2023届高考数学专项练习微 三角函数的范围与最值含解析.pdf

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1、2023届 高 考 数 学 专 项 练 习 微 专 题 三 角 函 数 的 范 围 与 最 值【秒 杀 总 结】一、三 角 函 数/Q）=Asin（36+0）中 口 的 大 小 及 取 值 范 围 1.任 意 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 半 周 期 的 整 数 倍,即 卜 宁（卜 e z）；T2.任 意 两 个 对 称 中 心 之 间 的 距 离 为 半 周 期 的 整 数 倍，即 k-（k e Z）;3.任 意 对 称 轴 与 对 称 中 心 之 间 的 距 离 为 周 期 加 半 周 期 的 整 数 倍，即（+k（k:G Z）;4./（x）=AsinGiKr+0）在 区 间

2、（a,b）内 单 调=b a W 誉 且 Zra&（13+0&励+3 4 阮+6 Z）5./（x）=Asin（too:+少）在 区 间（a,b）内 不 单 调 n（a,b）内 至 少 有 一 条 对 称 轴，as+p W k兀+1&bo+夕（fcGZ）6./（s）=Asin（30；+）在 区 间（a,b）内 没 有 零 点 n b-a 4 5 且+l）7t（fc Z）（A:l）7ta（o+afcn;,.（fcGZ）.（K+n l）n.bo）+0,W 亨，一 号 为/的 零 点：且 加）4,信）恒 成 立，/在（金，合）区 间 上 有 最 小 值 无 最 大 值，则 3 的 最 大 值 是（）A

3、.11 B.13 C.15 D.17例 3.（2023 高 一 季 时 练 习）如 图，直 角&A B C 的 斜 边 长 为 2,N C=30,且 点 8 C 分 别 在 力 轴，夕 轴 正 半 轴 上 滑 动，点 力 在 线 段 B C的 右 上 方.设 d=后+4，（B J C R）,记 m O D,N=O：+沙,分 别 考 查 M.N的 所 有 运 算 结 果，则 A.”有 最 小 值，N有 最 大 值 B.”有 最 大 值，N有 最 小 值 C.”有 最 大 值，N有 最 大 值 D.M有 最 小 值，N有 最 小 值 例 4.（2023。全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函

4、数/（1）=asinx+bcos/+呢 图 象 上 存 在 两 条 互 相 垂 直 的 切 线,且 a?+6?=1,则 a+6+c 的 最 大 值 为（）A.2瓜 B.2V2 C.瓜 D.V2例 5.（2023 全 国 赤 三 专 题 练 习）已 知 小 0,函 数/（宴）=(x 2)ln(jc+1),-1 x m,cos(3x+-),m x 7 t,恰 有 3 个 零 点，则 m 的 取 值 范 围 是（）B.金 普）电 啕 D.(0,普)“2,啕 例 6.（2023 全 国 南 三 专 题 练 习）已 知 函 数/=cos（a）x 孑）（”0）在 f,j 上 单 调 递 增，且 当 立 C

5、呼，卷 时，/（x）0恒 成 立，则 3 的 取 值 范 围 为（）A.（0号 U 竽，芋 B.（0,豹 U区 学 C.（0,豹 4 8,豹 D.（0用 U 得 8 例 7.（2023全 国；三 专 题 练 习）在 锐 角 A B C中，角 4 6,。的 对 边 分 别 为 a,b,c,A R C的 面 积 为 S，若 sin（4+C）=产 丁，则 tarM+-2 一-的 取 值 范 围 为（）b-（r 3tan（B-A.竽+8）B.|j C.（竽 电 D.竽 电 例&（2023 上 海 高 三 专 题 练 习）在 钝 角 A A B C 中，a,b,c分 别 是 A B C的 内 角 A B

6、 C 所 对 的 边，点 G 是 A BC的 重 心，若 力 G J_ B G,则 cos。的 取 值 范 围 是（）例 9.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）设 锐 角&4B C的 内 角 A B C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,若 A=5，a=,O则 从+儿 的 取 值 范 围 为（）A.（1,9 B.（3,9 C.（5,9 D.（7,9例 10.（2023 上 海 高 三 专 题 练 习）某 公 园 有 一 个 湖，如 图 所 示,湖 的 边 界 是 圆 心 为 O 的 圆，已 知 圆。的 半 径 为 100米.为 更 好 地 服 务 游 客，进 一 步 提 升 公

