一元二次方程的概念解法根与判别式的关系根与系数的关系_中学教育-初中教育.pdf

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1、一元二次方程的概念：问题（1）有一面积为 54m2的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_ 整理，得：_ 归纳：（1）只含一个未知数 x；（2）最高次数是 2 次的；（3）整式方程 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成

2、ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 例 1将方程 3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例 2将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项 练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2)x2=4 (3)3x2-5x=0(4)x2-4=(x+2)2 (5)ax2+bx+c=

3、0 例 3求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 练习:一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（）3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-5x=0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0是关于 x 的一元二次方程，则（）Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数 二、填空题 1方程 3x2-3=2x+1的二次

4、项系数为_，一次项系数为_，常数项为_ 2一元二次方程的一般形式是_ 3关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是_ 三、综合提高题 1、a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2、方程（2a4）x22bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？二、一元二次方程的解：复习：方程的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例 1下面哪些数是方程 2x2+10 x+12=0 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 例 2.若

5、x=1 是关于 x 的一元二次方程 a x2+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式 2007(a+b+c)的值 练习:关于 x 的一元二次方程(a-1)x2+x+a 2-1=0的一个根为 0,则求 a 的值 练习：一、选择题 1方程 x（x-1）=2 的两根为（）Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程 ax（x-b）+（b-x）=0 的根是（）Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2=1a Cx1=a，x2=1a Dx1=a2，x2=b2 3已知 x=-1是方程 ax2+bx+c=0 的根（b0），则acbb=（）A1 B-1 C0

6、D2 二、填空题 1如果 x2-81=0，那么 x2-81=0的两个根分别是 x1=_，x2=_ 2已知方程 5x2+mx-6=0的一个根是 x=3，则 m 的值为_ 3方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根 x1=_；x2=_ 三、综合提高题 如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值 三、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法 问题 1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2 问题 2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不

7、同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程 x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得 x=3，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？例 1：解方程：(1)(2x-1)2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1 例 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率 边长是多少如果假设剪后的正方形边长为那么原来长方形长是宽是根据题意得整理得归纳只含一个未知数最高次数是次的整式方程因此像这样的方程两边都是整式只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一

8、元一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项例将方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数一次项系数及常数项注意二次项二次项系数一次项一次项系数常数项都包习判断下列方程是否为一元二次方程例求证关于的方程不论取何值该方程都是一元二次方程练习一选择题在下列方程中一元二次方程的个数是个个个个方程化为一般形式后二次项系数一次项系数和常数项别为是关于的一元二次方程解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 这种思想称为“降次转化思想”由应用直接开平方法解形如 x2=p（p0），那么 x=p转化为应用直接开平方法解形如（m

9、x+n）2=p（p0），那么 mx+n=p，达到降次转化之目的若 p0 则方程无解 练习：一、选择题 1若 x2-4x+p=（x+q）2，那么 p、q 的值分别是（）Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程 3x2+9=0 的根为（）A3 B-3 C3 D无实数根 二、填空题 1若 8x2-16=0，则 x 的值是_ 2如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 3如果 a、b 为实数，满足34a+b2-12b+36=0，那么 ab 的值是_ 三、综合提高题 1解关于 x 的方程（x+m）2=n 2某农场要建一个长方形的养鸡场

10、，鸡场的一边靠墙（墙长 25m），另三边用木栏围成，木栏长 40m （1）鸡场的面积能达到 180m2吗？能达到 200m 吗？（2）鸡场的面积能达到 210m2吗？（二）、配方法 1、解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4)4x2+16x=-7 上面的方程都能化成 x2=p 或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得 x=p或 mx+n=p（p0）如：4x2+16x+16=（2x+4）2,你能把 4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9 吗?2、要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2,场地的长和宽各是多少？转化

11、：x2+6x-16=0移项x2+6x=16 两边加（6/2）2使左边配成 x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9 左边写成平方形式 （x+3）2=25 降次x+3=5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程x1=2，x2=-8 可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为 2m，常为 8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法通过配方使左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程 配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般

