《空间几何体的表面积与体积》导学案_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第 4 课时 空间几何体的表面积与体积 1.通过对柱、锥、台、球的研究,了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),掌握柱、锥、台、球的表面积与体积的求法,能运用公式进行计算并解决有关的实际问题.2.经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,通过对照比较柱体、锥体、台体,掌握三者之间的表面积与体积的转化.3.感受几何体体积和表面积公式的推导过程,提高空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的能力.20XX 年 6 月 11 号,神州十号发射成功并在太空与天宫一号对接成功,女航天员王亚平在天宫仓内上了一堂生动的太空课,其中水球演示实验非常神奇,即水在太空中的

2、形状是球状的形式.其原理就是在失重的状态下,影响水的形状的主要因素就是水的表面张力,而表面张力的作用就是压缩水的表面积,而在相同体积下的几何体中,球的表面积最小,这就是为什么在太空中水的形状是球状的原因.问题 1:直棱柱、棱锥、棱台表面积展开图是什么,该如何计算?直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积 S侧=,底面周长为 c,侧棱为 h.(2)棱锥侧面积 S侧=,底面周长为 c,斜高为 h.(3)棱台侧面积 S侧=,上、下底面的周长分别为 c、c,斜高为 h.问题 2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?侧面积及表面

3、积公式呢?圆柱:侧面展开图是,长是圆柱底面圆的,宽是圆柱的高(母线),S圆柱侧=2 rl,S圆柱表=2 r(r+l),其中 r 为圆柱底面半径,l 为母线长.圆锥:侧面展开图为一个,扇形的半径是圆锥的,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图的扇形圆心角为=360,S圆锥侧=rl,S圆锥表=r(r+l),其中 r 为圆锥底面半径,l 为母线长.圆台:侧面展开图是,内弧长等于圆台的,外弧长等于圆台的,侧面展开图的扇环圆心角为=360,S圆台侧=(r+r)l,S圆台表=(r2+rl+rl+r2).问题 3:写出柱体、锥体、台体、球的体积计算公式.(1)V柱=,其中 S 和 h 分别是柱体的底面积和高.特别

4、地,V圆柱=,其中 r 和 h 分别是圆柱的底面半径和高.(2)V锥=,其中 S 和 h 分别是锥体的底面积和高.特别地,V圆锥=,其中 r 和 h 分别是圆锥的底面半径和高.(3)V台=(S+S)h,其中 S、S 和 h 分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.特别地,V圆台=(r2+rr+r2)h,其中 r、r 和 h 分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.(4)V球=R3.问题 4:柱、锥、台的体积计算公式有何关系?从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为;当台体上底放大为与下底相同时,台成为.因此只要分别令 和 便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式.从而锥、柱的

5、公式可以统一为台体的体积公式.柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系.(S、S 分别为上、下底面面积,h 为柱、锥、台的高)1.圆锥的底面半径为 1,高为,则圆锥的表面积为().A.B.2 C.3 D.4 2.长方体的高为 1,底面积为 2,垂直于底的对角面的面积是,则长方体的侧面积等于().A.2 B.4 C.6 D.3 3.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为.4.一个底面直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米,求此球的表面积.棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积 已知棱长为 5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的表面积与体

6、积.球的表面积与体积 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半且 AC=BC=6,AB=4,求球的表面积与球的体积.简单组合体的表面积和体积 如图,在四边形 ABCD 中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2,AD=2.求四边形ABCD 绕 AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.如图所示,在长方体 ABCD-ABCD 中,用截面截下一个三棱锥 C-ADD,求三棱锥 C-ADD的体积与剩余部分的体积之比.学习必备 欢迎下载 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2,求棱锥 O-ABCD的体积.牧民居住的蒙古

7、包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示,请你帮忙算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少 m 2 的篷布,这个蒙古包占多大的体积?(精确到 0.01)1.一个球的大圆面积为 9,则球的表面积和体积分别为().A.9,27 B.9,36 C.36,36 D.36,48 2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的表面积是().A.3 B.3 C.6 D.9 3.长方体的三个面的面积分别为 2、6 和 9,则长方体的体积为.4.如图是一个圆台的侧面展开图,根据图中数据求这个圆台的表面积和体积.(20XX 年江苏卷)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 A

