云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题含答案.pdf

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1、云南师大附中云南师大附中 2024 届高考适应性月考卷（一）届高考适应性月考卷（一）数数学学注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚写清楚.2.每小题选出答案后每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动如需改动，用橡皮擦用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，请将本试卷

2、和答题卡一并交回.满分满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.一一、单项选择题单项选择题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项符合题目要求）一项符合题目要求）1.已知集合2Ax x，30Bx x x，则AB（）A.2x x 或3x B.20 xxC.23xxD.02xx2.1 i2i的实部与虚部之和为（）A.45B.45C.25D.253.记nS为等差数列 na的前 n 项和.若4524aa，648S，则9a（）A.4B.24C.30D.324.已知向量3,4a，1,0b，ca

3、tb，若ac，则t（）A.73B.253C.3D.05.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（）寸.（结果四舍五入取整数）（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）A.3B.4C.5D.66.设0,2，0,2，且tancos1 sin，则（）A.sin 31B.sin 31 C.sin 21D.sin 21 7.用五个 5 和两个 2 组成一个 7 位数，则组成的 7 位数中两个 2 不相邻的概率为（）A.13B.25C.2

4、3D.578.设13a，7ln5b，1sin3c，则（）A.cabB.bcaC.cbaD.abc二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多有多项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.若ab，则（）A.ln0abB.33abC.330abD.11ab10.已知函数 3sin 2122f xx的图象关于直线3x 轴对称，则（）A.函数 f x的图象关于点,012中心对称B.函数

5、 f x在区间,6 3上是增函数C.函数 f x的导函数为 3cos 26fxxD.函数 f x的图象可由函数3sin21yx的图象向右平移12个单位长度得到11.已知 O 为坐标原点，抛物线 C：220ypx p的准线方程为=1x，过焦点 F 的直线 l 交抛物线 C于 A，B 两点，则（）A.若5AF，则4 2OA B.若8AB，则直线 l 的斜率为 1C.232 2AFBFD.OAB面积的最小值为 212.已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球1O与三棱锥ABCD的四个面都相切，球2O与三棱锥ABCD的三个面和球1O都相切，如此类推，L，球nO与三棱锥ABCD的三个面和球1

6、nO都相切（2n，且*nN），球nO的表面积为nS，体积为nV，则（）A.168V B.338S C.数列 nV是公比为18的等比数列D.数列 nS的前 n 项和为18 14n三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.在522xx的展开式中，x的系数为_.（用数字作答）14.若半径为 3 的圆经过点6,8，则其圆心到原点的距离的最小值为_.15.若直线 l 与曲线2yx和2215xy都相切，则 l 的方程为_.16.斜率为13的直线 l 与椭圆 C：221364xy交于 A，B 两点，且3 2,2P在直线 l 的左上方.若60

7、APB，则PAB的周长是_.四、解答题（共四、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.ABC内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin2sinCC.（1）求角C；（2）若7c，ABC的面积为2 3，求ABC的周长.18.某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的 120 名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：喜欢不喜欢合计男性403070女性351550合计7545120根据上述信息，解决下列问题：（1）根据小概率值0.10的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；（2）从不喜

8、欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取 6 人.现从 6 人中随机抽取 2 人，若所选 2 名观众中女性人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.附：22n adbcabcdacbd，其中nabcd .0.150.100.050.0100.001x2.0722.7063.8416.63510.82819.各项均为正数的等比数列 na中，11a，534aa.（1）求 na的通项公式；（2）设 m 为整数，且对任意的*nN，1212nnmaaa，求 m 的最小值.20.已知在四棱锥PABCD中，4AB，3BC，5AD，90DABABCCBP ，PACD，E 为 CD 的中点.（1）证明：平面P

