苏教版小学数学六年级上册行程问题竞赛选拔试题_小学教育-小学考试.pdf

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1、小学数学六（上）思维题训练（一）行程问题应用题 【知识要点】在人们的生活中离不开“行”，“行”中有三个重要的量：路程、速度、时间。研究这三个量的典型应用题叫做行程问题。这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示：路程=速度时间 速度=路程时间 时间=路程速度 相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型。相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行，然后在途中某点相遇的行程问题。其主要数量关系式为：总路程=速度和相遇时间 追及问题是指两个物体在行进过程中同向而行，快行者从后面追上慢行者的行程问题。其主要数量关系式为：路程差=速度差追及时间【例题评析】例 1（追及问题）姐姐放学回家，以每分钟 80 米

2、的速度步行回家，12 分钟后妹妹骑车以每分钟 240 米的速度从学校往家中骑，经过几分钟妹妹可以追上姐姐？方法点击：经过 12 分钟，姐姐到达 A地，妹妹骑车回家。如下图所示：从图中可以看出妹妹从出发到追上姐姐这段时间里，妹妹要比姐姐多行的路程就是姐姐12 分钟所走的路程，也就是妹妹与姐姐的路程差。有了路程差，再求出速度差，根据追及问题的数量关系式 追及时间=路程差速度差 就可求出妹妹追上姐姐的时间。例2（相遇问题）一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 360 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 35 千米，小轿车每小时行 55 千米，几小时后两车相距 90 千米？方法点击：两车从相距 360

3、 千米的两地同时出发相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距 90 千米。如下图 这时两车共行的路程为 36090=270（千米）值得注意的是，当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距 90 千米。如下图所示 从图中可知，这时两车共行的路程为 360+90=450（千米）根据相遇问题的数量关系式 相遇时间=总路程速度和 所求的问题就可以解答。例 3（相遇问题与追及问题相结合）客车、货车、卡车三辆车，客车每小时行 60 千米，货车每小时行 50 千米，卡车每小时行 55 千米。客车、货车从东镇，卡车从西镇，同时相向而行，卡车遇上客车后，10 小时后

4、又遇上了货车。东西两镇相距多少千米？方法点击：根据题意画图 当卡车与客车在 A点相遇时，而货车行到 B点，10 小时后，卡车又遇到货车，说明在10 小时内卡车与货车合行路程是（卡车与客车相遇时）客车与货车所行的路程差。客车与货车相差 AB的路程所用的时间就是卡车与客车的相遇时间。【习题精选】A 级 1A、B两城相距 450 千米，甲、乙两辆汽车同时从 A城开往 B城，甲车每小时行 52千米，乙车每小时行 38 千米，甲车到达 B城后立即返回，两车从出发到相遇共需多少小时？研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追

5、及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 2哥哥以每分钟 50 米的速度从学校步行回家，12 分钟后弟弟从学校出来骑车追哥哥，结果在距学校 800 米处追上哥

6、哥。求弟弟骑车的速度。3东、西两镇相距 100 千米，甲、乙两车分别从两镇同时出发相向而行，4 小时后相遇。已知甲比乙每小时快 3 千米，甲、乙两车的速度是多少？4一辆货车以每小时 65 千米的速度前进，一辆客车在它的后面 1500 米处，以每小时80 千米的速度同向行驶，客车在超过货车前 2 分钟，两车相距多少米？B 级 5甲乙两人骑车同时从南北两地相向而行，甲每小时行 23 千米，乙每小时行 18 千米，两人在距两地中点 10 千米处相遇，南北两地相距多少千米？6小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑 20 米，则小红跑 5 秒就可追上小蓝。若小红让小蓝先跑 4 秒钟，则小红 6 秒钟追上小

7、蓝，小红、小蓝的速度各是多少？7甲乙两站相距 360 千米，客车与货车同时从甲站开往乙站。客车每小时行 60 千米，货车每小时行 40 千米，客车到达乙站后停留半小时，又以原速返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？8甲、乙两人同时从东、西两地分别出发，如果两人同向而行，甲 28 分钟追上乙；如果两人相向而行，8 分钟相遇。已知乙每分钟行 50 米，东西两地相距多少米？研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的

8、行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 C 级 9甲乙两人从相距 50 千米的两地同时出发，相向而行。甲每小时行 6 千米，乙每小时行 4 千米，甲带着一只狗，狗每小时跑 12 千米，这只狗同甲一道出发，；碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲时又往乙那边跑

9、，直到两人相遇，这只狗一共跑了多少千米？10甲乙两人同时从 A、B两地出发相向而行，两人在离 A地 90 米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距 B地 70 米处第二次相遇。两人从第一次相遇到第二次相遇恰好经过了 5 分钟，甲、乙两人的速度是多少？11在周长为 400 米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒 6 米和每秒 4 米的速度骑自行车同时同向出发（顺时针）沿圆周行驶，经过多长时间，甲第二次追上乙？【阅读材料】轮船相遇 斯图姆是法国数学家，在数学的许多领域都作出了开创性的工作。一次，斯图姆去参加一个国际学术会议，一位

