理科数学02-2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）含答案.pdf

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1、2024 届新高三开学摸底考试卷（全国卷）理科数学 02（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知集合N12Axx，2,3

2、,4B，则AB（）A1,0,1,2,3,4B0,1,2,3,4C2,3D1,2,3,42若11 iz ，21(2i)zz，则2z（）A10B2C2D103已知函数 222log2,23,2xxxf xx，则 30log 36ff（）A4B5C6D74足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁 4 名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外 3 人中的 1 人，接球者再等可能地传给另外 3 人中的 1 人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，若第 4 次传球后，球又恰好回到甲脚下，则不同的传球方法为（）A18 种B21 种C27 种D45 种5“埃拉托

3、塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2 和 2 以上的自然数，留下第一个数 2 不动，剔除掉所有 2 的倍数；接着，在剩余的数中 2 后面的一个数 3 不动，剔除掉所有 3 的倍数；接下来，再在剩余的数中对 3 后面的一个数 5 作同样处理；，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选 2 到 20 的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A130B132C134D1416 已知函数 212cos06f xx 的最小正周期为 T，且243T，若 fx的图象关于直线6x 对称，则8f（）A32B12C32D127在三角形ABC中，

4、7,8,9,ABBCACAM和AN分别是BC边上的高和中线，则MN BC （）A14B15C16D178 平行四边形ABCD中，点M在边AB上，3AMMB，记,CAa CMb ，则AD（）A4733abB2433baC7433baD1433ab9贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作 3 个几何体的组合体，上面的几何体是直棱柱，中间的几何体是棱台，下面的几何体也是棱台，几何体的下底面与几何体的底面是全等的六边形，几何体的上底面面积是下底面面积的 4 倍，若几何体、的高之比分别为3:3:5，则几何

5、体、的体积之比为（）A3:6:10B3:9:25C3:21:35D9:21:3510 已知过双曲线C：222210,0 xyabab的右焦点,0F c作x轴的垂线与两条渐近线交于A，B，OAB的面积为233c，则该双曲线的离心率为（）A2 33B32C2D4311 已知直线:30l xy上的两点,A B，且1AB，点P为圆22:230D xyx上任一点，则PAB的面积的最大值为（）A21B2 22C21D2 2212 已知 fx是函数 yf xxR的导函数，对于任意的xR都有 1fxf x，且 02023f，则不等式 ee2022xxfx 的解集是（）A2022,B,02023,C,00,UD

6、0,第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13某机器生产的产品质量误差1,4,XNt是1,2,4,5,7,8,12,15,18,23的第 60 个百分位数，则35PXt _.附：若2,XN，则0.6827PX，220.9545,330.9973.PXPX14设0a，1b，若2ab，则911ab取最小值时 a 的值为_15设抛物线C：22ypx（0p）焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B 设(20)Cp，AF与BC相交于D 若|CFAF，且ACD的面积为9 22，则抛物线的方程为_.16如图，在三棱锥PABC中，,1,2,43APBBPCP

7、CPBPA，若该三棱锥的外接球表面积为24，则锐二面角APBC的平面角的正切值为_.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17已知数列 na和 nb满足11113,2,2,2nnnnnnabaab bab(1)证明：nnab和nnab都是等比数列；(2)求n na b的前n项和nS18如图，四边形ABCD为菱形，ED 平面ABCD，FBED，22 2BDEDFB.(1)证明：平面EAC 平面FAC；(2)若60BAD，求二面角FAEC的大小.19某购物中心准备进行扩大规模，在制定

8、末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加 10 分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据(1)求购物中心得分为 50 分的概率；(2)若已知购物中心得分为 50 分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？(3)列出该购物中心得到满意的

9、个数 X 的分布列，并求得分的数学期望20已知椭圆 C：222210 xyabab的左、右顶点分别为2 2,0A，2 2,0B，右焦点为2F，O 为坐标原点，OB 的中点为 D（D 在2F的左方），222DF(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过点 D 且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分别是1k，2k，试问12k k是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由21已知函数23()ln2af xxxx.(1)若0a，求()f x在点(1,(1)f处的切线方程；(2)若1212,x xxx是()f x的两个极值点，证明：121232f xf xx

