结构动力学哈工大版课后习题解答.pdf

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1、第 一 章 单 自 由 度 系 统 第 一 章 单 自 由 度 系 统 1.1总 结 求 单 自 由 度 系 统 固 有 频 率 的 方 法 和 步 骤。单 自 由 度 系 统 固 有 频 率 求 法 有：牛 顿 第 二 定 律 法、动 量 距 定 理 法、拉 格 朗 日 方 程 法 和 能 量 守 恒 定 理 法。1、牛 顿 第 二 定 律 法 适 用 范 0：所 有 的 单 自 由 度 系 统 的 振 动。解 题 步 骤：(1)对 系 统 进 行 受 力 分 析，得 到 系 统 所 受 的 合 力；.(2)利 用 牛 顿 第 二 定 律 mx F,得 到 系 统 的 运 动 微 分 方 程

2、；(3)求 解 该 方 程 所 对 应 的 特 征 方 程 的 特 征 根，得 到 该 系 统 的 固 有 频 率。2、动 量 距 定 理 法 适 用 范 围：绕 定 轴 转 动 的 单 自 由 度 系 统 的 振 动。解 题 步 骤：(1)对 系 统 进 行 受 力 分 析 和 动 量 距 分 析；.(2)利 用 动 量 距 定 理 J M,得 到 系 统 的 运 动 微 分 方 程；(3)求 解 该 方 程 所 对 应 的 特 征 方 程 的 特 征 根，得 到 该 系 统 的 固 有 频 率。3、拉 格 朗 日 方 程 法：适 用 范 围：所 有 的 单 自 由 度 系 统 的 振 动。

3、解 题 步 骤：(1)设 系 统 的 广 义 坐 标 为，写 出 系 统 对 于 坐 标 的 动 能 T 和 势 能 U 的 表 达 式；进 一 步 写 求 出 拉 格 朗 日 函 数 的 表 达 式：L=T-U；(2)由 格 朗 日 方 程 L L()=0,得 到 系 统 的 运 动 微 分 方 程；dt(3)求 解 该 方 程 所 对 应 的 特 征 方 程 的 特 征 根，得 到 该 系 统 的 固 有 频 率。4、能 量 守 恒 定 理 法 适 用 范 围：所 有 无 阻 尼 的 单 自 由 度 保 守 系 统 的 振 动。解 题 步 骤：(1)对 系 统 进 行 运 动 分 析、选

4、广 义 坐 标、写 出 在 该 坐 标 下 系 统 的 动 能 T 和 势 能 U 的 表 达 式；进 一 步 写 出 机 械 能 守 恒 定 理 的 表 达 式 T+U=Const(2)将 能 量 守 恒 定 理 T+U=Const对 时 间 求 导 得 零，即 d(TU)0,进 一 步 得 到 系 dt统 的 运 动 微 分 方 程；(3)求 解 该 方 程 所 对 应 的 特 征 方 程 的 特 征 根，得 到 该 系 统 的 固 有 频 率。1.2叙 述 用 衰 减 法 求 单 自 由 度 系 统 阻 尼 比 的 方 法 和 步 骤。用 衰 减 法 求 单 自 由 度 系 统 阻 尼

5、比 的 方 法 有 两 个：衰 减 曲 线 法 和 共 振 法。方 法 一：衰 减 曲 线 法。求 解 步 骤：(1)利 用 试 验 测 得 单 自 由 度 系 统 的 衰 减 振 动 曲 线，并 测 得 周 期 和 相 邻 波 峰 和 波 谷 的 幅 值 Ai、Aik(2)由 对 数 衰 减 率 定 义 Ai),进 一 步 推 导 有 Ail2-1-2,结 构 动 力 学 作 业 因 为 较 小，所 以 有 O 2方 法 二：共 振 法 求 单 自 由 度 系 统 的 阻 尼 比。(1)通 过 实 验，绘 出 系 统 的 幅 频 曲 线，如 下 图:单 自 由 度 系 统 的 幅 频 曲 线

6、(2)分 析 以 上 幅 频 曲 线 图，得 到：1,2 max/2 2/4；于 是 22)21(In；进 一 步 222(12)n；最 后.2 1/2 n/2 n；1.3叙 述 用 正 选 弦 激 励 求 单 自 由 度 系 统 阻 尼 比 的 方 法 和 步 骤。用 正 选 弦 激 励 求 单 自 由 度 系 统 阻 尼 比 的 方 法 有 两 个：幅 频(相 频)曲 线 法 和 功 率 法。方 法 一：幅 频(相 频)曲 线 法 当 单 自 由 度 系 统 在 正 弦 激 励 FOsin t作 用 下 其 稳 态 响 应 为：x Asin(t),其 中：A FOxm n2 02st,4n

