理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）含答案（三套试卷）.pdf

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1、理科数学理科数学-2024-2024 届新高三开学摸底考试卷届新高三开学摸底考试卷（全国通用）含答案（三套试卷（全国通用）含答案（三套试卷）目目录录1.理科数学 01-2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）含答案2.理科数学 2-2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）含答案3.理科数学 03-2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）含答案2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学理科数学本试卷共 22 题（含选考题）.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定

2、位置上.2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1已知全集1,2,3,4,5,6,1,4,5,6UA,1,2,3,5B,则5（）AUAB BUBACABDAB2复数2i1 iaz 在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数 a 的值为（）A1B2C1D23已知 2022 年第 1 季度农村居民人均消费支出为 4391 元,为本

3、季度农村居民人均可支配收入的 76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A财产净收入占农村居民人均可支配收入的 4%B工资性收入占农村居民人均可支配收入的 40%C经营净收入比转移净收入大约多 659 元D财产净收入约为 173 元4已知ab，是平面内两个非零向量,那么“ab”是“存在0,使得|abab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知3sin375,则2sin8cos532cos8sin53的近似值为（）A34B43C3 24D4 236某个函数的大致图象如图所示,则该函数可

4、能是（）A21cos41xxyxB22sin1xyxC22(ee)1xxyxD32sin1xxyx7在 2023 年 3 月 12 日马来西亚吉隆坡举行的 Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的 9 岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27 个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45之后,表面积增加了（）A54B5436 2C108 72 2D81 72 28设M是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点,P是C上的一个动点当P运动到下顶点时,|PM取得最大值,则C的离心率的取值范围是

5、（）A2,12B20,2C1,12D10,29瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,4ABAC,点(1,3)B,点(4,2)C,且其“欧拉线”与圆222:()(3)Mxayar相切.则圆M上的点到直线30 xy的距离的最小值为（）A2 2B3 2C4 2D610.已知直四棱柱1111ABCDABC D的底面为正方形,12,1AAAB,P为1CC的中点,过,A B P三点作平面,则该四棱柱的外接球被平面截得的截面圆的周长为（）A6B5C2D22211.若直线111ykx与曲线exy

6、 相切,直线211ykx与曲线lnyx相切,则12k k的值为（）A12B1CeD2e12已知函数 fx与()g x的定义域均为R,(1)f x为偶函数,且1(3)()fxg x,1()(1)f xgx,则下面判断错误的是()A fx的图象关于点(2,1)中心对称B fx与 g x均为周期为 4 的周期函数C20221()2022if iD20230()0ig i二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.1353xx的展开式中3x的系数是_.14 某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200 部宣传片的浏

7、览量 X（万次）服从正态分布1.5,0.09N,则该时段内这 200 部宣传片中浏览量在0.9,1.8万次的个数约为_.（参考数据：()0.6827PX,(22)0.9545PX）15如图,四边形ABCD中,AC与BD相交于点 O,AC平分DAB,3ABC,33ABBC,则sinDAB的值_.16已知抛物线24yx的焦点为 F,点,P Q在抛物线上,且满足3PFQ,设弦PQ的中点 M 到 y 轴的距离为d,则1PQd 的最小值为_三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.（一

8、）必考题：共 60 分.17（12 分）如图,四棱锥-P ABCD中,底面 ABCD 为等腰梯形,ABCD,12ADDCAB,且平面PAD 平面 ABCD,PDAD.(1)求证：BDPA；(2)PB与平面ABCD所成的角为30,求二面角-A PB C的正弦值.18.（12 分）设正项数列 na的前n项和为nS,且941nnaS.(1)求数列 na的通项公式；(2)能否从 na中选出以1a为首项,以原次序组成的等比数列121,1mkkkaaak.若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列 nk的前n项和nT；若不能,请说明理由.19.（12 分）人工智能（AI）是一门极富挑

9、战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B两个研究性小组,分别设计和开发不同的 AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P.为测试AI软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将 100 首音乐随机分配给,A B两个小组识别,每首音乐只被一个AI软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,A B两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A组占23；在错误识别的音乐数中,B组占12.（i）请根据以

