2018考研数学一真题及答案.pdf

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1、2012018 8 考研数学一真题考研数学一真题及答案及答案一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分若函数1 cos,0(),0 xxf xaxbx在0 x 处连续，则（A）12ab（B）12ab （C）0ab（D）2ab【详解详解】00011 cos12lim()limlim2xxxxxf xaxaxa，0lim()(0)xf xbf，要使函数在0 x 处连续，必须满足1122baba所以应该选（A）2设函数()f x是可导函数，且满足()()0f x fx，则（A A）(1)(1)ff（B B）11()()ff（C C）11()()ff（D D）11()()ff【详解详解】设2()

2、()g xf x，则()2()()0g xf x fx，也就是2()f x是单调增加函数 也就得到22(1)(1)(1)(1)ffff，所以应该选（C）3函数22(,)f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n 的方向导数为（A）12（B）6(C）4（D）2【详解详解】22,2fffxyxzxyz，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为4,1,0gradf，所以22(,)f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n 的方向导数为014,1,0(1,2,2)23fgradf nn 应该选（D）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：米）处，如图

3、中，实线表示甲的速度曲线1()vv t（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()vv t（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t，则（）（A）010t（B）01520t（C）025t（D）025t【详解详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()TTS tv t dt表示 时 刻12,T T内 所 走 的 路程 本 题 中 的 阴 影面 积123,SSS分 别 表 示 在时 间 段 0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t 时乙追上甲，应该选（C）5设为n单位列向量，E为n阶单位矩

4、阵，则（A）TE不可逆（B）TE不可逆（C）2TE不可逆（D）2TE不可逆【详 解详 解】矩 阵T的 特 征 值 为1和1n个0，从 而,2,2TTTTEEEE的 特 征 值 分 别 为0,1,1,1；2,1,1,1；1,1,1,1；3,1,1,1显然只有TE存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）6已知矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则（A）,A C相似，,B C相似（B）,A C相似，,B C不相似（C）,A C不相似，,B C相似（D）,A C不相似，,B C不相似【详解详解】矩阵,A B的特征值都是1232,1是否可对解化，只需要关心2的情况对于矩阵

5、A，0002001001EA，秩等于 1，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是AC对于矩阵B，0102000001EB，秩等于 2，也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C不相似故选择（B）7设,A B是两个随机事件，若0()1P A，0()1P B，则(/)(/)P A BP A B的充分必要条件是（A A）(/)(/)P B AP B A（B B）(/)(/)P B AP B A（C C）(/)(/)P B AP B A（D D）(/)(/)P B AP B A【详解】由乘法公式：()()(/),()()(

6、/)P ABP B P A B P ABP B P A B可得下面结论：()()()()(/)(/)()()()()1()()P ABP ABP AP ABP A BP A BP ABP A P BP BP BP B类似，由()()(/),()()(/)P ABP A P B A P ABP A P B A可得()()()()(/)(/)()()()()1()()P ABP ABP BP ABP B AP B AP ABP A P BP AP AP A所以可知选择（所以可知选择（A A）8设12,(2)nXXXn 为来自正态总体(,1)N的简单随机样本，若11niiXXn，则下列结论中不正确不

7、正确的是（）（A）21()niiX服从2分布（B）212nXX服从2分布（C）21()niiXX服从2分布（D）2()n X服从2分布解：（1）显然22()(0,1)()(1),1,2,iiXNXin且相互独立，所以21()niiX服从2()n分布，也就是（A）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)(1)niinSXXnSn，所以（C）结论也是正确的；（3）注意221(,)()(0,1)()(1)XNn XNn Xn，所以（D）结论也是正确的；（4）对于选项（B）：221111()(0,2)(0,1)()(1)22nnnXXXXNNXX，所以（B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空

8、题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9已知函数21()1f xx，则(3)(0)f解：由函数的马克劳林级数公式：()0(0)()!nnnff xxn，知()(0)!nnfn a，其中na为展开式中nx的系数由于24221()1(1),1,11nnf xxxxxx ，所以(3)(0)0f10微分方程230yyy的通解为【详解详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2230rr有一对共共轭的根12ri ，所以通解为12(cos2sin2)xyeCxCx11 若 曲 线 积 分221Lxdxaydyxy在 区 域22(,)|1Dx yxy内 与 路

9、径 无 关，则a.【详解详解】设2222(,),(,)11xayP x yQ x yxyxy，显然(,),(,)P x y Q x y在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1QPaxy 12幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数为【详解详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)nnnnnnnnnxnxxxxx所以21(),(1,1)(1)s xxx 13 设矩阵101112011A，123,为线性无关的三维列向量，则向量组123,AAA的秩为【详解详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A，知矩阵 A 的秩为 2，由于

10、123,为线性无关，所以向量组123,AAA的秩为 214设随机变量X的分布函数4()0.5()0.52xF xx，其中()x为标准正态分布函数，则EX【详解详解】随机变量X的概率密度为4()()0.5()0.25()2xf xF xx，所以4()()0.5()0.25()240.25()0.25 2(24)()22()2xE Xxf x dxxx dxxdxxxdxtt dtt dt三、解答题15（本题满分 10 分）设函数(,)f u v具有二阶连续偏导数，(,cos)xyf ex，求0|xdydx，202|xd ydx【详解详解】12(,cos)(,cos)(sin)xxxdyfex e

