数学-2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）含答案.pdf

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1、2024 届新高三开学摸底考试卷届新高三开学摸底考试卷（北京北京专用）专用）数数学学（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

2、分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项.1若i i47iz，则复数 z 的虚部为（）A-5B5C7D-72已知集合|240Axx，|lg1Bxx，则AB（）A|2x x B|10 x x C|02xxD|0 x x 或2x 3设5250125(21)xaa xa xa x，则125aaa（）A2B1C1D24设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A内有无数条直线与平行B，垂直于同一个平面C，平行于同一条直线D，垂直于同一条直线5已知双曲线22:142xy的左右焦点分别为12,F F，过1F的直线分别交双曲线的左右两支于,A B两点，且22F ABF BA，则2BF

3、（）A54B2 54C2 5D56记nS为数列 na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：nSn为等差数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7已知函数,1,()sin,1,2x xf xx x则下列结论正确的是（）A0 xR，00()()fxf x Bx R，()()fxf xC函数()f x在,2 2上单调递增D函数()f x的值域是 1,18在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O的半径为 3，直线1l，2l互相垂直，垂足为(1,5)M，且1l与圆O相交于A，C两点，2l与圆O相交于B，D两点

4、，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A10B12C13D159已知函数()sin()f xx在区间 2,63单调递增，直线6x 和23x 为函数 yf x的图像的两条对称轴，则512f（）A32B12C12D3210随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为211，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为14；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为13记第 n 次推送时不购买此商品的概率为nP，当2n时，nP

5、M恒成立，则 M 的最小值为（）A97132B93132C97120D73120第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11已知点1,5A在抛物线 C：22ypx上，则 A 到 C 的准线的距离为_.12如图，,BC DE是半径为 3 的圆O的两条直径，2BFFO ，则FD FE _13农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为 8 块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_号区域的总产量最大14已

6、知函数 ln0af xxax a，exg xx，若2ex 1,时，f xg x恒成立，则实数a的取值范围是_.15在数列 na中各项均为正数，且211nnnaaa(1,2,3,)n=，给出下列四个结论：对任意的2n，都有1na 数列 na不可能为常数列若102a，则数列 na为递增数列若12a，则当2n时，12naa其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，1sin3B，且_在2222abc，1AB BC ，这两个条件

7、中任选一个，补充在横线中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分(1)求ABC的面积；(2)若2sin sin3AC，求b17 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取 10 名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1 号2 号3 号4 号5 号6 号7 号8 号9 号10 号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于 90 分的概率；(2)为进一步研究这 10 名同学的成绩，从考

8、核成绩小于 90 分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于 90 分的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)记抽取的 10 名学生第一轮测试的平均数和方差分别为211,x s，考核成绩的平均数和方差分别为222,x s，试比较1x与221,xs与22s的大小.（只需写出结论）18如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADCD，/AD BC，2PAADCD，3BC.E为PD的中点，点F在PC上，且12PFFC.(1)求证：平面AEF 平面PCD；(2)求平面AEF与平面AEP所成角的余弦值；(3)若棱BP上一点G，满足2PGGB，求点G到平面AEF的距离.19已知椭圆

9、2222:1(0)xyCabab过点2,1A，长轴长为4 2.(1)求椭圆C的方程及其焦距；(2)直线:l ykxm与椭圆C交于不同的两点,M N，直线,AM AN分别与直线4x 交于点,P Q，O为坐标原点且OPOQ，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.20已知函数 2e(1)axfxx.(1)若1a，求 f x在 0,0f处切线方程；(2)求 f x的极大值与极小值；(3)证明：存在实数M，当0a 时，函数 yfxM有三个零点.21已知A为有限个实数构成的非空集合，设,ijijAAaa a aA，,ijijAAaa a aA，记集合AA和AA其元素个数分别为AA，AA.设 n AAAAA.