9、CD 平面 PAE；（2）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求二面角PCDA的正弦值.21.已知双曲线 E：222210,0 xyabab的离心率为3，点2,2P在双曲线 E 上.（1）求 E 的方程；（2）过点1,0M的直线 l 与双曲线 E 交于 A，B 两点（异于点 P）.设直线 BC 与 x 轴垂直且交直线 AP 于点 C，若线段 BC 的中点为 N，判断：P，M，N 三点是否共线？并说明理由.22.已知函数 eaaxf xxb（其中 e 是自然对数的底数），曲线 yf x在点 22f,处的切线方程是6636e64eyx，3lng xmxx

10、.（1）求 a，b；（2）若 22f xx g xx在0,上恒成立，求 m 的取值范围.云南师大附中云南师大附中 2024 届高考适应性月考卷（一）届高考适应性月考卷（一）数数学学注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚写清楚.2.每小题选出答案后每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动如需改动，用橡皮擦用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答

11、无效在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.一一、单项选择题单项选择题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项符合题目要求）一项符合题目要求）1.已知集合2Ax x，30Bx x x，则AB（）A.2x x 或3x B.20 xxC.23xxD.02xx【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合,A B，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意可得2|22Ax xxx，

12、30|0Bx x xx x或3x，故AB 20 xx，故选：B2.1 i2i的实部与虚部之和为（）A.45B.45C.25D.25【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简1 i2i，确定实部和虚部，即可得答案.【详解】由题意得1 i(1 i)(2i)3i2i55，故1 i2i的实部与虚部之和为314555，故选：A3.记nS为等差数列 na的前 n 项和.若4524aa，648S，则9a（）A.4B.24C.30D.32【答案】C【解析】【分析】由等差数列通项公式和前 n 项和公式，列方程组解出数列首项和公差，可求9a的值.【详解】设等差数列 na公差为d，则有451612724615

13、48aaadSad，解得124ad，所以91824 830aad .故选：C4.已知向量3,4a，1,0b，catb，若ac，则t（）A.73B.253C.3D.0【答案】B【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求t的值.【详解】3,43,41,0catbtt，ac，则有3 34 40t，解得253t.故选：B5.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（）寸.（结果四舍五入取整数）（注：平地降雨量等于盆中积水体积

14、除以盆口面积；一尺等于十寸）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根据圆台的体积公式求得天池盆的体积，即可求得盆中积水的体积，根据平地降雨量的含义即可求得答案.【详解】由题意可知天池盆上底面半径为 14 寸，下底面半径为 6 寸，高为 18 寸，则天池盆体积为221 186146 1418963（立方寸）故盆中积水体积为118969482（立方寸），故平地降雨量约为29485 14（寸），故选：C6.设0,2，0,2，且tancos1 sin，则（）A.sin 31B.sin 31 C.sin 21D.sin 21【答案】C【解析】【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到22，进一

15、步即可判断正确答案.【详解】tancos1 sin,sincos1 sin,cos 即sincoscossincos,sincossincoscos,即sin()cossin(),2又0,2，0,2，则,0,2222所以2,sin(2)1,2，故C正确.故选:C.7.用五个 5 和两个 2 组成一个 7 位数，则组成的 7 位数中两个 2 不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.57【答案】D【解析】【分析】先求出用五个 5 和两个 2 组成一个 7 位数，总的排法数，再求出组成的 7 位数中两个 2 不相邻的排法数，根据古典概型的概率公式即可得答案.【详解】由题意可知五个 5 和两个

16、2 组成一个 7 位数，可看作 7 个位置，先排 2，有27C21种排法，其余位置排 5，此时共有21 121 种排法；而组成的 7 位数中两个 2 不相邻，可采用插空法，即五个 5 先排，只有一种排法，在形成的 6 个空中选 2 个排 2，有2615C 种排法，故用五个 5 和两个 2 组成一个 7 位数，则组成的 7 位数中两个 2 不相邻的概率为155217，故选：D8.设13a，7ln5b，1sin3c，则（）A.cabB.bcaC.cbaD.abc【答案】A【解析】【分析】因为72(1)145731215，所以构造函数2(1)()ln1xf xxx(0)x，利用导数判断单调性，可得b