7、园 亲 水 景 观，公 园 拟 搭 建 亲 水 木 平 台 与 亲 水 玻 璃 桥，设 计 弓 形 M M N P,P Q,为 亲 水 木 平 台 区 域（四 边 形 M NPQ是 矩 形，4,。分 别 为 M M P Q的 中 点，。4=。=50米），亲 水 玻 璃 桥 以 点 4 为 一 出 入 口，另 两 出 入 口。分 别 在 平 台 区 域 A/Q,NP边 界 上（不 含 端 点）,且 设 计 成 A B A C=y,另 一 段 玻 璃 桥 R。-E 满 足 F D II AC,FD=AC,ED/AB,ED=AB.（1）若 计 划 在 3,F 间 修 建 一 休 闲 长 廊 该 长

8、廊 的 长 度 可 否 设 计 为 7（）米？请 说 明 理 由；（附：血 7 1.114,73=1.732）（2）设 玻 璃 桥 造 价 为 0.3万 元/米，求 亲 水 玻 璃 桥 的 造 价 的 最 小 值.（玻 璃 桥 总 长 为 A B+4 C+DE+。尸,宽 度、连 接 处 忽 略 不 计）.例 11.（2023全 国 商 三 专 题 练 习）在 4 2 3。中，角 力，8,。的 对 边 分 别 是 Q,b,c,满 足 bsinA=asin（S+与）设 a=3,c=2,过 3 作 垂 直 力 C 于 点。，点 E 为 线 段 的 中 点，求 说 说 的 值；（2）若 工 B C 为

9、 锐 角 三 角 形，c=2,求 4BC面 积 的 取 值 范 围.【过 关 制 试】一、单 选 题 1.（2023-全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 a,b G H,设 函 数 力（l）=cos2x,/2（x）a-bcosrr,若 当 力&为（c）对 立 C（m 九）恒 成 立 时,n m 的 最 大 值 为 专，则（）A.a V 2-l B.a 2-V2 D.b2-V22.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）ABC中，48=展，=?O 是 AB。外 接 圆 圆 心，是 云 前+淳 国 的 最 大 值 为（）A.0 B.1 C.3 D.53.（2023-全 国 高 三 寿 题 练

10、 习）在 锐 角 A A B C 中，若 Jsin（等 4+=sinBsinC,且 V3sin（7+cosC=2,则 a+6的 取 值 范 围 是（）A.（2V3.4 B.（2.2V3 C.（0,4 D.（2,42sin（32+干 0，4.（2023全 Bl 方 三 专 题 练 习）设 3 W R,函 数/（%）=）g（x）=CDX.若/（力）在 I-yx2+4a）x+爹,x 0）在,无 上 恰 有 3 个 零 点，则 s 的 取 值 范 围 是（）A.嚼,豹 U（4,豹 B.号,4）U 争 竽）昌 岑）。G 宁）D.争 5）U 与，弟 6.（2023-全 国 商 三 专 题 练 习）已 知

11、函 数/（=sin（s+m）（o 0）在 区 间 O.T T 上 有 且 仅 有 4 条 对 称 轴,给 出 下 列 四 个 结 论：/（z）在 区 间（0,7r）上 有 且 仅 有 3个 不 同 的 零 点；/（0 的 最 小 正 周 期 可 能 是 3 的 取 值 范 围 是;，）；/（0 在 区 间（0,含）上 单 调 递 增.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是（）A.B.C.D.7.（2023.全 国 方 三 专 题 练 习）函 数 沙=sin（3；r 3）（0）在 0,7：有 且 仅 有 3个 零 点，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.在（0,兀）不 存 在 xt

12、,.使 得/（）-f（x-2）=2B.函 数/（工）在（0,兀）仅 有 1个 最 大 值 点 c.函 数/在（）上 单 调 进 增 D.实 数。的 取 值 范 围 是 甲，与）L 6 6 78.（2023-上 海 南 三 专 题 练 习）在 4 4 8。中，角 力，6,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若 sin（4+C）（噌.+陪!）=器，6=|ja+c 的 取 值 范 围 是（）A.（y-,V3J B.（亲 V 5 C.D.二、多 选 题 9.（2023秋 山 东 济 南 高 三 统 考 期 中）在 4 4 8 7 中，内 角 4 6,。所 对 的 边 分 别 为 a 1,c,且 t