8、B,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1V2=.考题变式(我来改编):的大街上闲逛前面那个高挑清瘦的女孩吸引了我的目光蓝紫色相互交织的稍长过腰的衬衫配上一条深色长裤真的与你风格很相似只是无论相似度多么精准她也不会是你因为她跨着一款恶俗的画着沸羊羊的包我想那是你永远不会触碰 隔着不超过十米的距离不过再也没有见了面毫不犹豫的笑闹彼此见面也不是仓促的说声嗨就是面无表情且目光躲闪再也没有传递过在花里胡哨的信纸上仔仔细细写的字数众多的信再也没有可以倾诉的人再也不被当做被倾诉的人了很 积压多日的言语都潮涌而来我有一堆多的说不完的话想说

9、却悲哀的不知如何开口像是一只走进死胡同还拼命挣扎想要躲过身后野兽追捕的小猫焦急可无可奈何一行行字句被我用力的敲击上去最终还是一次次按下键怕不小心的言辞会学习必备 欢迎下载 答案 第 4 课时 空间几何体的表面积与体积 知识体系梳理 问题 1:(1)ch(2)ch(3)(c+c)h 问题 2:矩形 周长 扇形 母线 扇环 上底周长 下底周长 问题 3:(1)Sh r2h(2)Sh r2h 问题 4:锥 柱 S=S S=0 基础学习交流 1.C l=2,=r(r+l)=(1+2)=3.2.C 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,则 c=1,ab=2,c=,a=2,b=1,故 S侧=2(ac+b

10、c)=6.3.R3 设圆锥的底面半径为 r,则有 R=2 r,所以 r=,所以圆锥高为 R,所以 V圆锥=()2 R=R3.4.解:水面上升的体积就等于球的体积,设球的半径为 R,圆柱底面半径为 r.则 V=r2h=R3,R=12.所以球的表面积 S=4 R2=4 144=576(平方厘米).重点难点探究 探究一:【解析】如图,四棱锥 S-ABCD 的各棱长均为 5,各侧面都是全等的正三角形.设 E 为 AB 的中点,则 SE AB.SE=,S侧=4S SAB=4 ABSE=2 5=25,S表=S侧+S底=25+25.易知四棱锥的高 SO=.V=S底h=25=.【小结】解决棱柱、棱锥、棱台的体

11、积与表面积问题的关键是找到高,这需要在常见的几何体中构造特殊图形:一般地,在棱柱中构造矩形、在棱锥中构造直角三角形、在棱台中构造直角梯形,将立体问题转化为平面问题解决.探究二:【解析】设球心为 O,球半径为 R,作 OO1平面 ABC 于 O1,如图.由于 OA=OB=OC=R,则 O1是 ABC 的外心,设 M 是 AB 的中点,由于 AC=BC,则 O1 CM,连接 O1A.设 O1M=x,易知 O1M AB,则 O1A=,O1C=CM-O1M=-x.又 O1A=O1C,=-x,解得 x=,则 O1A=O1B=O1C=.在 Rt OO1A 中,O1O=,OO1A=90,OA=R,由勾股定理

12、得()2+()2=R2,解得 R=.故 S球=4 R2=54,V球=R3=27.【小结】球的截面问题主要考查球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角三角形的计算问题,注意大圆半径与小圆半径之间的转化.探究三:【解析】过点 C 作 CE AB 交 AB 于点 E,将四边形 ABCD 绕 AB 所在直线为轴旋转一周得到的几何体是由直角梯形 ADCE 旋转出的圆台与 CBE 旋转出的圆锥拼接而成的组合体.由图计算可得 CE=4,AE=2,CD=2,BE=3,BC=5,S表=AD2+(CE+AD)CD+CE BC=24+12;V=(CE2+CE AD+AD2)AE+CE2 BE=.【小结】首先