11、fexxdx，01|(1,1)xdyfdx；2111122222122(,cos)(,cos)sin(,cos)cos(,cos)sin(,cos)sin(,cos)xxxxxxxxxxd ye fexefex exfexxfexdxxe fexxfex2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx16（本题满分 10 分）求21limln 1nnkkknn【详解详解】由定积分的定义120111201limln 1limln 1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxx dxnnnnnx dx17（本题满分 10 分）已知函数()y x是由方程333320 xyxy

12、【详解详解】在方程两边同时对x求导，得2233330 xy yy（1）在（1）两边同时对x求导，得2222()0 xy yy yy也就是222()1xy yyy 令0y，得1x 当11x 时，11y；当21x 时，20y 当11x 时，0y，10y ，函数()yy x取极大值11y；当21x 时，0y，10y 函数()yy x取极小值20y 18（本题满分 10 分）设函数()f x在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0()lim0 xf xx，证明：（1）方程()0f x 在区间0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()()0f x fxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根证明：（

13、1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim0 xf xx可知，存在01，及1(0,)x，使得1()0f x，由于()f x在1,1x上连续，且1()(1)0f xf，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x，使得()0f，也就是方程()0f x 在区间0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim0 xf xx可知(0)0f，由（1）可知()0f，由洛尔定理，存在(0,)，使得()0f；设()()()F xf x fx，由 条 件 可 知()F x在 区 间0,1上 可 导，且(0)0,()0,()0FFF，分别在区间 0,上对函数()F x使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)

14、(0,1),使得1212,()()0FF，也就是方程2()()()0f x fxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根19（本题满分 10 分）设薄片型S是圆锥面22zxy被柱面22zx所割下的有限部分，其上任一点的密度为2229 xyz，记圆锥面与柱面的交线为C（1）求C在xOy布上的投影曲线的方程；（2）求S的质量.M【详解详解】（1 1）交线C的方程为2222zxyzx，消去变量z，得到222xyx所以C在xOy布上的投影曲线的方程为222.0 xyxz（2）利用第一类曲面积分，得222222222222222222222(,)9911864SSxyxxyxMx y z dSxyz dS

15、xyxyxydxdyxyxyxy dxdy20（本题满分 11 分）设三阶矩阵123,A 有三个不同的特征值，且3122.（1）证明：()2r A；（2）若123,，求方程组Ax的通解【详解详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是()1r A 假若()1r A 时，则0r 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A，又因为31220，也就是123,线性相关，()3r A，也就只有()2r A（2）因为()2r A，所以0Ax 的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于31220，所以基础解系为121x；又由123,，得非齐次方程组Ax的特解可取为111 ；

16、方程组Ax的通解为112111xk ，其中k为任意常数21（本题满分 11 分）设二次型222123123121323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准形为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q【详解详解】二次型矩阵21411141Aa因为二次型的标准形为221122yy也就说明矩阵A有零特征值，所以0A，故2.a 114111(3)(6)412EA 令0EA得矩阵的特征值为1233,6,0 通过分别解方程组()0iEA x得矩阵的属于特征值13 的特征向量111131，属于特征值特征值26的特征向量211021，30的特征向量311261 ，所

17、以12311132612,036111326Q 为所求正交矩阵22（本题满分 11 分）设随机变量,X Y相互独立，且X的概率分布为1022P XP X，Y的概率密度为2,01()0,yyf y其他（1）求概率P YEY（）；（2）求ZXY的概率密度【详解详解】（1）1202()2.3YEYyfy dyy dy所以230242.39P YEYP Yydy（2）ZXY的分布函数为(),0,20,2,2112221()(2)2ZYYFzP ZzP XYzP XYz XP XYz XP XYzP XYzP YzP YzFzFz故ZXY的概率密度为1()()()(2)2,012,230,ZZfzFzf

18、 zf zzzzz其他23（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,nXXX相互独立且均服从正态分布2(,).N 该工程师记录的是n次测量的绝对误差,(1,2,)iiZXin，利用12,nZ ZZ估计参数（1）求iZ的概率密度；（2）利用一阶矩求的矩估计量；（3）求参数最大似然估计量【详解详解】（1）先求iZ的分布函数为()iZiiXzFzP ZzP XzP当0z 时，显然()0ZFz；当0z 时，()21iZiiXzzFzP ZzP XzP；所以iZ的概率密度为2222,0()()20,0zZZezfzFzz（2）数学期望2220022()22ziEZzf z dzzedz，令11niiEZZZn，解得的矩估计量12222niiZZn（3）设12,nZ ZZ的观测值为12,nz zz当0,1,2,izin时似然函数为2211212()(,)(2)niinnziniLf ze，取对数得：2211ln()ln2ln(2)ln22niinLnnz令231ln()10niidLnzd，得参数最大似然估计量为211niizn