10、上数据填写下面的22列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii）利用（i）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243PP,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为 16？并求此时12,P P的值.附：22()n adbcabcdacbdK,其中nabcd.20P Kx0.1000.0500.0100.0050.0010 x2.7063.8416.6357.87910.82820.（12 分）已知

11、双曲线:C22210yxbb的左、右焦点分别为1F,2F,A是C的左顶点,C的离心率为 2设过2F的直线l交C的右支于P、Q两点,其中P在第一象限(1)求C的标准方程；(2)若直线AP、AQ分别交直线12x 于M、N两点,证明：22MFNF 为定值；(3)是否存在常数,使得22PF APAF 恒成立？若存在,求出的值；否则,说明理由21.（12 分）已知函数 2111ln22fxxaxbxxx,其中,Ra b.(1)讨论函数 fx的单调性；(2)若函数 fx存在三个零点123,x x x（其中123xxx）.（i）若1a,函数 1ln2g xxx,证明：102bg aaa；（ii）若01a,证

12、明：221313111121138112381aaxxxxaa aa.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中,曲线1C的方程为2240 xyx曲线2C的参数方程为cos1 sinxy（为参数）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线1C和曲线2C的极坐标方程；(2)若射线（0,02）交曲线1C于点 P,直线2R与曲线1C和曲线2C分别交于点 M、N,且点 P、M、N 均异于点 O,求MPN面积的最大值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函

13、数 1g xx的最小值为 m,fxg xx的最小值为 n实数 a,b,c 满足abcm,abcn,ab,0c(1)求 m 和 n；(2)证明：34ab 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学答题卡姓名：请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D9 A

14、 B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13_14_15_16_三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18（12 分）19（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！准考证号0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789贴条形码区注

15、意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂缺考标记请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形

16、边框限定区域的答案无效！21（12 分）选做题选做题（10 分）请考生从给出的 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。我所选择的题号是 22 23 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学理科数学本试卷共 22 题（含选考题）.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等

17、填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1已知全集1,2,3,4,5,6,1,4,5,6UA,1,2,3,5B,则5（）AUAB BUBACABDAB【答案】A【解析】由题设4,6UB,故4,6UBA I,1,4,5,6UBA U,1,2,3,4,5,6AB,1,5AB,所以5UAB,故选

18、A.2复数2i1 iaz 在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数 a 的值为（）A1B2C1D2【答案】B【解析】2i1 i2i22i1i1i1 i22aaaaz ,因为复数 z 对应点在虚轴上,所以202a,解得2a.故选 B.3已知 2022 年第 1 季度农村居民人均消费支出为 4391 元,为本季度农村居民人均可支配收入的 76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A财产净收入占农村居民人均可支配收入的 4%B工资性收入占农村居民人均可支配收入的 40%C经营净收入比转移净收入大约多 659 元D财产净收入约为 173

19、 元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为1 0.440.320.213%,故A错、B错；经营净收入与转移净收入差为57780.320.21636元,故C错误；财产净收入为5778 0.03173元,故 D 正确.故选 D.4已知ab，是平面内两个非零向量,那么“ab”是“存在0,使得|abab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若ab,则存在唯一的实数0,使得ab,故abbbb=+=+,而|ab

20、bbb=+,存在使得成立,所以“ab”是“存在0,使得|abab”的充分条件,若0且|abab,则a与b方向相同,故此时ab,所以“ab”是“存在0,使得|abab”的必要条件,故“ab”是“存在0,使得|abab”的充要条件,故选 C.5已知3sin375,则2sin8cos532cos8sin53的近似值为（）A34B43C3 24D4 23【答案】B【解析】因为3sin375,所以24cos371 sin 375 ,所以2sin8cos532sin8cos5322cos8sin532cos8sin532sin 53sincos53cos 53sinsin4545454535cos45co

21、ssin53cos53454sin 9037cos37453cos 9037sin3735.故选 B.6某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A21cos41xxyxB22sin1xyxC22(ee)1xxyxD32sin1xxyx【答案】B【解析】4 个选项中的函数定义域均为 R,设该函数为 fx,对于 A,2211coscos44,11xxxxf xfxf xfxxx,故21cos41xxyx为奇函数,且 40f,对于 B,222sin2sin,11xxf xfxf xxx 故 f x为奇函数,2sin44017f,对于 C,222(ee)2(ee),11xxxxf xfxf xf

