2023届新高考数学小题限时练含答案 (九).pdf

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1、2023届 新 高 考 数 学 小 题 限 时 练 含 答 案 专 题 0 9小 题 限 时 练 9一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4（）分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.集 合 x e Z|log?f 2 的 子 集 个 数 为（）C.162.已 知 复 数 z=2+R（a e R,i 为 虚 数 单 位），满 足 z N=6,则|z-l|=（A.A/3 C.逐 函 数/（x）=|sinx|+|c o s x|的 最 小 正 周 期 和 最 小 值 分 别 为（已 知 抛 物 线 V=2 y

2、上 点 力 的 横 坐 标 为 3,则 A 到 抛 物 线 焦 点 F 的 距 离 为（5.如 图 所 示 的 三 角 形 数 阵 叫 莱 布 尼 兹 调 和 三 角 形”、它 们 是 由 整 数 的 倒 数 组 成 的.第 行 有”个 数 且 两 端 的 数 均 为 1（2）,且 有 个 数 是 它 下 一 行 左、右 相 邻 两 数 的 和，如：-=-+-=-+-=-+则 n 1 2 2 2 3 6 3 4 12第 7 行 第 5 个 数（从 左 往 右 数）为（）1 1 _2 21 13 6 3 2.1 14 12 12 4J L _ L _ L!5 20 30 20 56.已 知 a=

3、/2,b=log2 e c=2-1,1,则 Q,b,c 的 大 小 关 系 为()A.b a c B.h c a C.a h c D.c a b7.已 知 直 线 x+-1=0 与 圆：/+/一 2*一 2y=0 交 于 力，8 两 点，若 NAMB=4/M A B,则 a=()A.2 B.1 C.2 或 一 1 D.1 或 一 278.已 知 函 数 x)=-X3+2,则 不 等 式/(/)+/(m-2)6的 解 集 为()3+1A.(-1,2)B.(-00,-1)U(2，+8)C.(-2,1)D.(-co,-2)U(1,+oo)二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共

4、 2 0分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9.已 知 函 数/(x)=x c o sx-sin x,下 列 结 论 正 确 的 是()A./(X)是 以 为 周 期 的 函 数 B./(x)是 区 间 阿，2句 上 的 增 函 数 C.“X)是 R 上 的 奇 函 数 D.0 是/(x)的 极 值 点 10.已 知 某 种 袋 装 食 品 每 袋 质 量(单 位：g)X N(500,1 6).尸(-+r)=0.6827,尸(一 2 b x+2b)=0.954

5、5,尸(-3 b X+3b)=0.9973,则 下 面 结 论 正 确 的 是()A.a=4B.P(496 X 504)=0.9545C.随 机 抽 取 10000袋 这 种 食 品，袋 装 质 量 在 区 间(492,504 的 约 8186袋 D.随 机 抽 取 10000袋 这 种 食 品，袋 装 质 量 小 于 4 8 8 g的 一 定 不 多 于 14袋 11.已 知 抛 物 线 C:/=2 p x,C 的 准 线 与 x轴 交 于 K,过 焦 点 厂 的 直 线/与 C 交 于 1,B 两 点,连 接 N K、BK,设 的 中 点 为 P,过 P 作 Z 8 的 垂 线 交 x 轴

6、 于。，下 列 结 论 正 确 的 是()A.A F-B K A K-B F B.tan NAKF=cos NPQF2C.A/1K8的 面 积 最 小 值 为 勺 D.AB=2FQ 1 2.已 知 正 四 棱 台/8 8-4 8 C Q 1 的 上、下 底 面 边 长 分 别 为 4,6,高 为 近，E 是 4 耳 的 中 点，则()A.正 四 棱 台 4 B C D-4 A C Q 的 体 积 为 若&B.正 四 棱 台/5 C O-4 8 C Q 的 外 接 球 的 表 面 积 为 104万 C.4E/平 面 BQDD.4 到 平 面 8 C Q 的 距 离 为 警 三、填 空 题：本 题