10、例如当1,2A时，2,3,4AA，1,0,1AA，AAAA，所以 0n A.(1)若13,5A,，求 n A的值；(2)设A是由 3 个正实数组成的集合且,0AAAAA，证明：n An A 为定值；(3)若 na是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意*Nn，设12,nnAa aa，nnbn A.已知121,2aa，且对任意*N,0nnb，求数列 na的通项公式.2024 届新高三开学摸底考试卷届新高三开学摸底考试卷（北京北京专用）专用）数数学学（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选

11、出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项.1若i i47iz，则复数 z 的虚部为（）A-5B5C7D-7【答案】A【解析】依题意，47ii4i7i75iiz ，故 z 的虚部为-5.故选：A2已知集合|2

12、40Axx，|lg1Bxx，则AB（）A|2x x B|10 x x C|02xxD|0 x x 或2x【答案】C【解析】由已知可得，|2Ax x，解lg1x 可得，010 x，所以|010Bxx，所以，|02ABxx.故选：C.3设5250125(21)xaa xa xa x，则125aaa（）A2B1C1D2【答案】D【解析】令0 x，所以5011a，令1x，所以2515011aaaa，所以1251 12aaa ，故选：D.4设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A内有无数条直线与平行B，垂直于同一个平面C，平行于同一条直线D，垂直于同一条直线【答案】D【解析】对于 A：内有无数条直

13、线与平推不出，只有内所有直线与平行才能推出，故 A 错误；对于 B：，垂直于同一平面，得到或与相交，故 B 错误；对于 C：，平行于同一条直线，得到或与相交，故 C 错误；对于 D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得，故：D 正确故选：D5已知双曲线22:142xy的左右焦点分别为12,F F，过1F的直线分别交双曲线的左右两支于,A B两点，且22F ABF BA，则2BF（）A54B2 54C2 5D5【答案】C【解析】由双曲线22:142xy得出2,2,6abc.因为22F ABF BA，所以22F AF B.作2F CAB于 C，则 C 是 AB 的中点.设22

14、F AF Bx，则由双曲线的定义211222,F AF Aa FBF Ba，可得114,4,8F AxFBxAB.故2124cosCBBFxFBF，又由余弦定理得222221cos42 644244FBFxxxxxxxx，所以24444xxxxx，解得2 5x.故选：C6记nS为数列 na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：nSn为等差数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】方法 1，甲：na为等差数列，设其首项为1a，公差为d，则1111(1)1,222212nnnnSSSn n

15、ndddSnadadnannn，因此nSn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：nSn为等差数列，即111(1)1(1)(1)nnnnnnSSnSnSnaSnnn nn n为常数，设为t，即1(1)nnnaStn n，则1(1)nnSnat n n，有1(1)(1),2nnSnat n nn，两式相减得：1(1)2nnnananatn，即12nnaat，对1n 也成立，因此 na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法 2，甲：na为等差数列，设数列 na的首项1a，公差为d，即1(1)2nn nSnad，则11(1)222nSnddadnan，因此nSn为等差

16、数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：nSn为等差数列，即11,(1)1nnnSSSDSnDnnn，即1(1)nSnSn nD，11(1)(1)(2)nSnSnnD，当2n时，上两式相减得：112(1)nnSSSnD，当1n 时，上式成立，于是12(1)naanD，又11122(1)2nnaaanDanDD为常数，因此 na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7已知函数,1,()sin,1,2x xf xx x则下列结论正确的是（）A0 xR，00()()fxf x Bx R，()()fxf xC函数()f x在,2 2上单调递增D函数()f x的值域是 1,1【答案】

17、D【解析】作出函数()f x的图象，由图可知函数()f x是奇函数，即对x R，()()fxf x，故A错误；当2x 时，满足(2)(2)0ff，此时x R，()()fxf x不成立，故B项错误；函数()f x在,12上是减函数，在(1,1)上是增函数，在1,2上是减函数，故C项错误；函数()f x的值域是 1,1，故D项正确故选D8在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O的半径为 3，直线1l，2l互相垂直，垂足为(1,5)M，且1l与圆O相交于A，C两点，2l与圆O相交于B，D两点，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A10B12C13D15【答案】B【解析】设圆心到直线1l的距离为1d