12、形式；（2）二次项系数化为 1；（3）常数项移到右边；边长是多少如果假设剪后的正方形边长为那么原来长方形长是宽是根据题意得整理得归纳只含一个未知数最高次数是次的整式方程因此像这样的方程两边都是整式只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项例将方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数一次项系数及常数项注意二次项二次项系数一次项一次项系数常数项都包习判断下列方程是否为一元二次方程例求证关于的方程不论取何值该方程都是一元二次方程练习一选择题在下列方程中一元二次方程的个数是个个个个方程化为一

13、般形式后二次项系数一次项系数和常数项别为是关于的一元二次方程（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q0，方程的根是 x=-pq；如果 q0,方程无实根 例 1用配方法解下列关于 x 的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0 例 2解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 例 3 求证:无论 y 取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于 0 例 4、用配方法解方程 ax2+bx+c=0（a0）练习：一、选择题 1将二次三项式 x2-4x+1

14、配方后得（）A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 2已知 x2-8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（）Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 3如果 mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于 x 的完全平方式，则 m 等于（）A1 B-1 C1 或 9 D-1或 9 4配方法解方程 2x2-43x-2=0应把它先变形为（）A（x-13）2=89 B（x-23）2=0 C（x-13）2=89 D（x-13）2=109 二、填空题 1方

15、程 x2+4x-5=0的解是_ 2代数式2221xxx 的值为 0，则 x 的值为_ 3如果 16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么 x 与 y 的关系是_ 三、综合提高题 1用配方法解方程 （1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=23x 2已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求222xyxy的值 3已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长 4、求证：无论 x、y 取任何实数，多项式 x2+y2-2x-4y+16的值总是正数 边长是多少如果假设剪后的正方形边长为那么原来长方形长是宽是根据题意得整理得归纳只含一个未知数最高次

16、数是次的整式方程因此像这样的方程两边都是整式只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项例将方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数一次项系数及常数项注意二次项二次项系数一次项一次项系数常数项都包习判断下列方程是否为一元二次方程例求证关于的方程不论取何值该方程都是一元二次方程练习一选择题在下列方程中一元二次方程的个数是个个个个方程化为一般形式后二次项系数一次项系数和常数项别为是关于的一元二次方程（三）公式法 由上例 4 可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数

17、a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b2-4ac 0 时，将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca 就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例 1用公式法解下列方程（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3)x2-2x+12=0 例 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1）22

18、mx+（m-2）x-1=0提出了下列问题 若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程 应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让 a0.2)找出系数 a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算 b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。练习：一、选择题 1用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（）Ax=362 Bx=362 Cx=32 32 Dx=32 32 2方程2x2+43x+62=0 的根是（）Ax1=2，x2=3 Bx1=6，x2=2Cx1=22，x2=2 Dx1=x2=-6

19、3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2的值是（）A4 B-2 C4 或-2 D-4或 2 二、填空题 1一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当 x=_时，代数式 x2-8x+12的值是-4 3若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为 0，则 m 的值是_ 三、综合提高题 1用公式法解关于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0 边长是多少如果假设剪后的正方形边长为那么原来长方形长是宽是根据题意得整理得归纳只含一个未知数最高次数是次的整式方程因此像这样的方程两边都是整式只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数

20、是二次的方程叫做一元一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项例将方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数一次项系数及常数项注意二次项二次项系数一次项一次项系数常数项都包习判断下列方程是否为一元二次方程例求证关于的方程不论取何值该方程都是一元二次方程练习一选择题在下列方程中一元二次方程的个数是个个个个方程化为一般形式后二次项系数一次项系数和常数项别为是关于的一元二次方程2设 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导 x1+x2=-ba，x1 x2=ca；（2）求代数式 a（x13+x23）+b（x12+x22

21、）+c（x1+x2）的值 四、根与判别式的关系 根与系数的关系 1.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的根的判别式b2-4ac 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根，当0 时，方程没有实数根 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的两个根是 x1，x2，那么abxx21，acxx21 (2)如果方程 x2+px+q=0的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1x2=q (3)以 x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0