10、xa.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，曲线1C的极坐标方程为1sin032，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为2cos2sinxy（为参数）.(1)写出1C的直角坐标方程和2C的普通方程；(2)已知点0,1P，1C与2C相交于A，B两点，求11PAPB的值.23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 322fxxxx.(1)求 fx的最小值m；(2)若,a b为正实数，且20abm，证明不等式22111abba.请在各题目的答题

11、区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（全国卷）数学答题卡姓名：请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D9 A B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13_14_15_16_三、解答题（共 70 分，解答应写出

12、文字说明、证明过程或演算步骤）17（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18（12 分）19（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！准考证号0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789贴条形码区注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或

13、圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂缺考标记请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21（12 分）（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。我所选择的题号是 22 23 请

14、在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（全国卷）理科数学 02全解全析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知集合N12Axx，2,3,4B，则AB（）A1,0,1,2,3,4B0,1,2,3,4C2,3D1,2,3,4【答案】B【详解】由12x，可得212x ，所以13x，所以N12N130,1,2,3Axxxx，又2,3,4B，所以0,1,2,3,4AB.故选：B.2若11 iz ，21(2i

15、)zz，则2z（）A10B2C2D10【答案】A【详解】21(2i)(1 i)(2i)3izz，所以2223(1)10z，故选：A3已知函数 222log2,23,2xxxf xx，则 30log 36ff（）A4B5C6D7【答案】D【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.【详解】由题意可得 3log 36 2320log 362log 23ff336log922log 23362 179，故选：D.4足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁 4 名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外 3 人中的 1 人，接球者再等可能地传给另外

16、3 人中的 1 人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，若第 4 次传球后，球又恰好回到甲脚下，则不同的传球方法为（）A18 种B21 种C27 种D45 种【答案】B【分析】根据题意分为两种情况讨论：第一次甲将球传给其余三人，第二次将球传给甲，第三次甲再传给其余三人，第四次再将球传给甲；第一次甲将球传给其余三人，第二次将球传给甲之外的 2 人，第三次依然将球传给除甲之外的 2 人，第四次再将球传给甲，结合分类计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分为两种情况讨论：第一次甲将球传给其余三人，有13C3种情况，第二次将球传给甲，第三次甲再传给其余三人，有13C3种情况，第四次再将球传给甲，此时共

17、有3 39 种情况；第一次甲将球传给其余三人，有13C3种情况，第二次将球传给甲之外的 2 人，有12C2种情况，第三次依然将球传给除甲之外的 2 人，有12C2种情况，第四次再将球传给甲，有 1 中情况，此时共有32212种情况，由分类计算原理可得，第四次传球后，求又回到甲的脚下的传球方式，共有9 1221种.故选：B.5“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2 和 2 以上的自然数，留下第一个数 2 不动，剔除掉所有 2 的倍数；接着，在剩余的数中 2 后面的一个数 3 不动，剔除掉所有 3 的倍数；接下来，再在剩余的数中对 3 后面的一个数 5 作同

18、样处理；，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选 2 到 20 的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A130B132C134D141【答案】B【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.【详解】由题可知，2 到 20 的全部整数和为1192202092S，2 到 20 的全部素数和为22357 11 13 17 1977S ，所以挑选 2 到 20 的全部素数过程中剔除的所有数的和为20977132.故选：B.6 已知函数 212cos06f xx 的最小正周期为 T，且243T，若 fx的图象关于直线6x 对称，则8f（）A32B12C32D1

19、2【答案】A【分析】运用二倍角公式化简()f x，结合243T与 fx的对称性求得的值，进而求得结果.【详解】因为 212coscos 263f xxx ，所以22T又因为243T，所以243，即342，又因为 fx的图象关于直线6x 对称，所以263k，Zk所以31k，Zk，所以由得2，所以 cos 43f xx，故3cos8232f 故选：A.7在三角形ABC中，7,8,9,ABBCACAM和AN分别是BC边上的高和中线，则MN BC （）A14B15C16D17【答案】C【分析】将,AB AC 作为基底，用基底表示MN 和BC，根据数量积的规则计算即可.【详解】设,ABa ACb BMB

20、C ，则有11AMABBCABACABABBCab ，由余弦定理得22222279811cos22 7 921ABACBCBACAB AC，22,0,10,1210AMBCAM BCabbaa bab ，其中11cos633321a ba bBAC ，2249,81ab，解得14，2111,16244BNBCMNBNBMBC MN BCBC ；故选：C.8 平行四边形ABCD中，点M在边AB上，3AMMB，记,CAa CMb ，则AD（）A4733abB2433baC7433baD1433ab【答案】D【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.【详解】在ABCDY中，3AMMB，