18、，圆心到直线2l的距离为2d，直线1l，2l互相垂直，垂足为(1,5)M，22212|6ddOM，212 9ACd，222 9BDd，2222121212 9999186122ABCDSACBDdddd故选：B9已知函数()sin()f xx在区间 2,63单调递增，直线6x 和23x 为函数 yf x的图像的两条对称轴，则512f（）A32B12C12D32【答案】D【解析】因为()sin()f xx在区间 2,63单调递增，所以22362T，且0，则T，22wT，当6x 时，f x取得最小值，则22 62k，Zk，则52 6k，Zk，不妨取0k，则 5sin 26fxx，则553sin12

19、32f，故选：D.10随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为211，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为14；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为13记第 n 次推送时不购买此商品的概率为nP，当2n时，nPM恒成立，则 M 的最小值为（）A97132B93132C97120D73120【答案】A【解析】由题意知，根据第1n次推送时购买、没有购买两种情况，写出第 n 次推送时没有购买的概率第 n 次（

20、2n）推送时不购买此商品的概率()1113212143123nnnnPPPP-=+-=+，所以1818111211nnPP-骣琪-=-琪桫，由题意知1911P=，则1811111P-=，所以811nP禳镲-睚镲铪是首项为111、公比为112的等比数列，所以18111111 12nnP-=，即181111 11 12nnP-=+显然数列 nP递减，所以当2n时，28119711 11 12132nPP=+=，所以 M 的最小值为97132故选:A第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11已

21、知点1,5A在抛物线 C：22ypx上，则 A 到 C 的准线的距离为_.【答案】94【解析】由题意可得：2521p，则25p，抛物线的方程为25yx，准线方程为54x ，点A到C的准线的距离为59144.故答案为：94.12如图，,BC DE是半径为 3 的圆O的两条直径，2BFFO ，则FD FE _【答案】8【解析】由题意可得，1FO ，3OD,()()FD FEFOODFOOEFOODFOOD 228FOOD ,故答案为:8.13农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为 8 块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

22、根据上表所提供信息，第_号区域的总产量最大【答案】5【解析】设区域代号为x，种植密度为1y，单株产量为2y，则1,2,3,4,5,6,7,8x，由图象可得种植密度1y是区域代号x的一次函数，故设1ykxb，1,2,3,4,5,6,7,8x，由已知函数1ykxb的图象经过点1,2.4,8,4.5，所以2.44.58kbkb，解得0.32.1kb，所以10.32.1yx，由图象可得单株产量2y是区域代号x的一次函数，故可设2ymxn，1,2,3,4,5,6,7,8x，观察图象可得当1x 时，21.28y，当8x 时，20.72y，所以1.280.728mnmn，解得0.081.36mn，所以20.

23、081.36yx，所以总产量 0.32.10.081.360.024m xxx 210119xx当5x 时，函数 m x有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456.故答案为：5.14已知函数 ln0af xxax a，exg xx，若2ex 1,时，f xg x恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】0,e【解析】exg xx，则 e1xgx，则0 x 时，e10 xgx，g x单调递增.2ex 1,时，f xg x恒成立，即lneaxxaxx恒成立，则lnelneaxaxxx在21,e上恒成立，则lnaxx即lnxax在21,e上恒成立，令()lnxk xx，2ex 1,，则2ln1

24、()lnxk xx则当1,ex时，()0k x，()k x单调递减；当2e,ex时，()0k x，()k x单调递增.则当ex时()k x取得最小值e(e)elnek，则ea 则实数a的取值范围是0,e故答案为：0,e15在数列 na中各项均为正数，且211nnnaaa(1,2,3,)n=，给出下列四个结论：对任意的2n，都有1na 数列 na不可能为常数列若102a，则数列 na为递增数列若12a，则当2n时，12naa其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】对于，在数列 na中，211nnnaaa，则111nnnaaa，又对于任意的Nn都有0na，则110na，即11na，即对于任意的