13、a n（X+B）（1-tan A tan B）=晨，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.A=6B.若 匕 一。=今。,则 ABC为 直 角 三 角 形 C.若 4 6。面 积 为 1,则 三 条 高 乘 积 平 方 的 最 大 值 为 3-D.若。为 边 上 一 点，且 AO=1,B D:DC=2c:b,则 2b+c 的 最 小 值 为 10.（2023秋 江 苏 苏 州 商 三 苏 州 中 学 校 考 阶 段 练 习）已 知 函 数/（t 1 萼 J,则 下 列 说 法 中 正 确 的 1+2cos是（）A./（X+K）=f（x）B.f（x）的 最 大 值 是 C 在（一 年 爰）上

14、单 调 递 增 D.若 函 数/在 区 间 0,a）上 恰 有 2022个 极 大 值 点，则 a 的 取 值 范 围 为 华 兀 11.（2023全 国 方 三 专 题 练 习）在 4 4 8。中，角 4、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c,面 积 为 S,有 以 下 四 个 命 题 中 正 确 的 是（）A.的 最 大 值 为-yyB.当 a=2,sinB=2sin。时，在 B C不 可 能 是 直 角 三 角 形 C.当 a=2,sinB=2sinC,A=2C时，AABC的 周 长 为 2+2-D.当 a=2,sinB=2 sin C,4=2。时，若。为 A B C的 内 心,则

15、 A O B的 面 积 为 吗 12.（2023-全 国 方 三 专 题 练 习）在 锐 角 ZVIH?中，角 4 B,C 所 对 的 边 分 别 为 Q,b,c,且 c b=2bcosA,则 下 列 结 论 正 确 的 有（）A.4=2B B.B 的 取 值 范 围 为（0,彳）C.f 的 取 值 范 围 为（版,2）D.1 a岛-+2 sin 4的 取 值 范 围 为（竽,3）三、填 空 题 13.（2023-全 国 高 三 寿 题 练 习）已 知 函 数/=sin（3,+5）,0,若/（第）=/（普）且/在 区 间月 普）上 有 最 小 值 无 最 大 值,则 3=.14.（2023*全

16、 国 方 三 专 题 练 习）函 数/（工）=3sin（wx+0,（p0,|引&普，一 彳 为 了 的 零 点，且/&|/（f）|恒 成 立，/（X）在 区 间-各 壶）上 有 最 小 值 无 最 大 值,则 3 的 最 大 值 是 16.（2023*全 国 高 三 对 口 高 考）在 ABC中，AB=（V3cosa:,cosx）,A C=（cosx.sinx），则 AB。面 积 的 最 大 值 是 _17.（2023高 一 课 时 练 习）用 表 示 函 数”=sin:r在 闭 区 间/上 的 最 大 值.若 正 数 a 满 足 河 m 2M,j，则 a 的 最 大 值 为.18.（2023

17、-上 海 高 三 专 题 练 习）在 ABC中，角 A B。的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 a=2,bcos。-ccosB=4,与&C W 与，则 taiM的 最 大 值 为 _.4 o19.（2023-全 国 高 三 专 题 练 习）在 4 A B C 中,若 B A C=120，点。为 边 B C 的 中 点，4 D=1,则 N或 A C 的 最 小 值 为.20.（2023全 国 南 三 专 题 练 习）ABC中，角 4 B,。所 对 的 三 边 分 别 为 a,b,c,c=2b,若 ABC的 面 积 为 1,则 的 最 小 值 是.21.（2023-全 国 方 三 专 题

18、练 习）已 知 0 0,对 任 意 九 C N*,总 存 在 实 数 少,使 得 cos（n0+夕）V 今，则。的 最 小 值 是22.（2023*上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数/（I）=sin（or+0）,其 中 3 0,0 0 兀，/（%）（亍）恒 成 立，且 y=/（x）在 区 间（0,弩）上 恰 有 3个 零 点,则。的 取 值 范 围 是.23.（2023全 国 高 三 寿 题 练 习）已 知 锐 角 三 角 形 4 8。的 内 角 4,5,。所 对 的 边 分 别 是 a,匕，。，且 4 B,若 sinC=2cos4sinB+，则 tanB的 取 值 范 围 为 2

19、4.（2023a全 国 高 三 专 题 练 习）若 函 数/=，Jsin2i+Q C O S C在（一 8,+8）内 单 调 递 增，则 实 数 J Ja 的 取 值 范 围 是.25.（2023秋 湖 南 衡 南 高 一 街 国 市 八 中 校 考 期 末）设 函 数/（=2sin:r+夕）一 1（“（）,若 对 于 任 意 实 数 少,/Q）在 区 间 彳,亨 上 至 少 有 2 个 零 点，至 多 有 3个 零 点，则”的 取 值 范 围 是.2（5.（2023*全 国 高 三 寿 题 练 习）己 知 函 数/（）=（sinsc）?+-l-sin2ct）a；0,tu G 7?）/（x）在

