=，下列说法正确的是（）A.1ab B.222 2ab+C.1492ab+D.222ab+【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式即可判断 ABD,由乘“1”法即可判断 C.【详解】0a，0b，且2ab+=，第7页/共22页 对于 A，0a，0b，由基本不等式可得2aba

23、b+，2ab+=，1ab，当且仅当1ab=时，等号成立，故 A正确；对于 B，222 222 24ababa b+=，当且仅当1ab=时，等号成立，故2242 2ab+，故 B正确对于 C，141141419()()(5)(52 4)2222ababababba+=+=+=，当且仅当24,33ab=时，等号成立，故 C 正确；对于 D，()222242abababab=+=+，1ab，所以()2222422abababab+=+=，故 D 错误，故选：ABC 10.少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健

24、康监测，某校在 3000名学生中，抽查了 100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本的众数为 65B.该校学生中低于 65kg的学生大约为 1200 人C.样本的第 80百分位数为 72.5D.样本的平均值为 66.75【答案】BCD【解析】【分析】由频率分布直方图得众数，百分位数，平均数后判断【详解】对于 A，样本的众数为 67.5，故 A 错误，对于 B，该校学生中低于 65kg的学生大约为3000(0.030.05)51200+=，故 B正确，对于 C，体重位于55,70)的频率为(0.030.050.06)50.7+=，体重

25、位于55,75)的频率为(0.030.050.060.4)50.9+=，第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 故第 80百分位数位于70,75)，设其为x，则0.70.04(70)0.8x+=，得72.5x=，故 C正确，对于 D，样本的平均值为57.50.1562.50.2567.50.372.50.277.50.166.75+=，故 D正确，故选：BCD 11.已知函数2()lnf xxax=，aR，则下列结论正确的是（）A.当1a=时，函数()f x在(1,(1)f处的切线方程为yx=B.当12a=时，不等式()0f x 时，()f x有极小值 D.若()f x在区间()0,2上

26、单调递增，则12a 【答案】AB【解析】【分析】对于 A，利用导数的几何意义求解即可；对于 C，利用导数分析判断()f x的单调性即可判断；对于 BD，利用选项 C 中结论，取12a=可得()f x的单调性与最大值，从而得以判断.【详解】对于 A，当1a=时，()2()ln0f xxxx=，则()12fxxx=，故()21ln1 11f=，()112 111f=，所以()f x在(1,(1)f处的切线方程为()111yx+=，即yx=，故 A 正确；对于 C，因()20()lnfxxxax=，则()211 22axfxaxxx=，当0a 时，令 0fx，得102xa；令()0fx；所以()f

27、x在10,2a上单调递增，在1,2a+上单调递减，故()f x有极大值，没有极小值，故 C错误；对于 B，由选项 C 可知，当0a 时，()f x在12xa=处取得唯一极大值，即最大值，故当12a=时，112xa=，21()ln2f xxx=，为第9页/共22页 学科网（北京）股份有限公司所以()()max1102f xf=，即()0f x 虚轴的两个顶点，过 B1且垂直于 y 轴的直线与双曲线交于 P，Q 两点，若2PQB为正三角形，则该双曲线的离心率 e为_.【答案】102【解析】【分析】根据条件解出Q点坐标，利用正三角形2PQB的边角关系建立等式，得到,a b之间的关系即可解出答案.【详

28、解】如图所示，依题意Q点纵坐标为b，把yb=代入双曲线方程可得2,xa=所以点Q的坐标为(2,)a b，又12Rt B B Q中，1121223tan,23BQaB B QB Bb=则6,2ba=225101,22bea=+=故答案为：10.216.已知数列 na的首项135a=，1321nnnaaa+=+，*nN，记12111nnSaaa=+，若100kS，则正整数k的最大值为_.【答案】99【解析】第12页/共22页【分析】根据递推公式，通过构造数列法求得na，再利用等比数列的前n项和公式，求得nS，再解不等式即可.【详解】因为1321nnnaaa+=+，所以112133nnaa+=+，所

