八年级上数学-全等三角形典型例题(一)_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 全等三角形典型例题：例 1：把两个含有 45 角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连结 BE，AD，AD 的延长线交 BE 于点 F求证：AFBE 练习 1：如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE，如果 CE=3，BD=7，请你求出 DE 的长度。例 2：DAC,EBC均是等边三角形，AE,BD分别与 CD,CE交于点 M,N,求证：（1）AE=BD；(2)CM=CN；(3)CMN 为等边三角形；（4）MN BC。例 3：（10 分）已知，ABC 中，BAC=90，AB=AC，过 A任作一直线 l，作 BD

2、l 于 D，CEl 于 E，观察三条线段 BD，CE，DE 之间的数量关系 如图 1，当 l 经过 BC 中点时，DE=（1 分），此时 BD CE（1 分）如图 2，当 l 不与线段 BC 相交时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论（3 分）如图 3，当 l 与线段 BC 相交，交点靠近 B 点时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 证明你的结论（4 分），并画图直接写出交点靠近 C 点时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 （1 分）图 1 图 2 图 3 D A C B N M A F B C E D EDACB A l B C A B C D E l A B C l

3、E D E学习必备 欢迎下载 练习 1：以直角三角形 ABC的两直角边 AB、BC为一边，分别向外作等边三角形ABE和等边BCF，连结 EF、EC。试说明：（1）EFEC；（2）EB CF CBAFE 练习 2：如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过 E、F分别作 DE AC，BFAC若 AB=CD，G是 EF的中点吗？请证明你的结论。若将 ABC的边 EC经 AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？习如图在中是过点的直线如果请你求出的长度例均是等边三角形分别与交于点求证为等边三角形例分已知中过任作一直线作于于观察三条线段之间的数量关系如图当经过中点时

4、分此时分如图当不与线段相交时三者的数量关系为并证者的数量关系为分图图图学习必备欢迎下载练习以直角三角形的两直角边为一边分别向外作等边三角形和等边连结试说明练习如图在同一直线上过分别作若是的中点吗请证明你的结论若将的边经方向移动变为图时其余条件不变上述量关系出现个垂直往往意味着要运用同等角的余角相等得到另一组等量关系由全等得到边相等之后还要继续往下面想这几组相等的边能否组合在一起如如图除了得到三组对应边相等之外还可以得到图图解答过程得到之后可得到等式学习必备 欢迎下载 例四：如图 1，已知，ACCE，AC=CE，ABC=CDE=90，问 BD=AB+ED 吗?分析：（1）凡是题中的垂直往往意味着

5、会有一组 90角，得到一组等量关系；（2）出现 3 个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图 6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到 AC=BD。解答过程：得到ABCCDE 之后，可得到 BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB（等式性质）即：BD=AB+DE 变形 1：如图 7，如果ABC CDE，请说明 AC 与 CE 的关系。注意：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）变形 2：如图，E 是正方形 ABCD 的边 DC 上的一点，过

6、点 A 作 FAAE 交 CB 的延长线于点 F，求证：DE=BF 分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。图 6 OABCDBDECA图 5 BDECA图 7 FABDCE习如图在中是过点的直线如果请你求出的长度例均是等边三角形分别与交于点求证为等边三角形例分已知中过任作一直线作于于观察三条线段之间的数量关系如图当经过中点时分此时分如图当不与线段相交时三者的数量关系为并证者的数量关系为分图图图学习必备欢迎下载练习以直角三角形的两直角边为一边分别向外作等边三角形和等边连结试说明练习如图在同一直线上过分别作若是的中点吗请证明你的结论若将的边经方向移动变为图时其余

7、条件不变上述量关系出现个垂直往往意味着要运用同等角的余角相等得到另一组等量关系由全等得到边相等之后还要继续往下面想这几组相等的边能否组合在一起如如图除了得到三组对应边相等之外还可以得到图图解答过程得到之后可得到等式学习必备 欢迎下载 变形 3：如图 8，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE，如果 CE=3，BD=7，请你求出 DE 的长度。分析：说明相等的边所在的三角形全等，题中“AB=AC”，发现：AB 在 RtABD 中，AC 在 RtCAE 中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt全等（如图 9）于是：已经存在了两组等量关系：AB

8、=AC，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。解：由题意可得：在 RtABD 中，1+ABD=90（直角三角形的两个锐角互余）又 BAC=90（已知），即1+CAE=90 ABD=CAE（等角的余角相等）故在ABD 与CAE 中，BDA=AEC=90（垂直定义）ABD=CAE（已求）AB=AC（已知）ABDCAE（AAS）AE=BD=7，AD=EC=3（全等三角形的对应边相等）DE=AEAD=73=4 变形 4：在ABC 中，ACB=900，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E。（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 9 的位置时

9、，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 10 的位置时，DE=AD-BE。说说你的理由。（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 11 的位置时，试问 DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。EDACB图 8 1 EDACB图 9 图 11 EDCBANM图 12 EDCBANMEDCBANM图 10 习如图在中是过点的直线如果请你求出的长度例均是等边三角形分别与交于点求证为等边三角形例分已知中过任作一直线作于于观察三条线段之间的数量关系如图当经过中点时分此时分如图当不与线段相交时三者的数量关系为并证者的数量关系为分图

