文科数学-2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）01含答案.pdf

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1、2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）届新高三开学摸底考试卷（全国通用）文文科数学科数学本试卷共 22 题（含选考题）.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1已知集合20Axx,2,1,

2、0,1B ,则AB（）A 2,1,0,1B 1,0,1C 2,1D 2,1,02复数2i1 iaz 在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数 a 的值为（）A1B2C1D23已知 2022 年第 1 季度农村居民人均消费支出为 4391 元,为本季度农村居民人均可支配收入的 76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A财产净收入占农村居民人均可支配收入的 4%B工资性收入占农村居民人均可支配收入的 40%C经营净收入比转移净收入大约多 659 元D财产净收入约为 173 元4平行四边形ABCD中,点M在边AB上,3AMMB,记,

3、CAa CMb ,则AD（）A4733abB2433baC7433baD1433ab5记nS为等差数列 na的前 n 项和,已知19a ,2410aa,则nS的最小值为（）A25B35C45D556某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A21cos41xxyxB22sin1xyxC22(ee)1xxyxD32sin1xxyx7.已知函数 2e21xfxxx,则 f x的图象在0 x 处的切线方程为（）A410 xy B210 xy C4e20 xyD2e10 xy 8在 2023 年 3 月 12 日马来西亚吉隆坡举行的 Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来

4、自中国的 9 岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27 个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45之后,表面积增加了（）A54B5436 2C108 72 2D81 72 29设M是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点,P是C上的一个动点当P运动到下顶点时,|PM取得最大值,则C的离心率的取值范围是（）A2,12B20,2C1,12D10,210瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,4ABAC,点(1

5、,3)B,点(4,2)C,且其“欧拉线”与圆222:()(3)Mxayar相切.则圆M上的点到直线30 xy的距离的最小值为（）A2 2B3 2C4 2D611.已知直四棱柱1111ABCDABC D的底面为正方形,12,1AAAB,P为1CC的中点,过,A B P三点作平面,则该四棱柱的外接球被平面截得的截面圆的周长为（）A6B5C2D22212已知函数 f x与()g x的定义域均为R,(1)f x为偶函数,且1(3)()fxg x,1()(1)f xgx,则下面判断错误的是()A f x的图象关于点(2,1)中心对称B f x与 g x均为周期为 4 的周期函数C20221()2022i

6、f iD20230()0ig i二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.1313若 x,y 满足约束条件321xyxyx,则2zxy的最大值为_14已知 na是公比为(0)q q)的等比数列,且246,a a a成等差数列,则q _15已知 sin0fxx,若在0,2上恰有两个不相等的实数a、b满足 2f af b,则实数的取值范围是_16 已知抛物线24yx的焦点为 F,点,P Q在抛物线上,且满足3PFQ,设弦PQ的中点 M 到 y 轴的距离为d,则1PQd 的最小值为_三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题

7、考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17（12分）如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,60BAD,AC与BD交于点O,OP 底面 ABCD,3OP,点 E,F 分别是棱 PA,PB 的中点,连接 OE,OF,EF(1)求证：平面/OEF平面 PCD；(2)求三棱锥OPEF的体积18.（12 分）为了检查工厂生产的某产品的质量指标,随机抽取了部分产品进行检测,所得数据统计如下图所示(1)求a的值以及这批产品质量指标的平均值；(2)若按照分层的方法从质量指标值在110,130的产品中随机抽取7件,再从这7件中随机抽取2件,

8、求至少有一件的指标值在120130,的概率；(3)为了调查A B、两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性,以便提高产品的生产效率,质检人员选取了部分被抽查的产品进行了统计,所得数据如下表所示,判断是否有 99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性A机器生产B机器生产优质品20080合格品12080附：2P Kk0.0500.0100.001k3.8116.63510.8282()n adbckabcdacbd19.（12 分）在ABC中,2ABC,点,D E在边BC上,BADDAEEAC 且3BD,5DE.(1)求AB；(2)求AEC的面积.20.（12 分）已知双曲线:C222

9、10yxbb的左、右焦点分别为1F,2F,A是C的左顶点,C的离心率为 2设过2F的直线l交C的右支于P、Q两点,其中P在第一象限(1)求C的标准方程；(2)若直线AP、AQ分别交直线12x 于M、N两点,证明：22MFNF 为定值；(3)是否存在常数,使得22PF APAF 恒成立？若存在,求出的值；否则,说明理由21.（12 分）设函数 21e02xfxaxfx.(1)从下面两个条件中选择一个,求实数a的取值范围；当0 x 时,1fx；f x在R上单调递增.(2)当1a 时,证明：函数 f x有两个极值点1212,x xxx,且21xx随着a的增大而增大.（二）选考题：共 10 分.请考生

