6.1平方根（原卷版）.docx

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1、6.1平方根知识梳理一、算数平方根1、概念：如果一个正数x的平方等于a ,即f=。，那么这个正数x叫做a的算术平方根。2、表示方法：a的算术平方根记为历，读作一根号。，a叫做被开方数。也就是，在等式f （生0）中，规定户V5。注：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。这个结论对所有正数都成立。3、算数平方根的性质若口有意义，则被开方数Q是非负数；算数平方根本身也是非负数。4、6的结果有两种情况当Q是完全平方数时，乃是一个有限数I当Q不是一个完全平方数时，乃是一个无限不循环小数注：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数；许多正有理数的算术平方根（例如百,5 ,夕等）都是无限不循环

2、小数。5、求一个数的算数平方根利用夹值法估算（无理）数的大小；正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零；后=| = I。Q（Q N ）,注意6的双重非负性：悟金0二、平方根一1、平方根的概念：如果一个数的平方等于。，那么这个数叫做。的平方根或二次方根。如果 二。,那么x叫做a的平方根。（算术平方根的符号份,实际上省略了正中的根指数2。因此,6,也可读作“二次根号1） 2、表示方法：正数a的正的平方根可用点表示,G也是a的算术平方根；正数a的负的平 方根可用-a表示。3、开平方的概念：求一个数。的平方根的运算，叫做开平方。（注：开平方运算的被开方数 必须是非负数才有意义）4、平方根的性

3、质：正数有两个平方根，它们互为相反数；（）的平方根是（）；负数没有平方根。5、平方与开平方互为逆运算。是x的平方式是。的平方根。是x的平方式是。的平方根x2 = a% =。的平方根是x。的平方根是xx的平方是a6、解题注意正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。w 常考题型题型1算数平方根概念的理解一二一题型5平方根概念的理解题型2利用算数平方根的性质求解一JC一 题型6求代数式的平方根（平方根）题型3求算数平方根的取值范围一AA一 题型7已知平方根，利用性质求解题型4与算数平方根有关的规律探索、一题型8平方根的

4、实际应用各题型精析题型一算数平方根概念的理解【例1】16的算术平方根是（）A . 8B . 4C . -256D . 4【变式1-1】实数师的算术平方根【变式1 -2】面积为7的正方形的边长是（）A . 7的平方根B . 7的算术平方根C . 7的立方根D . 7的负平方根【变式1-3当a = 5时，代数式的值为.【变式1-4】一个自然数的算术平方根是。则和这个自然数相邻的下一个自然数是题型二利用算数平方根的性质求解例2若属是整数,则正整数几不可能是（？?？）A . 6B . 9C . 11D . 14【变式2.1】当x等于（）时，3 日/有最（）值.A . 2 ,小B . 2 ,大C . 2

5、 ,小D . 2 ,大【变式2-2已知行 + （b + 5尸+ |c + 1| = 0 ,则a + b - c的值是（？?？）A . 4B . - 2C . -4D . 2【变式2-3】已知a、b满足V2a + 8 +忸一 V3| = 0 ,解关于x的方程（a + 2）x + b2 = a - 1题型三求算数平方根的取值范围【例3】估计四x旧的值在（）A . 7至IJ 8之间B . 6到7之间 C.5至!） 6之间 D . 4至！ 5之间【变式3-1】 历7.53 , 七23.81 ,则遥石7 P【变式3-2】写出一个比V5大且比g小的整数是.【变式3-3如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个

6、面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（?）题型四与算数平方根有关的规律探索【例 4】7172=4.147 , 75=1.311 ,则7T而的值为（）A . 13.11B . 13.11C . 41.47D . 41.47【变式4-1】观察下列各式：JT+J=2 Jl，j2+l = 3 Jl，Tl = 4 6，根据你发 现的规律，若式子= 8 JI（&b为正整数）符合以上规律，则而T的值为（？?？）【变式4-2】观察分析下列数据，发现其中的规律：0 ,-V3，伤,-3 ,273，-辰,3a, 则第31个数据是.【变式4-3解决下列题目：(1 )用计算器计算：V11-2 =4111

7、1-22 =,7111111 - 222 =11111111 - 2222 =(2 )观察题(1 )中各式的计算结果，你能发现什么规律？(3 )试运用发现的规律猜想iVllllllllll- 22222 =并通过计算器验证你的猜想.题型五平方根概念的理解【例5】府的平方根是()A . V2B . 2C . 2D . V2【变式5-1】下列说法正确的是(？?？)A . Vq2+1一定是正数B .商的平方根是9C.平方根等于它本身的数是1和()C.平方根等于它本身的数是1和()D . -81平方根是-9【变式5-2如果1 - x有平方根，则x的取值范围是.【变式5-3】判断下列说法是否正确(1 )

8、0的平方根是0；(2 )负数有1个平方根；(3 )平方根是它本身的数是。和1 ；(4 )算术平方根是它本身的数是0和1 ；(5 )正数有2个平方根，它们互为相反数.题型六求代数式的平方根【例6关于x的多项式7/一 Hmx2 - 15% + 9与多项式22/ 一 Snx - 7相加后不含x的二 次和一次项，则一(向1 +几)平方根为(？ ？?？)【变式6-1若VFU + |y + 7| + (z- 7A=0 ,贝卜-y + z的平方根为(?)A . 2B . 4C . 2D . 4【变式6-2已知(4 -与vm互为相反数，则q - b的平方根是(？?？)A . V5B . V3C . V5D .

9、 V3【变式6-3已知2a - 1的算术平方根是3 , 3q + b - 1的平方根是4 一是反的整数部分, 求q + 2b - c的平方根.题型七已知平方根，利用性质求解【例7】平方根是的数是()【变式7-1】已知某数的一个平方根是41,那么这个数是它的另一个平方根是.【变式7-2如果正数4的两个平方根分别是2x - 1与3x - 4 ,求4的值.【变式7-3若m是169的正的平方根，是121的负的平方根，求：(1 ) m + n 的值；(2)(m + n)2的平方根.题型八平方根的实际应用【例8某小区有一块面积为500平方米的长方形空闲草地，其长宽之比是5 : 4 ,准备在里面 开辟一个面积为360平方米的正方形运动场地，且要求运动场地四周留出1米的路.请问能在 此草地开辟出符合要求的运动场地吗？请通过计算说明.【变式8-1面积为36cm2正方形纸片沿边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出长方形纸 片的长、宽之比为3 ： 2 ,且面积为24cm2 ?【变式8-2】一个底为正方形的水池的容积是486m3 ,池深1.5m ,求这个水池的底边长.【变式8-3】小丽给了小明一张长方形的纸片,纸片的长宽之比是3: 2，纸片面积为294cm2 ,(1 )求纸片的周长；(2 )小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出来吗？说明 理由.