数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）02含答案.pdf

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1、2024 届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）02数数学学本试卷共 22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有

2、一项是符合题目要求的。1已知集合234Ax xx，22xBx，则AB RI（）A1,2B4,C1,4D1,42已知复数z满足1 i11iz，则2iz（）A2B2C5D103“3a”是“函数 f xxa 在区间3,上为减函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A13B25C23D455已知平面向量2,0a，1,3b，向量ab与akb的夹角为6，则k（）A2 或12B3 或13C2 或 0D3 或126已知双曲线222210,0yxabab的上下焦点分别为1F，2F，过1F的直线与

3、双曲线的上支交于 M，N两点，若2MF，MN，2NF成等差数列，且12MFMF，则该双曲线的离心率为（）A103B102C52D627在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABB A内，若1D PCM，则PBC的面积的最小值是()A2 55B510C55D58若函数 22eecosxxf xmx在0,上单调递增，则实数 m 的取值范围为（）A,0Be,2C,1D1,2二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9若函数 yf（x

4、）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数 t，则称函数 yf（x）为“t 型函数”，下列函数中为“2 型函数”的有（）Ayxx3Byx+exCysinxDyx+cosx10下列在(0，2)上的区间能使 cosxsinx 成立的是（）A(0，4)B(4，54)C(54，2)D(4，2)(，54)11已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为 R，若23fx为奇函数，123fx的图象关于 y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A203fB 203ffC 203ffD103f12设数列 na的前 n 项和为nS，且1(1)(1)(1)2,NnnnSnSnn nn

5、n，若150S ，则下列结论正确的有（）A50a B当4n 时，nS取得最小值C当0nS 时，n 的最小值为 7D当5n 时，nnSa取得最小值第卷三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设复数23i 和复数1i在复平面上分别对应点A和点B，则A、B两点间的距离是_14我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有 3 个阴爻，则该重卦可以有_种.(用数字作答)15ABC的外心为O，三个内角ABC，所对的边分别为1825abc AO BCa ac ，4b.则ABC面积的最大值

6、为_.16以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，若PAPBk，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若1122OPOAOB ，则动点P的轨迹为椭圆；抛物线20 xaya的焦点坐标是1,04a；曲线221169xy与曲线2213510 xy（35且10）有相同的焦点.其中真命题的序号为_写出所有真命题的序号.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤17（10 分）在平面直角坐标系xOy中，点21,cos2P在角的终边上，点2sin,1Q在角的终边上，且12OP OQ

7、.(1)求cos2的值；(2)求sin()的值.18（12 分）已知数列an是递增的等比数列，且23141227,aaaa(1)求数列an的通项公式；(2)设 Sn 为数列an的前 n 项和，bn11nnnaS S，求数列bn的前 n 项和 Tn19（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD且2ABCD，其中PAD为等腰直角三角形，4,24APPDAPAB，且平面PAB 平面,PAD DBBA.(1)求AB的长；(2)若平面PAC与平面ACD夹角的余弦值是315，求CD的长.20（12 分）已知圆22:(2)16,2,0,ExyFT是圆E上任意一点，线段FT的垂直平分线与半径ET相交于点

8、Q，当点T运动时，点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点2,0A的直线与曲线C相交于点2 4,3 3H，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与C相交于,M N两点，且ASM的面积是HSN面积的32倍，求直线l的方程21（12 分）已知函数 ln xfxxx，22Rg xxmxm.(1)求函数 fx的极值；(2)证明：当94m 时，f xg x在0,上恒成立.22（12 分）已知 na是单调递增的等差数列，其前n项和为nS.nb是公比为q的等比数列.1142423,abab Sq S.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设1,7nnnnnnna b ncabnaS为奇数为偶数，

9、求数列 nc的前n项和nT.请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）02数 学答题卡姓名：注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂缺考标记贴条形码区准考证号01234567890123456789012345678901

10、23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）9 A B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13_14_15_16_,四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）

11、18（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作

12、答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！22（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）02数数学学本试卷共 22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束

13、后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合234Ax xx，22xBx，则AB RI（）A1,2B4,C1,4D1,4【答案】D【分析】根据题意求集合,A BR，再结合交集运算求解.【详解】由题意可得：2|341,4,221,xAx xxBx R所以1,4ABR.故选：D.2已知复数z满足1 i11iz，则2iz（）A2B2C5D10【答案】B【分析】根据复数的运算可得1iz ，结合共轭复数可得2i1 iz，进而可求模长.【详解】由题意可得：21 i1 i111 i1 i1 i 1 i