21、,CAa CMb ，所以1114()3333ADBCBMMCMACMCACMCMab .故选：D9贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作 3 个几何体的组合体，上面的几何体是直棱柱，中间的几何体是棱台，下面的几何体也是棱台，几何体的下底面与几何体的底面是全等的六边形，几何体的上底面面积是下底面面积的 4 倍，若几何体、的高之比分别为3:3:5，则几何体、的体积之比为（）A3:6:10B3:9:25C3:21:35D9:21:35【答案】D【分析】设上面的六棱柱的底面面积为 S，高为3m，根据棱柱

22、和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.【详解】设上面的六棱柱的底面面积为 S，高为3m，由上到下的三个几何体体积分别记为123,V V V，则13VmS，22144373VSSSmmS，2313544533VSSSmmS，所以12335:3:7:9:21:353V VVmSmSmS故选：D10 已知过双曲线C：222210,0 xyabab的右焦点,0F c作x轴的垂线与两条渐近线交于A，B，OAB的面积为233c，则该双曲线的离心率为（）A2 33B32C2D43【答案】A【分析】先结合双曲线的渐近线方程求出2bcABa，再根据三角形面积公式得到33ba即可.【详解】由题知，双曲线的渐近线

23、为byxa，得,bcA ca，,bcB ca，2bcABa，21123223AOBbccSOFABca，33ba2232 31133cbeaa，故选：A.11 已知直线:30l xy上的两点,A B，且1AB，点P为圆22:230D xyx上任一点，则PAB的面积的最大值为（）A21B2 22C21D2 22【答案】A【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为PAB的高，再由面积公式求解即可.【详解】把圆22:230D xyx变形为22(1)4xy，则圆心1,0D，半径2r，圆心D到直线:30l xy的距离22132 211d，则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为2 22dr，又1AB，PA

24、B的面积的最大值为12 221212 故选：A12 已知 fx是函数 yf xxR的导函数，对于任意的xR都有 1fxf x，且 02023f，则不等式 ee2022xxfx 的解集是（）A2022,B,02023,C,00,UD0,【答案】D【分析】法一、构造常函数 2023f x 计算即可；法二、构造 eexxg xf x，利用条件判断其单调性解不等式即可.【详解】法一：构造特殊函数.令 2023f x，则 20231fxf x满足题目条件，把 2023f x 代入 ee2022xxfx 得2023ee2022xx解得0 x，故选：D.法二：构造辅助函数.令 eexxg xf x，则 e1

25、0 xgxfxfx，所以 g x在R上单调递增，又因为 0012022gf，所以 ee20220 xxfxg xg，所以0 x，故选：D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13某机器生产的产品质量误差1,4,XNt是1,2,4,5,7,8,12,15,18,23的第 60 个百分位数，则35PXt _.附：若2,XN，则0.6827PX，220.9545,330.9973.PXPX【答案】0.9545【分析】先根据百分位数的求法得 t，然后根据正态分布概率公式可得.【详解】因为10 60%6，所以8 12102t，由1,4XN可知1,2所以3535220.9545PXt

26、PXPX .故答案为：0.954514设0a，1b，若2ab，则911ab取最小值时 a 的值为_【答案】34/0.75【分析】根据题意可得10b、11ab，结合基本不等式中“1”的用法计算即可求解.【详解】由0a，1b，得10b，由2ab，得11ab，91919191110102161111bbaaababababab，当且仅当911baab即34a，54b 时等号成立.故当34a，54b 时911ab取得最小值 16.故答案为：34.15设抛物线C：22ypx（0p）焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B 设(20)Cp，AF与BC相交于D 若|CFAF，且A

27、CD的面积为9 22，则抛物线的方程为_.【答案】24 3yx【分析】由抛物线定义可得四边形ABFC为平行四边形，故3|2pAB 可得点(,2)A pp即得抛物线方程.【详解】如图所示，(,0)2pF，2,0Cp所以3|2pCF/ABx轴，|CFAF，|ABAF，CFAB所以四边形ABFC为平行四边形，3|2pCFAB，|CDBD322Appx，解得Axp，代入22ypx可取2Ayp，11139 2222222ACDABCpSSp，解得2 3p 24 3yx.故答案为：24 3yx.16如图，在三棱锥PABC中，,1,2,43APBBPCPCPBPA，若该三棱锥的外接球表面积为24，则锐二面角