17、a，令()sing xxx，0,)2x，利用导数判断单调性，可得ac.【详解】因为72(1)145731215，所以设2(1)()ln1xf xxx(0)x，21(1)(1)()2(1)xxfxxx 22(1)(1)xx x0，所以()f x在(0,)上为增函数，所以7()(1)05ff，所以72(1)75ln07515，所以71ln053，即71ln53，所以ba.令()sing xxx，0,)2x，()1cos0g xx，所以()sing xxx在0,)2上为增函数，所以1()(0)03gg，所以11sin033，即11sin33，所以ac，综上所述：bac.故选：A【点睛】关键点点睛：构

18、造函数2(1)()ln1xf xxx(0)x，()sing xxx，0,)2x，利用导数判断单调性，根据单调性比较大小是解题关键.二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多有多项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.若ab，则（）A.ln0abB.33abC.330abD.11ab【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性质，指数函数、对数函数和幂函数的性质，判断不等式是否成

19、立.【详解】ln0ab需要1ab，ab不能满足，A 选项错误；由指数函数3xy 的性质，当ab时，有33ab，B 选项正确；由幂函数3yx的性质，当ab时，有33ab，即330ab，C 选项正确；当2,1ab 时，满足ab，但11ab不成立，D 选项错误.故选：BC10.已知函数 3sin 2122f xx的图象关于直线3x 轴对称，则（）A.函数 f x的图象关于点,012中心对称B.函数 f x在区间,6 3上是增函数C.函数 f x的导函数为 3cos 26fxxD.函数 f x的图象可由函数3sin21yx的图象向右平移12个单位长度得到【答案】BD【解析】【分析】根据函数 f x的图

20、象关于直线3x 轴对称，可确定，即得 f x的表达式，将12x 代入 f x中可判断 A；根据,6 3x，确定 2()26,2x，结合正弦函数的单调性可判断 B；根据正弦函数以及复合函数的求导法则可判断 C；根据三角函数图象的平移变换可判断 D.【详解】由题意函数 3sin 21,22f xx的图象关于直线3x 轴对称，则,Z,Z2326k kk k，因为22，故6，即 3sin 216f xx，对于 A，将12x 代入 3sin 216f xx，得3sin 211126，即sin 20126，故函数 f x的图象关于点,112中心对称，A 错误；对于 B，当,6 3x 时，2()26,2x，

21、因为正弦函数sinyx在(,)2 2上单调递增，故 f x在区间,6 3上是增函数，B 正确；对于 C，2 3cos 26fxx，C 错误；对于 D，函数3sin21yx的图象向右平移12个单位长度得到3sin2(13sin(21)126yxx，即函数 f x的图象，D 正确，故选：BD11.已知 O 为坐标原点，抛物线 C：220ypx p的准线方程为=1x，过焦点 F 的直线 l 交抛物线 C于 A，B 两点，则（）A.若5AF，则4 2OA B.若8AB，则直线 l 的斜率为 1C.232 2AFBFD.OAB面积的最小值为 2【答案】ACD【解析】【分析】由抛物线准线方程可求得抛物线方

22、程，利用焦半径公式可求得 A 点坐标，即可判断 A；设直线 l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合8AB 求得126xx，即可求得直线斜率，判断 B；利用焦半径公式结合基本不等式可判断 C；表示出OAB面积，结合基本不等式求得其最小值，判断 D.【详解】因为抛物线 C：220ypx p的准线方程为=1x，故1,22pp,故24yx，焦点为(1,0)F，设1122(,),(,)A x yB xy，对于 A，1115,4AFxx，代入24yx得216y，即2116y 故2211324 2yOAx，A 正确；对于 B，8AB，则121228,6xxxx，当直线AB为1x 时，AB4，由

23、此可判断8AB 时，直线 l 的斜率存在且不等于 0，设直线 l 的方程为(1)yk x，联立24yx可得：2222(24)0,(0)k xkxkk，故2122246kxxk，解得1k ，满足0，故 B 错误；对于 C，由 B 的分析可知121x x，当直线AB为1x 时，也有121x x成立；故12121222(2332 21)1232AFBFxxxxx x，当且仅当122xx即122,22xx时，取得等号，C 正确；对于 D，不妨设 A 点在第一象限，则11222,2yxyx，故OAB的面积12121211|22|22OABSOFyyxxxx，则21212122224OABSxxx xx