14、z ，则2i2i1i1 iz ，所以222i1 i112z.故选：B.3“3a”是“函数 f xxa 在区间3,上为减函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出函数 f xxa 在区间3,上为减函数的a的取值范围，结合与3a 的关系求出答案【详解】f xxa 的图象如图所示，要想函数 f xxa在区间3,上为减函数，必须满足3a，因为 3是3a a 的子集，所以“3a”是“函数 f xxa 在区间3,上为减函数”的充分不必要条件.故选：A4将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A13B25C23D

15、45【答案】C【分析】解法 1：把位置依次标为 1，2，3，4，5，6总的排法是先排 2 个 0，再排 4 个 1，有 1 种排法，2 个 0 不相邻排法是先排 4 个 1，再从 5 个空中选 2 个空插入 2 个 0，然后利用古典概型的概率求解；解法2：先排 4 个 1，再从 5 个空中选 2 个空插入 2 个 0，总排法为 2 个 0 相邻和不相邻，然后利用古典概型的概率求解.【详解】解法 1：把位置依次标为 1，2，3，4，5，6总的排法：先排 2 个 0，有26C15种排法，再排 4 个 1，有 1 种排法，故共有 15 种排法满足题意的排法：先排 4 个 1，有 1 种排法，其间有

16、5 个空，选 2 个空插入 2 个 0，2 个 0 不相邻的排法有25C10种，2 个 0 不相邻的概率为102153，故选：C解法 2：先排 4 个 1，有 1 种排法，其间有 5 个空，选 2 个空插入 2 个 0若 2 个 0 相邻，则将其视为“一个元素”，有15C5种排法；若 2 个 0 不相邻，则有25C10种排法，2 个 0 不相邻的概率为1025 103，故选：C5已知平面向量2,0a，1,3b，向量ab与akb的夹角为6，则k（）A2 或12B3 或13C2 或 0D3 或12【答案】A【分析】利用向量的模的坐标公式求ab，akb，根据数量积的坐标公式求 aakbb，结合夹角公

17、式列方程求k【详解】因为2,0a，1,3b，所以1,3ab，2,3akbkk，所以2ab，2322kaakbkbk，又向量ab与akb的夹角为6，所以 2223cos,22 2 1abakbkab akbabakbkk，所以22520kk，所以2k 或12k，故选：A.6已知双曲线222210,0yxabab的上下焦点分别为1F，2F，过1F的直线与双曲线的上支交于 M，N两点，若2MF，MN，2NF成等差数列，且12MFMF，则该双曲线的离心率为（）A103B102C52D62【答案】B【分析】先根据2MF，MN，2NF成等差数列，并结合双曲线的定义得到4MNa，再设1MFx，在2Rt MN

18、F中利用勾股定理得到xa，进而在12RtFMF中利用勾股定理得到2225ca，从而得到双曲线的离心率.【详解】由双曲线的定义知212MFaMF，212NFaNF，221144MFNFaMFNFaMN，222MFNFMN，4MNa，令1MFx，则14NFax，在2Rt MNF中，22222MFMNNF，222246axaax，解得xa，1MFa，23MFa，所以在12RtFMF中，22232aac，2225ca，102ca.故选：B7在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABB A内，若1D PCM，则PBC的面积的最小值是()A2 55B510C

19、55D5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得0,1,21BPyy，进而结合二次函数性质求得min55BP，利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】以点D为空间直角坐标系的原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则点1,0,1Py zy z，10,0,1D，所以11,1D Py z 因为0,1,0C，11,0,2M，所以11,1,2CM,因为1D PCM ，所以11102yz，所以21zy因为1,1,0B，所以0,1,21BPyy，所以222121562BPyyyy,因为01y，所以当35y 时，min55BP因为正方

20、体中，BC平面11ABB A，BP 平面11ABB A,故BCBP，所以min15512510PBCS，故选：B8若函数 22eecosxxf xmx在0,上单调递增，则实数 m 的取值范围为（）A,0Be,2C,1D1,2【答案】D【分析】根据题意可得 0fx在0,上恒成立，构建 g xfx，结合定点 00g分析运算.【详解】因为 22eecosxxf xmx，则 221eesin2xxfxmx，由题意可得 221eesin02xxfxmx在0,上恒成立，构建 g xfx，则 221eecos4xxgxmx，注意到 00g，则 1002gm，解得12m，若12m，则 2222111eecos