25、2n，都有1na，故项正确；对于，不妨设数列 na可能为常数列，则1nnaa，又211nnnaaa，则2nnnaaa，则2na，即12a 时，数列 na为常数列，故项错误；对于，2111112(2)nnnnnnaaaaaa又102a，则22202aa，即212a，同理，当2n，都有2na，即2111112(2)0nnnnnnaaaaaa，即1nnaa，即数列 na为递增数列，故项正确；对于，12a，则2222aa，即22a，同理，当2n，都有2na，又2111112(2)0nnnnnnaaaaaa，即数列 na为递减数列，即当2n时，12naa，故项正确.故答案为：.三、解答题共三、解答题共

26、6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，1sin3B，且_在2222abc，1AB BC ，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分(1)求ABC的面积；(2)若2sin sin3AC，求b【解析】（1）若选:因为2222abc，由余弦定理得222cos2acbBac，整理得cos1acB，则cos0B，又1sin3B，则212 2cos133B，13 2cos4acB，则12sin28ABCSacB；若选:因为10AB

27、BC ，即cos0AB BCacB ，则cos0B，又1sin3B，则212 2cos133B，又cosAB BCacB ，得13 2cos4acB，则12sin28ABCSacB；（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，则223 294sinsinsinsin sin423bacacBACAC，则3sin2bB，31sin22bB17 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取 10 名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1 号2 号3 号4 号5 号6 号7 号8 号9 号10 号第一轮测试成绩968988

28、88929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于 90 分的概率；(2)为进一步研究这 10 名同学的成绩，从考核成绩小于 90 分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于 90 分的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)记抽取的 10 名学生第一轮测试的平均数和方差分别为211,x s，考核成绩的平均数和方差分别为222,x s，试比较1x与221,xs与22s的大小.（只需写出结论）【解析】（1）这 10 名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89.5，88，90

29、，89，91.5，91，90.5，91其中大于 90 分的有 1 号、7 号、8 号、9 号、10 号，共 5 人,所以样本中学生考核成绩大于 90 分的频率是50.510.从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于 90 分的概率为 0.5；（2）由题知，考核成绩小于 90 分的学生共 4 人，其中两轮测试至少有一次大于 90 分学生有 2人.所以X可取 0,1,2，则022224C C10C6P X，112224C C21C3P X，202224C C12C6P X，所以X的分布列为X012P162316所以1210121636E X ；（3）由题可得119689888892

30、91 8790929090.310 x，219389.589.588908991.59190.59190.310 x，2222119690.38990.39090.36.2110s2222219390.389.590.391 90.31.8110s，所以12xx；2212ss.18如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADCD，/AD BC，2PAADCD，3BC.E为PD的中点，点F在PC上，且12PFFC.(1)求证：平面AEF 平面PCD；(2)求平面AEF与平面AEP所成角的余弦值；(3)若棱BP上一点G，满足2PGGB，求点G到平面AEF的距离.【解析】（1）如图，以D为原

31、点，分别以DA，DC为x轴，y轴，过D作AP平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则0,0,0D，2,0,0A，0,2,0C，2,0,2P，1,0,1E，3,2,0B，所以0,2,0DC，2,2,2PC ，因为12PFFC，所以13PFPC ，所以 14 2 42,2,22,0,2,33 3 3DF，即4 2 4,3 3 3F，所以2 2 4,3 3 3AF，1,0,1AE ，设平面AEF的法向量为,nx y z，则22403330n AFxyzn AExz ，令1xz，则1y ，所以1,1,1n，平面PCD的法向量为,ma b c，则202220m DCbn PCabc ，令1a，则1c ，所以