7、2 2 124 22；(1)arctan2/12(2)-2-第-章 单 自 由 度 系 统 从 实 验 所 得 的 幅 频 曲 线 和 相 频 曲 线 图 上 查 的 相 关 差 数，由 上 述(1),(2)式 求 得 阻 尼 比。方 法 二：功 率 法:(1)单 自 由 度 系 统 在 FOsin t 作 用 下 的 振 动 过 程 中，在 一 个 周 期 W c 0、阻 尼 力 做 功 为 W d 激 振 力 做 作 功 为 W f(2)由 机 械 能 守 恒 定 理 得,cA2、FOsin；弹 性 力、阻 尼 力 和 激 振 力 在 一 个 周 期 W c+W d+W f 0；于 是 进

8、 一 步 得：(3)当 n则 FOsin-cA2 0A FOsin c；时 sin LAmax xst2,得 max 2 maxo1.4求 图 1-35中 标 出 参 数 的 系 统 的 固 有 频 率。(a)此 系 统 相 当 于 两 个 弹 簧 串 联，弹 簧 刚 度 为 kl简 支 梁 刚 度 为 k2 48EI；等 效 刚 度 为 k;13111 则 有.；kklk2 则 固 有 频 率 为：k m48EI13；48EIkll3m(b)此 系 统 相 当 于 两 个 弹 簧 并 联，等 效 刚 度 为:48EIk k31kl则 固 有 频 率 为：k mkll348EI m13-3-结

9、 构 动 力 学 作 业 系 统 的 等 效 刚 度 k kl3EI3EIkl3311则 系 统 的 固 有 频 率 为(d)由 动 量 距 定 理,得：mF I111112(1 kl.1 1 kl 1)=ml 22222kl0,得：2m则 klo 2m1.5 求 下 图 所 示 系 统 的 固 有 频 率。图 中 匀 质 轮 A 半 径 R,重 物 B 的 重 量 为 P/2,弹 簧 刚 度 为 k.解：以 为 广 义 坐 标，则 系 统 的 动 能 为 112.210,xT T 重 物 T 轮 子 m)22,1P11P2 xP2P2-2(.x)R)xx22g22gR4g4g2P2.x2g系

10、 统 的 势 能 为：1U U 重 物 U 弹 簧 一 Pxkx2；2拉 格 朗 日 函 数 为 L=T-U;由 拉 格 朗 月 方 程 L L()0 得.dt x xP.xkx P g-4-第 一 章 单 自 由 度 系 统 贝 IJ,0=kg Pkg P所 以：系 统 的 固 有 频 率 为 1.6求 图 1-35所 示 系 统 的 固 有 频 率。图 中 磅 子 半 径 为 R,质 量 为 M,作 纯 滚 动。弹 簧 刚 度 为 K o解：磅 子 作 平 面 运 动，其 动 能 T=T平 动+T转 动。T 平 动 T 转 动 12;222 1 MR x 1 x I1132Mx2 Mx2；

11、Mx24412Kx；2 T 而 势 能 U系 统 机 械 能 TU 312Kx2 C;Mx42由 dTU 0 得 系 统 运 动 微 分 方 程 出 3Kx 0：Mx2得 系 统 的 固 有 频 率 Mx2;2 R 2 2 Rn 2K；3M1.7求 图 1-36所 示 齿 轮 系 统 的 固 有 频 率。已 知 齿 轮 A 的 质 量 为 m A,半 径 为 rA,齿 轮 B 的 质 量 为 m B,半 径 为 rB,杆 A C的 扭 转 刚 度 为 K A,，杆 B D的 扭 转 刚 度 为 KB,解：由 齿 轮 转 速 之 间 的 关 系 ArA B r B 得 角 速 度 rA A；r

12、B 转 角 B rA A；rBB系 统 的 动 能 为:-5-结 构 动 力 学 作 业 T1 1JATATBA2JB B2 221 mArA22 21 mBrB2 24 2 2B2 JmAmBrA2 A 2；T A系 统 的 势 能 为：rA21111 2222 U KA AKB B KA AKB B KAKB22222 rB2A，系 统 向 机 械 能 为 2rll 22A,A KAKBTU.mAmBrA42 rB22A C：由 d,TU o 得 系 统 运 动 微 分 方 程 dtrA212.AKAKBmAmBrA2rB20；A因 此 系 统 的 固 有 频 率 为：rA2 2KAKB2