21、2 eecoscos442xxxxgxmxmxmx，当且仅当22eexx，即0 x 时，等号成立，若102m，因为cos1x，则cosmxm，可得 11cos022gxmxm；若0m，因为cos1x ，则cosmxm，可得 11cos022gxmxm；综上所述：当12m 时，0gx在0,上恒成立，则 g x在0,上单调递增，可得 00g xg，符合题意；故实数 m 的取值范围为1,2.故选：D.【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围（2）函数思想法第一步：

22、将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9若函数 yf（x）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数 t，则称函数 yf（x）为“t 型函数”，下列函数中为“2 型函数”的有（）Ayxx3Byx+exCysinxDyx+cosx【答案】CD【分析】首先求函数的导数，结合“t型函数”的定义，判断是否得到相应的点，即得答案.【详解】对于 A，函数的导

23、数 y13x2，由 13x12+13x222，得 3x12+3x220，得 x1x20，故 A 不是“2 型函数”；对于 B，yx+ex 的导数为 y1+ex，可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于 2，故 B 不是“2 型函数”；对于 C，ycosx，由 cosx1+cosx22，得 cosx1cosx21，可取 x10，x22，故 C 是“2 型函数”；对于 D，yx+cosx 的导数为 y1sinx，若 1sinx1+1sinx22，即 sinx1sinx2，此时有无数多个解，故 D 是“2 型函数”故 CD 是“2 函数”故选：CD【点睛】关键点点睛：本小题主要考查对于新定义的概

24、念的理解,考查函数导数的求解公式,.对于新定义题目的求解,主要通过理解新定义中蕴含的新的数学知识,本题中需要切线的斜率之和等于2,故将题目所给函数求导后,利用导数和的大小来确定选项.10下列在(0，2)上的区间能使 cosxsinx 成立的是（）A(0，4)B(4，54)C(54，2)D(4，2)(，54)【答案】AC【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，用图像法解.【详解】在同一平面直角坐标系中画出 y=sinx 和 y=cosx 的图象，在(0，2)上，当 cosxsinx 时，x4或 x54，结合图象可知满足 cosxsinx 的是(0，4)和(54，2).故选：AC【点

25、睛】方法点睛：解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性；(4)三角函数型不等式用图像法.11已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为 R，若23fx为奇函数，123fx的图象关于 y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A203fB 203ffC 203ffD103f【答案】ABD【分析】根据2()3f x为奇函数可得4()()3fxf x，根据1(2)3fx的图象关于 y 轴对称可得2()()3f xfx，两个等式两边同时取导数，可得4()()3fxfx、2()()3fx

26、fx ，对 x 赋值，结合选项即可求解.【详解】因为2()3f x为奇函数，定义域为 R，所以22()()33fxf x ，故4()()3fxf x，等式两边同时取导数，得4()()3fxfx，即4()()3fxfx，因为1(2)3fx的图象关于 y 轴对称，则11(2)(2)33fxfx，故2()()3f xfx，等式两边同时取导数，得2()()3fxfx .由4()()3fxf x，令23x ，得22()()33ff，解得2()03f，由2()()3f xfx，令0 x，得2(0)()3ff，由，令0 x，得2(0)()3ff，令13x=-，得11()()33ff，解得1()03f ，故选

27、：ABD.12设数列 na的前 n 项和为nS，且1(1)(1)(1)2,NnnnSnSnn nnn，若150S ，则下列结论正确的有（）A50a B当4n 时，nS取得最小值C当0nS 时，n 的最小值为 7D当5n 时，nnSa取得最小值【答案】ABD【分析】对于 A，由1(1)(1)(1)2,NnnnSnSnnnnn变形求得111nnSSnnn，利用累加法求得351502nnnS，进而求得233502nnna，求出5a，即可判断；对于 B，判断 na的单调性，即可判断；对于 C，判断 nS单调递增，并计算78,S S的值，即可判断；对于 D，根据na，nS的值的正负以及单调性，判断nnS

28、a的值正负以及单调性，即可判断.【详解】由1(1)(1)(1)2,NnnnSnSnnnnn得112,N1nnSSnnnnn，312121,2,132431nnSSSSSSnnn，累加得，1(1)12(1)122nSSn nnn，故3251502,NnSnnnn，当1n 时，150S 满足上式，351502nnnS，当2n 时，2133502nnnnnaSS，550a，故选项 A 正确；由于函数23250yxx，其图象对称轴为13x，当13x 时函数递增，故当2n 时，233502nnna单调递增，又1122150,22aSaSS ，na单调递增，且1234560aaaaaa，当4n 时，nS单

