抛物线及其性质知识点大全_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 精品知识点 抛物线及其性质 1抛物线定义：平面内到一定点 F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 2抛物线四种标准方程的几何性质：图形 参数 p 几何意义 参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)ypx p 22(0)ypx p 22(0)xpy p 22(0)xpy p 焦 点位 置 X正 X负 Y正 Y负 焦 点坐 标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p 准 线方 程 2px 2px 2py 2py 范 围 0,xyR 0,xyR 0,yxR 0,yxR 对 称轴 X轴 X轴 Y轴 Y轴 顶 点坐

2、标（0,0）离心率 1e 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12pAFx 12pAFx 12pAFy 12pAFy 焦点弦长AB 12()xxp 12()xxp 12()yyp 12()yyp 焦点弦长AB的补充11(,)A x y 22(,)B xy 以AB为直径的圆必与准线l相切 若AB的倾斜角为，22sinpAB 若AB的倾斜角为，则22cospAB 2124px x 212y yp 112AFBFABAFBFAFBFAFBFp 3抛物线)0(22ppxy的几何性质：(1)范围：因为 p0，由方程可知 x0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方

3、和右下方无限延伸 学习必备 精品知识点(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3)顶点（0，0），离心率：1e，焦点(,0)2pF，准线2px，焦准距 p(4)焦点弦：抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB,则pxxAB21|弦长|AB|=x1+x2+p,当 x1=x2时，通径最短为 2p。4焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，焦点(,0)2pF(1)若 AB是抛物线22(0)ypx p的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y，22(,)B xy，则：21 24pxx，21 2y yp。(2)若 AB是抛物线22(

4、0)ypx p的焦点弦，且直线 AB的倾斜角为，则22sinPAB（0）。(3)已知直线 AB是过抛物线22(0)ypx p焦点 F,112AFBFABAFBFAFBFAFBFp(4)焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径 (5)两个相切：1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式：),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点，则 221212()()ABxxyy|11|1212212yykxxk 6.直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时

5、，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k0 时，0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：bkxy 抛物线，)0(p 联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxk 设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出抛物线四种标准方程的几何性质图形参数几何意义参数表示焦点到准线的距离越大开口越阔开口方向右左上下标准方程焦点位置正负正负焦

6、点坐标准线方程范围对称轴轴轴轴轴顶点坐标离心率通径焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以右侧当的值增大时也增大说明抛物线向右上方和右下方无限延伸学习必备精品知识点对称性对称轴要看一次项符号决定开口方向顶点离心率焦点准线焦准距焦点弦抛物线的焦点弦则弦长当时通径最短为焦点弦的相关性质焦点弦焦点通径最短长为通径过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径两个相切以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切弦长公式是抛物线上两点则直线与抛物线学习必备 精品知识点 bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkx

7、bkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦 AB的弦长 2122122124)(11xxxxkxxkABak21 或 2122122124)(1111yyyykyykABak21 b.中点),(00yxM,2210 xxx，2210yyy 点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得 1212pxy 2222pxy 将两式相减，可得)(2)(212121xxpyyyy 2121212yypxxyy a.在涉及斜率问题时，212yypkAB b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，00212121222ypyp

8、yypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【经典例题】（1）抛物线二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有抛物线四种标准方程的几何性质图形参数几何意义参数表示焦点到准线的距离越大开口越阔开口方向右左上下标准方程焦点位置正负正负焦点坐标准线方程范围对称轴轴轴轴轴顶点坐标离心率通径焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以右侧

9、当的值增大时也增大说明抛物线向右上方和右下方无限延伸学习必备精品知识点对称性对称轴要看一次项符号决定开口方向顶点离心率焦点准线焦准距焦点弦抛物线的焦点弦则弦长当时通径最短为焦点弦的相关性质焦点弦焦点通径最短长为通径过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径两个相切以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切弦长公式是抛物线上两点则直线与抛物线学习必备 精品知识点 点的集合.其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例 1】P为抛物线pxy22上任一

10、点，F为焦点，则以 PF为直径的圆与 y 轴（）.A相交 .B相切 .C相离 .D位置由 P确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02pF，准线是:2pl x .作 PH l于 H，交 y 轴于 Q，那么PFPH，且2pQHOF.作 MN y 轴于 N则 MN是梯形 PQOF的 中位线，111222MNOFPQPHPF.故以 PF为直径的圆与 y 轴相切，选 B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例 2】过抛物线022ppxy的焦点

11、F作直线交抛物线于1122,A x yB xy两点，求证：（1）12ABxxp （2）pBFAF211【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作 1AAl11111,2pA BBlBAAx 于，则 AF，122pBFBBx.两式相加即得：12ABxxp （2）当 AB x 轴时，有 AFBFp，112AFBFp成立；当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为：2pyk x.代入抛物线方程：2222pkxpx.化简得：222222014pk xp kxk 方程（1）之二根为 x1，x2，1224kxx.XYPHMNO(,0)2pF:2pl x=-22ypx=QXYFA(x,y)11B(x