20、 区 间（元,2兀）内 没 有 极 值 点，则。的 取 值 范 围 是.27.（2023秋 江 苏 荔 州 高 三 荔 州 中 学 校 考 阶 段 练 习）某 小 区 有 一 个 半 径 为 r米，圆 心 角 是 直 角 的 扇 形 区 域，现 计 划 照 图 将 其 改 造 出 一 块 矩 形 休 闲 运 动 场 地，然 后 在 区 域/（区 域 4 c D）,区 域（区 域 C B E）内 分 别 种 上 甲 和 乙 两 种 花 卉（如 图），已 知 甲 种 花 卉 每 平 方 米 造 价 是 a 元，乙 种 花 卉 每 平 方 米 造 价 是 3a元,设 ZBOC=0,中 植 花 卉 总

21、 造 价 记 为/（6）,现 某 同 学 已 正 确 求 得：。）=ar2g（0）,则 g（6）=.;种 植 花 卉 总 造 价 最 小 值 为 28.（2023-全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数”立）=2sin（oxE+专）+acosa）x（a 0,s 0）对 任 意 即 g C R都 有/（为）+/（无）&4，若/（c）在 0,7：上 的 取 值 范 围 是 3,2/5,则 实 数。的 取 值 范 围 是 29.（2023.全 国 南 三 专 题 练 习）已 知 a,b,c分 别 为 锐 角 A A B C 的 三 个 内 角 4 B,C 的 对 边，若 a=2,且 sirr

22、B=sinA（sinA+sinC），则 A A B C 的 周 长 的 取 值 范 围 为.30.（2023-全 国 高 三 专 题 练 习）在 锐 角 A B C 中，=2,sinB+sinC=2sinA,则 中 线 4 9 长 的 取 值 范 围 是；四、解 答 题 31.（2023-全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数/=2sin（2s工+-）+1.（1）若/（电）&/（立）（/但），由 一 以 疝,=，求/（工）的 对 称 中 心；（2）已 知 0 V。V 5,函 数/图 象 向 右 平 移 个 单 位 得 到 函 数 g Q）的 图 象，立=寺 是 g Q）的 一 个 零

23、U O点，若 函 数 g（G）在 m,n（m,九 C H 且 zn V n）上 恰 好 有 1（）个 零 点，求 九 一 m 的 最 小 值；32.（2023全 国 模 拟 演 测）在 43C中，内 角 A 区 C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,bsiiM=acos（B 门.（1）求 角 B 的 大 小；（2）设 点。是 4 7 的 中 点，若 B D=四，求 a+c 的 取 值 范 围.微 专 题 三 角 函 数 的 范 围 与 最 值【秒 杀 总 结】一、三 角 函 数 f（力=A sinQ x+夕）中 a的 大 小 及 取 值 范 围 1.任 意 两 条 对 称 轴 之 间 的 距

24、 离 为 半 周 期 的 整 数 倍，即 A：y（fe G Z）；T2.任 意 两 个 对 称 中 心 之 间 的 距 离 为 半 周 期 的 整 数 倍，即 e Z）；3.任 意 对 称 轴 与 对 称 中 心 之 间 的 距 离 为 1 周 期 加 半 周 期 的 整 数 倍，即:+，卜 G Z）;4./（x）=Asin（s:r+0）在 区 间（a,6）内 单 调=b aW 看 且 左 兀 一&lsin（3：r+夕）在 区 间（a,b）内 有 n 个 零 点=/,.Zj（fc G Z）.（K+n l）n.bo）+p k+n）K二、三 角 形 范 围 与 最 值 问 题 1.坐 标 法：把

25、动 点 转 为 为 轨 迹 方 程 2.几 何 法 3.引 入 角 度,将 边 转 化 为 角 的 关 系 4.最 值 问 题 的 求 解，常 用 的 方 法 有：（1）函 数 法；（2）导 数 法；（3）数 形 结 合 法；（4）基 本 不 等 式 法.要 根 据 已 知 条 件 灵 活 选 择 方 法 求 解.【典 型 例 题】例 1.（2023全 国 高 三 考 题 练 习）在 4 3。中，cosA=J,/A B C 的 内 切 圆 的 面 积 为 16兀,则 边 长 度 的 最 小 值 为（）A.16 B.24 C.25 D.36【答 案】A【解 析】因 为 4?。的 内 切 圆 的