29、调递减，当5n 时，nS单调递增，且45SS，当4n 时，nS取得最小值，故选项 B 正确；当5n 时，nS单调递增，又3378751 750851 850320,27022SS ，当0nS 时，n 的最小值为 8，故选项 C 错误；当1,2,3,4n 时，0nnSa；当5,6,7n 时，0nnSa；当8n 时，0nnSa，当5,6,7n 时，考虑nnSa的最小值，又当5,6,7n 时，1na恒为正且单调递减，nS恒为负且单调递增，nnSa单调递增，当5n 时，nnSa取得最小值，故选项 D 正确，故选：ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设复数23i 和复数

30、1i在复平面上分别对应点A和点B，则A、B两点间的距离是_【答案】5【分析】根据复数对应的点,应用两点间距离公式求解即可.【详解】复数23i 对应点2,3A,复数1i对应点1,1，则222 13 19 165AB .故答案为：514我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有 3 个阴爻，则该重卦可以有_种.(用数字作答)【答案】20【分析】只需从 6 个位置中选取 3 个位置放置阳爻，则问题得解.【详解】根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，假设有 6 个位置，在其中任选 3 个

31、，安排 3 个“阴爻”，有36C20种情况，即该重卦可以有 20 种情况，故答案为：20.15ABC的外心为O，三个内角ABC，所对的边分别为1825abc AO BCa ac ，4b.则ABC面积的最大值为_.【答案】12【分析】由平面向量的数量积结合已知可得2228,5acbac，再由余弦定理求得cosB,进而求得sinB，由余弦定理及基本不等式求得 ac 的最大值，则ABC面积的最大值可求.【详解】设BC的中点为M，如图所示，ABC的外心为O，则OMBC，0,OM BC AO BCAO BCOM BCAOOMBC 221122AM BCABACACABbc 1825AO BCa ac 2

32、2118225bca ac，整理得2228,5acbac2224cos25acbBac，则3sin5B，又4,b 222882162555bacacacacac，当且仅当2 10ac，等号成立.140sin12.2acSacB，故答案为：12.16以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，若PAPBk，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若1122OPOAOB ，则动点P的轨迹为椭圆；抛物线20 xaya的焦点坐标是1,04a；曲线221169xy与曲线2213510 xy（35且10）有相同的焦点.其中真命题的序号为_写出所有真命题的

33、序号.【答案】【分析】根据双曲线的定义判断，根据相关点法求轨迹方程判断，根据抛物线焦点的求法判断，根据椭圆、双曲线的几何性质判断.【详解】，当kAB时，P点的轨迹不存在，所以错误.，设00,A xyP x y，由于1122OPOAOB ，所以，P是线段AB的中点，所以002,2Bxxyy，设圆O的方程为222xaybr，将B的坐标代入圆O的方程得2220022xxayybr，整理得22200222xaybrxy，这不是椭圆方程，所以错误.，由20 xaya得21yxa，所以抛物线焦点坐标为1,04a，正确.，221169xy表示双曲线，其焦点在x轴上，且1695c.当1035时，2213510

34、 xy可化为2213510 xy，表示双曲线，其焦点在x轴上，且35105c.当10时，2213510 xy表示椭圆，其焦点在x轴上，且35105c.所以正确.故答案为：四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤17在平面直角坐标系xOy中，点21,cos2P在角的终边上，点2sin,1Q在角的终边上，且12OP OQ .(1)求cos2的值；(2)求sin()的值.【答案】(1)13(2)1010【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示结合余弦的二倍角公式即可求解；（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.【详解】（

35、1）由题意可知21,cos2OP，2sin,1OQ，所以2211sincos22OP OQ ，又因为22sincos1，所以22111 coscos22，解得22cos3，所以21cos22cos13.（2）由（1）可知22cos3，21sin3，所以1 2,2 3P，1,13Q，所以由三角函数的定义可得22243sin51223，22132cos51223，2213 10sin10113 ，221103cos10113，所以41033 1010sinsincoscossin51051010 .18已知数列na是递增的等比数列，且23141227,aaaa(1)求数列na的通项公式；(2)设n