13、 rB,mAmBrA2rA2 2KAKB2 rBmAmBnIrA1.8已 知 图 1 3 7 所 示 振 动 系 统 中，匀 质 杆 长 为 1,质 量 为 m,两 弹 簧 刚 度 皆 为 K,阻 尼 0 时 系 数 为 C,求 当 初 始 条 件 0 0(1)f(t)Fsin t 的 稳 态 解；(2)f(t)(t)t的 解；解：利 用 动 量 矩 定 理 建 立 系 统 运 动 微 分 方 程 c 1 k 1,f(t)lk 1 J2 2 2 2222mml2而 J rdm r；dr1 1 2 1 122221212得 3cl2 6kl2 61f(t)；ml2化 简 彳 喜-6-第 一 章

14、单 自 由 度 系 统.3c6k6,f(t)(1)mmml(1)求 f(t)Fsin t 的 稳 态 解；将 f(t)Fsin t代 入 方 程(1)得.令 2n 3c6k6.Fsin t(2)mmml3c6k6F;n2;h;得 mmml.2n 2 hsin t(3)n.设 程(3)的 稳 态 解 为 t)(4)x Asin(将(4)式 代 入 方 程(3)可 以 求 得：A;arctg 求 f(t)(t)的 解；将 f(t)代 入 方 程(1)得 2n 3c；arctg222 n 6km令 2n 3c6k6,(t)mmml3c6k6;n2;h;得 mmml_2n.2 h(t)(6)方 程(6

15、)成 为 求 有 阻 尼 的 单 自 由 度 系 统 对 于 脉 冲 激 励 h可 以 得 到 初 始 加 速 度(5)n(t)的 响 应。由 方 程(6)h(t)；0然 后 积 分 求 初 始 速 度poo,dt.0 0 0 h(t)dt h(t)dt h；00。再 积 分 求 初 位 移 0,dt h)dt 0；0 0 0 0.、.和 的 瞬 态 响 应 这 样 方 程(6)的 解 就 是 系 统 对 于 初 始 条 件 000 x Aentsin dt.；-7-结 构 动 力 学 作 业 将 其 代 入 方 程(6)可 以 求 得：A hm d;0;最 后 得 x Aentsin dt.

16、hm dentsin dt1.9 图 1-3 8 所 示 盒 C*Kx 0；mx或 xCKx 0;xmm2nx n2x 0;系 4 羽 运 动 方 痛 是 I寸 于 初 始 条 件 的 响 应:x Aentsin dt.；2A x00 nxO x或.X.d.2gH x 0；dd 2arctg dxO 0；,0 nxOx2gHsin dt;x dL io火 车 以 速 度 V 在 水 平 路 面 行 使。其 单 自 由 度 模 型 如 图。设 m、k、c 已 知。路 面 波 动 情 况 可 以 用 正 弦 函 数 产 hsin(at)表 示。求：(1)建 立 汽 车 上 下 振 动 的 数 学

17、模 型；(2)汽 车 振 动 的 稳 态 解。解：(1 k(yyl)c(yyl)my其 中：y 表 示 路 面 波 动 情 况；y l表 示 汽 车 上 下 波 动 位 移。将 其 整 理 为：.cyky kylcyly m将 y hsin(at)代 入 得-8-第 一 章 单 自 由 度 系 统.cyky achcos(at)khsin(at)my(2)汽 车 振 动 的 稳 态 解：ta)设 稳 态 响 应 为：y Asin(代 入 系 统 运 动 微 分 方 程(1)可 解 得：2A kc2 2(km 2)2c2 2h；acrmc 3ak(km 2)c2 2)；1.11.若 电 磁 激

18、振 力 可 写 为 F(t)Hsin2 O t,求 将 其 作 用 在 参 数 为 m、k、的 稳 态 响 应。解：首 先 将 此 激 振 力 按 照 傅 里 叶 级 数 展 开：(t)aO2F(aicos(i t)bisin(i t)i 1龚 中：ai 2TT OF(t)cos(i t)dt；bi 2TT 0F(t)sin(i t)dt因 为 F(t)Hsin2(Ot)是 偶 函 数，所 以 bi O o 于 是 F(t)H2H2cos(2 O t)而 x(t)H2kAsin(2 O ta/2)；式 中 HA 2m(2 2 2 2；n4 0)16n 0a 2n22；n4 0n c2m,2kn