7、 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。13.已 知 向 量 2 与 石 的 夹 角 为(，伍|=1,展 伍+5)=2,则|B|=.14.在(x-苧 尸 的 展 开 式 中，的 系 数 为 28,则 0=.15.在 棱 长 为 2 的 正 方 体 4 8 C D-4 4 G A 中，E 是 的 中 点，尸 是 C G 上 的 动 点，则 三 棱 锥 4-。尸 外 接 球 表 面 积 的 最 小 值 为 一.16.已 知 三 棱 锥 O-48C,P 是 面/8C 内 任 意 一 点，数 列 也,共 9 项，q=l,+%=2%，且 满 足 OP=a-an_OA-laftB+3(a_,+

8、1)OC(2 n 9,wN*),满 足 上 述 条 件 的 数 列 共 有 个-专 题 0 9 小 题 限 时 练 9一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4()分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.集 合 x e Z|log?f 2的 子 集 个 数 为()A.4 B.8 C.16 D.32【答 案】C【详 解】x e Z I/o g z f 2=x e Z|-2 x 0=-2,-1,1,2,/.(xeZjlog2x2 2的 子 集 个 数 为 24=16.故 选：C.2.已 知 复 数 z=2+a

9、i(a e R,i 为 虚 数 单 位)，满 足 z N=6,则|z-l|=()A.73 B.3 C.V?D.5【答 案】A【详 解】.复 数 z=2+ai(R,/为 虚 数 单 位)，满 足 z N=6,:.22+a2=6,解 得/=2,则|z 11=|1+ai|=A/11+a2-6，故 选：A.3.函 数/(x)=|sin x|+|c o s x|的 最 小 正 周 期 和 最 小 值 分 别 为()A.1 B.C.1 D.开，14 2 2 2【答 案】C【详 解】由 于/(%4-y)=|sin(x+y)I+1 cos(x+-y)1=1 cosx|+1 sinx|=f(x),故 函 数/(

10、x)=|sin x|+|c o s x|的 最 小 正 周 期 是 擀；当 X E 0时,fx)=sin x+cos x=V2 sin(x+)x+暴 牛 争,M U 故 选：c.4.己 知 抛 物 线 x?=2 y上 点 4 的 横 坐 标 为 3,则/到 抛 物 线 焦 点 尸 的 距 离 为()A-iB.4 C.5 D.121【答 案】C【详 解】抛 物 线 的 准 线：y=-=,抛 物 线 f=2 y 上 一 点 4 3$到 其 焦 点 尸 的 距 离 为 g+；=5.故 选：C.5.如 图 所 示 的 三 角 形 数 阵 叫 莱 布 尼 兹 调 和 三 角 形”、它 们 是 由 整 数

11、 的 倒 数 组 成 的.第 行 有“个 数 且 两 端 的 数 均 为 工 5 2）,且 有 个 数 是 它 下 一 行 左、右 相 邻 两 数 的 和，如：-=-+-=-+-=-+,则 n 1 2 2 2 3 6 3 4 12第 7 行 第 5 个 数（从 左 往 右 数）为（）111 12 21 13 6 34 12 12 4!5 20 30 20 5【答 案】B【详 解】设 第 行 第 阳 个 数 为。(,?)，由 题 意 知”(6,1)=1,(7,1)=-,6 7a(7,2)=a(6,l)-tz(7,1)=-=,6 7 42a(6,2)=a(5,l)-a(6,1)=-=,5 6 30

12、a(7,3)=a(6,2)-a(7,2)=-,30 42 105由“莱 布 尼 兹 调 和 三 角 形”的 对 称 性 知 第 7 行 第 5 个 数 与 第 7 行 第 3 个 数 相 同、故 选：B.6.已 知=/2,b=log,e,c=2,则“，b,c 的 大 小 关 系 为()A.h a c B.b c a C.a b c D.c a b【答 案】A【详 解】a=ln2,则 2b=log2 e,则 b 1,c=2_,-1,贝 2即 6 a c,故 选：A.7.已 知 直 线 x+y-l=O 与 圆 河：/+_/-2次 一 2歹=0 交 于 Z,8 两 点，若 NAMB=4NMAB,贝

13、Ua=()A.2 B.1 C.2 或-1 D.1 或-2【答 案】B【详 解】.圆/2+/-2 奴-2了=0 可 变 为（-。）2+3-1）2=02+1,圆 心 M（a）,R-y1a2+1,圆 心 到 直 线 x+y-l=O 的 距 离 4=V i+T 叵：MA=MB,NMAB=NMBA,又 N4MB=4ZMAB,:.NMAB=30,d=7?,-7=!-=-la2+1,解 得/=1,a=1.2 应 2故 选：B.78.已 知 函 数/.（x）=i X3+2,则 不 等 式/1/）+/（加 一 2）6的 解 集 为（）3+1A.(-1,2)C.(-2,1)B.(-a),-1)0(2,+8)D.(

