苏教版八年级下学期 相似三角形 典型例题专项训练及解析_中学教育-中考.pdf

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1、第 1 页 共 9 页 相似三角形考前解析及答案 例题解析 知识考点：本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用，会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。精典例题：【例 1】如图，在ABC 中，AB14cm，95BDAD，DEBC，CDAB，CD12cm，求ADE 的面积和周长。分析：由 AB14cm，CD12cm 得ABCS84，再由 DEBC 可得ABCADE，有2ABADSSABCADE可求得ADES，利用勾股定理求出 BC、AC，再用相似三角形的性质可得ADE 的周长。答

2、案：ADE 的面积为775cm2，周长为 15 cm。例 1 图 EDCBA 例 2 图 QPMFEDCBA 变式 1 图 PNMCBA【例 2】如图，正方形 DEMF 内接于ABC，若1 ADES，4DEFMS正方形，求ABCS 分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过 A 点作 AQBC 于 Q，交 DE 于 P，利用ADES可得 AP及 AQ 的长，再由ADEABC 求出 BC，从而求得ABCS。解：正方形的面积为 4，DEMF2。过 A 点作 AQBC 于 Q，交 DE 于 P 1 ADES，AP1 DEBC，ADEABC，BCDEAQAP，即BC231 BC6，故ABCS9 更多资料

3、加 Q465010203 变式 1：如图，已知菱形 AMNP 内接于ABC，M、N、P 分别在 AB、BC、AC 上，如果 AB21 cm，CA15 cm，求菱形 AMNP 的周长。第 2 页 共 9 页 答案：35 cm 变式 2：如图，在ABC 中，有矩形 DEFG，G、F 在 BC 上，D、E 分别在 AB、AC 上，AHBC 交DE 于 M，DGDE12，BC12 cm，AH8 cm，求矩形的各边长。变式 2 图 HMDEFGCBA 3S2S1S例 3 图 TRNMPCBA 问题一图 PNMDCBA 答案：724 cm，748 cm【例 3】如图，已知 P 为ABC 内一点，过 P 点

4、分别作直线平行于ABC 的各边，形成小三角形的面积1S、2S、3S，分别为 4、9、49，求ABC 的面积。解：设 MPp，RTr，PNq，由于1S、2S、3S都相似于ABC，设ABC 的面积为S，ABc，则有cqS2，cpS3，crS7，三式相加得：1732cccrqpS 12S，故144S【例 4】如图，已知，在边长为 1 的正方形 ABCD 的一边上取一点 E，使 AE41AD，从 AB 的中点F 作 HFEC 于 H。（1）求证：FHFA；（2）求 EHHC 的值。证明：（1）连结 EF，FC，在正方形 ABCD 中，ADABBC，AB900 AE41AD，F 为 AB 的中点，BCF

5、BAFAE EAFFBC，AEFBFC，EFACFB EFC900，21FCEF 又EFCB900 EFCFBC HEFBFC，ECFBCF AEFHEF，AFEHFE EAFHEF FHFA 例 1 图 HFEDCBA相似三角形的有关概念定理解答有关问题另外直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用是近几年中考的热点题型精典例题例如图在中求的面积和周长分析由得再由可得有可求得利用勾股定理求出再用正方形的面积求出其边长过点作于交于利用可得及的长再由求出从而求得解正方形的面积为过点作于交于即故更多资加变式如图已知菱形内接于分别在上如果求菱形的周长第页共页第页共页答案变式如

6、图在中有矩形在上分别在上面积分别为求的面积解设由于都相似于设的面积为则有三式相加得故例如图已知在边长为的正方形的一边上取一点使从的中点作于求证求的值证明连结在正方形中为的中点又例图由得由易证从而可得同理于是变式如图在矩形中于求第 3 页 共 9 页 （2）由（1）得21FCEF，由（1）易证EHFEFC，从而可得ECEHEF2，同理CECHFC2，于是 EHHC2EF2FC14 变式：如图，在矩形 ABCD 中，65BCAB，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 EC61BC，FC53CD，FGAE 于 G，。求证：AG4GE。（提示：证ECFFDA 得 EFAF12，再证EFGEA