24、x，当且仅当121xx时等号成立，即OAB面积的最小值为 2，D 正确，故选：ACD12.已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球1O与三棱锥ABCD的四个面都相切，球2O与三棱锥ABCD的三个面和球1O都相切，如此类推，L，球nO与三棱锥ABCD的三个面和球1nO都相切（2n，且*nN），球nO的表面积为nS，体积为nV，则（）A.168V B.338S C.数列 nV是公比为18的等比数列D.数列 nS的前 n 项和为18 14n【答案】BCD【解析】【分析】根据题意求出1r62，2112rr，依此类推可得 nr是首项为62，公比为12的等比数列，再根据球的表面积和体积公式逐项

25、判断可得答案.【详解】如图所示，AO是三棱锥ABCD的高，O是三角形BCD的中心，设三棱锥ABCD的棱长均为a，所以323233OBaa，222236()33AOABOBaaa.1O是三棱锥ABCD的内切球的球心，1O在AO上，设三棱锥ABCD的外接球半径为R，球nO的半径为nr，则由22211O BOOOB，得22263()()33RaRa，得64Ra.所以116663412rAOAOaaa，又6a，所以162r，所以3311446332Vr6.故 A 不正确；在AO上取点E，使得11612EOra，则16662366AEAOraaa，即E为AO的中点，则球2O与球1O切于E，过E作与底面B

26、CD平行的平面，分别与,AB AC AD交于111,B C D，则球2O是三棱锥111ABC D的内切球，因为E为AO的中点，所以三棱锥111ABC D的棱长是三棱锥ABCD的棱长的一半，所以球2O的内切球的半径2112rr，以此类推，所以 nr是首项为62，公比为12的等比数列，所以1616()222nnnr，368r，22336448Sr38，故 B 正确；所以343nnVr，3311311()28nnnnVrVr，即数列 nV是公比为18的等比数列，故 C 正确；24nnSr166444nn，12211116(1+)444nnSSS1146114n18(1)4n，故 D 正确.故选：BC

27、D【点睛】关键点睛：利用球与三棱锥内切求出球的半径以及相邻两个球的半径之间的关系是解题关键.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.在522xx的展开式中，x的系数为_.（用数字作答）【答案】80【解析】【分析】由题设可得展开式通项为10 3152rrrrTC x，进而确定含x项的 r 值，即可求其系数.【详解】由题设，展开式通项为2510 31552()()2rrrrrrrTCxC xx，所以，令1031r有3r，则x的系数为335280C.故答案为：8014.若半径为 3 的圆经过点6,8，则其圆心到原点的距离的最小值为

28、_.【答案】7【解析】【分析】确定半径为 3 且经过点6,8的圆的圆心的轨迹是以6,8为圆心，以 3 为半径的圆，即可求得答案【详解】设圆心坐标为(,)x y，则22(6)(8)3xy，即22(6)(8)9xy，即圆心轨迹是以6,8为圆心，以 3 为半径的圆，6,8到原点距离为226810，故圆22(6)(8)9xy上的点到原点距离的最小值为1037，即半径为 3 的圆经过点6,8，则其圆心到原点的距离的最小值为 7，故答案为：715.若直线 l 与曲线2yx和2215xy都相切，则 l 的方程为_.【答案】210 xy 或210 xy【解析】【分析】曲线2yx转化为yx，或yx，利用导数几何

29、意义表达出切线斜率，写出切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径，得出方程.【详解】由题意，2yx，则yx，或yx，设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00 x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，则直线l的方程为00012yxxxx，即0020 xx yx，由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx，两边平方并整理得2005410 xx，解得01x，015x （舍），则当直线 l 与曲线yx和2215xy都相切，方程为210 xy；同理可求当直线 l 与曲线yx 和2215xy都相切，方程为210 xy 故答案为：210 xy 或210 xy.【点睛】本题考查求