28、APBC的平面角的正切值为_.【答案】62/162【分析】三棱锥的外接球球心位于过三角形PAB，PBC的外接圆圆心且与此平面垂直的直线上，找到球心再结合锐二面角APBC的平面角的定义进行求解.【详解】如图，因为2244Sr，所以该三棱锥的外接球半径6r，已知,2,43APBPBPA，由余弦定理可得2 3BA，所以BABP，同理可证CBCP.所以,ABPBCP的外接圆圆心12,O O分别位于斜边,PA PB的中点，设球心为O，则1OO 平面PAB，2OO 平面PBC，PA 平面PAB，所以1OOPA，因为16,22PAOPrPO，所以221622OO，同理可证211OOOO，因为1232ABOO

29、，所以1236tan22OOO，设锐二面角APBC的平面角为，因为2OO 平面PBC，所以与21OO O互余，即12OOO，36tan22，故答案为：62.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17已知数列 na和 nb满足11113,2,2,2nnnnnnabaab bab(1)证明：nnab和nnab都是等比数列；(2)求n na b的前n项和nS【答案】(1)证明见解析(2)2591832nnnS【分析】（1）由12nnnaab，12nnnbab两式相加、相减，结合等比数列

30、的定义即可证明；（2）由（1）可得15 3nnnab，1(1)nnnab，即可求出 na和 nb的通项公式，从而得到2225 314nnna b，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.【详解】（1）因为12nnnaab，12nnnbab，所以113nnnnabab，11nnnnabab，又由13a，12b 得111ab，115ab，所以数列nnab是首项为5，公比为3的等比数列，数列nnab是首项为1，公比为1的等比数列（2）由（1）得15 3nnnab，1(1)nnnab，所以115 3(1)2nnna，115 3(1)2nnnb，所以1111225 3(1)5 3(1)25 3122

31、4nnnnnnna b ，所以25918251 941 9432nnnnnS18如图，四边形ABCD为菱形，ED 平面ABCD，FBED，22 2BDEDFB.(1)证明：平面EAC 平面FAC；(2)若60BAD，求二面角FAEC的大小.【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，进而由线段的长度得勾股定理，证明线线垂直，即可得线面垂直证明面面垂直.（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角大小.【详解】（1）设 BD 交 AC 于点 O，连接 EO，FO，因为四边形 ABCD 为菱形，所以ACBD.因为 ED平面 ABCD,AC平面 ABCD，所以A

32、CED.又EDBDD，,ED BD 平面 BDEF，所以AC 平面 BDEF；又EO 平面 BDEF，所以ACEO.设 FB=1，由题意得 ED=2，2 2,2BDDOBO.因为 FB/ED，且ED 面ABCD，则 FB平面 ABCD，而,OB OD 平面 ABCD，故OBFB，ODED，所以223OFOBBF，226EOEDDO=，22813EFBDEDBF=.因为222EFOEOF，所以EOFO.因为OFACO，,OF AC 平面 ACF，所以 EO平面 ACF.又 EO平面 EAC，所以平面 EAC平面 FAC.（2）取 EF 中点 G，连接 OG，所以 OG/ED，OG底面 ABCD.

33、以 O 为原点，以,OA OB OG 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，因为60BAD，由（1）中所设知，2 2ABAD，所以，6OAOC,所以(6,0,0),(0,2,1),(0,2,2),(6,0,0)AFEC.所以(6,2,1)FA ，(6,2,2)EA ，(6,2,2)EC ，设平面 FAE 的一个法向量为(,)mx y z，则06203062202 2m FAxyzxym EAxyzzy ，所以(3,1,2 2)m；平面 AEC 的一个法向量为(,)na b c，则006220206220an ECabcbcn EAabc ，所以(0,2,1)n；所以23 2

34、2cos,233 1(2 2)m n ，由图形可知二面角FAEC的平面角为锐角，所以二面角FAEC的大小为4.19某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加 10 分，最终以总得分作为制定发展策略的参考