7、FFAG 即可）【例 5】已知，在ABC 中，ACB900，过 C 作 CDAB 于 D，ADm，BDn，2AC2BC21，又关于x的方程012)1(24122mxnx的两实数根的差的平方小于 192，求整数m、n的值。分析：如图，易证ABCADC，2AC2BCADBDmn21，即nm2，再由方程两根差的平方小于 192 可得21n，又由判别式0 知n2 21n2，又n为整数，n1，2更多资料加 Q465010203 m2，n1 或m4，n2 例 2 图 DCBA 13 FEDCBA 问题一图 13 FEDCBAG问题一图 探索与创新：【问题一】已知：如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD

8、的中点，EF EC 交 AB 于 F，连结 FC（ABAE）。（1）AEF 与EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。（2）设BCABk，是否存在这样的k值，使得AEF 与BFC 相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由。解：（1）相似，如图 证明：延长 FE 与 CD 的延长线交于点 G。在 RtAEF 与 RtDEG 中 E 是 AD 的中点 娈式图 GFEDCBA相似三角形的有关概念定理解答有关问题另外直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用是近几年中考的热点题型精典例题例如图在中求的面积和周长分析由得再由可得有可求得利用

9、勾股定理求出再用正方形的面积求出其边长过点作于交于利用可得及的长再由求出从而求得解正方形的面积为过点作于交于即故更多资加变式如图已知菱形内接于分别在上如果求菱形的周长第页共页第页共页答案变式如图在中有矩形在上分别在上面积分别为求的面积解设由于都相似于设的面积为则有三式相加得故例如图已知在边长为的正方形的一边上取一点使从的中点作于求证求的值证明连结在正方形中为的中点又例图由得由易证从而可得同理于是变式如图在矩形中于求第 4 页 共 9 页 AEED，AEFDEG，AEDG AFEDGE E 为 FG 的中点。又 CEFG，FCGC CFEG。AFEEFC，又AEF 与EFC 均为直角三角形 AE

10、FEFC。（2）存在。如果BCFAEF，即k23BCAB时，AEFBCF。证明：当23BCAB时，3DEDC。ECG300。ECGECFAEF300，BCF900600300。又AEF 和BCF 均为直角三角形。AEFBCF。因为 EF 不平行于 BC，BCF AFE。不存在第二种相似情况。跟踪训练 一、填空题：1、在 RtABC 中，BAC900，ADBC 于 D，AB2，DB1，则 DC ，AD 。2、在ABC 中，AB12，AC15，D 为 AB 上一点，BD31AB，在 AC 上取一点 E，得ADE，当 AE的长为 时，图中的两个三角形相似。3、在 RtABC 中，AD 为斜边上的高，

11、ABDABCSS4，则 ABBC 。二、选择题：在ABC 中，ABC123，CDAB 于 D，ABa，则 DB（）A、4a B、3a C、2a D、43a 三、解答题：1、如图，在ABC 中，ACB900，CDAB 于 D，为了求出 AC，在图中你能找出哪些适当的条件？第 1 题图 ACDB 第 2 题图 FEACDB 2、如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，E 是 BC 上任意一点，EFAB 于 F。求证：EFCDAFADAC2。3、如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DHBM 且与 AC 的延长线交于点E。求证：（1）AEDCBM；相似

12、三角形的有关概念定理解答有关问题另外直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用是近几年中考的热点题型精典例题例如图在中求的面积和周长分析由得再由可得有可求得利用勾股定理求出再用正方形的面积求出其边长过点作于交于利用可得及的长再由求出从而求得解正方形的面积为过点作于交于即故更多资加变式如图已知菱形内接于分别在上如果求菱形的周长第页共页第页共页答案变式如图在中有矩形在上分别在上面积分别为求的面积解设由于都相似于设的面积为则有三式相加得故例如图已知在边长为的正方形的一边上取一点使从的中点作于求证求的值证明连结在正方形中为的中点又例图由得由易证从而可得同理于是变式如图在矩形中于

13、求第 5 页 共 9 页 （2）CDACCMAE 第 3 题图 MHFEACDB 第 4 题图 GFEACDB 4、已知，如图，在 RtABC 中，ACB900，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，过点 C 作 CEAD，垂足为 E，CE 的延长线交 AB 于点 F，过点 E 作 EGBC 交 AB 于点 G，16 ADAE，54AB，求EG 的长。跟踪训练参考答案 一、填空题：1、3，3；2、10 或532；3、12；二、选择题：A 三、解答题：1、AD、DC；AB、BC；AD、AB；AD、BD；AB、BD；CD、BD；BD、BC；BC、CD；AD、BC；AB、CD 等。2、由ADCACB