30、出曲线切线方程，解题的关键是利用导数表示出斜率，进而得出切线的表达式.16.斜率为13的直线 l 与椭圆 C：221364xy交于 A，B 两点，且3 2,2P在直线 l 的左上方.若60APB，则PAB的周长是_.【答案】18 66 157【解析】【分析】确定点 P 在椭圆上，设11223,1,yxm A x yB x y，联立椭圆方程可得根与系数的关系，化简可得0PAPBkk，结合题意可求得3,3PAPBkk，由此可求出 A，B 的横坐标，即可求得|,|,|PAPBAB，即得答案.【详解】由题意知3 2,2P满足221(3 2)(26)34，即 P 在椭圆 C：221364xy上，设112

31、23,1,yxm A x yB x y，联立22131364yxmxy，得22269360 xmxm，需满足2264 29360mm ，即2 22 2m，又因为3 2,2P在直线 l 的左上方，故13 2203m，即0m，即2 20m；若 A 或 B 的横坐标为3 2，则222(3 2)63 29360mm，则0m 或2 2m ，与2 20m不符，故 A 或 B 的横坐标不可能为为3 2；则212129363,2mxxm x x，121222,3 23 2PAPByykkxx，则 122112121223 223 2223 23 23 23 2PAPByxyxyykkxxxx上式中，分子等于1

32、2211123 223 233xmxxmx121222 26 223x xmxxm22 9362 236 2232mmmm2231236 26 2120mmmm，即0PAPBkk，又60APB，则,PA PB与 x 轴围成的三角形为正三角形，故3,3PAPBkk，故直线 PA 的方程233 2yx，联立221364xy，可得2149 6 13 318 133 30 xx，其两根为1,3 2x，则118 133 33 214x，即13 2 133 314x，故213 2 3 31|13|3 2|7PAx；同理求得23 2 133 314x，3 2 3 31|7PB，而2121109 66 15|

33、1()|3377ABxx，故PAB的周长是6 1518 66 15|773 2 3 313 2 3 3177PAPBAB,故答案为：18 66 157【点睛】难点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，求解三角形周长，即要求出直线和椭圆相交的弦长，难点在于计算的复杂以及计算量较大，因此要十分细心.四、解答题（共四、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.ABC内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin2sinCC.（1）求角C；（2）若7c，ABC的面积为2 3，求ABC的周长.【答案】（1）3C（2）317【解析】【分

34、析】（1）由二倍角的正弦公式可求出结果；（2）由面积公式列式求出8ab，再由余弦定理求出31ab即可得ABC的周长.【小问 1 详解】由sin2sinCC，得2sincossinCCC，因为0C，sin0C，所以1cos2C，所以3C.【小问 2 详解】因为13sin2 324ABCSabCab，所以8ab，由22222cos()3cababCabab，得27()24ab，得31ab.所以317abc.故ABC的周长为317.18.某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的 120 名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：喜欢不喜欢合计男性403070女性351550

35、合计7545120根据上述信息，解决下列问题：（1）根据小概率值0.10的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；（2）从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取 6 人.现从 6 人中随机抽取 2 人，若所选 2 名观众中女性人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.附：22n adbcabcdacbd，其中nabcd .0.150.100.050.0100.001x2.0722.7063.8416.63510.828【答案】（1）不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关（2）分布列见解析；23【解析】【分析】（1）计算2的值，与临界值表比较，可得结论；（2）确定随机抽取 6

36、 人中男性和女性的人数，进而确定随机变量 X 的可能取值，求得每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式可求得数学期望.【小问 1 详解】由题意得220.1012040 1535 302.0572.70670 50 75 45x，故根据小概率值0.10的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；【小问 2 详解】由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取 6 人，由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为2:1，故随机抽取 6 人中有 4 名男性和 2 名女性，故 X 的取值可能为 0，1，2，则2110244242222666CC CC C281(0),(1),(2