10、在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中,曲线1C的方程为2240 xyx曲线2C的参数方程为cos1 sinxy（为参数）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线1C和曲线2C的极坐标方程；(2)若射线（0,02）交曲线1C于点 P,直线2R与曲线1C和曲线2C分别交于点 M、N,且点 P、M、N 均异于点 O,求MPN面积的最大值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 1g xx的最小值为 m,fxg xx的最小值为 n实数 a,b,c 满足abcm,abcn,ab,

11、0c(1)求 m 和 n；(2)证明：34ab请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）文科数学答题卡姓名：请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D9 A B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D二、填空题（每小题 5 分，共 2

12、0 分）13_14_15_16_三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18（12 分）19（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！准考证号0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789贴条形码区注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B

13、 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂缺考标记请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21（12 分）选做题选做题（10 分）请考生从给出的 22、23 两题中任选一题

14、作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。我所选择的题号是 22 23 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（全国通用）届新高三开学摸底考试卷（全国通用）文科数学文科数学本试卷共 22 题（含选考题）.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需

15、改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1已知集合20Axx,2,1,0,1B ,则AB（）A 2,1,0,1B 1,0,1C 2,1D 2,1,0【答案】C【解析】由题意得2,2,1,1,2,1ABAB AB .故选 C.2复数2i1 iaz 在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数 a 的值为（）A1B2C1D2【答案】B【解析】2i1 i2i22i1i1i1 i22aaaaz ,因为复数 z

16、对应点在虚轴上,所以202a,解得2a.故选 B.3已知 2022 年第 1 季度农村居民人均消费支出为 4391 元,为本季度农村居民人均可支配收入的 76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A财产净收入占农村居民人均可支配收入的 4%B工资性收入占农村居民人均可支配收入的 40%C经营净收入比转移净收入大约多 659 元D财产净收入约为 173 元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百

17、分比为1 0.440.320.213%,故A错、B错；经营净收入与转移净收入差为57780.320.21636元,故C错误；财产净收入为5778 0.03173元,故 D 正确.故选 D.4平行四边形ABCD中,点M在边AB上,3AMMB,记,CAa CMb ,则AD（）A4733abB2433baC7433baD1433ab【答案】D【解析】在ABCDY中,3AMMB,CAa CMb ,所以1114()3333ADBCBMMCMACMCACMCMab .故选 D5记nS为等差数列 na的前 n 项和,已知19a ,2410aa,则nS的最小值为（）A25B35C45D55【答案】A【解析】设

18、公差为d,则24(9)(9)310aadd ,2d,22(1)(9)210(5)252nn nSnnnn,所以5n 时,nS取得最小值25故选 A6某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A21cos41xxyxB22sin1xyxC22(ee)1xxyxD32sin1xxyx【答案】B【解析】4 个选项函数定义域均为 R,设该函数为 fx,对于 A,2211coscos44,11xxxxf xfxf xfxxx,故21cos41xxyx为奇函数,且 40f,对于 B,222sin2sin,11xxf xfxf xxx 故 f x为奇函数,2sin44017f,对于 C,222(ee)2

19、(ee),11xxxxf xfxf xfxxx,故 f x为偶函数,对于 D,3322sinsin,11xxxxf xfxf xxx，故 f x为奇函数,64 sin44117f,由图知函数为奇函数,故排除 C；由 40f,排除 A,由 41f,排除 D,故选 B7.已知函数 2e21xf xxx,则 f x的图象在0 x 处的切线方程为（）A410 xy B210 xy C4e20 xyD2e10 xy【答案】B【解析】因为 2e21xf xxx,所以 22e2xfxxx,则 02,01ff,所以 f x的图象在0 x 处的切线方程为120yx,即210 xy.故选 B.8在 2023 年

20、3 月 12 日马来西亚吉隆坡举行的 Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的 9 岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27 个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45之后,表面积增加了（）A54B5436 2C10872 2D81 72 2【答案】C【解析】如图,转动了45后,此时魔方相对原来魔方多出了 16 个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x,则斜边为2x,则有223xx,得到3 232x,由几何关系得：阴影部分的面积为2113 2279 2(3)2242S,所以

