任意角的三角函数(第一课时)--新授课教案_小学教育-小学学案.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 1.2.1 任意角的三角函数 整体分析 教材分析 本节内容是数学 4 第一章 三角函数 的重要内容，是在初中学过的，用直角三角形的比来刻画锐角三角函数的基础上，利用任意角的基础，对三角函数进行重新定义。此外，本节还是三角函数的起始课，对后续内容的学习起着奠基作用，本节课的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等；难点是用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号，利用与单位圆有关的有向线段，将对任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示。通过对单位圆以及角的终边的探究，培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识的应用数学结合思想、

2、转化和化归思想，体会解决数学问题的一般方法与思路。课时分配 本节内容用 2 课时的时间完成，本教案为第 1 课时，主要讲解任意角三角函数的定义及运用定义解决简单的数学问题.任意角的三角函数 第一课时 教学目标 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义.难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数 知识点：任意角的三角函数定义.能力点：利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的定义，数形结合的数学思想的运用.教育点：经历由锐角的三角函数到任意角的三角函数，由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何运用三角函数的定义求解任意角的三角函数.考试点：用定义法求证任

3、意角的三角函数、解决简单的数学问题.易错易混点：在求解交点坐标时，学生一般在“符号”上容易出错，在横、纵坐标与余、正弦的对应关系上，学生容易混淆.拓展点：如何利用角的终边上的点来求解任意角的三角函数值.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、复习回顾、引入新课 我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？学生口述后在投影展示，教师根据投影进行强调：sin对边斜边，cos=邻边斜边，tan=对边邻边。我们现在已经把锐角推广到了任意角，那么锐角的三角函数，能不能推广到任意角呢？同学们试试看，可学习必备 欢迎下载

4、 以独立思考和探索，也可以小组互相讨论！留时间让学生独立思考或者自由讨论，教师巡回对学生作启发引导。针对刚才的问题点名让学生回答（学生一般会想到用直角坐标系来研究）。【设计意图】学生已经在初中学习过锐角的三角函数，现在学习任意角的三角函数是一种推广和拓展的过程。温故知新，让学生从现有的知识上，建构新知识，符合新课程的要求。【师生活动】（学生口述，教师板书图形和比值）把锐角安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合）在直角坐标系中，在角终边上任取一点(,)P a b，他与原点的距离220rab，作PMx轴于M，构造一个Rt OMP,则=OMP（锐角），的邻边OMa，对边MP

5、b。根据锐角三角函数定义，我们有：sinMPbOPr，cosOMaOPr，tanMPbOMa。【设计意图】此处做法简单，思想重要。是理解任意角三角函数定义的关键，使学生能够很好的体会数学发现的重要思想和方法。二、探究新知（一）归纳定义 思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置在改变而改变呢？显然，我们可以将点取在是线段OP的长1r 的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数。sinMPbOP，cosOMaOP，tanMPbOMa。思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上的一点的坐标表示。那么，角的概念推广之后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行推广

6、到任意角呢？探究：结合上述锐角的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？我们可以在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离等于 1，然后就可以类比锐角三角函数求出该角的三角函数。怎么样快速的找到与原点的距离等于 1 的点呢？我们在此引入单位圆的定义。单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。探究：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？如右图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y，那么：（1）y叫做的正弦（sine），记作sin，即siny；（2）x叫做的余弦（cosine），记作cos，即cosx；（3）yx叫做的正切（t

7、angent），记作tan，即tan(0)yxx。设计意图 利用学生对锐角三角函数的理解，从思维和形式上进行拓展，从认知结构上吧三角函数推广到任意角使学生能够有效的增强对于函数的理解。（二）探究定义域 的用直角三角形的比来刻画锐角三角函数的基础上利用任意角的基础对三角函数进行重新定义此外本节还是三角函数的起始课对后续内容的学习起着奠基作用本节课的重点是任意角的正弦余弦正切的定义终边相同的角的同一三角函的正弦余弦正切函数值用几何形式表示通过对单位圆以及角的终边的探究培养学生分析问题解决问题的能力要求学生有意识的应用数学结合思想转化和化归思想体会解决数学问题的一般法与思路课时分配本节内容用课时的时

8、间完成目标重点任意角的正弦余弦正切的定义难点用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数知识点任意角的三角函数定义能力点利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的定义数形结合的数学思想的运用教育点经历由锐角的三角函数学习必备 欢迎下载 函数的概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域。那么什么是三角函数的定义域？填写课本 13 页，表 1.2-1 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。三角函数 定义域 sin R cos R tan|,2kkZ 设计意图 定义域是函数三要素之一，研究函数必须指出其定义域。指导学生根据定义自主探究

9、出三角函数的定义域，有利于学生在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数定义的掌握。三、例题讲解，理解新知 例 1：求53的正弦、余弦和正切值。给学生一定的时间自学，让学生自己思考，并试着总结解题步骤。然后老师讲评。步骤：（1）画图，先画出直角坐标系和单位圆，再画出角的终边；（2）求角的终边与单位圆的交点坐标。过交点向x轴作垂线，构造直角三角形；利用勾股定理求出直角边的长度；根据点的位置，确定坐标的正负。（3）写结论。利用定义，求解各三角函数的值。练习：求76的三个三角函数值。设计意图及时讲解例题，归纳总结步骤，然后进行同类型题目的练习，巩固和加深对三角函数定义的理解。例 2：已知角的终边