14、co,2)U(1,+oo)【答 案】D【详 解】函 数/。）=二 一-丁+2,3、+17由 丁=一/和 丁=-在/?上 递 减，可 得/（X）在 及 上 递 减;3+12由/(朴 3=正/1-J-x可 得-)-3+/*)-3=方+人 l-3r1+3、T=3 T+T=O,1+3、即 有/(x)+/(-x)=6，则 不 等 式/(w2)+/(5-2)6 即 为 f(m2)+Jm2)+即 为 f(m-2 f(-m2)，由/（x）在 R 上 递 减，可 得 阳-2，解 得 或 机-2,故 选：D.二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。在 每 小 题 给 出 的 选

15、项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9.已 知 函 数/(x)=x c o sx-sin x,下 列 结 论 正 确 的 是()A.“X)是 以 2万 为 周 期 的 函 数 B.“X)是 区 间 7,2幻 上 的 增 函 数 C./(x)是 R 上 的 奇 函 数 D.0 是/(x)的 极 值 点【答 案】BC【详 解】/(x)=x c o sx-sin x,/(x)=c o s x-x s in x-c o s x=-x sin x,对 于 4,因 为/(0)=0,/(2勿)=2万*/(0)

16、,所 以 4 错；对 于 8,因 为 当 x e p r,2何 时，/(x)=-xsinx 0,所 以/(x)是 区 间 乃，2乃 上 的 增 函 数，所 以 8 对；对 于 C,/(-x)=-x co s(-x)-sin(-x)=-/(%),所 以 C 对；对 于。，由 C 知 I,。错.故 选：B C.10.已 知 某 种 袋 装 食 品 每 袋 质 量(单 位：g)X N(500,1 6).尸(-cr x M+T)=0.6827,P(p-2 c r x p+2(T)=0,9545,尸(-3crX+3b)=0.9973,则 下 面 结 论 正 确 的 是()A.cr=4B.尸(496 c

17、x 504)=0.9545C.随 机 抽 取 10000袋 这 种 食 品，袋 装 质 量 在 区 间(492,504 的 约 8186袋 D.随 机 抽 取 10000袋 这 种 食 品，袋 装 质 量 小 于 4 8 8 g的 一 定 不 多 于 14袋【答 案】AC【详 解】对 于/,.袋 装 食 品 每 袋 质 量(单 位：g)X N(500,16),:.cr=4,故 4 正 确，对 于 8,P(496 X 504)=P(5 0 0-4 X 500+4)=尸(-+cr)=0.6827,故 8 错 误，对 于 C,P(500%504)=-P(4 9 6 504)=-x0.6827=0.3

18、4135,2 2P(492 X 500)=；P(-2 a x+2 T)=0.9545=0.47725,/.P(492 y 504)=P(492 X 500)+尸(500 X 504)=0.8186,10000 x0.8186=8186,故 随 机 抽 取 10000袋 这 种 食 品，袋 装 质 量 在 区 间(492,504 的 约 8186袋，故 C 正 确，对 于。，P(X 488)=；l-P(-3 b X;/+3cr)=1(l-0.9973)=0.00135,10000 x0.00135=13.5,故 随 机 抽 取 10000袋 这 种 食 品，袋 装 质 量 小 于 488g约 为

19、 13.5袋，故。错 误.故 选：AC.1 1.已 知 抛 物 线 C：/=2 p x,C 的 准 线 与 x轴 交 于 K,过 焦 点 户 的 直 线/与 C 交 于/,8 两 点，连 接 力 K、BK,设 N 8的 中 点 为 P,过 P 作 4 8 的 垂 线 交 x 轴 于 0,下 列 结 论 正 确 的 是()A.AF-BK=A K-B F B.tan NAKF=cos NPQFC.A4K8 的 面 积 最 小 值 为 D.A B 2 F Q【答 案】BD【详 解】设 直 线 4 8 的 倾 斜 角 为 a,即 4 K r=a,设 4(占，乂)，B(x2,%),P(x,y0),对 于

