一元二次不等式及其解法[高考数学总复习][高中数学课时训]_中学教育-高考.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 一元二次不等式及其解法 1.下列结论正确的是 .不等式 x24 的解集为x|x2 不等式 x2-90 的解集为x|x3 不等式(x-1)22 的解集为x|1-2x1+2 设 x1,x2为 ax2+bx+c=0 的两个实根，且 x1x2,则不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|x1xx2 答案 2.（2007湖南理）不等式12xx0 的解集是 .答案 （-1，2 3.（2008天津理）已知函数 f(x)=,0,1,0,1xxxx则不等式 x+(x+1)f(x+1)1 的解集是 .答案 x|x2-1 4.在 R 上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)

2、1 对任意实数 x 成立,则 a 的取值范围是 .答案 -21a23 5.(2008 江苏，4)A=x|(x-1)23x-7，则 AZ 的元素的个数为 .答案 0 例 1 解不等式23352x21(x2-9)-3x.解 原不等式可化为-23x2+2521x2-29-3x,即 2x2-3x-70.解方程 2x2-3x-7=0,得 x=4653.所以原不等式的解集为 4654346543xx.例 2 已知不等式 ax2+bx+c0 的解集为(,),且 0,求不等式 cx2+bx+a0 的解集.解 方法一 由已知不等式的解集为(，)可得 a0,，为方程 ax2+bx+c=0 的两根，由根与系数的关系

3、可得00)(acab 优秀学习资料 欢迎下载 a0,由得 c0,则 cx2+bx+a0 可化为 x2+xcb+ca0,得cb=)(=-110,由得ca=1=110,1、1为方程 x2+cbx+ca=0 的两根.0,不等式 cx2+bx+a0 的解集为 11xxx或.方法二 由已知不等式解集为(,),得 a0,且，是 ax2+bx+c=0 的两根，+=-ab,=ac,cx2+bx+a0acx2+abx+10()x2-(+)x+10(x-1)(x-1)0 1x1x0.0,11,x1或 x1,cx2+bx+a0 的解集为11xxx或.例 3 已知不等式11xax0(aR).(1)解这个关于 x 的不

4、等式;(2)若 x=-a 时不等式成立,求 a 的取值范围.解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)0.当 a=0 时,由-(x+1)0,得 x-1;当 a0 时,不等式化为ax1(x+1)0,解得 x-1 或 xa1;当 a0 时,不等式化为ax1(x+1)0;若a1-1,即-1a0,则a1x-1;若a1=-1,即 a=-1,则不等式解集为空集;若a1-1,即 a-1,则-1xa1.为设为的两个实根且则不等式的解集为答案湖南理不等式的解集是答案天津理已知函数则不等式的解集是答案在上定义运算若不等式对任意实数成立则的取值范围是答案江苏则的元素的个数为答案例解不等式解原不等式可化为即解程的

5、两根由根与系数的关系可得优秀学习资料欢迎下载由得则可化为得由得为方程的两根不等式的解集为方法二由已知不等式解集为得且是的两根或或的解集为或例已知不等式解这个关于的不等式若时不等式成立求的取值范围解原料欢迎下载综上所述时解集为时原不等式无解时解集为时解集为时解集为或时不等式成立即即的取值范围为例分已知当时恒成立求的取值范围解方法一二次函数图象的对称轴为此分当时结合图象知在上单调递增分要使恒成立只需即优秀学习资料 欢迎下载 综上所述,a-1 时,解集为axx11;a=-1时,原不等式无解;-1a0 时,解集为11xax;a=0 时,解集为x|x-1;a0 时,解集为axxx11或.(2)x=-a

6、时不等式成立,112aa0,即-a+10,a1,即 a 的取值范围为 a1.例 4（14 分）已知 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1，+）时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围.解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,2 分 当 a (-,-1)时，结 合 图 象 知,f（x)在 -1，+）上 单 调 递 增，f(x)min=f(-1)=2 a+3,4 分 要使 f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina,即2a+3a,解得a-3,又a-1,-3a-1;6 分 当a-1，+）时，f(x)min=f(a)=2-a2,8分 由 2-a2a,解得-2a

7、1,又 a-1,-1a1.12 分 综上所述，所求a的取值范围为-3a1.14 分 方法二 由已知得x2-2ax+2-a0在-1，+）上恒成立，4分 即=4a2-4（2-a）0或0)1(10fa,10 分 解得-3a1.14 分 1.解下列不等式：（1）-x2+2x-320;(2)9 x2-6x+10.为设为的两个实根且则不等式的解集为答案湖南理不等式的解集是答案天津理已知函数则不等式的解集是答案在上定义运算若不等式对任意实数成立则的取值范围是答案江苏则的元素的个数为答案例解不等式解原不等式可化为即解程的两根由根与系数的关系可得优秀学习资料欢迎下载由得则可化为得由得为方程的两根不等式的解集为方