14、 得FBADAFADFBAFADABADAC)(2，又由ACDEBF 得EFCDFBAD，所以EFCDAFADAC2 3、略 4、4 B 例题解析 知识考点：本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。精典例题：【例 1】如图，点 O 是ABC 的两条角平分线的交点，过 O 作 AO 的垂线交 AB 于 D。求证：OBDCBO。相似三角形的有关概念定理解答有关问题另外直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用是近几年中考的热点题型精典例题例如图在中求的面积和周长分析由得再由可得有可求得利用勾股定理求出再

15、用正方形的面积求出其边长过点作于交于利用可得及的长再由求出从而求得解正方形的面积为过点作于交于即故更多资加变式如图已知菱形内接于分别在上如果求菱形的周长第页共页第页共页答案变式如图在中有矩形在上分别在上面积分别为求的面积解设由于都相似于设的面积为则有三式相加得故例如图已知在边长为的正方形的一边上取一点使从的中点作于求证求的值证明连结在正方形中为的中点又例图由得由易证从而可得同理于是变式如图在矩形中于求第 6 页 共 9 页 分析：此题不易得到边的比例关系，但 O 点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。由角平分线及三角形内角和定理知：12DAO900，再由 AODO

16、 可得512，而534，从而1234，由13 可得24，于是结论得证。例 1 图 54321ODCBA 变式 1 图 OEDCBA 例 2 图 FEDCBA 变式 1：已知如图，在ABC 中，ADAE，AODE 于 O，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，BO 平分ABC。求证：BCBDBO2。变式 2：已知如图（同变式 1 图），在ABC 中，O 为两内角平分线的交点，过点 O 作直线交 AB 于 D，交 AC 于 E，且 ADAE。求证：（1）BDOOEC；（2）CEBDDO2。【例 2】如图，在ABC 中，BAC900，ADBC 于 D，E 为 AC 中点，DE 交 BA 的延长线

17、于 F。求证：ABACBFDF。分析：由于ABC 和FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。证明：ABAC，ADBC RtABDRtCAD，DACB ADBDACAB 又ADBC，E 为 AC 中点 DEAE，DAEADE BADE 又FF FADFDB DFBFADBD 由得DFBFACAB 变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？相似三角形的有关概念定理解答有关问题另外直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三

18、角形相似的性质运用是近几年中考的热点题型精典例题例如图在中求的面积和周长分析由得再由可得有可求得利用勾股定理求出再用正方形的面积求出其边长过点作于交于利用可得及的长再由求出从而求得解正方形的面积为过点作于交于即故更多资加变式如图已知菱形内接于分别在上如果求菱形的周长第页共页第页共页答案变式如图在中有矩形在上分别在上面积分别为求的面积解设由于都相似于设的面积为则有三式相加得故例如图已知在边长为的正方形的一边上取一点使从的中点作于求证求的值证明连结在正方形中为的中点又例图由得由易证从而可得同理于是变式如图在矩形中于求第 7 页 共 9 页 例 2 变式图 1 FEDCBA 例 2 变式图 2 FE

19、DCBA 例 3 图 GFEDCBA【例 3】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，BECD 于 E，且 BCBD，对角线 AC、BD 相交于 G，AC、BE 相交于 F。求证：FAFGFC2。分析：由于 FG、FA、FC 三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得 BE 是 DC 的垂直平分线，于是连结 FD 得 FDFC，再证FDGFAD 即可。探索与创新：【问题一】如图，ACBADC900，AC6，AD2。问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？略解：AC6，AD2 CD222ADAC 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 RtABCRtA

20、CD 时，有ACABADAC 32ADACAB（2）当 RtACBRtCDA 时，有ACABCDAC 232CDACAB 故当 AB 的长为 3 或23时，这两个直角三角形相似。【问题二】已知如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，点 Q 在线段 BC 上，设 BQk，是否存在这样的实数k，使得 Q、C、P 为顶点的三角形与ADP 相似，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。略解：假设存在满足条件的实数k，则在正方形 ABCD 中，DC900，由 RtADPRtQCP或 RtADPRtPCQ 得：问题一图 DCBA相似三角形的有关概念定理解答有关问题另外直角三角形被斜