10、朋友向他请教了如下一个问题：每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜，试问，每条从哈佛开出后的轮船在到达纽约前能遇上几艘从纽约开来的轮船？你能试着给出解答吗？例 2 小张从家到公园，原打算每分种走 50 米.为了提早 10 分钟到，他把速度加快，每分钟走 75 米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早 10 分钟出发.考虑小张以 75 米/分钟速度去追赶，追上所研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题

11、的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向需时间是 50 10（75-50）20（分钟）因此，小张走的距离是 75 20 1500（米）.答：从家到公园的距离是 1500 米.

12、还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是 一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是 30 千米/小时，要 1 小时才能追上；如果速度是 35 千米/小时，要 40 分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车 1 小时走了 301-已超前距离，自行车 40 分钟走了 自行车多走 20 分钟，走了 因此，自行车的速度是 研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时

13、间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 答：自行车速度是 20 千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离速度差 1 小时与 40

14、分钟是 32.所以两者的速度差之比是 23.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是 15.自行车速度是 35-15 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例 4 上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速

15、度是小明骑自行车速度的 12 43（倍）.按照这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8324（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 41216（千米）.少骑行 24-168（千米）.摩托车的速度是 1 千米/分，爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟.研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟

16、后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 881632.答：这时是 8 点 32 分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么 甲走的距离+乙走的距离 =甲的速度时间+乙的速度时间 =（甲的速度+乙的速度）时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.*某工厂每天早晨

17、都派小汽车接专家上班.有一天,专家为了早些到厂,比平时提前一小时出发,步行去工厂,走了一段时间后遇到来接他的汽车,他上车后汽车立即调头继续前进,进入工厂大门时,他发现只比平时早到10分钟,问专家在路上步行了多长时间才遇到汽车?(设人和汽车都作匀速运动,他上车及调头时间不记)例 5 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12 分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36123（倍），因此自行车的速度是步行速度的 3 倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的 3 倍.如果把甲地乙地之间的距离分成

18、相等的 4 段，小王走了 3 段，小张走了1 段，小张花费的时间是 36（31）9（分钟）.答：两人在 9 分钟后相遇.例 6 小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地，每小时步行 4 千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图 研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题

19、姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 离中点 1 千米的地方是 A 点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多 1 千米，小王走了两地距离的一半少 1 千米.从出发到相遇，小张比小王多走了 2 千米 小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是 2（5-4）2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是 （5 4

20、）218（千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.例 7 甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，6 小时后相遇于 C 点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地

21、点距 C 点 16 千米.求 A，B 两地距离.解：先画一张行程示意图如下 设乙加速后与甲相遇于 D 点，甲加速后与乙相遇于 E 点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加 5 千米，因此，不论在 D 点相遇，还是在 E 点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到 E 点，而不加速，只能到 D 点.这两点距离是 12 16 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是 5 千米/小时.因此，在 D 点 （或 E 点）相遇所用时间是 研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系

22、可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 285 5.6（小时）.比 C 点相遇少用 6

23、-5.60.4（小时）.甲到达 D，和到达 C 点速度是一样的，少用 0.4 小时，少走 12 千米，因此甲的速度是 120.430（千米/小时）.同样道理，乙的速度是 160.440（千米/小时）.A 到 B 距离是（30 40）6 420（千米）.答：A，B 两地距离是 420 千米.很明显，例 7 不能简单地说成是“相遇问题”*如图，从 A 到 B 是 1 千米下坡路，从 B 到 C 是 3 千米平路，从 C 到 D 是 2.5 千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是 6 千米/小时，平路速度都是 4 千米/小时，上坡速度都是 2 千米/小时.问：（1）小张和小王分别从 A，D 同时

24、出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？解：（1）小张从 A 到 B 需要 1660 10（分钟）；小王从 D 到 C 也是下坡，需要 2.5660 25（分钟）；当小王到达 C 点时，小张已在平路上走了 25-1015（分钟），走了 因此在 B 与 C 之间平路上留下 3-1 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是 2（4 4）60 15（分钟）.从出发到相遇的时间是 25 15 40（分钟）.研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路

25、程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 （2）相遇后，小王再走 30 分钟平路，到达 B 点，从 B 点到 A 点需要走 1260=30分

26、钟，即他再走 60 分钟到达终点.小张走 15 分钟平路到达 D 点，45 分钟可走 小张离终点还有 2.5-1.5=1（千米）.答：40 分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有 1 千米.例 9 小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步.小王的速度是 180米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1）75 秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是 5001.25-180=220（