12、,y)22A1B1l抛物线四种标准方程的几何性质图形参数几何意义参数表示焦点到准线的距离越大开口越阔开口方向右左上下标准方程焦点位置正负正负焦点坐标准线方程范围对称轴轴轴轴轴顶点坐标离心率通径焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以右侧当的值增大时也增大说明抛物线向右上方和右下方无限延伸学习必备精品知识点对称性对称轴要看一次项符号决定开口方向顶点离心率焦点准线焦准距焦点弦抛物线的焦点弦则弦长当时通径最短为焦点弦的相关性质焦点弦焦点通径最短长为通径过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径两个相切以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切弦长公式是

13、抛物线上两点则直线与抛物线学习必备 精品知识点 122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxx xxx 121222121222424xxpxxppppppxxpxx .故不论弦 AB与 x 轴是否垂直，恒有pBFAF211成立.（3）切线抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例 3】证明：过抛物线22ypx上一点 M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程22ypx两边取导数：22.py ypyy，切线的斜率 00 x xpkyy.由点斜式方程：20000001

14、pyyxxy ypxpxyy 20021ypx，代入（）即得：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线xy82上，且动圆恒与直线02 x相切，则此动圆必过定点 （）.4,0.2,0.0,2.0,2ABCD 显然.本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.2.抛物线22ypx的通径长为 2p；3.设抛物线22ypx过焦点的弦两端分别为1122,A x yB xy，那么：212y yp 以下再举一例【例 4】设抛物线22ypx的焦点弦 AB在其

15、准线上的射影是 A1B1，证明：以 A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 A1B1=AB=2p，而 A1B1与 AB的距离为 p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为1122,A x yB xy，抛物线四种标准方程的几何性质图形参数几何意义参数表示焦点到准线的距离越大开口越阔开口方向右左上下标准方程焦点位置正负正负焦点坐标准线方程范围对称轴轴轴轴轴顶点坐标离心率通径焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以右侧当的值增大时也增大说明抛物线向右上方和右下方无限延伸学习必备精品

16、知识点对称性对称轴要看一次项符号决定开口方向顶点离心率焦点准线焦准距焦点弦抛物线的焦点弦则弦长当时通径最短为焦点弦的相关性质焦点弦焦点通径最短长为通径过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径两个相切以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切弦长公式是抛物线上两点则直线与抛物线学习必备 精品知识点 那么：22121112.y ypCACByyp 设抛物线的准线交 x 轴于 C，那么.CFp 2111111.90AFBCFCACBAFB 中故.这就说明：以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.通法 特法 妙法（1）解析法为对称问题解困排

17、难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例 5】（10.四川文科卷.10 题）已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（）A.3 B.4 C.32 D.42【分析】直线 AB必与直线 x+y=0 垂直，且线段 AB 的中点必在直线 x+y=0 上，因得解法如下.【解析】点 A、B 关于直线 x+y=0 对称，设直线 AB 的方程为：yxm.由 223013yxmxxmyx 设方程（1）之两根为 x1，x2，则121xx.设 AB的中点为 M（x0，y0），则120122xxx.代入

18、x+y=0：y0=12.故有1 1,2 2M.从而1myx .直线 AB的方程为：1yx.方程（1）成为：220 xx .解得：2,1x ，从而1,2y ，故得：A（-2，-1），B（1，2）.3 2AB，选 C.（2）几何法为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例 6】（11.全国 1 卷.11 题）抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则A K

19、 F的面积（）A4 B3 3 C4 3 D8【解析】如图直线 AF的斜率为3时AFX=60.AFK为正三角形.设准线l交 x 轴于 M，则2,FMp XYABFA1B11MCXOYABM0lxy+=XYOF(1,0)AK60Y2=2pxL:x=-1M抛物线四种标准方程的几何性质图形参数几何意义参数表示焦点到准线的距离越大开口越阔开口方向右左上下标准方程焦点位置正负正负焦点坐标准线方程范围对称轴轴轴轴轴顶点坐标离心率通径焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以右侧当的值增大时也增大说明抛物线向右上方和右下方无限延伸学习必备精品知识点对称性对称轴要看一次项符号决定开口方向顶点离心率焦点准线焦准距焦点弦抛物线

20、的焦点弦则弦长当时通径最短为焦点弦的相关性质焦点弦焦点通径最短长为通径过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径两个相切以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切弦长公式是抛物线上两点则直线与抛物线学习必备 精品知识点 xyM(x,y)F1(-c,0)F2(c,0)OH2:al xc=-r1r2r2 且KFM=60，234,44 34AKFKFS.选 C.【评注】（1）平面几何知识：边长为 a 的正三角形的 面积用公式234Sa计算.（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点 A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上