37、)C5C15C15P XP XP X，故 X 的分布列为：X012P25815115故2812()012515153E X 19.各项均为正数的等比数列 na中，11a，534aa.（1）求 na的通项公式；（2）设 m 为整数，且对任意的*nN，1212nnmaaa，求 m 的最小值.【答案】（1）12nna.（2）4.【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式可求出结果；（2）根据错位相法求出不等式右边之和，由此可得结果.【小问 1 详解】设公比为q，由534aa，得2334a qa，得24q，又0na，0q，所以2q=，1112nnnaa q.【小问 2 详解】由（1）知，12nna，

38、故12nnnna，设121231222nnnS，则23112322222nnnS，所以231111111222222nnnnnSS，所以111212212nnnnS2222nnn222nn，所以1242nnnS.当n趋近于无穷大时，122nn趋近于0，所以nS趋近于4且4nS，所以4m，所以 m 的最小值为4.20.已知在四棱锥PABCD中，4AB，3BC，5AD，90DABABCCBP ，PACD，E 为 CD 的中点.（1）证明：平面PCD 平面 PAE；（2）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求二面角PCDA的正弦值.【答案】（1）见解析（2

39、）4 4141【解析】【分析】（1）连接,AE AC PE，由已知可得ACAD，即有AECD，再由线面垂直的判定证CD 面PAE，根据面面垂直的判定即可得结论；（2）首先根据条件作出直线PB与平面PAE所成的角，点B作/BGCD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF，BPF为直线PB与平面PAE所成的角,PBA为直线PB与平面ABCD所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角PCDA的平面角为PEA.【小问 1 详解】平面 PCD 与平面 PAE 能垂直，理由如下：在ABC中4,3,90ABBCABC，故5AC，即ACAD，所以ADC为等腰三角形，又 E 为 CD 中点，故AE

40、CD，因为PACD，且PAAEA，,PA AE 面PAE，所以CD 面PAE，由CD 面PCD，故面PCD 面PAE.【小问 2 详解】CD 平面PAE，PEA是二面角PCDA的平面角，过点B作/BG CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF，由（1）知BG 平面PAE，BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE，由90CBP，则PBCB，由90ABC，则ABCB，又PBABB，且,PB AB 面PAB，则CB 面PAB，而PA面PAB，所以PACB，结合PACD，CBCDC，且,CB CD 面ABCD，所以PA 面ABCD，则PBA为直线PB与平面ABCD所成的角，有题意知PBAB

41、PF，RtRtPBABPFPABFVV,因为90DABABC知，/ADBC，又/BGCD，BCDG是平行四边形，3GDBC，2AG，因为4AB，BGAF，222 5BGABAG，于是2168 552 5ABBFBG，所以8 55PA，又2 5CDBG，5CE，222 5AEACCE，所以4tan5PAPEAAE，因为ACAD，PA 面ABCD，,AC AD 面ABCD，则,PAAC PAAD，则2222PAACPAAD，即PCPD，因为E为CD中点，则PECD，又因为AECD，且AE 平面ACD，PE 平面PCD，则二面角PCDA的正切值即为4tan5PEA，则2244 41sin4145PE

42、A，二面角PCDA的正弦值是4 4141.21.已知双曲线 E：222210,0 xyabab的离心率为3，点2,2P在双曲线 E 上.（1）求 E 的方程；（2）过点1,0M的直线 l 与双曲线 E 交于 A，B 两点（异于点 P）.设直线 BC 与 x 轴垂直且交直线 AP 于点 C，若线段 BC 的中点为 N，判断：P，M，N 三点是否共线？并说明理由.【答案】（1）22124xy（2）共线，理由见解析【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率为3，得222ba，再将2,2P代入E的方程可得22,a b，从而得出E的方程；（2）联立直线l和双曲线方程结合韦达定理得出1212324xxx x，