29、以1111113nnaa+=，又112103a=，所以()*110nnNa，所以数列11na为等比数列，所以1121133nna=，所以11213nna=+，所以1212111111111332211333313nnnnnSnnnaaa+=+=+=+=+，若100kS，则111003kk+，令11nnnca a+=，求数列 nc的前 n 项和nT.【答案】（1）21nan=或23nan=+（2）21nnTn=+【解析】【分析】（1）由等差数列的性质代入方程解出d，然后得通项公式，（2）由裂项相消法求解，【小问 1 详解】由题意得414646Sadd+=+=，第13页/共22页 原方程可化为46

30、2(1)(12)140ddd+=，解得24d=，2d=，由1(1)nand=+得 na的通项公式21nan=或23nan=+【小问 2 详解】数列 na公差1d，则21nan=，111111()(21)(21)2 2121nnnca annnn+=+111111(1)2335212121nnTnnn=+=+18.某新能源汽车公司对其产品研发投资额 x（单位：百万元）与其月销售量 y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.x 1 2 3 4 5 y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20（1）通过分析散点图的特征后，计划用()lnybxa=+作为月销售量 y关于产品研发投

31、资额 x 的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出 y关于 x 的回归方程；（2）公司决策层预测当投资额为 11 百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资 11 百万元进行产品促销后，月销售量的分布列为：3 4 5 P 232pp 16p+结合回归方程和的分布列，试问公司的决策是否合理.参考公式及参考数据：()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx=，aybx=，ln71.95.第14页/共22页 y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 ey（保留整数）2 5 6 8 9【答案】（1）()ln 1.70.

32、9yx=+；（2）公司的决策合理.【解析】【分析】（1）令zbxa=+，可得eyz=，根据公式求出z关于 x 的回归方程，从而可得 y 关于 x 的回归方程；（2）当11x=时，2.98y=，根据分布列的性质求出p，从而可得()E X，与2.98比较即可得结论.【小问 1 详解】因为()lnybxa=+，令zbxa=+，所以eyz=.由题可得()11234535x=+=，()12568965z=+=，则55122151075 3 6171.7555 9105iiiiix zxbxxz=，6 1.7 30.9azbx=，所以1.70.9zx=+，所以回归方程为()ln 1.70.9yx=+.【小

33、问 2 详解】当11x=时，()2 49ln 1.7 11 0.9ln19.6ln5y=+=ln22ln7ln52.98=+=.因为231126ppp+=且01p,所以公司的决策合理.19.如图，在三棱柱111ABCABC中，底面 ABC是边长为 8的等边三角形，132AAAB=，1AAAC，160BAA=，D 在1CC上且满足12CDDC=.第15页/共22页（1）求证：平面11ACC A 平面BAD；（2）求平面ABC与平面11ABC夹角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析 （2）2 3417【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ACDE为正方形，从而得到CEAD，再由三角形全等得

34、到BCBE=，所以OBCE，从而证明线面垂直，证明面面垂直；（2）先证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，得到点的坐标，利用空间向量余弦夹角公式求出两个平面夹角的余弦值，进而求出正弦值.【小问 1 详解】过点D作/DEAC交1AA于点E，连接CE交AD于点O，连接,OB BE，因为/CDAE，所以四边形ACDE为平行四边形，因为8AB=，所以113122CCAAAB=，因为12CDDC=，所以18,4CDDC=，因为1AAAC，8ACCD=，所以四边形ACDE为正方形，故COEO=，CEAD，由勾股定理得228 2ADCEACCD=+=，且14 22COCE=，因为160BAABAC=，,ACA

35、E ABAB=，所以BAEBAC，故BCBE=，所以OBCE，因为OBADO=，,OB AD 平面ABD，所以CE平面ABD，第16页/共22页 因为CE 平面11ACC A，所以平面11ACC A 平面BAD.【小问 2 详解】因为OBCE，8BC=，由勾股定理得224 2BOBCOC=，又222AOBOAB+=，由勾股定理逆定理可得BOAO，因为AOOCO=，,AO CO 平面ACDE，所以BO平面ACDE，取AE中点M，11AC的中点N，以,OM ON OB分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()114,4,0,0,0,4 2,4,4,0,0,12,4 2,4,8