27、米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是 500（220-180）12.5（分）.22012.55005.5（圈）.答：（1）小张的速度是 220 米/分；（2）小张跑 5.5 圈后才能追上小王.*研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车

28、以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向例 13 绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以 4 千米/小时速度每走 1 小时后休息 5 分钟；小张以 6 千米/小时速度每走 50 分钟后休息 10 分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？解：小张的速度是 6 千米/小时，50 分钟走 5 千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：121527

29、 比 24 大，从表上可以看出，他们相遇在出发后 2 小时 10 分至 3 小时15 分之间.出发后 2 小时 10 分小张已走了 此时两人相距 24-（811）=5（千米）.由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这 5 千米所需时间是 5（46）0.5（小时）.2 小时 10 分再加上半小时是 2 小时 40 分.答：他们相遇时是出发后 2 小时 40 分.例 10 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来

30、走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的 3 倍，那么从 A 到 D 的距离，应该是从 A 到 C 距离的 3研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑

31、经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向倍，即 A 到 D 是 803240（米）.240-60=180（米）.1802360（米）.答：这个圆的周长是 360 米.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.*小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快

32、”？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是 41，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？解：先画一张示意图 设 A 是离公园 2 千米处，设置一个 B 点，公园离 B 与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到 B 点.现在问题就转变成：骑车从家开始，步行从 B 点开始，骑车追步行，能在 A 点或更远处追上步行.具体计算如下：不妨设 B 到 A 的距离为 1 个单位，因为骑车速度是步行速度的 4 倍，所以从家到 A的距离是 4 个单位，从家到 B 的距离是 3 个单位.公园到 B 是 1.5 个单

33、位.从公园到 A 是 11.52.5（单位）.每个单位是 20002.5800（米）.因此，从公园到家的距离是 8001.51200（米）.答：从公园门口到他们家的距离是 1200 米.这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车

34、以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 小王的步行速度是 4.8 千米/小时，小张的步行速度是 5.4 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是 10.8 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇后 5 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？解：画一张示意图：图中 A 点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一

35、个 B 点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5 分钟后小王与小李相遇，也就是 5 分钟的时间，小王和小李共同走了 B与 A 之间这段距离，它等于 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是 1.3（5.4-4.8）60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度 10.8 千米/小时是小张速度5.4 千米/小时的 2 倍.因此小李从 A 到甲地需要 1302=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是 13065=195（分钟）3 小时 15 分.答：小李从乙地到甲地需要 3 小时 15

36、 分.上面的问题有 3 个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个 B 点，使我们的思考直观简明些.例 15 图上正方形 ABCD 是一条环形公路.已知汽车在 AB 上的速度是 90 千米/小时，在BC 上的速度是 120 千米/小时，在 CD 上的速度是 60 千米/小时，在 DA 上的速度是 80 千米/小时.从 CD 上一点 P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 中点相遇.如果从 PC 中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 上一点 N 处相遇.求 研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下

37、面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两

38、个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶 CD 所需时间是 1.根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出 分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以 24.这样，汽车行驶 CD，BC，AB，AD 所需时间分别是 24，12，16，18.从 P 点同时反向各发一辆车，它们在 AB 中点相遇.PDA 与 PCB 所用时间相等.PC 上所需时间-PD上所需时间 =DA 所需时间-CB所需时间 =18-12 =6.而（PC 上所需时间+PD 上所需时间）是 CD 上所需时间 24.根据“和差”计算得 PC 上所需时间是（24+6）215，PD 上所需时间

39、是 24-159.现在两辆汽车从 M 点同时出发反向而行，MPDAN 与 MCBN 所用时间相等.M 是 PC 中点.PDAN 与 CBN 时间相等，就有 BN 上所需时间-AN上所需时间 =PDA 所需时间-CB所需时间 =（918）-12 研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速

40、度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 =15.BN 上所需时间+AN 上所需时间=AB 上所需时间 =16.立即可求 BN 上所需时间是 15.5，AN 所需时间是 0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.流水行程问题 一、填空题 1.一只船在河中航行,水速为每小时2千米,它在静水中航行每小时行8千米,顺水航行50千米需用_小时.2.某船在静水中

41、的速度是每小时 13.5 千米,水流速度是每小时 3.5 千米,逆水而行的速度是每小时_千米.3.某船的航行速度是每小时10千米,水流速度是每小时_千米,逆水上行5小时行40千米.4.一只每小时航行13 千米的客船在一条河中航行,这条河的水速为每小时7 千米,那么这只船行 140 千米需_小时(顺水而行).5.一艘轮船在静水中的速度是每小时 15 公里,它逆水航行 11 小时走了 88 公里,这艘船返回需_小时.6.一只小船第一次顺流航行 56 公里,逆水航行 20 公里,共用 12 小时;第二次用同样的时间,顺流航行 40 公里,逆流航行 28 公里,船速_,水速_.7.甲、乙两个港口相距