26、面 积 为 16兀，所 以 4 8。的 内 切 圆 半 径 为 4.设 少 口。内 角 R,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c.因 为 cosA=小，所 以 sin A=,所 以 tan A=.NJ 因 为 S&A B C=i 1 9 z 94fee sin A=(a+b+c)x 4,所 以 bc=-才(Q+b+c).设 内 切 圆 与 边 4 C 切 于 点。，由 tanA=可 求 得 tan-=4,则 A D=毕.又 因 为 A D=+1，所 以 b+c=与+a.所 以 be=Z 4 A U J 2 6平+2Q)=4 乂 芈+Q).又 因 为 b+c 2，贰，所 以+a 2、/岑+a

27、),即(聿+a)O O O O O V O O v O*。(+Q),整 理 得 Q-12a 64 0.因 为 a 0,所 以 a 1 6,当 且 仅 当 b=c=-4r时，a 取 得 最 O O J小 值.故 选：A.例 2.（2023 全 国 南 三 专 题 练 习）已 知 函 数/Q）=sin+,其 中“0,全 一 号 为/（4）的 零 点：且 了 卜（于）恒 成 立，/3）在（卷 壶）区 间 上 有 最 小 值 无 最 大 值，则 0 的 最 大 值 是（）A.11 B.13 C.15 D.17【答 案】C【解 析】由 题 意，1=年 是/3）的 一 条 对 称 轴，所 以/（点）=1,

28、即-co+=fei7U-+-y,A；i E Z（D又/（j）=0,所 以-J-O）+9=卜 2n,卜 2 W Z 由，得 3=2（自 一 心）+1,kltk2 e Z又 f（c）在（一 片，*F）区 间 上 有 最 小 值 无 最 大 值，所 以（%）=强 即 普 宾，解 得 16,要 求“最 大，结 合 选 项，先 检 验 口=15当 3=15时,由 得 号-15+0=加+.的 w Z,即 0=自 兀 一 2|工 用 e Z,又 专 所 以 p=此 时/=sin（15x-j-），当 b G（各，奇）时，I%一（一 等 粤），当 15/一 9=一 亲 即 i=一 备 时，/（%）取 最 小 值

29、，无 最 大 值，满 足 题 意.4 N DU故 选:C例 3.（2023 高 一 课 时 练 习）如 图，直 角 A 4 B C 的 斜 边 B C 长 为 2,N。=30,且 点 B C 分 别 在 4 轴，0 轴 正 半 轴 上 滑 动，点 1在 线 段 B C 的 右 上 方.设 0 才=g 3 行+沙 云，（z y C R）,记 五，N=+沙，分 别 考 查 M,N 的 所 有 运 算 结 果,则 A.M 有 最 小 值，N 有 最 大 值 B.M 有 最 大 值,N 有 最 小 值 C.M 有 最 大 值，N 有 最 大 值 D.M 有 最 小 值，N 有 最 小 值【答 案】B

30、解 析】依 题 意 B C A=30,B C=2,=90,所 以 A C=通,4 b=1.设 4 0 c B=a，则 L A B x=a+30,0 V a 90,所 以 A(V3sin(a+30),sin(a+30),B(2sina,0),C(0,2cosa)，所 以 Al=O A-O C=1 1 Q2cosasin（a+30）=sin（2a+30）+q,当 2a+30=90,a=30 时，M 取 得 最 大 值 为 1+=拳 市=立 加+五，所 以 工=心 用（。+3阴 s 7 a+3。）1 2sma,2cosa 2smasin（a+3（T）=1 42cosa 2sin2a当 2a=90,a

31、=45时,N 有 最 小 值 为 1 故 选 8.例 4.（2023 全 国-高 三 专 题 练 习）已 知 函 数 f（x）=asinx+bcosx+err图 象 上 存 在 两 条 互 相 垂 直 的 切 线，且+=1,则 a+b+c 的 最 大 值 为（）A.2V3 B.2A/2 C.V3 D.V2【答 案】D【解 析】由 Q?+/=1.，令 a=sin仇 b=cos。，由/（x）=asinx+bcosx+e x,得/（c）=acosx bsinx+c=sin0cosx cosJsin 力+c=sin（。一 力）+c,所 以 c 1 1,即 c 2-1 4-1,所 以。2 0,0=o,a