32、1,0,1m，所以1 1 01110n m ，所以nm，所以平面AEF 平面PCD.（2）易知平面AEP的一个法向量0,1,0u，设平面AEF与平面AEP所成角为，则13cos33n un u，所以平面AEF与平面AEP所成角的余弦值为33.（3）因为棱BP上一点G，满足2PGGB，所以23PGPB，所以222 4 20,0,21,2,2,333 3 3AGAPPGAPPB ，所以点G到平面AEF的距离24211133303n AGdn .19已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点2,1A，长轴长为4 2.(1)求椭圆C的方程及其焦距；(2)直线:l ykxm与椭圆C交于不同的两点,M

33、N，直线,AM AN分别与直线4x 交于点,P Q，O为坐标原点且OPOQ，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）由题得2224 2,411aab2 2,2,6abc，所以椭圆C的方程为22182xy，焦距为22 6c.（2）如图，直线:l ykxm与椭圆方程22182xy联立，化简得222(41)8480kxkmxm，2212816320km，即22820km.设1(M x,1)y，2(N x,2)y，则122841kmxxk，21224841mx xk直线MA的方程为1111(2)2yyxx，则112(1)(4,1)2yPx，直线NA的方程为2211(2)2yyxx，则222(

34、1)(4,1)2yQx，因为OPOQ，所以112(1)12yx+222(1)12yx=0，所以121211122kxmkxmxx，所以1212(21)(23)()480kxxkmxxm，把韦达定理代入整理得(21)(4)0,21mkmkmk或4mk，当21mk时，直线方程为21,1(2)ykxkyk x ，过定点(2,1)，即点A，不符合题意，所以舍去.当4mk时，直线方程为4ykxk，(4)yk x过定点(4,0).所以直线l经过定点.20已知函数 2e(1)axfxx.(1)若1a，求 f x在 0,0f处切线方程；(2)求 f x的极大值与极小值；(3)证明：存在实数M，当0a 时，函数

35、 yfxM有三个零点.【解析】（1）当1a 时，2e(1)xf xx，2()e(1)xfxx，所以02(0)e(01)1kf ，又02(0)e(0 1)1f，所以切线方程为1(0)yx，即10 xy.（2）2)e(1)2(1e(1)(2)eaxaxaxxxxxafxaa，当0a 时，()2(1)0fxx，解得1x，故1x 时，()0fx，()f x单调递减；1x 时，()0fx，()f x单调递增，故1x 时，()f x的极小值为(1)0f，无极大值；当0a 时，令()0fx，解得11x，221xa，故当21xa 或1x 时，()0fx，()f x单调递增，当211xa时，()0fx，()f

36、x单调递减，故()f x的极大值为2222224e(1)eaafaaa，极小值为(1)0f；当a0时，令()0fx，解得11x，221xa，故当1x 或21xa 时，()0fx，()f x单调递减，当211xa 时，()0fx，()f x单调递增，故()f x的极大值为2222224e(1)eaafaaa，极小值为(1)0f；综上，当0a 时，()f x的极小值为(1)0f，无极大值；当0a 时，()f x的极大值为2224e(1)afaa，极小值为(1)0f.（3）当0a 时，由（2）知，()f x在2(,1)a和(1,)上单调递增，在2(1,1)a上单调递减，且1x 时，210e()axf

37、 xx恒成立，x 时，2e(1)axf xx，又()f x的极大值为2224e(1)afaa，极小值为(1)0f，所以存在实数224e0aMa时，函数 yfxM有三个零点.21已知A为有限个实数构成的非空集合，设,ijijAAaa a aA，,ijijAAaa a aA，记集合AA和AA其元素个数分别为AA，AA.设 n AAAAA.例如当1,2A时，2,3,4AA，1,0,1AA，AAAA，所以 0n A.(1)若13,5A,，求 n A的值；(2)设A是由 3 个正实数组成的集合且,0AAAAA，证明：n An A 为定值；(3)若 na是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意*Nn

