2019年北京高考文科数学真题及答案.pdf

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1、2012019 9 年北京高考文科数学真题及答案年北京高考文科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=x|1x1，则AB=（A）（1，1）（B）（1，2）（C）（1，+）（D）（1，+）（2）已知复数z=2+i，则z z（A）3（B）5（C）3（D）5（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（A）12yx（B）y=2x（C）1

2、2logyx（D）1yx（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1（B）2（C）3（D）4（5）已知双曲线2221xya（a0）的离心率是5，则a=（A）6（B）4（C）2（D）12（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 两颗星的星等与亮度满足212152lgEmmE，其中星等为km的星的亮度为kE（k=1,2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A

3、）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10.110（8）如图，A，B是半径为 2 的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4+4cos（B）4+4sin（C）2+2cos（D）2+2sin第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分。（9）已知向量a=（4，3），b=（6，m），且ab，则m=_（10）若x，y满足2,1,4310,xyxy 则yx的最小值为_，最大值为_（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l则以F为圆心，且与l相切的圆的

4、方程为_（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_（13）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各

5、 1 盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_三三、解答题共解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在ABC中，a=3，2bc，cosB=12（）求b，c的值；（）求 sin（B+C）的值（16）（本小题 13 分）设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值（17）（本小题 12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨

6、大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于 2000 元大于 2000 元仅使用 A27 人3 人仅使用 B24 人1 人（）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学

7、生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元结合（）的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由（18）（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由（19）（本小题 14 分）已知椭圆2222:1xyCab的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线:(1)l ykxt t 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线A

8、P与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点（20）（本小题 14 分）已知函数321()4f xxxx（）求曲线()yf x的斜率为 1 的切线方程；（）当 2,4x 时，求证：6()xf xx；（）设()|()()|()F xf xxaa R，记()F x在区间 2,4上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C（2）D（3）A（4）B（5）D（6）C

9、（7）A（8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）8（10）31（11）22(1)4xy（12）40（13）若,lm l，则m（答案不唯一）（14）13015三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（）由余弦定理2222cosbacacB，得222132 3()2bcc 因为2bc，所以2221(2)32 3()2ccc 解得5c 所以7b（）由1cos2B 得3sin2B 由正弦定理得3 3sinsin14aABb在ABC中，BCA 所以3 3sin()sin14BCA（16）（共 13 分）解：（）设 na的公差为d因为110a ，所

10、以23410,102,103ad ad ad 因为23410,8,6aaa成等比数列，所以23248106aaa所以2(22)(43)ddd 解得2d 所以1(1)212naandn（）由（）知，212nan所以，当7n 时，0na；当6n 时，0na 所以，nS的最小值为630S （17）（共 12 分）解：（）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为401000400100（）记事件C为“从样本仅

11、使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则1()0.0425P C（）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由（II）知，()P E=0.04答案示例1：可以认为有变化理由如下：()P E比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，()P E比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的所以无法确定有没有变化（18）（共1

12、4分）解：（）因为PA 平面ABCD，所以PABD又因为底面ABCD为菱形，所以BDAC所以BD 平面PAC（）因为PA平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点，所以AECD所以ABAE所以AE平面PAB所以平面PAB平面PAE（）棱PB上存在点F，使得CF平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG则FGAB，且FG=12AB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=12AB所以FGCE，且FG=CE所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面

13、PAE（19）（共 14 分）解：（I）由题意得，b2=1，c=1所以a2=b2+c2=2所以椭圆C的方程为2212xy（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为1111yyxx令y=0，得点M的横坐标111Mxxy 又11ykxt，从而11|1MxOMxkxt 同理，22|1xONkxt 由22,12ykxtxy得222(12)4220kxktxt则12241 2ktxxk，21222212tx xk所以1212|11xxOMONkxtkxt 12221212|(1)(1)x xk x xk txxt22222222212|224(1)()(1)1212tktktkk tt

14、kk 12|1tt又|2OMON，所以12|21tt解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）（20）（共 14 分）解：（）由321()4f xxxx得23()214fxxx令()1fx，即232114xx，得0 x 或83x 又(0)0f，88()327f，所以曲线()yf x的斜率为 1 的切线方程是yx与88273yx，即yx与6427yx（）令()(),2,4g xf xx x 由321()4g xxx得23()24g xxx令()0g x 得0 x 或83x(),()g x g x的情况如下：x2(2,0)08(0,)3838(,4)34()g x()g x6064270所以()g x的最小值为6，最大值为0故6()0g x，即6()xf xx（）由（）知，当3a 时，()(0)|(0)|3MFgaaa ；当3a 时，()(2)|(2)|63MFagaa；当3a 时，()3M a 综上，当()M a最小时，3a