22、例 1、如果关于 x 的方程 2x2(4k+1)x 2 k210 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 例 2、设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，求 x12x22的值 已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两根，则 x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 若关于 x 的方程(m22)x2(m2)x 10 的两个根互为倒数，则 m 例 3、以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是 例 4、已知21,xx是关于 x 的方程01442kkxkx的两实根。(1)是否存在实数 k，使23222121xxxx成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由；边

23、长是多少如果假设剪后的正方形边长为那么原来长方形长是宽是根据题意得整理得归纳只含一个未知数最高次数是次的整式方程因此像这样的方程两边都是整式只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项例将方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数一次项系数及常数项注意二次项二次项系数一次项一次项系数常数项都包习判断下列方程是否为一元二次方程例求证关于的方程不论取何值该方程都是一元二次方程练习一选择题在下列方程中一元二次方程的个数是个个个个方程化为一般形式后二次项系数一次项系数和常数项别为是关于的一元二次

24、方程（2）求使21221xxxx的值为整数的实数 k 的整数值 练习 1、m取什么值时，方程 2x2(4m+1)x+2m21=0 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根 2、已知、是方程01522 xx的二根，求的值。3、已知m、n是方程x24x+1=0的两个实数根,求代数式2m2+4n28n+1的值.4、已知关于 x 的方程 0132kxxk。（1）求证：不论 k 取何值，方程总有实数根；（2）当 k=4 时，设该方程的两个实数根为、，求作以1122和1122为根的一元二次方程。龙文教育课后作业 1、当 m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的

25、一元二次方程 2、关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？3、下列方程中，一定有实数解的是（）边长是多少如果假设剪后的正方形边长为那么原来长方形长是宽是根据题意得整理得归纳只含一个未知数最高次数是次的整式方程因此像这样的方程两边都是整式只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项例将方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数一次项系数及常数项注意二次项二次项系数一次项一次项系数常数项都包习判断下列方程是否为一元二次方程例求证关于的方程不论取何值该方

26、程都是一元二次方程练习一选择题在下列方程中一元二次方程的个数是个个个个方程化为一般形式后二次项系数一次项系数和常数项别为是关于的一元二次方程 Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（12x-a）2=a 4、已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是（）A1 B2 C-1 D-2 5、已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求 x+y 的值，若设 x+y=z，则原方程可变为_，所以求出 z 的值即为x+y 的值，所以 x+y 的值为_ 6、如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，

27、求证：-1 必是该方程的一个根 7、如果 x2-4x+y2+6y+2z+13=0，求（xy）z的值 8、求证：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0 没有实数根 9、设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2)1x1 1x2 10、已知：关于 x 的方程042bbxx有两个相等的实根，21,yy是关于 y 的方程 0422yby的两实根，求以21,yy为根的一元二次方程。11、已知实数 a、b 满足bbaa22,2222，且 ab，求abba的值。12、已知：0125,05222qqpp，其中 p、q 这实数，求221qp 的值

28、。边长是多少如果假设剪后的正方形边长为那么原来长方形长是宽是根据题意得整理得归纳只含一个未知数最高次数是次的整式方程因此像这样的方程两边都是整式只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项例将方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数一次项系数及常数项注意二次项二次项系数一次项一次项系数常数项都包习判断下列方程是否为一元二次方程例求证关于的方程不论取何值该方程都是一元二次方程练习一选择题在下列方程中一元二次方程的个数是个个个个方程化为一般形式后二次项系数一次项系数和常数项别为是关于的一元

29、二次方程 13、已知：关于 x 的方程031222mxmx。（1）当 m 取何值时，方程有两个相等的实数根？（2）设方程的两实根分别为21,xx，当 01221221xxxx时，求 m 的值。边长是多少如果假设剪后的正方形边长为那么原来长方形长是宽是根据题意得整理得归纳只含一个未知数最高次数是次的整式方程因此像这样的方程两边都是整式只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元一个一元二次方程经过整理化成后其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项例将方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数一次项系数及常数项注意二次项二次项系数一次项一次项系数常数项都包习判断下列方程是否为一元二次方程例求证关于的方程不论取何值该方程都是一元二次方程练习一选择题在下列方程中一元二次方程的个数是个个个个方程化为一般形式后二次项系数一次项系数和常数项别为是关于的一元二次方程