19、 m-9-的 弹 簧 振 子 上 c结 构 动 力 学 作 业.3,求 其 等 效 粘 性 阻 尼。1.12.若 流 体 的 阻 尼 力 可 写 为 Fd bx解：（1）流 体 的 阻 尼 力 为.3；Fd bx（2）设 位 多 为 x Acos（t）,.dt；而 dx x（3）流 体 的 阻 尼 力 的 元 功 为,3xdt）；dWd Fddx（bx,（4）流 体 的 阻 尼 力 在 一 个 振 动 周 期 之（6）等 效 粘 性 阻 尼：取 n,令 可 得：233b nA4 nceqA2 4ceq32b nA2 4-10-第 二 章 两 自 由 度 系 统 第 二 章 两 自 由 度 系

20、统 2.1求 如 图 2-11所 示 系 统 的 固 有 频 率 和 固 有 振 型，并 画 出 振 型。解：（1）系 统 的 振 动 微 分 方 程,1 kxlk（xlx2）mX,2 k(x2x 1)kx2mx 12kxlkx2 0；B|J mx.2kxl2kx2 0；(1)mx,(2)系 统 的 特 征 方 程 根 据 微 分 方 程 理 论，,设 方 程 组(1)的 解 为：xl Alsin(,t)；x2 A2sin(,t)(2)将 表 达 式(2)代 入 方 程 组(1)得：(m 2A12kAlkA2)sin(t)0(m 2A2kA12kA2)sin(,t)0(3)t)不 可 能 总

21、为 零，所 以 只 有 前 面 的 系 数 为 零：因 为 sin(2km 2)AlkA2 0;kAl(2km)A2 0;2即 一 2km 2kk Al 0；(4)2km 2 A2 0(3)系 统 的 频 率 方 程 若 系 统 振 动，则 方 程 有 非 零 解，那 么 方 程 组 的 系 数 行 列 式 等 于 零，即：2km 2k展 开 得 k0；22kmm 4 m k.3k 0；(5)系 统 的 固 有 频 率 为：1 K/m；2(4)系 统 的 固 有 振 型 将 1,2 代 入 系 统 的 特 征 方 程(4)式 中 的 任 一 式，得 系 统 的 固 有 振 型，即 各 阶 振

22、幅 比 为：1(1)A1(1)A22422;(6)(1)1；1(2)(2)A1(2)A21;-11-(7)结 构 动 力 学 作 业 系 统 各 阶 振 型 如 图 所 示：其 中（a）是 一 阶 振 型，（b）是 二 阶 振 型。（5）系 统 的 主 振 动 系 统 的 第 一 主 振 动 为（1)(l)xl Alsin(It 1)A l(l)k.t l)；mk.t l)m(1)(1)2 A2sin(It 1)(1)A1(1)系 统 的 第 一 主 振 动 为(2)(2)xl Alsin(2t 1)Al(2)3k.t l)；m3k.t l)m(2)(2)x2 A2sin(2t 1)(2)A1

23、(2)2.2确 定 图 2-12所 示 系 统 的 固 有 频 率 和 固 有 振 型。解：系 统 的 动 能 1212212.1212T(2m)u(m)u mumu222(2)系 统 的 势 能 因 为 弹 簧 上 端 A、B 两 点 的 位 移 uA 2ululu2uu2;uB 1;22所 以 系 统 的 势 能 为 Vuu22Kulu22K(2ul 1.)02222K22(5ul2ulu2u2);41K2221 2mu(5ul2ulu2u2)24(3)系 统 的 Lagrange函 数 21L TV mu(4)系 统 的 运 动 微 分 方 程 d L 由 Lagrange方 程 jdt

24、 u1 0 ujj 1,2可 得 5KKulu2 0;22 KK2Kulu2 O;mu2212mu-12-第 二 章 两 自 由 度 系 统 即 5K1 2 2m u.K um 2 2K ul 0 2;K u 2 0 2(5)系 统 的 特 征 方 程 设 系 统 的 运 动 微 分 方 程 的 解 为 ul Alsin(,t),u2 A2sin(t)代 入 系 统 的 运 动 微 分 方 程 得 系 统 的 特 征 方 程 5K 2 2m,K A1A2 0;2 2 K K KAI m 2 A2 0;22即 5 K22m,K A 0 2 2 1;K K A2 0 2m.22(6)系 统 的 频