38、，设12,nnAa aa，nnbn A.已知121,2aa，且对任意*N,0nnb，求数列 na的通项公式.【解析】（1）当13,5A,时，2,4,6,8,10AA，4,2,0,2,4AA，AAAA，所以 0n A，（2）设,Aa b c，其中0abc，则 00,AAa b c,，n An AAAAAAAAA AAAAAAAA因0222aaabbbcc，2,2,2,abc ab bcacAAU，因AAA，所以2ba，2cb，2ca，cab，又 ,0,2,2,2,AAb caabc ab bcac，0ac，aca，所以4AAAA，因0cbaabc ，0acabbaca，0bccb，0,AAab

39、ac ba cabc cb，,0,AAa babcc ab ac ba cabc cb因2ba，2cb，2ca，cab，所以aba，aca，bcb，acb，0bc，0bc，bcc，bcc 所以6AAAA 2n An A 所以 n An A 为定值.（3）331,2,Aa*3Na，若*334,Naa，则3334122aaa，3333121 121aaaa ,故333331,2,2,2,3,4AaaaA，3333331,02,2,11,1,AaAaaa，此时3333331bn AAAAA，不符合题意，故33a，猜想nan，下面给予证明，当3n 时，显然成立，假设当nk，*Nk 时，都有kak成立，

40、即1,2,3,kAk，此时2,3,4,2kkAAk，1,2,3,0,1,2,1kkAAkkkk，故22 121kkAkAk，11121kkAAkkk ，0kkbn A，符合题意，111,2,kkAk a，*1Nka则 111112,3,4,22,3,kkkkkAAkaaka，111111,2,3,0,1,2,11,2,0,1,1kkkkkAAkkkkaaa，若12kak，1112,3,4,22,3,kkkkaaka的元素个数小于 1111,2,3,0,1,2,11,2,0,1,1kkkkkkkaaa的元素个数则有1111110kkkkkkkkkkkbn AAAAAAAAAn A，不符合题意，故

41、11kak，综上，对于任意的*Nn，都有nan故数列 na的通项公式nan.2022024 4 届新高三开学摸底考试卷（北京专用）届新高三开学摸底考试卷（北京专用）数学数学答案答案及及评分标准评分标准12345678910ACDDCCDBDA1194（5 分）128（5 分）135（5 分）140,e（5 分）1516（1）若选:因为2222abc，由余弦定理得222cos2acbBac，整理得cos1acB，则cos0B，（3 分）又1sin3B，则212 2cos133B，13 2cos4acB，（5 分）则12sin28ABCSacB；（6 分）若选:因为10AB BC ，即cos0AB

42、 BCacB ，则cos0B，（2 分）又1sin3B，则212 2cos133B，又cosAB BCacB ，得13 2cos4acB，（4 分）则12sin28ABCSacB；（6 分）（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，则223 294sinsinsinsin sin423bacacBACAC，（10 分）则3sin2bB，31sin22bB（13 分）17（1）这 10 名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91其中大于 90 分的有 1 号、7 号、8 号、9 号、10 号，共 5 人,（2 分）所以

43、样本中学生考核成绩大于 90 分的频率是50.510.从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于 90 分的概率为 0.5；（4 分）（2）由题知，考核成绩小于 90 分的学生共 4 人，其中两轮测试至少有一次大于 90 分学生有 2人.所以X可取 0,1,2，则022224C C10C6P X，112224C C21C3P X，202224C C12C6P X，（7 分）所以X的分布列为X012P162316所以1210121636E X ；（9 分）（3）由题可得11968988889291 8790929090.310 x，219389.589.588908991.5919

44、0.59190.310 x，2222119690.38990.39090.36.2110s（12 分）2222219390.389.590.391 90.31.8110s，所以12xx；2212ss.（13 分）18（1）如图，以D为原点，分别以DA，DC为x轴，y轴，过D作AP平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则0,0,0D，2,0,0A，0,2,0C，2,0,2P，1,0,1E，3,2,0B，（1 分）所以0,2,0DC，2,2,2PC ，因为12PFFC，所以13PFPC ，所以 14 2 42,2,22,0,2,33 3 3DF，即4 2 4,3 3 3F，所以2 2 4,3 3 3A