35、依据(1)求购物中心得分为 50 分的概率；(2)若已知购物中心得分为 50 分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？(3)列出该购物中心得到满意的个数 X 的分布列，并求得分的数学期望【答案】(1)14(2)16(3)分布列见解析，40【分析】（1）得分为 50 分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，然后按照古典概型的概率进行计算；（2）由条件概率的公式进行计算即可；（3）按求分布列的步骤进行计算，进而可得数学期望.【详解】（1）将得分为 50 分记为事件 A；得分为 50 分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，可能的结果共有：11222122212233233233C

36、C C CC C CC C C54（种）三名顾客产生的反馈结果总共有：324216C（种）则 5412164P A，购物中心得分为 50 分的概率为14（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件 B，则221233324C C C124CP AB，1124164P ABP B AP A，（3）X可能的取值为 2、3、4、5、6211233324C C C1224CP X，11112122212233233233324C C C CC C CC C C134CP X2221112112121123322332233233324C C CC C C CC C C CC C C5412CP X，154P

37、X 222233324C C C1624CP X X23456P12414512141241151123456424412424E X 10X，1040EE X20已知椭圆 C：222210 xyabab的左、右顶点分别为2 2,0A，2 2,0B，右焦点为2F，O 为坐标原点，OB 的中点为 D（D 在2F的左方），222DF(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过点 D 且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分别是1k，2k，试问12k k是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)22184xy(2)12k k是定值，定值为16.

38、【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b，可得椭圆的标准方程；（2）设过点 D 且斜率不为 0 的直线方程为2xty，代入22184xy，设11(,)M x y，22(,)N xy，根据韦达定理得12yy和12y y，再利用斜率公式得12k k，代入12yy和12y y，化简可得1216k k .【详解】（1）依题意，2 2a，(2,0)D，222c，2c，所以222844bac，所以椭圆 C 的标准方程为：22184xy.（2）设过点 D 且斜率不为 0 的直线方程为2xty，联立222184xtyxy，消去x并整理得22(2)2 260tyty，222824(2)32480ttt，设1

39、1(,)M x y，22(,)N xy，则1222 22tyyt，12262y yt，所以1212122 22 2yyk kxx 12123 23 2y ytyty12212123 2()18y yt y yt yy22226262 23 21822tttttt22266121836ttt16.所以12k k为定值16.21已知函数23()ln2af xxxx.(1)若0a，求()f x在点(1,(1)f处的切线方程；(2)若1212,x xxx是()f x的两个极值点，证明：121232f xf xxxa.【答案】(1)250 xy；(2)证明见解析【分析】（1）求导，计算切点处的函数值与导

40、数值，根据点斜式即可求解切线方程；（2）根据极值点的定义，可得12,x x是方程230 xxa的两个不等的正实根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成112221lnxxxxxx，令12(01)xttx，构造函数 1ln(01)h ttttt ，结合导数证明即可.【详解】（1）当0a 时，3()lnf xxx，则22133()xfxxxx，所以3(1)ln131f，21 3(1)21f，所以()f x在点(1,(1)f处的切线方程为321yx，即250 xy（2）证明：由23()ln2af xxxx，可知 2233133axxafxxxxx，因为12,x x（12xx）是 fx的极值点，所以12

41、,x x方程230 xxa的两个不等的正实数根，所以123xx，120 x xa，则1222121211221222121212121233lnln22lnln32aaxxfxfxa xxxxxxxxxxxxxxx xx x1212lnln332xxxxaa要证 121232f xf xxxa成立，只需证1212lnln3xxxxa，即证12121212lnlnxxxxxxx x，即证22121212lnlnxxxxx x，即证112221lnxxxxxx，设12xtx，则01t，即证1lnttt，令 1ln(01)h ttttt ，则 22211110tth tttt ，所以 h t在0,1

42、上单调递减，则 10h th，所以1lnttt，故 121232f xf xxxa（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，曲线1C的极坐标方程为1sin032，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为2cos2sinxy（为参数）.(1)写出1C的直角坐标方程和2C的普通方程；(2)已知点0,1P，1C与2C相交于A，B两点，求11PAPB的值.【答案】(1)曲线1C的直角坐标方程为310 xy，曲线2C的普通方程为224xy；(2)33.【分析】