36、S为数列na的前 n 项和，11nnnnabS S=，求数列 nb的前 n 项和nT【答案】(1)13nna(2)1133=31nnnT【分析】（1）设该等比数列的公比为 q，由等比数列通项公式结合a是递增的等比数列可得通项公式；（2）由（1）可得312nnS，后可得111nnnbSS，利用裂项相消法可得答案.【详解】（1）根据题意，设该等比数列的公比为 q，若23141227,aaaa，则有211122311312927a qa qa qa qa q或121933a qqa q或13q.又由数列a是递增的等比数列，则3q，则有11a，则数列a的通项公式1113nnnaa q；（2）由（1）可

37、得13nna，则113112nnnaqSq，则1111111nnnnnnnnnnaSSbS SS SSS，则1212231111111nnnnTbbbSSSSSS111111123313131nnnnSS19如图，在四棱锥PABCD中，ABCD且2ABCD，其中PAD为等腰直角三角形，4,24APPDAPAB，且平面PAB 平面,PAD DBBA.(1)求AB的长；(2)若平面PAC与平面ACD夹角的余弦值是315，求CD的长.【答案】(1)2(2)823【分析】（1）根据题目中的垂直条件结合平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理把AB放到一个直角三角形中，从而可求长度.（2）建

38、立空间直角坐标系，求出平面PAC与平面ACD的法向量，利用求平面与平面夹角的方法列式即可求解.【详解】（1）取AP的中点O，则ODAP，又平面PAB 平面PAD，平面PAB平面,PADAP OD平面PAD，DO平面APB，AB 平面APB，DOAB，,DBBA DODBD，,DO DB 平面DOB，AB平面DOB，BO 平面DOB，ABBO，又2,242PABABAO.（2）在平面APB内过O作AP的垂线OM以O为坐标原点，,OP OM OD 正方向为,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则2,0,0,1,1,0,0,0,2,2,0,0ABDP，1,1,0,2,0,2ABAD，设平面D

39、AB的法向量为,na b c，0220AB nabAD nac，取1,1,1n .设(2),0,2,2DCtAB tDCt tACADDCtt，设平面ACP的法向量为,4,0,0mx y zAP，220,0,2,40AC mtxtyzmtAP mx，平面PAC与平面ACD夹角的余弦值是315，223cos,1534m ntm nm nt ，2625240,38230tttt，83t 或32t（舍），823CD.20已知圆22:(2)16,2,0,ExyFT是圆E上任意一点，线段FT的垂直平分线与半径ET相交于点Q，当点T运动时，点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点2,0A的直线与

40、曲线C相交于点2 4,3 3H，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与C相交于,M N两点，且ASM的面积是HSN面积的32倍，求直线l的方程【答案】(1)22142xy(2)14114 yx【分析】（1）根据题意和椭圆的定义即可求解；（2）首先求出直线AH的方程，以及S点的坐标，讨论直线l的斜率存在与否，当斜率存在时，设直线l的方程为11221,ykxM x yN xy，联立解方程组求出12122242,1212kxxx xkk，根据ASM的面积是HSN面积的32倍，化简可以得到212xx，进一步求出斜率，从而得出答案.【详解】（1）因为点Q为线段FT的垂直平分线与半径ET的交点，所以QT

41、QF，所以42 2QEQFQEQTETEF，所以点Q的轨迹是以,E F为焦点，长轴长为 4 的椭圆，在椭圆中2,2,2acb，所以曲线C的方程为22142xy（2）由已知得12 AHk，所以直线AH的方程为122yx，所以S点的坐标为0,1当直线l的斜率不存在时，2121,3ASMHSNSS，或2121,3ASMHSNSS都与已知不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为11221,ykxM x yN xy，由221,421,xyykx得2212420kxkx，易知0，则12122242,1212kxxx xkk，11sin,sin22ASMHSNSASMSASM SHSNSHSN，由ASM

42、的面积是HSN面积的32倍可得23ASMHSNSS，化简得23ASMSHSNS，即23ASNSHSMS，又3AHASxHSx，所以2NSMS，即212xx，也就是212xx，所以211212222222448322,1212121212kkkkxxxx xkkkkk，解得2114k，所以直线l的方程为14114 yx21已知函数 ln xfxxx，22Rg xxmxm.(1)求函数 fx的极值；(2)证明：当94m 时，f xg x在0,上恒成立.【答案】(1)极小值为1，无极大值(2)证明见解析【分析】（1）求得 221 lnxxfxx，令 21 ln,0h xxx x，求得 120hxxx