21、边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用是近几年中考的热点题型精典例题例如图在中求的面积和周长分析由得再由可得有可求得利用勾股定理求出再用正方形的面积求出其边长过点作于交于利用可得及的长再由求出从而求得解正方形的面积为过点作于交于即故更多资加变式如图已知菱形内接于分别在上如果求菱形的周长第页共页第页共页答案变式如图在中有矩形在上分别在上面积分别为求的面积解设由于都相似于设的面积为则有三式相加得故例如图已知在边长为的正方形的一边上取一点使从的中点作于求证求的值证明连结在正方形中为的中点又例图由得由易证从而可得同理于是变式如图在矩形中于求第 8 页 共 9 页 CPDPQCAD或CQD

22、PPCAD 由此解得：CQ1 或 CQ41，从而0k或43k 故当0k或43k时，ADP 与QCP。跟踪训练 一、填空题：1、如图，在ABC 中，P 是边 AB 上一点，连结 CP，使ACPABC 的条件是 。2、在直角坐标系中，已知 A（3，0）、B（0，4）、C（0，1），过 C 点作直线l交x轴于 D，使得以点 D、C、O 为顶点的三角形与AOB 相似，这样的直线有 条。3、如图，在ABC 中，C900，AC8，CB6，在斜边 AB 上取一点 M，使 MBCB，过 M 作 MNAB交 AC 于 N，则 MN 。第 1 题图 PCBA 第 3 题图 NMCBA 第 5 题图 EDCBA 4

23、、一个钢筋三角架长分别为 20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30 cm和 50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。5、如图，在锐角ABC 中，BDAC，DEBC，AB14，AD4，BEEC51，则 CD 。二、选择题：1、下面两个三角形一定相似的是（）A、两个等腰三角形 B、两个直角三角形 C、两个钝角三角形 D、两个等边三角形 2、如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，EA 分别交 CD、BD 的延长线于点 F、G，则图中相似三角形共有（）A、3 对 B

24、、4 对 C、5 对 D、6 对 三、解答题：1、如图，在 RtABC 中，B900，ABBEEFFC。求证：AEFCEA。问题二图 QPDCBA相似三角形的有关概念定理解答有关问题另外直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用是近几年中考的热点题型精典例题例如图在中求的面积和周长分析由得再由可得有可求得利用勾股定理求出再用正方形的面积求出其边长过点作于交于利用可得及的长再由求出从而求得解正方形的面积为过点作于交于即故更多资加变式如图已知菱形内接于分别在上如果求菱形的周长第页共页第页共页答案变式如图在中有矩形在上分别在上面积分别为求的面积解设由于都相似于设的面积为则有三

25、式相加得故例如图已知在边长为的正方形的一边上取一点使从的中点作于求证求的值证明连结在正方形中为的中点又例图由得由易证从而可得同理于是变式如图在矩形中于求第 9 页 共 9 页 选择第 2 题图 FGEDCBA 解 答 第 1 题 图 FECBA解答第 2 题图 DFECBA 2、如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ADDC，DEAC 于 E，交 AB 于 F。求证：AFDADB。3、如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，D900，AB3，DC7，AD15，请你在 AD 上找一点 P，使得以 P、A、B 和以 P、D、C 为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的 P 点有几个？并求出 AP 的

26、长；若不能，请说明理由。解答第 3 题图 PDCBA 解 答 第 4 题 图 EDCBA 4、在边长为 1 的正方形网格中有 A、B、C、D、E 五个点，问ABC 与ADE 是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。一、填空题：1、ACPB 或APCACB 或ABAPAC2；2、4 条；3、3，5；4、2 种；5、6 二、选择题：DD 三、解答题：1、设 ABBEEFFCa，B900，AEa2 22aaEFAE，222aaAEEC AEECEFAE且AEFCEA AEFCEA 2、证AEDADC，FAECAB，FADDAB 3、能，有三个，AP4.5 或

27、214115 4、ABCADE，还有ABDACE。相似三角形的有关概念定理解答有关问题另外直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用是近几年中考的热点题型精典例题例如图在中求的面积和周长分析由得再由可得有可求得利用勾股定理求出再用正方形的面积求出其边长过点作于交于利用可得及的长再由求出从而求得解正方形的面积为过点作于交于即故更多资加变式如图已知菱形内接于分别在上如果求菱形的周长第页共页第页共页答案变式如图在中有矩形在上分别在上面积分别为求的面积解设由于都相似于设的面积为则有三式相加得故例如图已知在边长为的正方形的一边上取一点使从的中点作于求证求的值证明连结在正方形中为的中点又例图由得由易证从而可得同理于是变式如图在矩形中于求