32、+b+c=a+b=sinJ+cos。=V2sin（0+宁）C V2所 以 a+b+c 的 最 大 值 为 J I故 选：D例 5.(2023-全 Bl 方 三 专 题 练 习)已 知 0,函 数/(=（X 2）ln（x 4-1）1 x m,cos（3x+-?-）,m x 0,故 9,(力)在(3)内 必 有 唯 一 零 点 外 当(-1,曲)时，g(VO,g(z)单 调 递 减；当 e(x0,m 时,g(c)0,g(c)单 调 递 增;令 g(i)=0,解 得=0 或 2,可 作 出 函 数 g(z)的 图 像，例 6.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数/（c）=cos（

33、3 一,）（）在 专 6 上 单 调 递 增，且 当 工 呼，告 1时，f）（）恒 成 立，则。的 取 值 范 围 为（）L 4 J A.（0制 U 陷,豹 B,（0,U 8,C.（0,y u 8,-y D.（0用 U 等 可【答 案】B【解 析】由 已 知，函 数/（。）=COS（COT-y）（CO0）在 咨 上 单 调 递 增，所 以 2km 兀 cox，0)在 1 予 上/(a)0 恒 成 立,所 以 2k)兀 今&名 2卜 沆+-5-(k 0,当 自=七=0 时，由 可 知:o）0-，解 得 口 0,豹;028当 自=口=1时，由 可 知：,8 W s W 丁，解 得“C 8,9.22

34、 17 丁 3 4 丁所 以 0 的 取 值 范 围 为(0,弓 U 8,孝.故 选：B.例 7.(2023 全 国 高 三 专 题 练 习)在 锐 角 力 8。中，角 工，B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,ABC的 面 积 为 S,若 或 以 4+二 空 于，则 t a n A+=2、的 取 值 范 围 为()b a-Stands A)A.竽+8).孳 学 C.(竽,璘 僧 J【答 案】c【解 析】在 ABC 中，sin(A+C)=sinB,S=-acsinB,故 题 干 条 件 可 化 为 一/=ac,由 余 弦 定 理 得 b2=Q?+c2-2(zccosB,故 c=2acos

35、B+Q,又 由 正 弦 定 理 化 简 得：sin(7=2sinAcosB+sin A=sinAcosB+cosAsinB,整 理 得 sin(8-A)=sin/,故 6 4=4 或 6 4=兀 一 行(舍 去)，得 3=2A0 A y 4BC为 锐 角 三 角 形，故()V2/V强，解 得 V 4 V 与，故 今 Vtan/1 V I/O 4 o()V 兀-3 J4 V 个 tan 4+-77-=tan/I+-r E(T)3tan(B-A)3tan4 1 3 3，故 选:C例&(2023-上 海 高 三 专 题 练 习)在 钝 角 4 A B C 中，a,b,c分 别 是 力 的 内 角 A

36、 B C 所 对 的 边，点 G 是 ABC的 重 心，若 AGJ_ B G,则 cosC的 取 值 范 围 是()A.(0,字)B.俗 号)C.(乎,1)D-y-l)【答 案】C【解 析】延 长 C G 交 于。,如 下 图 所 示：G 为 的 重 心，。为 中 点 且 C D=A G BG,：.D G=y A B,/.C D=A B=-六 Adccu,/z e e AD-+CD1-AC1在 丛 A D C 中,cos A D C=-方-=5c2 2b2.3c2 A；T3 2Tc5 2 _ 2尹 Ann b/口”B D2+C D1-B C2 2Ca 5c2-2a2在 A B O C 中,co

37、sZBPG=-C D-2C：Z B D C+N A D C=兀,；.cosZBC=-cos A ADC,即 5c2厂 产 2=_ 5c7 2 2，整 理 可 得：a2+h2=5c?。2,.c 为 锐 角；3c-3c设 工 为 钝 角，则 b2+c2 b a b,.y 译+干 J（I M+1（4）2 1 解 也 2.%（+W 白 2。+春+春 仁）匕）b 0,0 V V-,Q/J由 余 弦 定 理 得:3。=上 莪 之=看 穹 产=看 传+5）看 x（乎+4）=乎,又 C 为 锐 角，.（C c o s C V 1,即 cosC的 取 值 范 围 为（乎,1）.故 选：C.例 9.（2023 全

38、 国 高 三 专 题 练 习）设 锐 角&4 B C 的 内 角 4 8。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,若 4=%、a=瓜,O则/+。2+儿 的 取 值 范 围 为（）A.（1,9 B.（3,9 C.（5,9 D.（7,9【答 案】D【解 析】因 为/=等,1=，5,由 正 弦 定 理 可 得 2 7=二 零=2=/=集 s i 粤 s m B sin（冬-B）则 有 b=2sinB,c=2sin（弩 B）,由 ABC的 内 角 A B,C 为 锐 角，可 得 2-r 万，l（）V 弯-B V 多：.4 Z B V 3 n 2 B?-5 V sin（2B 1 2 4sin（2B-）4