43、再由点C坐标得出1221,2xxN xx，最后由MNk结合1212324xxx x可得直线MN的斜率为定值 2，而直线 PM 的斜率也是 2，从而可得出结论【小问 1 详解】双曲线的离心率为3，所以3ca，即223ca，222ba，将2,2P代入E的方程可得22441ab，即224412aa，则222,4ab，故E的方程为22124xy【小问 2 详解】依题意，可设直线:12l yk xk，11,A x y，22,B xy1yk x与22124xy联立，整理得22222240kxk xk，所以22k，222224240kkk，解得，24k 且22k，212222kxxk，212242kx xk

44、，所以1212324xxx x（*）又112:222yAP yxx，所以C的坐标为12212,222yxxx，由111yk x可得，1212121112222222k xxxxyxxx，从而可得N的纵坐标1212211221122Nk xxxxyk xx1212121234222kx xxxxxx，将（*）式代入上式，得1212Nxxyx，即1221,2xxN xx所以，12121212212122MNxxxxkxxx xxx，将（*）式代入上式，得12122122342MNxxkxxxx，又2022 1PMMNkk，直线 MN 与直线 PM 有公共点 M，所以 P，M，N 三点是否共线【点睛

45、】关键点睛：在解决问题二时，关键在于利用韦达定理得出1212324xxx x，建立12,x x的关系，从而得出点N的坐标，由此得出2MNk.22.已知函数 eaaxf xxb（其中 e 是自然对数的底数），曲线 yf x在点 22f,处的切线方程是6636e64eyx，3lng xmxx.（1）求 a，b；（2）若 22f xx g xx在0,上恒成立，求 m 的取值范围.【答案】（1）3,0ab（2）1m【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程组，即可求得答案；（2）将 22f xx g xx整理变形，参变分离，即3ln13exxmx在0,上恒成立，由此可构造函数3l

46、n1()e,(0)xxF xxx，将不等式恒成立转化为求函数最值问题，结合导数求解函数3ln1()e,(0)xxF xxx的最小值，即可求得答案.【小问 1 详解】由题意知 eaaxf xxb，故 11ee+1 e()aaxaaxaaxxfxaxxaax，则 12232,)22 e(e2aaaafbaf，因为曲线 yf x在点 22f,处的切线方程是6636e64eyx，故12626632e36e2 e36e264eaaaaab，即126262e12e2 e8eaaaaab，由1262120,0eeaaaa，令12()2etth ta，则12()2etth ta为(0,)上的增函数，而626e

47、(3e)3 212h，即3a 为1261 e2e2aaa的唯一解，将3a 代入262 e8eaab可得0b，即3,0ab；【小问 2 详解】由（1）可知 33e3ln,xfxxg xmxx，故 22f xx g xx在0,上恒成立，即3322e3ln)(0 xxxmxxx在0,上恒成立，即3e3ln10 xxmxx 在0,上恒成立，即3ln13exxmx在0,上恒成立，令3ln1()e,(0)xxF xxx，则23322ln3eln()3exxxxxF xxx，则min3()mF x；令23()3eln,(0)xxxx x，32310()6 ee9xxxxxx，故23()3elnxxxx在0,

48、上单调递增，311()310,(1)3e03333eeeln3ln，故存在01(,1)3x，使得0()0 x，且00 xx时，0()()0 xx，则()0F x，()F x在0(0,)x单调递减，0 xx时，0()()0 xx，则()0F x，()F x在0(,)x 单调递增，故0(0,),()()xF xF x，因为0()0 x，即0033220000013eln0,3elnlnxxxxxxx，即001ln300001113 eln(ln)exxxxxx，令()e,(0),()(1)e0 xxG xxxG xx，即()exG xx在0,上单调递增，而001ln30013 e(ln)exxxx，即001(3)(ln)GxGx，且01(,1)3x，01ln0 x，故0300000113ln,e,ln3xxxxxx，故03000000ln11 31()e3xxxF xxxx，即min()3F x，故33,1mm【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，解答时要熟练掌握导数的相关知识并能灵活应用，解答的难点在于解决不等式恒成立问题时，要根据不等式的变形分离参数，从而构造函数，转化为函数的最值问题，在求解函数的最值过程中，要注意隐零点的问题.