43、（1）把曲线1C化为sin3 cos10，即得曲线1C的直角坐标方程，把参数方程平方相加得曲线2C的普通方程；（2）求出曲线1C的参数方程，联立曲线1C的参数方程与曲线2C的普通方程得2330tt，再利用直线参数方程t的几何意义求解.【详解】（1）曲线1C的极坐标方程为1sin032，即sin3 cos10，则曲线1C的直角坐标方程为310 xy，把参数方程平方相加得曲线2C的普通方程为224xy.（2）易知点P在直线310 xy 上，且该直线的斜率为3，倾斜角为3，则曲线1C的参数方程为12312xtyt（t为参数），联立曲线1C的参数方程与曲线2C的普通方程得2330tt，设点A，B在直线

44、310 xy 上对应的参数分别为1t，2t，由韦达定理可得123tt，1 23t t ，2112121 21 2111133ttttPAPBttt tt t .23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 322fxxxx.(1)求 fx的最小值m；(2)若,a b为正实数，且20abm，证明不等式22111abba.【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.【详解】（1）由题知 1,021,0125,131,3xxxfxxxx，其函数图象如图所示，所以，mi

45、n1f x.（2）由（1）可知2ab，则 114ab，解法一：利用基本不等式：222211111411abababbaba2222221111214114aabbabababba，当且仅当1ab时取等号.所以，22111abba.解法二：利用柯西不等式：222211111411abababbaba1111411abbaba，当且仅当1ab时取等号.所以，22111abba.2024 届新高三开学摸底考试卷（全国卷）理科数学参考答案 02123456789101112BADBBACDDAAD130.95451434/0.751524 3yx1662/16217(1)证明见解析(2)2591832

46、nnnS【详解】（1）因为12nnnaab，12nnnbab，所以113nnnnabab，11nnnnabab，又由13a，12b 得111ab，115ab，所以数列nnab是首项为5，公比为3的等比数列，数列nnab是首项为1，公比为1的等比数列（2）由（1）得15 3nnnab，1(1)nnnab，所以115 3(1)2nnna，115 3(1)2nnnb，所以1111225 3(1)5 3(1)25 31224nnnnnnna b ，所以25918251 941 9432nnnnnS18(1)证明见解析(2)4【详解】（1）设 BD 交 AC 于点 O，连接 EO，FO，因为四边形 AB

47、CD 为菱形，所以ACBD.因为 ED平面 ABCD,AC平面 ABCD，所以ACED.又EDBDD，,ED BD 平面 BDEF，所以AC 平面 BDEF；又EO 平面 BDEF，所以ACEO.设 FB=1，由题意得 ED=2，2 2,2BDDOBO.因为 FB/ED，且ED 面ABCD，则 FB平面 ABCD，而,OB OD 平面 ABCD，故OBFB，ODED，所以223OFOBBF，226EOEDDO=，22813EFBDEDBF=.因为222EFOEOF，所以EOFO.因为OFACO，,OF AC 平面 ACF，所以 EO平面 ACF.又 EO平面 EAC，所以平面 EAC平面 FA

48、C.（2）取 EF 中点 G，连接 OG，所以 OG/ED，OG底面 ABCD.以 O 为原点，以,OA OB OG 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，因为60BAD，由（1）中所设知，2 2ABAD，所以，6OAOC,所以(6,0,0),(0,2,1),(0,2,2),(6,0,0)AFEC.所以(6,2,1)FA ，(6,2,2)EA ，(6,2,2)EC ，设平面 FAE 的一个法向量为(,)mx y z，则06203062202 2m FAxyzxym EAxyzzy ，所以(3,1,2 2)m；平面 AEC 的一个法向量为(,)na b c，则00622020

49、6220an ECabcbcn EAabc ，所以(0,2,1)n；所以23 22cos,233 1(2 2)m n ，由图形可知二面角FAEC的平面角为锐角，所以二面角FAEC的大小为4.19(1)14(2)16(3)分布列见解析，40【详解】（1）将得分为 50 分记为事件 A；得分为 50 分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，可能的结果共有：11222122212233233233C C C CC C CC C C54（种）三名顾客产生的反馈结果总共有：324216C（种）则 5412164P A，购物中心得分为 50 分的概率为14（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件 B，

50、则221233324C C C124CP AB，1124164P ABP B AP A，（3）X可能的取值为 2、3、4、5、6211233324C C C1224CP X，11112122212233233233324C C C CC C CC C C134CP X2221112112121123322332233233324C C CC C C CC C C CC C C5412CP X，154P X 222233324C C C1624CP X X23456P12414512141241151123456424412424E X 10X，1040EE X20(1)22184xy(2)12