22、xxx,故 f x为偶函数,对于 D,3322sinsin,11xxxxf xfxf xxx，故 f x为奇函数,64 sin44117f,由图知函数为奇函数,故排除 C；由 40f,排除 A,由 41f,排除 D,故选 B7在 2023 年 3 月 12 日马来西亚吉隆坡举行的 Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的 9 岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27 个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45之后,表面积增加了（）A54B5436 2C10872 2D81 72 2【答案】C

23、【解析】如图,转动了45后,此时魔方相对原来魔方多出了 16 个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x,则斜边为2x,则有223xx,得到3 232x,由几何关系得：阴影部分的面积为2113 2279 2(3)2242S,所以增加的面积为1279 21616()10872 242SS.故选 C.8 设M是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点,P是C上的一个动点 当P运动到下顶点时,|PM取得最大值,则C的离心率的取值范围是（）A2,12B20,2C1,12D10,2【答案】B【解析】设00,P xy,0,Mb,因为2200221xyab,222abc,所以222342

24、2222220000022221ycbbPMxybaybyabbbcc,0byb,由题意知当0yb 时,2PM取得最大值,所以32bbc,可得222ac,即212e,则202e故选 B9瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,4ABAC,点(1,3)B,点(4,2)C,且其“欧拉线”与圆222:()(3)Mxayar相切.则圆M上的点到直线30 xy的距离的最小值为（）A2 2B3 2C4 2D6【答案】A【解析】点 D 为 BC 中点,在ABC中,4ABAC,所以BC边上的高线、

25、垂直平分线和中线合一,则ABC的“欧拉线”为AD,因为点1,3B,点4,2C,所以3 1,2 2D,因为直线BC的斜率为3211 4 ,所以 AD 斜率为1,方程为1322yx,即10 xy,因为“欧拉线”与圆222:()(3)Mxayar相切所以圆心(,3)a a到“欧拉线”的距离为|3 1|,22aar r,圆心(,3)a a到直线30 xy的距离为|3 3|3 22aa,所以圆M上的点到直线30 xy的距离的最小值为3 222 2,故选 A.10.已知直四棱柱1111ABCDABC D的底面为正方形,12,1AAAB,P为1CC的中点,过,A B P三点作平面,则该四棱柱的外接球被平面截

26、得的截面圆的周长为（）A6B5C2D222【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCDABC D的外接球的半径2221611222R,如图,取1DD的中点E,连接,AE PE BP,易知四边形ABPE为矩形,且平面即为平面ABPE,分别取11,AA BB的中点,M N,连接,MN NP ME,则易得四边形MNPE为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O即为正方形MNPE的中心,取ME的中点1O,连接1OO,则11/,OOEP OO 平面ABPE,EP平面ABPE,所以1/OO平面ABPE,故球心O到平面APE的距离与1O到平面APE的距离相等,过点1O作1O HAE,垂足为H,易

27、知AB面11AAD D,1O H 面11AAD D,故1ABO H,又AB,AEA AB AE平面ABPE,所以1O H 平面ABPE,又1O H 12sin454O E,所以球心O到平面APE的距离为24,由球的性质知,截面圆的半径r 22162224164RO H,所以截面圆的周长为2222r.故选 D.11.若直线111ykx与曲线exy 相切,直线211ykx与曲线lnyx相切,则12k k的值为（）A12B1CeD2e【答案】B【解析】设直线111ykx与曲线exy 相切于点11,exx,直线211ykx与曲线lnyx相切于点22,lnxx,则11exk,且111e11xkx,所以1

28、1e1xx,221kx,且222ln11xkx,所以22ln1xx,令 lnfxxx,1lnfxx,当10,ex时,0fx,f x单调递减,当1,ex时,()0fx,f x单调递增,且 10f,0,0 xfx,所以当0,1x时,0f x,因为222ln1f xxx,111ee1xxfx,即12e10 xfxf,所以121,e1,xx,所以12=exx,故11221e1xk kx,故选 B.12已知函数 f x与()g x的定义域均为R,(1)f x为偶函数,且1(3)()fxg x,1()(1)f xgx,则下面判断错误的是()A f x的图象关于点(2,1)中心对称B f x与 g x均为周