10、图图学习必备欢迎下载练习以直角三角形的两直角边为一边分别向外作等边三角形和等边连结试说明练习如图在同一直线上过分别作若是的中点吗请证明你的结论若将的边经方向移动变为图时其余条件不变上述量关系出现个垂直往往意味着要运用同等角的余角相等得到另一组等量关系由全等得到边相等之后还要继续往下面想这几组相等的边能否组合在一起如如图除了得到三组对应边相等之外还可以得到图图解答过程得到之后可得到等式学习必备 欢迎下载 等腰三角形、等边三角形的全等问题：必备知识：如右图，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也成立。例五：已知在ABC 中，AB=AC，在ADE 中，AD=AE，且1=2，请问 BD=CE 吗？分析

11、这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，题目中所给的ABC 与ADE 是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“BD=CE”，你会发现 BD 在ABD 中，CE 在ACE 中，这样一来，“AB=AC”可以理解为：AB 在ABD 中，AC 在ACE 中，它们是一组对应边；“AD=AE”可以理解为：AD 在ABD 中，AE 在ACE 中，它们是一组对应边；所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等”解：1=2（已知）1+CAD=2+CAD（等式性质）即

12、：BAD=CAE 在ABD 与ACE 中，AB=AC（已知）BAD=CAE（已求）AD=AE ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的对应边相等）变形 1：如图 14，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，请说明ABDACE.吗？为什么？分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用 SAS 说明全等，此题是两组角相等，那么该如何做呢?2 1 ADCBE图 14 2 ACBED1 图 13 1 2 BCAED习如图在中是过点的直线如果请你求出的长度例均是等边三角形分别与交于点求证为等边三角形例分已知中过任作一直线作于于观察三条线段之间的数量关系如图当经过中点时分此时分如图当不与线段相交

13、时三者的数量关系为并证者的数量关系为分图图图学习必备欢迎下载练习以直角三角形的两直角边为一边分别向外作等边三角形和等边连结试说明练习如图在同一直线上过分别作若是的中点吗请证明你的结论若将的边经方向移动变为图时其余条件不变上述量关系出现个垂直往往意味着要运用同等角的余角相等得到另一组等量关系由全等得到边相等之后还要继续往下面想这几组相等的边能否组合在一起如如图除了得到三组对应边相等之外还可以得到图图解答过程得到之后可得到等式学习必备 欢迎下载 变形 2：过点 A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接 BD，CE，请说明它们相等。分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，

14、只要你根据所求问题，把 BD 看成在ABD 的一边，CE 看成ACE 的一边，自然就得到了证明的方向。解：ABC 与ADE 是等边三角形，AB=AC，AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD（等式性质）即：BAD=CAE 变形 3：如图 1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接 BD，CE，请说明它们相等 这里仅以图 17 进行说明 解：ABC 与ADE 是等边三角形，AB=AC，AD=AE BAC=DAE=60 BACCAD=DAECAD【仅这步有差别】即：BAD=BAD=CAE 在ABD 与ACE 中，AB=AC（已知）BAD=CAE（已求）

15、AD=AE ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的对应边相等）图 16，图 18 的类型，请同学们自己去完成 DCBAE图 15 DCBAE图 18 接下来的过程与例三完全一致，不予描述！DCBAEDCBAEDCBAEDCBAE图 16 DCBAE图 17 习如图在中是过点的直线如果请你求出的长度例均是等边三角形分别与交于点求证为等边三角形例分已知中过任作一直线作于于观察三条线段之间的数量关系如图当经过中点时分此时分如图当不与线段相交时三者的数量关系为并证者的数量关系为分图图图学习必备欢迎下载练习以直角三角形的两直角边为一边分别向外作等边三角形和等边连结试说明练习如图在同一直线上过分别

16、作若是的中点吗请证明你的结论若将的边经方向移动变为图时其余条件不变上述量关系出现个垂直往往意味着要运用同等角的余角相等得到另一组等量关系由全等得到边相等之后还要继续往下面想这几组相等的边能否组合在一起如如图除了得到三组对应边相等之外还可以得到图图解答过程得到之后可得到等式学习必备 欢迎下载 变形 4：如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG，AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证：CGAE；分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样 例六：如图，ABC 中，C=90，AB=2AC，M 是 AB 的中点，点 N 在 BC

17、上，MNAB.求证：AN 平分BAC.分析：要说明 AN 平分BAC，必须说明两角相等，可以说明AMN CAN，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用 HL 定理得到全等。变形 1：在 RtABC 中，已知A=90，DEBC 于 E 点，如果 AD=DE，BD=CD，求C 的度数 ABGDFECDEBACBCNMA习如图在中是过点的直线如果请你求出的长度例均是等边三角形分别与交于点求证为等边三角形例分已知中过任作一直线作于于观察三条线段之间的数量关系如图当经过中点时分此时分如图当不与线段相交时三者的数量关系为并证者的数量关系为分图图图学习必备欢迎下载练习以直角三角形的两直角边为一边分别向外作等边三角形和等边连结试说明练习如图在同一直线上过分别作若是的中点吗请证明你的结论若将的边经方向移动变为图时其余条件不变上述量关系出现个垂直往往意味着要运用同等角的余角相等得到另一组等量关系由全等得到边相等之后还要继续往下面想这几组相等的边能否组合在一起如如图除了得到三组对应边相等之外还可以得到图图解答过程得到之后可得到等式