21、增加的面积为1279 21616()10872 242SS.故选 C.9 设M是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点,P是C上的一个动点 当P运动到下顶点时,|PM取得最大值,则C的离心率的取值范围是（）A2,12B20,2C1,12D10,2【答案】B【解析】设00,P xy,0,Mb,因为2200221xyab,222abc,所以2223422222220000022221ycbbPMxybaybyabbbcc,0byb,由题意知当0yb 时,2PM取得最大值,所以32bbc,可得222ac,即212e,则202e故选 B10瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外

22、心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,4ABAC,点(1,3)B,点(4,2)C,且其“欧拉线”与圆222:()(3)Mxayar相切.则圆M上的点到直线30 xy的距离的最小值为（）A2 2B3 2C4 2D6【答案】A【解析】点 D 为 BC 中点,在ABC中,4ABAC,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC的“欧拉线”为AD,因为点1,3B,点4,2C,所以3 1,2 2D,因为直线BC的斜率为3211 4 ,所以 AD 斜率为1,方程为1322yx,即10 xy,因为“欧拉线”与圆222:()(3)Mxayar相

23、切所以圆心(,3)a a到“欧拉线”的距离为|3 1|,22aar r,圆心(,3)a a到直线30 xy的距离为|3 3|3 22aa,所以圆M上的点到直线30 xy的距离的最小值为3 222 2,故选 A.11.已知直四棱柱1111ABCDABC D的底面为正方形,12,1AAAB,P为1CC的中点,过,A B P三点作平面,则该四棱柱的外接球被平面截得的截面圆的周长为（）A6B5C2D222【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCDABC D的外接球的半径2221611222R,如图,取1DD的中点E,连接,AE PE BP,易知四边形ABPE为矩形,且平面即为平面ABPE,分别

24、取11,AA BB的中点,M N,连接,MN NP ME,则易得四边形MNPE为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O即为正方形MNPE的中心,取ME的中点1O,连接1OO,则11/,OOEP OO 平面ABPE,EP平面ABPE,所以1/OO平面ABPE,故球心O到平面APE的距离与1O到平面APE的距离相等,过点1O作1O HAE,垂足为H,易知AB面11AAD D,1O H 面11AAD D,故1ABO H,又AB,AEA AB AE平面ABPE,所以1O H 平面ABPE,又1O H 12sin454O E,所以球心O到平面APE的距离为24,由球的性质知,截面圆的半径r 22

25、162224164RO H,所以截面圆的周长为2222r.故选 D.12已知函数 f x与()g x的定义域均为R,(1)f x为偶函数,且1(3)()fxg x,1()(1)f xgx,则下面判断错误的是()A f x的图象关于点(2,1)中心对称B f x与 g x均为周期为 4 的周期函数C20221()2022if iD20230()0ig i【答案】C【解析】因为1f x为偶函数,所以11f xfx,所以 f x的图象关于直线1x 轴对称,因为 11f xgx等价于 11fxg x,又 31fxg x,+得132fxfx,即132fxfx,即 22fxf x,所以 422fxfxfx

26、,故 f x的周期为 4,又 13g xfx,所以 g x的周期也为 4,故选项 B 正确,代入得132fxfx,故 f x的图象关于点2,1中心对称,且 21f,故选项A正确,由 22fxf x,21f可得 01,41ff,且 132ff,故 12344ffff,故20221()505 4(1)(2)2021(1)if ifff,因为 1f与 3f值不确定,故选项C错误,因为 31fxg x,所以 10,30,013,211gggfgf ,所以 022130ggff,故 01230gggg,故20230()506 00ig i,所以选项 D 正确,故选C.二、填空题：本题共 4 小题,每小题

27、 5 分,共 20 分.13若 x,y 满足约束条件321xyxyx,则2zxy的最大值为_【答案】112【解析】如图,画出可行域,2yxz 表示斜率为2的一组平行线,当0z 时,首先画出初始目标函数2yx,当2yx 平移至点C时,z 取得最大值,联立32xyxy,得52x,12y,即5 1,2 2C,即max51112222z.14已知 na是公比为(0)q q)的等比数列,且246,a a a成等差数列,则q _【答案】1【解析】在等比数列 na中,246,a a a成等差数列,则4262aaa,即242222a qaa q,而20a,整理得42210qq,因为0q,故解得1q.15已知