45、F ，1,0,1AE ，设平面AEF的法向量为,nx y z，则22403330n AFxyzn AExz ，（3 分）令1xz，则1y ，所以1,1,1n，平面PCD的法向量为,ma b c，则202220m DCbn PCabc ，（5 分）令1a，则1c ，所以1,0,1m，所以1 101110n m ，所以nm，所以平面AEF 平面PCD.（6 分）（2）易知平面AEP的一个法向量0,1,0u，设平面AEF与平面AEP所成角为，则13cos33n un u，所以平面AEF与平面AEP所成角的余弦值为33.（9 分）（3）因为棱BP上一点G，满足2PGGB，所以23PGPB，所以222

46、4 20,0,21,2,2,333 3 3AGAPPGAPPB ，（12 分）所以点G到平面AEF的距离24211133303n AGdn .（14 分）19（1）由题得2224 2,411aab2 2,2,6abc，所以椭圆C的方程为22182xy，焦距为22 6c.（5 分）（2）如图，直线:l ykxm与椭圆方程22182xy联立，化简得222(41)8480kxkmxm，（7 分）2212816320km，即22820km.设1(M x,1)y，2(N x,2)y，则122841kmxxk，21224841mx xk直线MA的方程为1111(2)2yyxx，则112(1)(4,1)2y

47、Px，（9 分）直线NA的方程为2211(2)2yyxx，则222(1)(4,1)2yQx，因为OPOQ，所以112(1)12yx+222(1)12yx=0，（11 分）所以121211122kxmkxmxx，所以1212(21)(23)()480kx xkmxxm，把韦达定理代入整理得(21)(4)0,21mkmkmk或4mk，当21mk时，直线方程为21,1(2)ykxkyk x ，过定点(2,1)，（13 分）即点A，不符合题意，所以舍去.当4mk时，直线方程为4ykxk，(4)yk x过定点(4,0).所以直线l经过定点.（15 分）20（1）当1a 时，2e(1)xf xx，2()e

48、(1)xfxx，所以02(0)e(01)1kf ，（3 分）又02(0)e(0 1)1f，所以切线方程为1(0)yx，即10 xy.（5 分）（2）2)e(1)2(1e(1)(2)eaxaxaxxxxxafxaa，当0a 时，()2(1)0fxx，解得1x，故1x时，()0fx，()f x单调递减；1x 时，()0fx，()f x单调递增，（6 分）故1x 时，()f x的极小值为(1)0f，无极大值；当0a 时，令()0fx，解得11x，221xa，故当21xa 或1x 时，()0fx，()f x单调递增，（7 分）当211xa时，()0fx，()f x单调递减，故()f x的极大值为222

49、2224e(1)eaafaaa，极小值为(1)0f；当a0时，令()0fx，解得11x，221xa，故当1x或21xa 时，()0fx，()f x单调递减，当211xa 时，()0fx，()f x单调递增，故()f x的极大值为2222224e(1)eaafaaa，极小值为(1)0f；（10 分）综上，当0a 时，()f x的极小值为(1)0f，无极大值；当0a 时，()f x的极大值为2224e(1)afaa，极小值为(1)0f.（11 分）（3）当0a 时，由（2）知，()f x在2(,1)a和(1,)上单调递增，在2(1,1)a上单调递减，且1x时，210e()axf xx恒成立，（12

50、 分）x 时，2e(1)axf xx，又()f x的极大值为2224e(1)afaa，极小值为(1)0f，所以存在实数224e0aMa时，函数 yfxM有三个零点.（15 分）21（1）当13,5A,时，2,4,6,8,10AA，4,2,0,2,4AA，AAAA，所以 0n A，（2 分）（2）设,Aa b c，其中0abc，则 00,AAa b c,，n An AAAAAAAAA AAAAAAAA（4 分）因0222aaabbbcc，2,2,2,abc ab bcacAAU，因AAA，所以2ba，2cb，2ca，cab，又 ,0,2,2,2,AAb caabc ab bcac，0ac，aca