29、期为 4 的周期函数C20221()2022if iD20230()0ig i【答案】C【解析】因为1f x为偶函数,所以11f xfx,所以 f x的图象关于直线1x 轴对称,因为 11f xgx等价于 11fxg x,又 31fxg x,+得132fxfx,即132fxfx,即 22fxf x,所以 422fxfxfx,故 f x的周期为 4,又 13g xfx,所以 g x的周期也为 4,故选项 B 正确,代入得132fxfx,故 f x的图象关于点2,1中心对称,且 21f,故选项A正确,由 22fxf x,21f可得 01,41ff,且 132ff,故 12344ffff,故2022

30、1()505 4(1)(2)2021(1)if ifff,因为 1f与 3f值不确定,故选项C错误,因为 31fxg x,所以 10,30,013,211gggfgf ,所以 022130ggff,故 01230gggg,故20230()506 00ig i,所以选项D正确,故选C.二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.1353xx的展开式中3x的系数是_.【答案】-15【解析】5555 213C(3)CrrrrrrrTxxx,令523r得1r,所以3x的系数为511(3)C15.14 某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.

31、若统计发现在某一时段内,200 部宣传片的浏览量 X（万次）服从正态分布1.5,0.09N,则该时段内这 200 部宣传片中浏览量在0.9,1.8万次的个数约为_.（参考数据：()0.6827PX,(22)0.9545PX）【答案】164【解析】因为浏览量 X（万次）服从正态分布1.5,0.09N,所以浏览量 X（万次）的均值1.5,方差20.09,0.3,故()(1.21.8)0.6827PXPX,(22)(0.92.1)0.9545PXPX,故1(0.91.8)(1.21.8)(0.92.1)(1.21.8)0.81862PXPXPXPX.故浏览量在0.9,1.8万次的作品个数约为200

32、0.8186164.15如图,四边形ABCD中,AC与BD相交于点 O,AC平分DAB,3ABC,33ABBC,则sinDAB的值_.【答案】5 314【解析】在ABC中,3,13ABCABBC,由余弦定理得2222cosACABBCABBCABC221312 3 172 ,所以7AC.由正弦定理得sinsinBCACBACABC,3sin212sin147BCABCBACAC.即5 7cos14BAC.又因为AC平分DAB,所以5 3sin2sincos14DABBACBAC.16已知抛物线24yx的焦点为 F,点,P Q在抛物线上,且满足3PFQ,设弦PQ的中点 M 到 y 轴的距离为d,

33、则1PQd 的最小值为_【答案】1【解析】由抛物线24yx可得准线方程为=1x,设|,0,|(0)PFa QFb ab,由余弦定理可得22222|2|cosPQPFQFPFQFPFQabab,由抛物线定义可得 P 到准线的距离等于PF,Q 到准线的距离等于|QF,M 为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得 M 到准线=1x的距离为11(|)()22PFQFab,则弦PQ的中点 M 到 y 轴的距离1()12dab,故2222222|()344(1)()()PQababababdabab,又2()0,20,4,ababababab,则222223()()|441(1)()ababPQdab,当且仅

34、当ab时,等号成立,所以1PQd 的最小值为 1.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17（12 分）如图,四棱锥-P ABCD中,底面 ABCD 为等腰梯形,ABCD,12ADDCAB,且平面PAD 平面 ABCD,PDAD.(1)求证：BDPA；(2)PB与平面ABCD所成的角为30,求二面角-A PB C的正弦值.【解析】（1）证明：取 AB 的中点E,连接CE,则由题意知BCE为正三角形,所以60ABC,由等腰梯形知120BCD,设2

35、ADCDBC,则4AB,2 3BD,故222ADBDAB,即得90ADBo,所以ADBD,因为平面PAD 平面ABCD,PDAD,平面PAD 平面ABCDAD,PD 平面 PAD,所以PD 平面ABCD,又BD平面ABCD,所以PDBD,因为ADPDDI,AD,PD 平面PAD,所以BD平面PAD,因为PA 平面PAD,所以BDPA.（2）由（1）得DA,DB,DP两两垂直,以D为坐标原点,DA,DB,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,因为PD 平面ABCD,所以PB平面ABCD所成的角为30PBD,设2ADCDBC,则2 3DB,2PD,则2,0,0A,00 2P,0,2 3