28、sin0f xx,若在0,2上恰有两个不相等的实数a、b满足 2f af b,则实数的取值范围是_【答案】5,9【解析】因为02x,所以02x,因为在0,2上恰有两个不相等的实数a、b满足 2f af b,且 sin0f xx,所以,函数 f x在0,2上恰有两个最大值点,所以,59222,解得59,因此,实数的取值范围是5,9.16已知抛物线24yx的焦点为 F,点,P Q在抛物线上,且满足3PFQ,设弦PQ的中点 M 到 y 轴的距离为d,则1PQd 的最小值为_【答案】1【解析】由抛物线24yx可得准线方程为=1x,设|,0,|(0)PFa QFb ab,由余弦定理可得22222|2|c

29、osPQPFQFPFQFPFQabab,由抛物线定义可得 P 到准线的距离等于PF,Q 到准线的距离等于|QF,M 为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得 M 到准线=1x的距离为11(|)()22PFQFab,则弦PQ的中点 M 到 y 轴的距离1()12dab,故2222222|()344(1)()()PQababababdabab,又2()0,20,4,ababababab,则222223()()|441(1)()ababPQdab,当且仅当ab时,等号成立,所以1PQd 的最小值为 1.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考

30、生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17（12分）如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,60BAD,AC与BD交于点O,OP 底面 ABCD,3OP,点 E,F 分别是棱 PA,PB 的中点,连接 OE,OF,EF(1)求证：平面/OEF平面 PCD；(2)求三棱锥OPEF的体积【解析】（1）因为底面 ABCD 是菱形,AC 与 BD 交于点 O所以 O 为 AC 中点,点 E 是棱 PA 的中点,F 是棱 PB 的中点,所以 OE 为三角形ACP的中位线,OF 为三角形BDP的中位线,所以/OEPC,/OFDP,OE 平

31、面DCP,PC 平面DCP,/OE平面DCP,OF Q平面DCP,DP 平面DCP,/OF平面DCP,而OEOFO,OE 平面OEF,OF 平面OEF,平面/OEF平面 PCD.（2）因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,60BAD,所以BAD为等边三角形,所以1,3OBOA,因为OP 底面 ABCD,OA 底面 ABCD,OB底面 ABCD,所以OPOA,OPOB,所以POA和POB均为直角三角形,所以22336PA,22312PB,所以2222626cos4226PAB,所以2610sin144PAB,所以11526sin22PABSPAB,设点O到平面PEF的距离为h,根据体积相等法

32、可知O PABP OABVV,所以115113 133232h,所以155h.111151115151334534258O PEFPEFPABVShS,故三棱锥OPEF的体积为18.18.（12 分）为了检查工厂生产的某产品的质量指标,随机抽取了部分产品进行检测,所得数据统计如下图所示(1)求a的值以及这批产品质量指标的平均值；(2)若按照分层的方法从质量指标值在110,130的产品中随机抽取7件,再从这7件中随机抽取2件,求至少有一件的指标值在120130,的概率；(3)为了调查A B、两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性,以便提高产品的生产效率,质检人员选取了部分被抽查的产品进行了统计

33、,所得数据如下表所示,判断是否有 99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性A机器生产B机器生产优质品20080合格品12080附：2P Kk0.0500.0100.001k3.8116.63510.8282()n adbckabcdacbd【解析】（1）由题图可知,0.0052 10100.03 100.04 101a,解得0.02a,质量指标的平均值1050.051150.41250.31350.21450.05123x（2）依题意,质量指标值在110,120的有 4 件,记为 1、2、3、4,质量指标值在120130,的有 3 件,记为、ABC,则随机抽取 2 件,所有的情况

34、为 1,2,1,3,1,4,1,1,1,2,3,2,4,2,2,ABCAB,2,3,4,3,3,3,4,4,4,CABCABCA BA CB C,共 21 件,其中满足条件的为 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,ABCABCABCAB,4,CA BA CB C,共 15 件,故所求概率155217P（3）完善表格如下：A 机器生产B 机器生产总计优质品20080280合格品12080200总计320160480在本次试验中,2K的观测值2480(160009600)6.85710.828280 200 320 160k,故没有 99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性1