21、的几何法简单.（3）定义法追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例 7】（07.湖北卷.7 题）双曲线 22122:1(00)xyCabab，的左准线为l，左焦点和右焦点分别为1F和2F；抛物线2C的线为l，焦点为21FC；与2C的一个交点为M，则12112F FMFMFMF等于（）A1 B1 C12 D12【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距 c，离心率为 e，作 MHlH于，令 1122,MFr MFr

22、.点 M 在抛物线上，1112222,MFMFrMHMFreMHMFr故，这就是说：12|MFMF的实质是离心率 e.其次，121|F FMF与离心率 e 有什么关系？注意到：1212111122111F Fe rrceaeeMFrrre.这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 12112|11|F FMFeeMFMF .选 A.（4）三角法本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.抛物线四种标准方程的几何性质图形参数几何意义参数表示焦点到准线的距离越大开口越阔开口方

23、向右左上下标准方程焦点位置正负正负焦点坐标准线方程范围对称轴轴轴轴轴顶点坐标离心率通径焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以右侧当的值增大时也增大说明抛物线向右上方和右下方无限延伸学习必备精品知识点对称性对称轴要看一次项符号决定开口方向顶点离心率焦点准线焦准距焦点弦抛物线的焦点弦则弦长当时通径最短为焦点弦的相关性质焦点弦焦点通径最短长为通径过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径两个相切以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切弦长公式是抛物线上两点则直线与抛物线学习必备 精品知识点 因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境

24、，简化计算.【例 8】（09.重庆文科.21 题）如图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线xy82的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。（）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2 a 为定值，并求此定值。【解析】（）焦点 F（2，0），准线;2l x .（）直线 AB：tan21.yx 28yx 代入（1），整理得：2tan816tan02yy 设方程（2）之二根为 y1，y2，则12128tan16yyyy .设 AB中点为1200020044cot,2tancot24cot2yyy

25、M xyxy 则 AB的垂直平分线方程是：24cotcot4cot2yx.令 y=0，则224cot64cot6xP，有，0 故2224cot624 cot14cosFPOPOF 于是|FP|-|FP|cos2 a=2224csc1 cos24csc2sin8，故为定值.（5）消去法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例 9】是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线xy82有两个不同的交点 A和B；（2）线段 AB被直线1l：x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，说明

26、理由，若存在，求出直线l的方程.【解析】假定在抛物线xy82上存在这样的两点 1122.A xyB xy，则有：211121212222888yxyyyyxxyx 1212128AByykxxyy AM抛物线四种标准方程的几何性质图形参数几何意义参数表示焦点到准线的距离越大开口越阔开口方向右左上下标准方程焦点位置正负正负焦点坐标准线方程范围对称轴轴轴轴轴顶点坐标离心率通径焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以右侧当的值增大时也增大说明抛物线向右上方和右下方无限延伸学习必备精品知识点对称性对称轴要看一次项符号决定开口方向顶点离心率焦点准线焦准距焦点弦抛物线的焦点弦则弦长当时通径最短为焦点弦的相关性质焦点

27、弦焦点通径最短长为通径过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径两个相切以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切弦长公式是抛物线上两点则直线与抛物线学习必备 精品知识点 线段 AB被直线1l：x+5y-5=0 垂直平分，且1155lABkk ，即1285yy 1285yy.设线段 AB的中点为12000425yyM xyy，则.代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是：AB中点为415M，.故存在符合题设条件的直线，其方程为：4512552105yxxy，即：（6）探索法奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫

28、深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例 10】（10.安徽卷.14 题）如图，抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1，Q2，Qn-1，从而得到 n-1个直角三角形Q1OP1,Q2P1P2,Qn-1Pn-1Pn-1,当 n时，这些三角形的面积之和的极限为 .【解析】11OAn，图中每个直角三角形的底边长均为 设 OA 上第 k 个分点为2220.11.kkkPyxynn ，代入：第 k

29、 个三角形的面积为：21 11.2kkann 22212212114111212nnnnSnnnn .故这些三角形的面积之和的极限 21411111limlim 1412123nnnnSnnn 抛物线四种标准方程的几何性质图形参数几何意义参数表示焦点到准线的距离越大开口越阔开口方向右左上下标准方程焦点位置正负正负焦点坐标准线方程范围对称轴轴轴轴轴顶点坐标离心率通径焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以右侧当的值增大时也增大说明抛物线向右上方和右下方无限延伸学习必备精品知识点对称性对称轴要看一次项符号决定开口方向顶点离心率焦点准线焦准距焦点弦抛物线的焦点弦则弦长当时通径最短为焦点弦的相关性质焦点弦焦点通径最短长为通径过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径两个相切以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切弦长公式是抛物线上两点则直线与抛物线