36、,0B,1,3,0C,则2,0,2PA,0,2 3,2PB ,1,3,2PC ,设平面 PAB 的法向量为,mx y z,则00PA mPB m ,即2202 320 xzyz,取3z,则3,1,3m,设平面 PBC 的法向量为,na b c,则00PC nPB n ,即3202 320abcbc,取3c,则3,1,3n ,所以1cos,7m nm nm n ,所以二面角APBC的正弦值为214 3177.18.（12 分）设正项数列 na的前n项和为nS,且941nnaS.(1)求数列 na的通项公式；(2)能否从 na中选出以1a为首项,以原次序组成的等比数列121,1mkkkaaak.若

37、能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列 nk的前n项和nT；若不能,请说明理由.【解析】（1）941nnaS,2428nnnSaa当1n 时,211114284Saaa,即21112800aaa,得14a 或12a （舍去）.由2428nnnSaa,得21114282nnnSaan,得：2211422nnnnnaaaaa,化简得1120nnnnaaaa.因为0na,所以120nnaa,122nnaan,即数列 na是以 4 为首项,2 为公差的等差数列,所以22nannN.（2）存在.当114kaa,238kaa时,会得到数列 na中原次序的一列等比数列121,1mkk

38、kaaak,此时的公比2q=,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列 na中；下面证明此时的公比最小：114kaa,假若2ka取26a,公比为6342,则323492ka为奇数,不可能在数列 na中.所以114 22mmmka.又1222mmkmak,所以21mmk,即 nk的通项公式为12nnkn*N,故1212 122121.212212nnnnTnn .19.（12 分）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B两个研究性小组,分别设计和开发不同的 AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐类别的概

39、率分别为12,P P.为测试AI软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将 100 首音乐随机分配给,A B两个小组识别,每首音乐只被一个AI软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,A B两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A组占23；在错误识别的音乐数中,B组占12.（i）请根据以上数据填写下面的2 2列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii）利用（i）中的数

40、据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243PP,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为 16？并求此时12,P P的值.附：22()n adbcabcdacbdK,其中nabcd.20P Kx0.1000.0500.0100.0050.0010 x2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i）依题意得2 2列联表如下：正确识别错误识别合计A组软件402060B组软件202040合计6040100因为22100(40 2020 20)252.7783.84160 40 60

41、409K,且23.8410.05P K,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii）由（i）得1221,32PP,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C1CCC1CC332322329P；（2）方案二每次测试通过的概率为222212212221122212222122C1CCC1CCPPPPPPPPP1212833PPPP21212833PPPP 2124163927PP,所以当1249PP 时,P取到到最大值1627,又1243PP,此时1223PP,因为每次测试都是独立事件,故n次实验测试通过的次数,XB n P,期望值16E

42、XnP,因为1627p,所以1627162716np所以测试至少 27 次,此时1223PP.20.（12 分）已知双曲线:C22210yxbb的左、右焦点分别为1F,2F,A 是C的左顶点,C的离心率为 2设过2F的直线l交C的右支于P、Q两点,其中P在第一象限(1)求C的标准方程；(2)若直线AP、AQ分别交直线12x 于M、N两点,证明：22MFNF 为定值；(3)是否存在常数,使得22PF APAF 恒成立？若存在,求出的值；否则,说明理由【解析】（1）由题可得1,2caa,故可得2c,则2224 13bca,故C的标准方程为2213yx.（2）由（1）中所求可得点 A,2F的坐标分别

43、为 1,0,2,0,又双曲线渐近线为3yx,显然直线PQ的斜率不为零,故设其方程为2xmy,33m,联立双曲线方程2213yx 可得：22311290mymy,设点,P Q的坐标分别为 1122,x yxy,则121222129,3131myyy ymm,121224431xxm yym,221212122342431mx xm y ym yym；又直线AP方程为：1111yyxx,令12x,则11321yyx,故点M的坐标为111 3,2 21yx；直线AQ方程为：2211yyxx,令12x,则22321yyx,故点N的坐标为221 3,2 21yx；则22MFNF 12123333,221