25、 率 方 程 系 统 的 特 征 方 程 有 非 零 解 得 充 分 必 要 条 件 是 其 系 数 行 列 式 为 零 5 K 2 2m.K 2 2 0;K K 2 m.22即 4m2 47Km 22K2 0;解 得，系 统 的 固 有 频 率 1 0.6Km;2 1.K；m(7)系 统 的 固 有 振 型 将 系 统 的 固 有 频 率 代 入 系 统 的 特 征 方 程 中 的 任 何 一 个 可 得 系 统 的 固 有 振 型(1)A1(1)A2 1(1)O.28;(2)A1(2)A2 1(2)1.67;(8)系 统 的 主 振 动-13-结 构 动 力 学 作 业 ul(l)Al(l

26、)sin(l.t 1)Al 1)；1)(l)(l)u2 A2sin(l,t 1)0.28Al(l)(2)(2)ul Alsin(It 1)Al(2)sin(l.k.t l)；mk.t l)m(2)(2)u2 A2sin(l,t 1)1.67Al(2)sin(1.2.3 一 均 质 细 杆 在 其 端 点 由 两 个 线 性 弹 簧 支 撑(图 2-13),杆 的 质 量 为 m,两 弹 簧 的 刚 度 分 别 为 2 K 和 K。(1)写 出 用 杆 端 铅 直 位 移 u l和 u 2表 示 的 运 动 方 程；(2)写 出 它 的 两 个 固 有 频 率；(3)画 出 它 的 两 个 固

27、有 振 型；解：(1)均 质 杆 的 运 动 微 分 方 程 以 均 质 杆 的 静 平 衡 位 置 为 坐 标 原 点，均 质 杆 的 质 心 C 的 位 移 为 uC1.ulu2;2u2uu2ulLL均 质 杆 绕 质 心 C 的 转 角 为,c K(2ulu2)mu.KLJC.Iu2)m(uK(2ulu2)2 2.lu2KL mLu Ku 1 Lu212L2s i n l 均 质 杆 的 运 动 微 分 方 程 KulLu2 2,Jmu24Kul2Ku2 0 mu-BP(1).mumul2Ku6Ku 0 1212(2)系 统 的 特 征 方 程.t)u2 A2sin(,t)，代 入 方

28、程(1)设 运 动 微 分 方 程(1)的 解 为 ul Alsin(m 2Alm 2A24KA12KA2 022m Alm A212KA16KA2 0即 4Km 2 2 m 12K2Km 2 Al 0;2 A 0 6Km 2(4)系 统 的 频 率 方 程-1 4-第 二 章 两 自 由 度 系 统 系 统 的 特 征 方 程 有 非 零 解 得 充 分 必 要 条 件 是 其 系 数 行 列 式 为 零 4Km 2m 212K2Km 2 0;6Km 2即 m2 412Km 224K2 0;解 得 系 统 的 两 个 固 有 频 率 1 1.612;2 3.066；(5)系 统 的 固 有

29、振 型 将 系 统 的 固 有 频 率 代 入 系 统 的 特 征 方 程 中 的 任 何 一 个 可 得 系 统 的 两 阶 固 有 振 型(1)A1(1)A2 1(1)(2)3A1137;(2)(2);7A267(6)系 统 的 两 阶 主 振 动 ul(l)Al(l)sin(It 1)Al(l)sin(1.612t 1)(1)(1)(1)u2 A2sin(It 1)2.33Alsin(1.612t 1)sin(It 1)Al(2)sin(3.066t 1)u2 A2sin(l,t 1)1.81Alsin(3.066t 1)2.4确 定 图 2-14解:(1)系 竺 运 动 微 分 方 程

30、 1 2K(u2ul);2mu2 2K(u2ul);mu Bpi2Kul2Ku2 0;2mu(1).22KKul2Ku2 O;mu(2)系 统 特 征 方 程 设 运 动 微 分 方 程(1)的 解 为 ul Alsin(t).t),和 u2 A2sin(代 入 方 程(1),Km 2A1KA2 0 2 2KA12Km A2 0-15-结 构 动 力 学 作 业 即 K m 22K Al 0 K;2Km 2 A2 0(3)系 统 频 率 方 程 系 统 的 特 征 方 程 有 非 零 解 得 充 分 必 要 条 件 是 其 系 数 行 列 式 为 零 K m 22KK 0;22km即m 43K

31、 2 0;解 得 1 0;2 3K;m(4)系 统 的 固 有 振 型 将 系 统 的 固 有 频 率 代 入 系 统 的 特 征 方 程 中 的 任 何 一 个 可 得 系 统 的 两 阶 固 有 振 型(1)A1(1)A2 1(1)1;(2)A1(2)A2 1(2)1;22.5图 2-15所 示 的 均 质 细 杆 悬 挂 成 一 摆，杆 的 质 量 为 m,长 为 L的 固 有 频 率 和 固 有 振 型。解：(1)求 均 质 细 杆 质 心 的 坐 标 和 质 心 的 速 度 xc Lsin Isin 2,yc Leos Icos 2LLcos,yc loos 1 22 lsin 1L