10、经过点0(3,4)P ,求角的正弦、余弦和正切值。留给学生一定的时间，仔细研究课本上的解法，让其思考并理解课本所用到的方法，并尝试着自己完成一次例 2 的解答。然后再思考例 2 的方框中所给的三个式子的用途，最后给予讲解。教师要点拨学生画图，充分利用数形结合，但要提醒学生角的任意性。推广定义：设角的终边上任意一点的坐标为(,)x y，它与原点的距离为220rxy，那么：（1）yr叫做的正弦，记作sin，即sinyr；（2）x叫做的余弦，记作cos，即cosxr；（3）yx叫做的正切，记作tan，即tan(0)yxx。这样定义三角函数，突出了点P的任意性，说明任意角的三角函数值只与有关，而与点P

11、在终边上的位置无关，教师要让学生充分理解这一点。的用直角三角形的比来刻画锐角三角函数的基础上利用任意角的基础对三角函数进行重新定义此外本节还是三角函数的起始课对后续内容的学习起着奠基作用本节课的重点是任意角的正弦余弦正切的定义终边相同的角的同一三角函的正弦余弦正切函数值用几何形式表示通过对单位圆以及角的终边的探究培养学生分析问题解决问题的能力要求学生有意识的应用数学结合思想转化和化归思想体会解决数学问题的一般法与思路课时分配本节内容用课时的时间完成目标重点任意角的正弦余弦正切的定义难点用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数知识点任意角的三角函数定义能力点利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的

12、定义数形结合的数学思想的运用教育点经历由锐角的三角函数学习必备 欢迎下载 接着，让学利用上面的定义，再次完成例 2，并总结步骤。先利用坐标求出r的值；再利用上面的公式直接写出结果。练习：已知角的终边过点(12,5)P，求角的三角函数值。设计意图利用给出的拓展定义，快速的解题，让学生体会到，收获的快乐，加深理解和记忆。四、运用新知、能力提升 例 3：已知角终边上的一点(15,8)Paa(0a)，求角的正弦、余弦和正切值。解：2222|(15)(8)17|rOPxyaaa，15tan8，当0时，815sin,cos1717；当0时，815sin,cos1717。设计意图 利用这个例题，告诉学生在含

13、有参数的时候，要对参数的各种情况进行分类讨论。五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1知识：任意角的三角函数的定义，及其推广定义。2思想：数形结合的思想、分类讨论的思想、特殊与一般的思想 教师总结:对于定义，我们要加强理解，对于例题的解题步骤，我们要在课后及时的总结和识记，还要加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用 设计意图 依据艾宾浩斯遗忘理论，回顾总结知识是必须的，在课堂内及时的总结主要内容，有利于学生，巩固知识，建构知识网络，优化知识结构，培养良好的学习习惯 六、布置作业 1阅读教材 P1213；2.书面作业 必做题：P20 习题 1.2

14、A 组 1.（2）、（4）,2 选做题：1.已知角的终边过点(3,)Pm，且2sin4m，求cos,tan。设计意图设计作业 1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯。书面作业的布置，必做题是为了让学生能够运用课堂上的知识，以及解题步骤，解决简单的数学问题；选做题是为学有余力的同学，得到更高层次的发展。七、教后反思 1.本教案的亮点是定义的引入，和例题的讲解。在例题的教学中，让学生先自学、再总结步骤，有一种豁然开朗的感觉，有了具体的步骤，再按此步骤解决练习题，效率大增。在例 3 的教学中，加入了参数，既注重了与例 2 的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力 2.

15、本节课的课堂容量适中，主要是考虑学生们首次接受扩展后的三角函数，希望能够让他们得到充分的思的用直角三角形的比来刻画锐角三角函数的基础上利用任意角的基础对三角函数进行重新定义此外本节还是三角函数的起始课对后续内容的学习起着奠基作用本节课的重点是任意角的正弦余弦正切的定义终边相同的角的同一三角函的正弦余弦正切函数值用几何形式表示通过对单位圆以及角的终边的探究培养学生分析问题解决问题的能力要求学生有意识的应用数学结合思想转化和化归思想体会解决数学问题的一般法与思路课时分配本节内容用课时的时间完成目标重点任意角的正弦余弦正切的定义难点用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数知识点任意角的三角函数定义能力点

16、利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的定义数形结合的数学思想的运用教育点经历由锐角的三角函数学习必备 欢迎下载 考和消化，练习时间，在课堂上给予他们充分的时间来思考和自学，充分利用学生的主观能动性，然后给予针对性地诊断与分析，让学生能力得到提升。八、板书设计 1.2.1 任意角的三角函数（一）一、复习回顾sin对边斜边cos=邻边斜边tan=对边邻边二、新知初探 sinMPbOPr，cosOMaOPr，tanMPbOMa。三、任意角的三角函数的定义 如右图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y，那么：（1）siny；（2）cosx；（3）tan(0)yxx。四、例题讲解

17、推广定义：设角的终边上任意一点的坐标为(,)x y，它与原点的距离为220rxy，那么：（1）sinyr；（2）cosxr；（3）tan(0)yxx。的用直角三角形的比来刻画锐角三角函数的基础上利用任意角的基础对三角函数进行重新定义此外本节还是三角函数的起始课对后续内容的学习起着奠基作用本节课的重点是任意角的正弦余弦正切的定义终边相同的角的同一三角函的正弦余弦正切函数值用几何形式表示通过对单位圆以及角的终边的探究培养学生分析问题解决问题的能力要求学生有意识的应用数学结合思想转化和化归思想体会解决数学问题的一般法与思路课时分配本节内容用课时的时间完成目标重点任意角的正弦余弦正切的定义难点用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数知识点任意角的三角函数定义能力点利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的定义数形结合的数学思想的运用教育点经历由锐角的三角函数