一元二次方程知识点总结全——难易两个部分_中学教育-中考.pdf

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1、名师总结 精品知识点 第二章 一元二次方程 1、花边有多宽（1）整式方程及一元二次方程的概念 整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化作 ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a0)的形式。1一元二次方程的意义 未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式；2只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程。（2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。2、配方法（1）直接开平方法的定义

2、利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。（2）配方法的步骤和方法 一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。3、公式法（1）求根公式 b2-4ac0 时，x=aacbb242(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般 ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a0)；二、计算 b2-4ac 的值，当 b2-4ac0 时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。4、分解因式法（

3、1）分解因式的概念 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据 a b=0，那么 a=0 或 b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤 一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为 0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。5、为什么是 0.618（1）什么叫黄金比 线段 AB 上一点 C 分线段 AB 成两条线段 AC，BC，若ABAC=ACBC，则C 点叫线段 AB 的黄金分割点，其中ABAC叫黄金比，其值为 0.618。（2）列一元二次方程

4、解应用题的一般步骤 一、审题；二、设求知数；三、列代数式；四、列方程；五、解方程；六、检验；七、答 名师总结 精品知识点 一、本章知识结构框图 二、具体内容 1、一元二次方程的一般式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）2(0)xa a 解为：xa 2()(0)xab b 解为：xab 2()(0)axbc c 解为：axbc 22()()()axbcxdac 解为：()axbcxd （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如：20(,0)()0axbxa bx axb 此类方

5、程适合用提供因此，而且其中一个根为 0 290(3)(3)0 xxx 230(3)0 xxx x 3(21)5(21)0(35)(21)0 xxxxx 注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。22694(3)4xxx 2241290(23)0 xxx 24120(6)(2)0 xxxx 2251 20(23)(4)0 xxxx 十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。实际问题 数学问题)0(02acbxax 设未知数，列方程 实际问题的答案 数学问题的解 aacbbx242 解 方 程 降 次 开平方法 配方法 公式法 分解因式法 检 验 未知数的整式一元二次方程只

6、含有一个未知数的整式方程并且都可以化作为常数的形式一元二次方程的意义未知数个数为未知数的最高次数为整式方程可化为一般形式只有当二次项系数时整式方程才是一元二次方程一元二次方程的根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法配方法的步骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次项系数的一半的平方把原方程化为的形式三直接用开平方法求出它的解公式法求根公数根否则方程无实数根三代入求根公式求出方程的根四写出方程的两个根分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时根据么或这种解一元二次方程的方法称为分解因式分解因式法名师总结 精品知识点

7、（3）配方法 二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，如下所示：2220()()022PPxPxqxq 示例：22233310()()1022xxx 二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220(0)()0()()022bbbaxbxcaa xxca xacaaa 222224()()2424bbbbaca xcxaaaa 示例：22221111210(4)10(2)2102222xxxxx 备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对1a 且b为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。（4）公式法：一元二次方程20(0)

8、axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa 当240bac时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa 当240bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa 当240bac时，右端是负数因此，方程没有实根。注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20(0)axbxca，并确定出a、b、c 求出24bac，并判断方程解的情况。代公式：21,242bbacxa（要注意符号）备注：一元二次方程的解题步骤：首先看方程中,a

9、b c是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：如：210100500 xx（同除于 10）21050 xx 这样更加方便计算。21130244xx（同乘于4，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）2230 xx 四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。未知数的整式一元二次方程只含有一个未知数的整式方程并且都可以化作为常数的形式一元二次方程的意义未知数个数为未知数的最高次数为整式方程可化为一般形式只有当二次项

10、系数时整式方程才是一元二次方程一元二次方程的根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法配方法的步骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次项系数的一半的平方把原方程化为的形式三直接用开平方法求出它的解公式法求根公数根否则方程无实数根三代入求根公式求出方程的根四写出方程的两个根分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时根据么或这种解一元二次方程的方法称为分解因式分解因式法名师总结 精品知识点 3、根的判别式 1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1

11、）=acb42（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a）当时00a方程有实数根；（当时00a方程有两个不相等的实数根；当时00a方程有两个相等的实数根；）当时00a方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 例：求证：方程0)4(2)1(222aaxxa无实数根。4、一元二次方程的根与系数的关系 法 1：一元二次方程20(0)axbxca 的两个根为：221