32、agrange 函 数 L TV 112221mgLcos.mL222mL?21 1 22 1 2cos 1(3).求 系 统 的 运 动 微 分 方 程;222sin 2；22c x(2)求 系 统 的 cos.；,CCmxyJC 2122222 2mgLcos lcos8242由 Lagrange方 程可 得 d Ldt j 1 0 j,j 1,2-16-第 二 章 两 自 由 度 系 统 mL2mL2L,mg 1 012 44222mL.mL.mgL 012232 4mL2即 42mL 4mL2 mgL4 12.mL2 2 030 01;mgL 2 02(4)系 统 特 征 方 程.t)

33、和 2 A2sin(,t),代 入 方 程(1)设 运 动 微 分 方 程(1)的 解 为 1 Alsin(LmL22mL22(mg)A1 A2 0 24422mL 2A(mgLmL 2)A 01223 4LmL22mL22(mg)Al 0244;即 mL22LmL22 A2 0(mg)423(3)系 统 频 率 方 程 系 统 的 特 征 方 程 有 非 零 解 得 充 分 必 要 条 件 是 其 系 数 行 列 式 为 零 LmL22mL22(mg)2440;22mL2LmL2(mg)423即 L2 414g 212g2 0;解 得 系 统 的 两 个 固 有 频 率 1gL;2 3.6g

34、；L(4)系 统 的 固 有 振 型 将 系 统 的 固 有 频 率 代 入 系 统 的 特 征 方 程 中 的 任 何 一 个 可 得 系 统 的 两 阶 固 有 振 型(1)A1(1)A21(1)1；Al(2)A21(2)13;-17-结 构 动 力 学 作 业 2.6两 层 楼 用 集 中 质 量 表 示 如 图 2-16所 示 的 系 统。其 中 ml11m2；kl k2；证 明 该 系 统 22 xlkl2klxl的 固 有 频 率 和 固 有 振 型 为：1；2;(1)2;(2)1；2m 1m 1x2x2解：(1)系 统 振 动 微 分 方 程,Ikllxlkl2x2 Omlx(1

35、),2kl2xlk22x2 0m2x(2)系 统 特 征 方 程 xl Al sin,t.设 方 程 组 的 解 为 x Asin,t _ 2 2代 入 方 程 组(1)式 得，系 统 特 征 方 程,kli 2mlAlkl2A2 0(2)2k21Alk22 m2A2 0(3)系 或 频 率 方 程 因 为 考 虑 系 统 振 动 的 情 况，所 以 要 求 方 程(2)有 非 零 解，而 方 程(2)有 非 零 解 的 充 要 条 件 是 其 系 数 行 列 式 等 于 零：Kll 2mlK12K120K22 2m2即 2(k22 m2)kl2k21 0(3)kll 2ml)(4)系 统 固

36、 有 频 率 根 据 已 知 条 件 kll kl,k21 kl2 kl,k22 klk2 3kl,ml k22代 入(3)式 得 11m2,kl k2;2211klk2 3kl,ml m2,kl k2;225 kl 2 kl4 0 2 ml ml221kl2k2,2 1；2mlml(5)系 统 固 有 振 型：将 系 统 固 有 频 率 代 入 系 统 特 征 方 程(2)得 系 统 固 有 振 型-18-第 二 章 两 自 由 度 系 统(1)A1(1)A2kl221mlkllkl2klklkl22；(2)A1(2)A222mlkl 1kl1;2klkl(6)系 统 的 主 振 动：(I)

37、xl(l)x2(2)xl(2)x2(1)A1(1)A22(2)A1(2)A21;证 毕。2.7 如 图解：(1)建 立 系 统 运 动 微 分 方 程 根 据 牛 顿 第 二 定 律，分 别 对 m l和 m 2列 出 振 动 微 分 方 程,Iklxlk2(xlx2)f(t)mlx,2k2(x2xl)0m2x.即：(1-1),I(klk2)xlk2x2 m 2esin t)mlx,2k2xlk2x2 0m2x(1-2)(2)求 系 统 的 稳 态 响 应：设 系 统 的 稳 态 响 应 为 x Alsin(t 1)1(1-3)x2 A2sin(ta2)即 xl Cl sin,tC2cos t