39、,6 2 6 6 6 2 1 6/1 6，由 余 弦 定 理 可 得 a?=b2+c2-26c cos A=3=b?+c2 be,因 此 有 b2+c1+bc=2bc+3=8sinBsin（-B）+3=4V3sin/?cosB+4sin2B+3=2V3sin2B-2cos26+5=5+4sin（2 B-专）（7,9故 选：D.例 10.（2023 上 海 高 三 专 题 练 习）某 公 园 有 一 个 湖，如 图 所 示，湖 的 边 界 是 圆 心 为 O 的 圆，已 知 圆。的 半 径 为 100米.为 更 好 地 服 务 游 客，进 一 步 提 升 公 园 亲 水 景 观，公 园 拟 搭

40、建 亲 水 木 平 台 与 亲 水 玻 璃 桥，设 计 弓 形 M N,N P,P Q,Q M 为 亲 水 木 平 台 区 域（四 边 形 A W P Q 是 矩 形，八，D 分 别 为 M N,P Q 的 中 点，。4=。=50米），亲 水 玻 璃 桥 以 点 1为 一 出 入 口，另 两 出 入 口 3,。分 别 在 平 台 区 域 同。,八 岁 边 界 上（不 含 端 点），且 设 计 成 NBAC=专,另 一 段 玻 璃 桥 R-。一 E 满 足 F D AC,RD=47,E D,ED=AB.（1）若 计 划 在 6,F 间 修 建 一 休 闲 长 廊 该 长 廊 的 长 度 可 否

41、设 计 为 70米？请 说 明 理 由；（721.414,731.732）（2）设 玻 璃 桥 造 价 为（）.3万 元/米，求 亲 水 玻 璃 桥 的 造 价 的 最 小 值.（玻 璃 桥 总 长 为 A B+4 C+D E+D F,宽 度、连 接 处 忽 略 不 计）.【解 析】由 题 意，。4=50,O M=100,则 1 Q=100,A W=50V3.ZBAC=，设 M A B=仇 匕 NACQ/D：.75 M B 100,tan0 100（73 一 1）,当 tan。=1（符 合 题 意）时 取 等 号，又 100（7 3-1）70,可 以 修 建 70米 长 廊.（2）A B=L=

42、5 0 V 3 _ A C=5 0 则 AR+AC=*+2=50通（sinJ+cos/cos0 cos。cosa sin。cos。sin。sinJcos。设 力=sin。+cos0=V2sin（0+点）,则 t2=1+2sin%os，即 sinGcosG=J.A B+A C=1-0尸 0 V_3 t._=1-0-0-V 3，由,（/n1）知,V23 V tan。72,匚 而 瓜/瓜 2“R3,、2三 n夕 4使 t 一 _t。+子=卷 且 与 6+与 100V6,当 且 仅 当 t=声,夕=1 时 取 等 号.由 题 意，A B+4 C=O E+D R,则 玻 璃 桥 总 长 的 最 小 值

43、为 2 0 0 c 米，/.铺 设 好 亲 水 坡 璃 桥，最 少 需 200V6 x（）.3=6（）7 6 万 元.例 11.（2023全 国 南 三 专 题 练 习）在 4 4 5。中，角 A,B,。的 对 边 分 别 是 a,b,c,满 足 bsin4=asin（B+与）J（1）设 a=3,c=2,过 右 作 B O 垂 直 A C 于 点。，点 E 为 线 段 的 中 点，求 丽 丽 的 值；（2）若 A A B C 为 锐 角 三 角 形，c=2,求 A8 c 面 积 的 取 值 范 围.【解 析】（l）6sinA=asin（B+-y）,由 正 弦 定 理 得：sinJSsinX=s

44、in4sin（B+与）=-ysin AsinB+-sinXcosB,所 以/sinAsinB-sinAcosB=0,因 为 A 6（0,7r）,所 以 sinA WO,所 以-ysinB-y-cosB=0,即=因 为 8 6（0,兀），所 以 B=与,因 为 Q=3,C=2,由 余 弦 定 理 得：b2=d2+c2-2accosB=9+4 6=7,因 为 6 0,所 以 匕=，7,其 中 S 4 BC=acsinB=x 3 x 2 x,诉 以 RF）_ 2s 人 改，_ 3/3V21因 为 点 E 为 线 段 B D 的 中 点，所 以 B E=笔 L,由 题 意 得：说=西+育=炭+示，所