44、221yyxx 212212122299999313444414413131y ymmx xxxmm9990449故22MFNF 为定值0.（3）当直线PQ斜率不存在时,对曲线22:13yC x,令2x,解得3y ,故点P的坐标为2,3,此时290PF A,在三角形2PF A中,223,3AFPF,故可得245PAF,则存在常数2,使得222PF APAF 成立；当直线PQ斜率存在时,不妨设点P的坐标为,x y,2x,直线2PF的倾斜角为,直线PA的倾斜角为,则2PF A,2PAF,假设存在常数2,使得222PF APAF 成立,即2,则一定有22tantantantan21 tan,也即22

45、21PAPFPAkkk；又22PFykx；22222221211111PAPAyy xkxykxyx；又点P的坐标满足2213yx,则2233yx,故222222121211133PAPAy xy xkkxyxx221212242212y xy xyxxxxx 2PFk；故假设成立,存在实数常数2,使得222PF APAF 成立；综上所述,存在常数2,使得222PF APAF 恒成立.21.（12 分）已知函数 2111ln22fxxaxbxxx,其中,Ra b.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若函数 f x存在三个零点123,x x x（其中123xxx）.（i）若1a,函数 1ln2

46、g xxx,证明：102bg aaa；（ii）若01a,证明：221313111121138112381aaxxxxaa aa.【解析】（1）函数 f x的定义域为 310,xxafxx.若1a 时,01x11xaaxa fx-0+0-f x极小值极大值若1a 时,0fx恒成立,f x单调递减,若01a时0 xaa1ax11x fx-0+0-f x极小值极大值若0a 时,0,1x时,0,fxfx单调递减；1,x时,0,fxfx单调递增.综上所述,当1a 时,0,1,xf x单调递减,1,xaf x单调递增,xaf x单调递减；当1a 时,0,xf x单调递减；当01a时,0,xaf x单调递减

47、,1xa,f x单调递增,1,xf x单调递减；当0a 时,0,1,xf x单调递减,1,xf x单调递增.（2）（i）由（1）知当1a 时,0,1,xf x单调递减,1,xaf x单调递增,xaf x单调递减.所以 f x存在三个零点,只需 0f a 和 10f即可,所以2111ln022aaabaaa且1111ln10122ab,整理得 1ln2bag aa且12ba.此时,11111lnln22222bg aaaaaaaaaa,令 1ln2h aaa,易知 h a在1,上单调递减有 1102h ah,所以 102bg aaa.（ii）由（1）知,当01a时,0,xaf x单调递减,1,x

48、af x单调递增,1,xf x单调递减所以12301xaxx.若 f x存在三个零点,只需 10f和 0f a 即可,所以2111ln022aaabaaa且1111ln10122ab,整理得11ln22abaa,因为 2111ln22aafxxbxxx,设1tx,则方程2111ln022xaxbxxx,即为2111ln022aattxtb记123123111,tttxxx,则123,t t t为方程2111ln022aattttb三个不同的根,设313111xtktxa.要证：221313111121138112381aaxxxxaa aa,即证：21313221138112381aatttt

49、aa aa,即证：21321321138112381aattaa aatt,而21111111ln022aattttb且23333111ln022aattttb,所以22131313lnln102attttatt,所以131313lnln222ttttaatt,即证：21321313lnln2113811381ttaaatta aatt,即证：11323213ln1138110681ttttaattaa,即证：221 ln11381101681kkaakaa,记 1 ln,11kkkkk,则 2112ln0(1)kkkkk,所以 k在1,为增函数,所以 ka所以22221 ln1 ln1138

50、11113811011681681kkaaaaaakaaaaa,设 221 113811ln,016181aaaaaaaaa,则 6543222301412561413010(1)81aaaaaaaa aaa,所以 a在0,1上是增函数,所以 10a所以221 113811ln06181aaaaaaa,即221 ln11381101681aaaaaaa所以若12301,axxx,则221313111121138112381aaxxxxaa aa.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直