13、根据旋转的图象,确定形成的旋转体由哪些简单几何体组成,再套用公式求表面积和体积.思维拓展应用 应用一:已知长方体可以看成直四棱柱 ADDA-BCCB,设它的底面 ADDA 的面积为 S,高为h,则它的体积为 V=Sh.而三棱锥 C-ADD 的底面面积为 S,高是 h,因此,三棱锥 C-ADD 的体积 VC-ADD=Sh=Sh.剩余部分的体积是 Sh-Sh=Sh.所以三棱锥 C-ADD 的体积与剩余部分的体积之比为 Sh Sh=1 5.应用二:如图,连接 AC,BD 交于点 O1,则 O1为矩形 ABCD 所在小圆的圆心,连接 OO1,则 OO1面ABCD,易求得 O1C=2,又 OC=4,OO

14、1=2,棱锥体积 V=6 2 2=8.应用三:上部分圆锥体的母线长为,其侧面积为 S1=,下部分圆柱体的侧面积为 S2=5 1.8.S=S1+S2=+5 1.8 50.03(m 2).所以,要搭建这样的一个蒙古包至少需要约 50.03m 2 的篷布.V=()2 1.8+()2 1.2=35.325+7.85 43.18(m 3).这个蒙古包占的体积约为 43.18(m 3).基础智能检测 1.C 由球的大圆面积为 9,得到球的半径 R=3,S表=4 R2=36,V=R3=36.2.A 设底面圆半径为 r,则(2 r)2=,r=1,母线 l=2,S底=r2=,S侧=rl=2,S表=3.故选 A.

15、3.6 设长方体的三边长为 a,b,c,则 则 V=abc=6.4.解:设圆台的上底半径为 r,下底半径为 R.由图知母线 l=8,的大街上闲逛前面那个高挑清瘦的女孩吸引了我的目光蓝紫色相互交织的稍长过腰的衬衫配上一条深色长裤真的与你风格很相似只是无论相似度多么精准她也不会是你因为她跨着一款恶俗的画着沸羊羊的包我想那是你永远不会触碰 隔着不超过十米的距离不过再也没有见了面毫不犹豫的笑闹彼此见面也不是仓促的说声嗨就是面无表情且目光躲闪再也没有传递过在花里胡哨的信纸上仔仔细细写的字数众多的信再也没有可以倾诉的人再也不被当做被倾诉的人了很 积压多日的言语都潮涌而来我有一堆多的说不完的话想说却悲哀的不

16、知如何开口像是一只走进死胡同还拼命挣扎想要躲过身后野兽追捕的小猫焦急可无可奈何一行行字句被我用力的敲击上去最终还是一次次按下键怕不小心的言辞会学习必备 欢迎下载 2 r=16,2 R=24,所以 r=2,R=3,S侧=8=40,所以 S表=2 2+3 2+40=53,h=3,所以 V=(4+9)3=19.全新视角拓展 由题意知,三棱锥 F-ADE与三棱柱 A1B1C-ABC 的高之比为,底面积之比为,故V1V2=.思维导图构建 S圆柱侧=2 rl S圆锥侧=rl S圆台侧=(r+r)l V圆柱=r2h V圆锥=r2h V圆台=h(r2+r+r2)S球=4 R2 的大街上闲逛前面那个高挑清瘦的女孩吸引了我的目光蓝紫色相互交织的稍长过腰的衬衫配上一条深色长裤真的与你风格很相似只是无论相似度多么精准她也不会是你因为她跨着一款恶俗的画着沸羊羊的包我想那是你永远不会触碰 隔着不超过十米的距离不过再也没有见了面毫不犹豫的笑闹彼此见面也不是仓促的说声嗨就是面无表情且目光躲闪再也没有传递过在花里胡哨的信纸上仔仔细细写的字数众多的信再也没有可以倾诉的人再也不被当做被倾诉的人了很 积压多日的言语都潮涌而来我有一堆多的说不完的话想说却悲哀的不知如何开口像是一只走进死胡同还拼命挣扎想要躲过身后野兽追捕的小猫焦急可无可奈何一行行字句被我用力的敲击上去最终还是一次次按下键怕不小心的言辞会