8、法二由已知不等式解集为得且是的两根或或的解集为或例已知不等式解这个关于的不等式若时不等式成立求的取值范围解原料欢迎下载综上所述时解集为时原不等式无解时解集为时解集为时解集为或时不等式成立即即的取值范围为例分已知当时恒成立求的取值范围解方法一二次函数图象的对称轴为此分当时结合图象知在上单调递增分要使恒成立只需即优秀学习资料 欢迎下载 解（1）-x2+2x-320 x2-2x+320 3x2-6x+20=120,且方程 3x2-6x+2=0的两根为 x1=1-33,x2=1+33,原不等式解集为331331xx.(2)9 x2-6x+10(3 x-1)20.xR,不等式解集为 R.2.已知关于 x

9、 的不等式（a+b）x+(2 a-3b)0 的解集为31xx，求关于 x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)0的解集.解 （a+b）x+(2a-3b)0 的解集是31xx,.0,0)32(31)(bababa 于是 a=2b0,b0,不等式(a-3b)x+(b-2a)0,即为-bx-3b0,亦即-bx3b,x-3.故所求不等式的解集为x|x-3.3.解关于 x 的不等式2axax0（aR）.解 2axax0(x-a)(x-a2)0,当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为；当 a0 或 a1 时，aa2，此时 axa2;当 0a1 时，aa2，此时 a2xa.综上，当 a0 或 a1 时

10、，原不等式的解集为x|axa2；当 0a1 时，原不等式的解集为x|a2xa;当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为.4.函数 f（x）=x2+ax+3.(1)当 xR时,f(x)a 恒成立,求 a 的取值范围.(2)当 x-2,2 时,f(x)a 恒成立,求 a 的取值范围.解 (1)xR时,有 x2+ax+3-a0 恒成立,须=a2-4(3-a)0,即 a2+4a-120,所以-6a2.(2)当 x-2,2 时,设 g(x)=x2+ax+3-a0,分如下三种情况讨论(如图所示):为设为的两个实根且则不等式的解集为答案湖南理不等式的解集是答案天津理已知函数则不等式的解集是答案在上定义运

11、算若不等式对任意实数成立则的取值范围是答案江苏则的元素的个数为答案例解不等式解原不等式可化为即解程的两根由根与系数的关系可得优秀学习资料欢迎下载由得则可化为得由得为方程的两根不等式的解集为方法二由已知不等式解集为得且是的两根或或的解集为或例已知不等式解这个关于的不等式若时不等式成立求的取值范围解原料欢迎下载综上所述时解集为时原不等式无解时解集为时解集为时解集为或时不等式成立即即的取值范围为例分已知当时恒成立求的取值范围解方法一二次函数图象的对称轴为此分当时结合图象知在上单调递增分要使恒成立只需即优秀学习资料 欢迎下载 如图(1),当 g(x)的图象恒在 x 轴上方时,满足条件时,有=a2-4(

12、3-a)0,即-6a2.如图(2),g(x)的图象与 x 轴有交点,但在 x-2,+)时,g(x)0,即0)2(,220gax 即0324220)3(42aaaaa37462aaaa或 解之得 a.如图(3),g(x)的图象与 x 轴有交点,但在 x(-,2 时,g(x)0,即0)2(,220gax 即0324220)3(42aaaaa7462aaaa或-7a-6 综合得 a-7，2.一、填空题 1.函数 y=)1(log221x的定义域是 .答案 -2,-1）（1，2 2.不等式412xx0 的解集是 .答案 (-2,1)(2,+)3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)0 对任何实

13、数 x 恒成立，则实数 m的取值范围是 .答案 m-1113 4.若关于 x 的不等式：x2-ax-6a0 有解且解区间长不超过5 个单位，则 a 的取值范围是 .答案 -25a-24 或 0a1 5.(2009 启东质检)已知函数 f(x）的定义域为（-，+），f(x)为 f(x)的导函数，函数 y=f(x)的图象如右图所示，为设为的两个实根且则不等式的解集为答案湖南理不等式的解集是答案天津理已知函数则不等式的解集是答案在上定义运算若不等式对任意实数成立则的取值范围是答案江苏则的元素的个数为答案例解不等式解原不等式可化为即解程的两根由根与系数的关系可得优秀学习资料欢迎下载由得则可化为得由得为