20、/选 项：设 直 线 A B为 x=my+g_ p _联 立 直 线 A B与 抛 物 线 方 程 r=m y+2,y=2 Px化 简 整 理 可 得，y2-2 p m y-p2=0,由 韦 达 定 理 可 得，yt+y2=2pm,yty2=-p1,K(4,0),.,一，.一 必，为 一 切,y2 _ 2,明%+%)_ 必 炉+2p，i _,、.A K 儿 B K 十.J v,myt+p my-,+p(myx+p)(my2+p)(n+p)(my2+p)5 2 2.X轴 为/K 8 的 角 平 分 线，根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 得，回=乌，即 用.|B K|=|/K|.|8尸|,故

21、/正 确，BF BK对 于 B 选 项：过 4 作 轴，垂 足 为 D,则 tan Z.AFK=,cos Z.PQF=c o s(-a)=sin a=x.+2 I F x.+1 21 2所 以 tan Z.AFK=cos Z.PQF,故 3 正 确;对 于 c 选 项：SMKB=S Kf.+S Kf.=K F yx-y2|=y|-y2-2 p=p2,当 即 Z8_Lxn寸，取 等 号,故 M K B 的 面 积 最 小 值 p2,故 C 错 误;对 于。选 项：，两 式 相 减（必+%）（乂-刈）=2（a-9）,1%=2pXtan=21Z&=/,M F 凹+为 为 所 以 尸。方 程 为 y

22、盟=l（x%）,令 y=0,典=-x0）,则 x=p+x0,P P所 以。（P+%,0）,所 以 I尸。六 夕+天-=5+X。，所 以|N8|=X+*2+。=2%+2=2|/。,故。正 确;故 选：BD.12.已 知 正 四 棱 台 N3CQ-44G。的 上、下 底 面 边 长 分 别 为 4,6,高 为 近，E 是 4 片 的 中 点，则（）C.RA.正 四 棱 台 N8C。-4 8 c A 的 体 积 为“/B.正 四 棱 台 N B C D-4 8 C Q 的 外 接 球 的 表 面 积 为 104万 C.4/平 面 8。1。D.4 到 平 面 8 G。的 距 离 为 平【答 案】BCD

23、【详 解】对 于 4，.正 四 棱 台/8 C O-4 8 C Q 的 上、下 底 面 边 长 分 别 为 4,6,高 为 正 四 棱 台/8 C。-4 8 c q 的 体 积 为：V=-(SA BC D+SABCn+dSA B C D-SABCD)h=-(16+36+6-3 6)-&=7,故/错 误；对 于 8,连 接 4 C,B D,交 于 点。2,连 接 4 G、8自,交 于 点,若 外 接 球 的 球 心。在 正 四 棱 台 的 内 部，则。在。0 2 上，。、0=近，.正 四 棱 台 N 8 C O-4 A G A 的 上、下 底 面 边 长 分 别 为 4,6,高 为 近，E 是

24、4 A 的 中 点，.,.0=1 加=2 0,DO1=；DB=3五,设 外 接 球 0 的 半 径 R,：.J DQ=D Q：+D02_D0；=。0 2，即，R2-8+JR2-I 8=&,无 解，外 接 球 的 球 心。在 正 四 棱 台 48C。-4 8 c A 的 外 部，如 图,则。在 0。2的 延 长 线 上，0。=近,.正 四 棱 台/8 C O-4 4 G 4 的 上、下 底 面 边 长 分 别 为 4,6,高 为 应，是 4 4 的 中 点,二 必=2&,DO2=DB=3y2,设 外 接 球。的 半 径 R,二 4DP-DP+S。?-D O；=O R,即 J/?2 8+J R2

25、1 8=&,解 得 后=26,正 四 棱 台/8 C O-4 4 C Q 的 外 接 球 的 表 面 积 为 4万 斤=104万，故 8 正 确;对 于 C,取 4 4 的 中 点 尸，连 接/尸，EF,4 G|F=G,连 接 4G,.乌 瓦/跖，G 是 4 Q 的 中 点，4。|=4近，GC,=3 A/2,又 私=3忘,；.GG=AO2,：GCJ/AO2,四 边 形 GC024是 平 行 四 边 形，GA/CO2,*.*GA 色 平 面 C、BD,CO2 u 平 面 CXBD,.GA/平 面 G 8。,:DBJ/BD,EF/BD,斯 仁 平 面 G 8。，8。=平 面。8。，:.E F/平