36、,0ABCBC，设平面ABC的法向量为(),mx y z=，则()()()(),4,4,4 2444 20,8,0,080m ABx y zxyzm ACx y zx=+=，解得0 x=，令1z=得2y=，所以()0,2,1m=，设平面11ABC的法向量为()111,xny z=，则()()()()1111111111111,4,16,4 24164 20,8,12,08120n ABx y zxyzn ACx y zxy=+=+=，令11y=，解得1135 2,24xz=，故35 2,1,24n=，设平面ABC与平面11ABC夹角为，则()35 25 20,2,1,1,22443cos925

37、51172 113488m nmn=+，第17页/共22页 因为232 3411717=所以平面ABC与平面11ABC夹角的正弦值为2 3417，20.某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的取状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设此时袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元.（1）求X的分布列与数学期望；（2）若企业有 1000 名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布2(,)N，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，2为数据的方差，计算结果为225万元，为激励为企业做出突出贡

38、献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.参考数据：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()0.6827P+，(22)0.9545P=+()1000 12P右焦点为F，,A B是椭圆上关于原点O对称的两个动点，当点A的坐标为141,2时，ABF的周长恰为7 2.（1）求椭圆的方程；（2）过点F作直线l交椭圆于,C D两点，且CDAB，求ACD面积的最大值.【答案】（1）22184xy+=（2）2 2【解析】【分析】（1）引入左焦点F，根据椭圆的定义可以得出四

39、边形AFBF的周长为4a，由对称性可找出四边形AFBF的周长和ABF的周长的关系，结合椭圆所过的点来求方程；（2）设出直线CD方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出ACD面积后求解.【小问 1 详解】的第19页/共22页 由题意，221422(1)3 22ABAO=+=，于是4 2AFBF+=，设椭圆的左焦点为F，由AOBOFOF O=，故四边形AFBF为平行四边形，于是AFBF=，由椭圆的定义：2AFAFa+=，于是4 22AFBFAFAFa+=+=，解得2 2a=，而椭圆经过141,2，故2214141ab+=，结合2 2a=可解得2b=，故椭圆方程为：22184xy+=【小问 2

40、详解】第20页/共22页 由于CDAB，平行线间距离处处相等，故A到CD的距离可转化为O到CD的距离.CD的斜率不会是0，如果为0，则CD和x轴重合，过原点的直线AB要想CD平行，此时AB也和x轴重合，那么ACD不存在，不符题意；当CD斜率不存在时，即CDx轴，此时AB落在y轴上，易知(2,2)C，则2 2CD=，ACD中CD边上的高的长等于2OFc=，故12 222 22ACDS=；当CD斜率存在且不为0时，椭圆的右焦点(2,0)F，设直线CD：(2)yk x=，和椭圆方程联立得到：2222(21)8880kxk xk+=，直线CD经过椭圆内的交点，于是必和椭圆相交，设1122(,),(,)

41、C x yD xy，根据弦长公式，2121CDkxx=+，ACD中CD边上的高的长等于O到CD的距离，即221kk+，于是21212221121ACDkSkxxk xxk=+=+，第21页/共22页 由韦达定理：212221228218821kxxkkx xk+=+=+，故2212121224 21()421ACDkSk xxkxxx xkk+=+=+，考察42222242424214 21(1)114()4 24 2214414414 441kkkkkg kkkkkkkkk+=+()221114 24421k=+，由于0k，则()221(0,1)21k+，此时()221111()4 24 2

42、2 244421g kk=对()0,x+恒成立，再利用e1xx+及放缩法求最值，注意取值条件，即可求出结果.【小问 1 详解】由解析式知0 x，因为()1 lnf xxkx=+，则()1fxkx=+，当0k 时，0fx在(0,)+上恒成立，当0k，当()1,0 xfxk+，综上，当0k，()f x的单调增区间为(0,)+，无减区间；当0k 对()0,x+恒成立.由1 lneln1e0 xxxkxxkxxxx+=，得到eln10 xxkxx，化简得()eln1xxxkx+在(0,)+上恒成立，即()m x在(0,)+上递增，又1111()ln10eeeem=+=，存在01(1)e,x，使000()ln0m xxx=+=，综上()()lneln1eln1ln1 ln11xxxxxxxxxxxx+=，即min()1=h x，所以1k 对()0,x+恒成立，从而将问题转化成恒成立问题来求解.