45、以 说 丽=丽（屈+山）=屈?+0=符.由 知：3=与，又 c=2,O由 正 弦 定 理 得：了=9=C，s m A s m。sin（A+）“-2sirM 2sinA 4所 以 Q=-=G-后-=-后 L，sin（A+专）亨 sirM+-y-cosA 1+-r J，2 2 tan/I（4（0,生）因 为 4BC为 锐 甭 三 角 形，所 以 9 2.寸、，解 得：4 C（杳，与），匕=等-叱（0爰）6 2则 tanA W（哈+8）,四（0,3）,1+京（1，故。=4e(i,4),1+tanA ABC 面 积 为 S=/a c s in B=空 1 W（李,2到 故 4 3。面 积 的 取 值

46、范 围 是（李,2代）.【过 关 测 试】一、单 选 题 1.(2023*全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 a,b 6 7?,设 函 数 力(6)=cos2x(f2(x)=a bcosc,若 当 力(2)W/?3)对 a:C m,n(m A/2 1 B.a 2 V2 D.b 4 2 V2【答 案】A【解 析】设 t=cosx,x E m,n，因 为 九 一 m 的 最 大 值 为 李 兀=手，所 以:rG m,n 时，t=COST必 取 到 最 值，当 n m=-时，根 据 余 弦 函 数 对 称 性 得 c o s%1 a=1=mn.=2k兀 次 G Z,此 时 cosnz=COS(/

47、m+n n m/n7 3兀、3兀 V2-)=COS(2/C7T-1)=CQS 丁=y-cosn=cos(/m+-n-1.-n-2 m)=c o s/2o7 欣+-3j兀-、j=cos3兀 p=V2或*者 L cos-m-+-n=1 _n 7 7 1+九=兀+.n2jk n、ki Zry,止.L匕 rtj时 _ cosm=cos/(m 4-r-i-n-m)=/O,3 K 3兀 V2cost 2乃 兀+冗-7-=cos j-=4 f 4 2/m+n.n-m,3兀 37r V2cosn=cos(-1-)=cos(2/c兀+兀+r-I=cos-r-=由 力(%)4 人()=2cos2宓 K a-bco

48、sx=2cos2x+hcosx(1+a)1或-1,1 2=时，满 足 打 一 小 的 最 大 值 为,所 以 母 2，即 1.a 1.=%+2 1 I/或=力+t 2 2-x/2,故 选：A.2.(2023-全 国-高 三 专 题 练 习)A 4 6 C 中，AB=嚣，ZA C B=与，。是/XABC外 接 圆 圆 心，是 双？4+方 国 的 最 大 值 为(）A.0 B.1 C.3 D.5【答 案】C【解 析】过 点。作 OD 4 C,O E J_ B C,垂 足 分 别 为。，E,如 图，因。是 A B C外 接 圆 圆 心，则。，E分 别 为 AC,B C的 中 点，在 A B C中，荏

49、=方 一 方，则|南=|可+|南 2国 怎，即 屈=|昂 产+|怎”2文(5X=|阿 叵|cosNOC4=|丽 d司=匠，同 理 少.屈=y|G B|2,因“匕，O C-A B+C A-C B=O C-（CB-C A）+C A-C B=CO-C A-C O-CB+C A-C B=-1|CA|2-jC B 2+3/+产=时?_ i,由 正 弦 定 理 得：由=质 艺*=处 坦=2 s in B 4 2,当 且 仅 当 8=专 时 取“=”，sinNACB si 共 2所 以 正 四+0%国 的 最 大 值 为 3.故 选:C3.（2023*全 国 方 三 专 题 练 习）在 锐 角 A B C中

50、，若 一 s in 4（制 4+=sinB sinC,且 V3sinC+c o s C=2,则 a+b 的 取 值 范 围 是（）A.（2V3,4 B.（2,273 C.（0,4 D.（2,4【答 案】A【解 析】由 V3sinC+cosC=2sin（C+=2,得 C+,=俳+2kn,k Z,fe.V3v C G（0 4）,.-.C=f,由 题 笆 4+空 空=喏 呼，由 正 弦 定 理 有-1+2 八 3 a c V3sinX a c V3a=,故 c s?+c o s?=石，）,即 cosA sinC+s in/-cosC=!屈；。故 sin（A+C）=2a sin?!sm C 2smA