14、方程的两根不等式的解集为方法二由已知不等式解集为得且是的两根或或的解集为或例已知不等式解这个关于的不等式若时不等式成立求的取值范围解原料欢迎下载综上所述时解集为时原不等式无解时解集为时解集为时解集为或时不等式成立即即的取值范围为例分已知当时恒成立求的取值范围解方法一二次函数图象的对称轴为此分当时结合图象知在上单调递增分要使恒成立只需即优秀学习资料 欢迎下载 且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2-6)1 的解集为 .答案 (2,3)(-3,-2)6.不等式组030122xxx的解集为 .答案 x|0 x1 7.若不等式 2xx2+a 对于任意的 x-2，3恒成立，则实数 a 的取

15、值范围为 .答案 (-,-8)8.已知x|ax2-ax+10=,则实数 a 的取值范围为 .答案 0a4 二、解答题 9.解关于 x 的不等式 56x2+ax-a20.解 原不等式可化为(7 x+a)(8 x-a)0,即7ax8ax0.当-7a8a,即 a0 时,-7ax8a;当-7a=8a,即 a=0 时,原不等式解集为;当-7a8a,即 a0 时,8ax-7a.综上知:当 a0 时,原不等式的解集为 87axax;当 a=0 时,原不等式的解集为;当 a0 时,原不等式的解集为78axax.10.已知 x2+px+q0 的解集为3121xx，求不等式 qx2+px+10 的解集.解 x2+

16、px+q0 的解集为3121xx,-21,31是方程 x2+px+q=0 的两实数根，由根与系数的关系得qp)21(312131,6161qp,不等式 qx2+px+10 可化为-0161612 xx,即 x2-x-60,-2x3,不等式 qx2+px+10 的解集为x|-2 x3.11.若不等式 2x-1m(x2-1)对满足|m|2 的所有 m都成立，求 x 的取值范围.解 方法一 原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)0.令 f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2 m 2).为设为的两个实根且则不等式的解集为答案湖南理不等式的解集是答案天津理已知函数则不等式的解集是答案在上定义运算

17、若不等式对任意实数成立则的取值范围是答案江苏则的元素的个数为答案例解不等式解原不等式可化为即解程的两根由根与系数的关系可得优秀学习资料欢迎下载由得则可化为得由得为方程的两根不等式的解集为方法二由已知不等式解集为得且是的两根或或的解集为或例已知不等式解这个关于的不等式若时不等式成立求的取值范围解原料欢迎下载综上所述时解集为时原不等式无解时解集为时解集为时解集为或时不等式成立即即的取值范围为例分已知当时恒成立求的取值范围解方法一二次函数图象的对称轴为此分当时结合图象知在上单调递增分要使恒成立只需即优秀学习资料 欢迎下载 则.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22xxfxxf 解得2

18、71x231.方法二 求已知不等式视为关于 m的不等式，（1）若 x2-1=0，即 x=1 时，不等式变为 2x-10,即 x21,x=1,此时原不等式恒成立.（2）当 x2-10 时，使1122xxm对一切|m|2 恒成立的充要条件是1122xx2,1x231.(3)当 x2-10 时，使1122xxm对一切|m|2 恒成立的充要条件是1122xx-2.271x1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为213217xx.12.已知函数 f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当 x(-2,6)时，其值为正，而当 x(-,-2)(6,+）时，其值为负.（1）求实数 a,b 的值及函数 f(x)的

19、表达式；（2）设 F（x）=-4kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问 k 取何值时，函数 F（x）的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2 和 6 是方程 f(x)=0 的两根，126224623aaba,84ba,f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=-4k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2.当 k=0 时，F(x)=4 x-2 不恒为负值；当 k0 时，若 F(x)的值恒为负值，则有08160kk,解得 k-2.为设为的两个实根且则不等式的解集为答案湖南理不等式的解集是答案天津理已知函数则不等式的解集是答案在上定义运算若不等式对任意实数成立则的取值范围是答案江苏则的元素的个数为答案例解不等式解原不等式可化为即解程的两根由根与系数的关系可得优秀学习资料欢迎下载由得则可化为得由得为方程的两根不等式的解集为方法二由已知不等式解集为得且是的两根或或的解集为或例已知不等式解这个关于的不等式若时不等式成立求的取值范围解原料欢迎下载综上所述时解集为时原不等式无解时解集为时解集为时解集为或时不等式成立即即的取值范围为例分已知当时恒成立求的取值范围解方法一二次函数图象的对称轴为此分当时结合图象知在上单调递增分要使恒成立只需即