12、244,22bbacbbacxxaa 所以：22124422bbacbbacbxxaaa ，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa 定理：如果一元二次方程20(0)axbxca 定的两个根为12,x x，那么：1212,bcxxx xaa 法 2：如果一元二次方程20(0)axbxca 定的两个根为12,x x；那么 2120()()0axbxca xxxx 两边同时除于a，展开后可得：2212120()0bcxxxxxxx xaa 12bxxa；12cxxa 未知数的整式一元二次方程只含有一个未知数的整式方程并且都可以化作为常数的形式一元二

13、次方程的意义未知数个数为未知数的最高次数为整式方程可化为一般形式只有当二次项系数时整式方程才是一元二次方程一元二次方程的根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法配方法的步骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次项系数的一半的平方把原方程化为的形式三直接用开平方法求出它的解公式法求根公数根否则方程无实数根三代入求根公式求出方程的根四写出方程的两个根分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时根据么或这种解一元二次方程的方法称为分解因式分解因式法名师总结 精品知识点 法 3：如果一元二次方程20(0)axbxca 定的两

14、个根为12,x x；那么 21122200axbxcaxbxc 得：12bxxa（余下略）常用变形：222121212()2xxxxx x，12121211xxxxx x，22121212()()4xxxxx x，2121212|()4xxxxx x，2212121212()x xx xx xxx，22111212121222212()4xxxxxxx xxxx xx x 等 练习：【练习 1】若12,x x是方程2220070 xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12|xx【练习 2】已知关于x的方程221(1)104xk

15、xk，根据下列条件，分别求出k的值(1)方程两实根的积为 5；(2)方程的两实根12,x x满足12|xx【练习 3】已知12,x x是一元二次方程24410kxkxk 的两个实数根(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由 (2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值 5、韦达定理相关知识（1）若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根21xx 和，那么21xx ，21xx 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。（2）如 果 一 元 二 次 方 程02qpxx的 两 个 根 是21xx 和

16、，则21xx ，21xx 。（3）以21xx 和为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是0)(21212xxxxxx（4）在一元二次方程)0(02acbxax中，有一根为 0，则c ；有一根为 1，则 未知数的整式一元二次方程只含有一个未知数的整式方程并且都可以化作为常数的形式一元二次方程的意义未知数个数为未知数的最高次数为整式方程可化为一般形式只有当二次项系数时整式方程才是一元二次方程一元二次方程的根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法配方法的步骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次项系数的一半的平方把原方程化为的形式三直接用开平方法求出它的解公式法

17、求根公数根否则方程无实数根三代入求根公式求出方程的根四写出方程的两个根分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时根据么或这种解一元二次方程的方法称为分解因式分解因式法名师总结 精品知识点 cba ；有一根为1，则cba ；若两根互为倒数,则c ；若两根互为相反数，则b 。（5）二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式cbxax2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02acbxax的两个根21xx 和，那么)(212xxxxacbxax如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解。6、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨

18、 20(0)axbxca 的两个根为12,x x，那么：（1）220(0)p xpbxcp 的两个根为：1xp，2xp（原因留给大家自行思考）例 1：24935120 xx 24 97,3 575 先求出方程：25120 xx的两根为：1,25732x ，故原方程的根为：1,21573573()7214x （2）220(0)xqbxq cq的两个根为：1qx，2qx 例 2：27003000000 xx 27 0 01 0 07,3 0 0 0 0 01 0 0(3 0)先解得方程：27300 xx的两根为：1210,3xx，所以原方程的两个解为：12100(10)1000,1003300 x

19、x 7、应用题（1）平均增长率的问题：(1)naxb 其中：a为基数，x为增长率，n表示连续增长的次数，b表示增长后的数量。（2）面积问题：注意平移思想的使用 8、换元法 例：222()5()60 xxxx 解：令2yxx 则原方程可化为：2560yy 解得：12y 23y 当22xx 时，求得：121,2xx 当23xx 时，求得：3,41132x（原方程共有 4 个解）练习：221211xxxx 未知数的整式一元二次方程只含有一个未知数的整式方程并且都可以化作为常数的形式一元二次方程的意义未知数个数为未知数的最高次数为整式方程可化为一般形式只有当二次项系数时整式方程才是一元二次方程一元二次方程的根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法配方法的步骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次项系数的一半的平方把原方程化为的形式三直接用开平方法求出它的解公式法求根公数根否则方程无实数根三代入求根公式求出方程的根四写出方程的两个根分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时根据么或这种解一元二次方程的方法称为分解因式分解因式法