43、，结合 10h，得到函数 fx的单调性，进而求得极值；（2）由 2ln2xfxg xxxmxx，根据题意，由94m 且0 x，放缩得到 2ln924xfxg xxxxx，令 32132ln,04xxxxx x，求得 x，得出函数 x单调性，结合单调性求得 0 x，得出 0f xg x，即可得证.【详解】（1）解：由函数 ln xfxxx，可得 fx定义域为0,，且 2221 ln1 ln1xxxfxxx ，令 21 ln,0h xxx x，可得 120hxxx，所以 h x单调递增，又因为 10h，所以当0,1x时，0h x，可得 0fx，fx单调递减；当1,x时，0h x，可得()0fx，f

44、x单调递增，所以当1x 时，函数 fx取得极小值，极小值为 11f，无极大值.（2）解：由 2ln2xfxg xxxmxx，因为94m 且0 x，可得3222132lnlnln94224xxxxxxxxmxxxxxxx令 32132ln,04xxxxx x，可得 322213161342(21)(382)32222xxxxxxxxxxxx，因为 0 x，即23820 xx或210 x，又因为方程23820 xx的两根都是负数根（舍去），所以 0 x，可得12x 当1(0,)2x时，0 x，x单调递减；当1(,)2x时，0 x，x单调递增，所以当12x 时，函数 x取得极小值，同时也为 x在0,

45、上的最小值，即1113111()1lnln2lne0281621616，所以 0 x，所以2ln9204xxxxx，所以 2ln20 xfxg xxxmxx，故当94m 时，f xg x在0,恒成立.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

46、法，注意恒成立与存在性问题的区别22已知 na是单调递增的等差数列，其前n项和为nS.nb是公比为q的等比数列.1142423,abab Sq S.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设1,7nnnnnnna b ncabnaS为奇数为偶数，求数列 nc的前n项和nT.【答案】(1)21,3nnnanb(2)211241 39139,16813843 39139,168248nnnnnnnnnTnnnn为奇数为偶数【分析】（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可；（2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解.【详解】（1）设等差数列 na的公差为0d，由题意可得：3

47、331266dqdd q，解得23dq或32dq （舍去），所以132121,3 33nnnnannb.（2）由（1）可得232122nnnSnn，当n为奇数时，则21 3nnnnca bn，设3133 37 321 3nnnAcccn ，则35293 37 321 3nnAn ，两式相减得1235221081 9894 34 34 321 3921 31 9nnnnnAnn 241 392nn，所以241 3916nnnA；当n为偶数时，则21221 321 313372248242282nnnnnnnnnnnabcaSn nnnnn nnnn，设426422413333338 4 62 4

48、6 84 6242nnnnBcccnnn n21398248nnn，所以21398248nnBnn；综上所述：221 3,133,8242nnnnnncnnnn n为奇数为偶数，当n为奇数时，则 1213241nnnnTccccccccc2114139139168138nnnnnABnn；当n为偶数时，则 1213124nnnnTccccccccc1214339139168248nnnnnABnn；综上所述：211241 39139,16813843 39139,168248nnnnnnnnnTnnnn为奇数为偶数2024 届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）届新高三开学摸底考试卷（九省新

49、高考专用）02数学数学答案及评分标准答案及评分标准123456789101112DBACABBDCDACABDABD135142015121617【详解】（1）由题意可知21,cos2OP，2sin,1OQ，所以2211sincos22OP OQ ，（2 分）又因为22sincos1，所以22111 coscos22，解得22cos3，所以21cos22cos13.（4 分）（2）由（1）可知22cos3，21sin3，所以1 2,2 3P，1,13Q，（5 分）所以由三角函数的定义可得22243sin51223，22132cos51223，2213 10sin10113 ，221103cos

50、10113，（8 分）所以41033 1010sinsincoscossin51051010 .（10 分）18【详解】（1）根据题意，设该等比数列的公比为 q，若23141227,aaaa，（2 分）则有211122311312927a qa qa qa qa q或121933a qqa q或13q.（4 分）又由数列a是递增的等比数列，则3q，则有11a，则数列a的通项公式1113nnnaa q；（6 分）（2）由（1）可得13nna，则113112nnnaqSq，则1111111nnnnnnnnnnaSSbS SS SSS，（8 分）则1212231111111nnnnTbbbSSSSS