42、77 千米,船速为每小时 9 千米,水流速度为每小时 2 千米,那么由甲港到乙港顺水航行需_小时.8.甲、乙两个码头相距 144 千米,汽船从乙码头逆水行驶 8 小时到达甲码头,又知汽船在静水中每小时行 21 千米,那么汽船顺流开回乙码头需要_小时.9.甲、乙两港相距 192 千米,一艘轮船从甲港到乙港顺水而下行 16 小时到达乙港,已知船在静水中的速度是水流速度的 5 倍,那么水速_,船速是_.研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后

43、在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向10.一只船在河里航行,顺流而下,每小时行 18 千米,船下行 2 小时与上行 3 小时的路程相等,那么船速_,水速_.二、解答题 11.甲、乙两地相距 48 千米,一船顺流由甲地去乙地,需航行

44、 3 小时;返回时间因雨后涨水,所以用了 8 小时才回到乙地,平时水速为 4 千米,涨水后水速增加多少?12.静水中甲、乙两船的速度为 22 千米、18 千米,两船先后自港口顺水开出,乙比甲早出发 2小时,若水速是每小时 4 千米,问甲开出后几小时可追上乙?13.一支运货船队第一次顺水航行42千米,逆水航行8千米,共用了11小时;第二次用同样的时间,顺水航行了 24 千米,逆水航行了 14 千米,求这支船队在静水中的速度和水流速度?14.已知 80 千米水路,甲船顺流而下需要 4 小时,逆流而上需要 10 小时,如果乙船顺流而下需 5小时,问乙船逆流而上需要几小时?相遇问题 所谓相遇问题，指的

45、就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题；公式：路程速度和时间 例 1 甲、乙二人分别从相距 30 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4千米，问：二人几小时后相遇？例 2 甲乙两地相距 540 千米，A 车以每小时行 40 千米的速度从甲地开往乙地，B 车以每小时 50 千米速度从乙地开往甲地，出发 2 小时后，两车相距多少千米？例 3 两车分别从相距 400 千米的两个城市对开，甲车每小时行 40 千米，甲车行了 1 小时后，这是乙车才出发，每小时行 50 千米，问相遇时甲车行多少千米？例 4 甲乙二人同时从两地相向行走，甲每小时走 5 千米，乙每小时走

46、 6 千米，3 小时后二人相遇，两地相距多少千米 例 5 两站相距 840 千米，甲乙两列车同时由两站相向开出，4 小时两车相遇，这时甲车行驶距离是200 千米，求两车的速度各是多少？研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐

47、姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 例 6 一列货车早晨 6 时从甲地开往乙地，平均每小时行 45 千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快 15 千米，已知客车比货车迟发 2 小时，中午 12 时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？例 7.甲、乙两车分别从相距 240 千米的 A、B 两城同时出发，相向而行，已知甲车到达 B 城需 4 小时，乙车到达 A 城需 6 小时，问：两车出发

48、后多长时间相遇？1.两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒，求乙车的车长.2.甲、乙二人从相距 100 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了 1 小时.在出发 4 小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的 2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？3.某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，若该列车与另一列长 150米.时速为 72 千米的列车相遇，

49、错车而过需要几秒钟？第十九讲变化的行程问题 基础夯实 1、一个铁路工人在路基下原地不动，一列火车从他身边驶过用了40 秒，如果这个工人以每小时 6 千米的速度迎着火车开来的方向行走，则这列火车从他身边驶过只要用 37.5 秒，这列火车每小时行多少千米？（天津市小学生数学竞赛试题）2、小张、小王两位运动员进行竞走训练，小张从甲地、小王从乙地同时出发，在两地之间往返行走（到达另一地后就马上返回）。在离甲地3.5 千米处他们第一次相遇，又在小张离开乙地且距乙地3 千米处第二次相遇，这样继续走下去，当他们第四次相遇时，距甲地（）千米。研究这三个量的典型应用题叫做行程问题这三个量之间的关系可以用下面的公

50、式来表示路程速度时间速度路程时间时间路程速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行然后在行快行者从后面追上慢行者的行程问题其主要数量关系式为路程差速度差追及时间例题评析例追及问题姐姐放学回家以每分钟米的速度步行回家分钟后妹妹骑车以每分钟米的速度从学校往家中骑经过几分钟妹妹可以追上姐姐方法点的路程就是姐姐分钟所走的路程也就是妹妹与姐姐的路程差有了路程差再求出速度差根据追及问题的数量关系式追及时间路程差速度差就可求出妹妹追上姐姐的时间例相遇问题一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向 （吉林省第八届小学数学竞赛试题）3、绕湖一周是 20 千米，