35、9.（12 分）在ABC中,2ABC,点,D E在边BC上,BADDAEEAC 且3BD,5DE.(1)求AB；(2)求AEC的面积.【解析】（1）由题意知,11sin322115sin22ABDAEDABADDABABBDSABBDAESDEAEADDAEABDE.设3ABx,所以5AEx.在RtABE中,48BEx,所以2x,从而36ABx.（2）设BADDAEEAC,在RtABD中,31tan62BDAB,在RtABE中,84tan263BEAB,所以14tantan21123tan3141 tan tan22123.在RtABC中,由11tan362BCBCAB,得33BC,所以25E

36、C,从而AEC的面积为1125 67522EC AB.20.（12 分）已知双曲线:C22210yxbb的左、右焦点分别为1F,2F,A 是C的左顶点,C的离心率为 2设过2F的直线l交C的右支于P、Q两点,其中P在第一象限(1)求C的标准方程；(2)若直线AP、AQ分别交直线12x 于M、N两点,证明：22MFNF 为定值；(3)是否存在常数,使得22PF APAF 恒成立？若存在,求出的值；否则,说明理由【解析】（1）由题可得1,2caa,故可得2c,则2224 13bca,故C的标准方程为2213yx.（2）由（1）中所求可得点 A,2F的坐标分别为 1,0,2,0,又双曲线渐近线为3y

37、x,显然直线PQ的斜率不为零,故设其方程为2xmy,33m,联立双曲线方程2213yx 可得：22311290mymy,设点,P Q的坐标分别为 1122,x yxy,则121222129,3131myyy ymm,121224431xxm yym,221212122342431mx xm y ym yym；又直线AP方程为：1111yyxx,令12x,则11321yyx,故点M的坐标为111 3,2 21yx；直线AQ方程为：2211yyxx,令12x,则22321yyx,故点N的坐标为221 3,2 21yx；则22MFNF 12123333,221221yyxx 212212122299

38、999313444414413131y ymmx xxxmm9990449故22MFNF 为定值0.（3）当直线PQ斜率不存在时,对曲线22:13yC x,令2x,解得3y ,故点P的坐标为2,3,此时290PF A,在三角形2PF A中,223,3AFPF,故可得245PAF,则存在常数2,使得222PF APAF 成立；当直线PQ斜率存在时,不妨设点P的坐标为,x y,2x,直线2PF的倾斜角为,直线PA的倾斜角为,则2PF A,2PAF,假设存在常数2,使得222PF APAF 成立,即2,则一定有22tantantantan21 tan,也即2221PAPFPAkkk；又22PFykx

39、；22222221211111PAPAyy xkxykxyx；又点P的坐标满足2213yx,则2233yx,故222222121211133PAPAy xy xkkxyxx221212242212y xy xyxxxxx 2PFk；故假设成立,存在实数常数2,使得222PF APAF 成立；综上所述,存在常数2,使得222PF APAF 恒成立.21.（12 分）设函数 21e02xfxaxfx.(1)从下面两个条件中选择一个,求实数a的取值范围；当0 x 时,1fx；f x在R上单调递增.(2)当1a 时,证明：函数 f x有两个极值点1212,x xxx,且21xx随着a的增大而增大.【解

40、析】（1）令0 x,则 01f,所以 21e2xfxaxx,则 e1xfxax,令()()k xfx,则()exk xa,选：当1a 时,因为0 x 时,e1,()0 xk x,所以 fx在0,上单调递增,又 00f,所以当0 x 时,0fx,说明 f x在0,上单调递增,所以 01f xf,符合题意；当1a 时,ln0a,当0lnxa时,()0k x,所以 fx在0,lna上单调递减,又 00f,所以当0lnxa时,0fx,说明 f x在0,lna上单调递减,所以当0lnxa时,01f xf,此时不符合题意；综上,实数a的取值范围,1.选：f x在R上单调递增,所以 0fx在R上恒成立,当0

41、a时,()0k x,所以 fx在R上递增,又 00f,所以当0 x 时,0fx,所以 f x在0 x 上单调递减,不符合题意；当0a 时,当lnxa时,()0k x,所以 fx在,lna上单调递减,当lnxa时,()0k x,所以 fx在ln,a上单调递增,从而 lnln1f xfaaa a,由 0fx在R上恒成立,得ln10aa a,令 ln1,lng aaa agaa,说明 g a在0,1单调递增,在1,单调递减,所以 10g ag,当且仅当1a 时取得等号,故1a.综上,实数a的取值范围 1.（2）当1a 时ln0a,当lnxa时()0k x,fx在,lna上单调递减,又 00f,当0