38、x2 DI sin,tD2cos t(1-4)-1 9-结 构 动 力 学 作 业 将 表 达 式(1-4)代 入 式(1-2),根 据 两 个 方 程 中 包 含 sin t 的 系 数 和 为 零 及 包 含 cos t 的 系 数 和 为 零，可 得 如 下 方 程 组：(ml 2klk2)Clk2Dl m 2e;(ml,klk2)C2k2D2 0;2即 k2Cl(m2 2k2)Dl 0;k2C2k2D2 0;(1-5)求 解 方 程 组(1-5)得：C2 D2 0Cl DI4m 2e(k2 2m2)222mlm2 mlk2 m2kl.klk2m2k2m 2ek2;(1-6)ml m2

39、4mlk2 2m2kl 2klk2m2k2 2C2 D2 0;t l),x2 A2sin(ta2)中 有 所 以 在 公 式 xl Alsin(m 2e(k2 2m2)Almlm2 mlk2 m2kl.klk2m2k2m 2ek2mlm2 4mlk2 2m2kl 2klk2m2k2 24222；(1-7)A21 2 0;2.8在 如 图 2-18所 示 的 系 统 中，一 水 平 力 Fsin(st)作 用 于 质 量 块 M 上，求 使 M不 动 的 条 件。解：(1)系 统 有 两 个 自 由 度，选 广 义 坐 标 为 x,(p(2)系 统 的 动 能 12121)212mlx T MX

40、mXm(l 2222(3)系 统 的 M能 12U 2kxmgl(lcos)2(4)Lagrange 函 数 L TUL112mlxcos kx2mglmglcos _ 2ml2.(Mm)x22(5)对 Lagrange函 数 求 导-2 0-第 二 章 两 自 由 度 系 统 Leos;d(L)(Mmjcos;L 2kx;ml.ml(Mm)xx xdt x xLd L Lmlxmlsin mglsin.cos;()ml2.cosml2 x mlxdt;(6)Lagrange 方 程 d L L()Fsin tdt x x d L L()O dt得.cos.2kx Fsin tml(Mm)x

41、2cos mix sin.mglsin 0ml mix.因 为,振 啰 为 微 幅 振 动，所 以 cos 1 2,sin(7)解 方 程：设 x Asin t,Bsin t 代 入 方 程 并 整 理 得：A 2(Mm)B 2ml(l 2)2Ak FBmlAml mlAB.Bmgl 0因 为 M 不 动，所 以 A=0。而 B 不 能 等 于 零，故，22222mgl 2ml2 0,解 得 g；12.9在 图 2-19所 示 的 系 统 中，轴 的 弯 曲 刚 度 为 E J,圆 盘 质 量 为 m,它 对 其 一 条 直 径 的 转 动 惯 量 为 I=m R 2/4,其 中 R=L/4。

42、设 轴 在 它 的 静 平 衡 位 置 时 是 水 平 的，且 忽 略 轴 的 质 量。求 系 统 的 运 动 微 分 方 程 和 固 有 频 率。解：(1)系 统 自 由 度、广 义 坐 标：图 2-19 所 示 的 系 统 自 由 度 N=2,选 Y、为 广 义 坐 标。(2)系 统 运 动 微 分 方 程 121 y limy(1)my I;1222-21-结 构 动 力 学 作 业 其 中 系 数：1 1L3L2L,12,22;3EJ2EJEJ(3)系 统 特 征 方 程 设 y Al sin,t A2sin.t.代 入 方 程 得Alsin(,t)11m 2Alsin(,t)121

43、2A2sin(t)0;A2sin(,t)12Alsin(t)221 A2sin(t)022整 理 得 1 llm 22 12mmL32121 2 13EJ21 221 2 L 22EJL2I20 2EJ;(2)0L2 1EJ(4)系 统 固 有 频 率 特 征 方 程(2)由 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是 其 系 数 行 列 式 等 于 零:mL323EJL2 22EJ即 L2I 22EJ 0;L1 2EJ19L3m2.1 0;248EJ192EJ4L3m2解 得：11.62EJ8.6,2LmLLEJ;mL2.10图 2-20所 示 的 是 两 自 由 度 系 统。其 中 P1

44、P 求 系 统 的 固 有 频 率、振 型 和 u l的 稳 态 响 应。解：(1)系 统 自 由 度、广 义 坐 标 广 义 坐 标 选 u l 和 u2根 据 牛 顿 第 二 定 律，写 出,1 K ulK(u2ul.)C(u2ul)CulPlmu,2 Ku2Cu2C(ulu2jK(u2ul);mu系 统 自 由 度 N=2；(2)系 统 运 动 微 分 方 程 营 成 矩 阵 形 式:,1 C.CC ul KK K ul Pcos t m O u0m u u u.CCCKKKO 2 2 2(2)系 统 的 固 有 频 率 和 振 型 对 于 系 统 运 动 微 分 方 程 两 边 作 拉