26、面 C】BD,EFp|AG=G,平 面 C、BD/1 平 面 AEF,ZEu平 面 4EF,.ZE/平 面 G&),故 C 正 确;以 为 原 点，、02A,。2。1所 在 直 线 分 别 为 x,y,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系,则。(3/，0,0),8(-30,0,0),C,(0,-2V2,扬，4(0,2啦，回，西=(-3&,-2&,回，西=(30,-2近，石=(0,-4&,0),设 平 面 8 C Q 的 一 个 法 向 量 为 万=(x,y,z),r/西 五=-3&x-2缶+缶=0 w k则!L L.L，取 N=l，得 万=(0，1，2),BC1-n=3V2x-2yj2y+

27、V2z=0A,到 平 面 BC、D 的 距 离 为，尸.=华=，故 D正 确.ll V5 5故 选：BCD.三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。13.已 知 向 量 2 与 B 的 夹 角 为|叫=1,a-(a+b)=2,贝!出|=.【答 案】2【详 解】因 为 向 量。与 5 的 夹 角 为 2，m|=1，a-(a+b)=2,所 以 22+展 很=2,所 以 旧|B|cos=,即 lx|B|cosq=l,解 得|B|=2.故 答 案 为：2.14.在(x-第 y 的 展 开 式 中，x$的 系 数 为 28,则。=.【答 案】1【详 解】展 开 式 的

28、通 项 公 式 为 Tr+i=(-半 y=C；(-右)x咤，令 8-=5，解 得 厂=2,2则 V 的 系 数 为 C(-0=2 8,解 得。=1,故 答 案 为：1.15.在 棱 长 为 2 的 正 方 体/8C。-4 8 c A 中，E 是 8 的 中 点，尸 是 C G 上 的 动 点,接 球 表 面 积 的 最 小 值 为 一.【答 案】13万【详 解】连 结 N E,取 N E 中 点 G,设 点 尸 到 C 的 距 离 CF=7,连 结 EF,过 G 作 G。垂 直 平 面/8CZ),设 G0=N,0 为 三 棱 锥 A-D E F 的 外 接 球 的 球 心，以。为 原 点，分

29、别 以 A4,D C,。所 在 直 线 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 工(2,0,0),(0,1,0),0(1,；,n),F(0,2,m),则 球 半 径 R=OF=OE=OA,R=Jl+(2_；)2+(加 _十)2=J1+1”2,9 1-+(m-w)2=+n2,得 加 2-2mn+2=0,4 4则=尤 拦 巫 1=应，当 且 仅 当?=0 时 取 等 号.2m 2 m-min=/.三 棱 锥 A-D E F 的 外 接 球 的 表 面 积 最 小 值 为：13S=4TTR=4zr x 二 13乃.4则 三 棱 锥 4-。跖 外 16.已 知 三 棱 锥 0-43C

30、,P 是 面 Z 3 C 内 任 意 一 点，数 列 凡 共 9 项，q=l,+%=2 5，且 满 足方=(%-%)2 方 _3%丽+3(%T+1)灰(2 n 9,eN*),满 足 上 述 条 件 的 数 列 共 有 个.【答 案】70【详 解】因 为 尸 是 面 N 8 C 内 任 意 一 点，所 以 P,A,B,C 四 点 共 面，因 为 丽=(。“-。”7)2苏-3a“砺+3(a_1+1)沅(2 n 9,eN*),所 以(%-I)2-3%+3(4,1+1)=1，即(%-为 一 1)2-3 0-4,_|)+2=0,解 得 a-%=1 或 见-a.I=2,可 转 化 为 组 合 计 数 问 题(1)若%=1+4=5,则 为=9,只 有 1个，(2)若%=1+5=6,则%=11,有 C：C：=16个，(3)若%=1+6=7,则 09=13,有 C；C：=36 个，(4)若%=1+7=8,则%=1 5,有 窃 4=1 6 个,(5)若&=1+8=9,则%=1 7,只 有 1 个，共 70个.故 答 案 为：70.