42、x 时,()0fx,说明 f x在,0上单调递增,当0lnxa时,0fx,说明 f x在0,lna上单调递减,所以10 x 为极大值点.由（1）有e1xxx,则222ee e4xxxx,所以当1x 时,有 2e114xxfxaxax,所以当41xa时,()0fx,所以2ln,41xaa使得20fx.当2ln,xa x时,0fx,当2,41xxa时,()0fx,所以2xx为极小值点,综上,函数 f x有两个极值点12,x x；其中2xx满足20fx,所以22e1xax,设 e1(0)xh xxx,则 2ee1xxxhxx,由（1）知e1xx ,所以 0,h xh x单调递增,所以2x随着a的增大

43、而增大,又10 x,所以212xxx,故21xx随着a的增大而增大.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中,曲线1C的方程为2240 xyx曲线2C的参数方程为cos1 sinxy（为参数）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线1C和曲线2C的极坐标方程；(2)若射线（0,02）交曲线1C于点 P,直线2R与曲线1C和曲线2C分别交于点 M、N,且点 P、M、N 均异于点 O,求MPN面积的最大值【解析】（1）把cosx,siny代入2240

44、 xyx,得曲线1C的极坐标方程为24 cos,即4cos将cos1 sinxy 中的参数消去,得曲线2C的普通方程为2220 xyy,把cosx,siny代入,得曲线2C的极坐标方程为22 sin,即2sin（2）由题得4cosOP,34cos4sin2OM,2sin2cos2ON,4sin2cosNMOMON,因为OPMN,所以2114sin2cos4cos2 4sincos2cos22MPNSMNOP2 2sin2cos212 5sin 222 52,其中1tan2,02,当22,即42时,MPN的面积取得最大值2 5223选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 1g xx的最小值为

45、 m,fxg xx的最小值为 n实数 a,b,c 满足abcm,abcn,ab,0c(1)求 m 和 n；(2)证明：34ab【解析】（1）函数()1g xx的最小值为0m,此时1x,当1x 时,()121f xxxx,当01x时,()11f xxx,当0 x 时,()121f xxxx ,函数 21,111,011 2,0 xxf xxxxx x,函数在(,0上单调递减,在1,)上单调递增,当01x时,()1f x,所以函数()f x的最小值为1n,故0,1mn.（2）由（1）知0abc,1abc,因为0abc ,10abc,所以a,说明 f x在,0上单调递增,当0lnxa时,0fx,说明

46、 f x在0,lna上单调递减,所以10 x 为极大值点.（8 分）由（1）有e1xxx,则222ee e4xxxx,所以当1x 时,有 2e114xxfxaxax,所以当41xa时,()0fx,所以2ln,41xaa使得20fx.当2ln,xa x时,0fx,当2,41xxa时,()0fx,所以2xx为极小值点,综上,函数 f x有两个极值点12,x x；（10 分）其中2xx满足20fx,所以22e1xax,设 e1(0)xh xxx,则 2ee1xxxh xx,由（1）知e1xx ,所以 0,hxh x单调递增,所以2x随着a的增大而增大,又10 x,所以212xxx,故21xx随着a的

47、增大而增大.（12 分）22.【解析】（1）把cosx,siny代入2240 xyx,得曲线1C的极坐标方程为24 cos,即4cos（2 分）将cos1 sinxy 中的参数消去,得曲线2C的普通方程为2220 xyy,把cosx,siny代入,得曲线2C的极坐标方程为22 sin,即2sin（5 分）（2）由题得4cosOP,34cos4sin2OM,2sin2cos2ON,4sin2cosNMOMON,（7 分）因为OPMN,所以2114sin2cos4cos2 4sincos2cos22MPNSMNOP2 2sin2cos212 5sin 222 52,其中1tan2,02,当22,即

48、42时,MPN的面积取得最大值2 52（10 分）23.【解析】（1）函数()1g xx的最小值为0m,此时1x,（1 分）当1x 时,()121f xxxx,当01x时,()11f xxx,当0 x 时,()121f xxxx ,函数 21,111,011 2,0 xxf xxxxx x,（3 分）函数在(,0上单调递减,在1,)上单调递增,当01x时,()1f x,所以函数()f x的最小值为1n,故0,1mn.（5 分）（2）由（1）知0abc,1abc,因为0abc ,10abc,所以a0,0b,0a,0b,1()()abcab,（7 分）又因为2()()()2abababab ,所以212abab,又1()()abab,所以3()()4ab,所以3()()4ab 所以34ab（10 分）