45、 氏 变 换 得-2 2-第 二 章 两 自 由 度 系 统 msms解 得 2s2 2(C sK)Ul(s)ms2CC,sKK U2(s)Q;CC,sKK Ul(s)(C sK)U2(s)Ps;有 2CC,sKK；(C sK)(C sK)0;ms2CC,sKK _sl,2 0.31 j31.4,s3,4 0.346 j37.37;由 此 1 31.4,2 37.37;系 统 的 固 有 振 型，即 各 阶 振 幅 比 为：1(1)A1(1)A2 系 统 的 第 一 主 振 动 为(1)1;1(2)(2)A1(2)A2 1;(l)(l)(l)xl Alsin(It 1)Alsin(It 1);

46、(1)x2(l)A2sin(it 1)(l)(l)Alsin(It 1)系 统 的 第 一 主 振 动 为(2)(2)xl Alsin(2t 1)Al(2)sin(2t 2);(2)2(2)A2sin(2t 1)(2)(2)Alsin(2t 2)(3)u l的 稳 态 响 应 由 拉 氏 方 程 组 解 得Ul(s)msPsms2CC,sKK 2CC sKK msCsKs 22 2;于 是 AlPsms2CC.sKK.;2ms2CC sKK ms2CsKsj 以 s j 代 入 得 AlPj e22 1421 2 1204.0.69,0.75 987.0.0.63 222222 arctanu

47、l 而 稳 态 解 为 0.69 1204 2arctan0.75 1421 2arctan0.63 987 2;ul Alcos(t);-23-结 构 动 力 学 作 业 2.1 1减 小 受 简 谐 激 振 励 单 自 由 度 系 统 的 振 幅 的 方 法 之 一，是 在 该 系 统 上 附 加 一 个“可 调 吸 振 器”，吸 振 器 由 弹 簧-质 量 组 成。(1)建 立 系 统 的 运 动 方 程；(2)设 系 统 的 稳 定 响 应 为 ul(t)U1 cos(t),u2(t)U2cos(t),试 证 明(k2 2m2)p 1 kpUl(),U2()21D()D()2其 中 D

48、()(klk2 2ml)(k2 2m2)k2(3)将 吸 振 器 调 到 k2m2 k l m l,证 明 当 2 k l m l时，即 原 系 统 处 于 共 振 状 态，U l的 响 应 振 幅 为 零；(4)若 吸 振 器 调 到 m2ml 0.25时,画 出 k lU lp l和 k lU 2 p l对 频 率 比 r 的 频 幅 图。解：(1)对 每 个 质 量 进 行 受 力 分 析，由 牛 顿 第 二 定 律 得 系 统 的 运 动 微 分 方 程 klmlm lul Pl cos tklulk2(u2ul)m2u2 k2(ulu2)mu(klk2)ulk2u2 plcos(t)

49、即、11;m2u2k2ulk2u2 0(2)将 系 统 的 稳 定 响 应 代 入 运 动 微 分 方 程 组 得(klk2ml 2)Ulk2U2 pl;2k2Ul(k2m2)U2 0由 Cramer法 则，(k2 2m2)plU l()D()25U 2()2k 2 p l D()2其 中 D()(klk2 ml)(k2 m2)k2(3)当 k2m2 klml时，系 统 的 频 率 方 程 为 klk2ml 2D()k2k20；2k2m2将 2 k lm l代 入 上 式，显 然 满 足 方 程，故 此 时 系 统 处 于 共 振 状 态。并 且 有-2 4-第 二 章 两 自 由 度 系 统

50、 Ul()(k2 2m2)pl 0 D()设 k2m2 k lm l,且 m2ml 0.25 时，可 得 klUlklU2pl lr2pl(1 r2)(lr2)1(.1 r2)(Ir2)所 以 频 幅 图 为 15010050-5-100.51rl.522.5-25-结 构 动 力 学 作 业 第 三 章 多 自 由 度 系 统(2)系 统 运 动 微 分 方 程 根 据 牛 顿 第 二 定 律，建 立 系 统 运 动 微 分 方 程 如 下：,1 KlxlK2(xlx2);mlx.2 K2(x2xl)K3(x2x3)K5x2K6x2;m2x,3 K3(x3x2)K4x3;m3x整 理 如 下