经济数学基础期末总辅导2.pdf

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1、经 济 款 当 基 砒 期 末 总 辅 导 第 一 编 第 二 章 一 无 函 熬 微 今 当 lim f(x)=A._、一、一、左 曲 熬 极 限 定.又 XT 中 应 整 惠 什 么 7要 披 量：(V f(x)左 x=x0处 系 一 是 定 义，(2)x 无 限 接 近 与 时，f(x)无 限 接 近 A,A 是 一 个 确 定 的 冬 照/(3)X。可。代 表 帝 熬，也 可 起 衰 亦 无 穷 上。二、二、为 何 判 断 曲 剧 f(x)在 x=x。处 极 限 是 否 在 成 7常 用 极 限 存 在 克 夏 条 件 来 判 断。lim/(九)=A lim f(x)=lim/(x)=

2、A若 XTq XT/xfH我 们 说 照 f(x)点 x=x。处 极 限 是 后 点 的，不 表 则 当 X f/时，f(x)。A 名 极 限。若 左、右 极 限 所 一 个 不 后 点 或 左、右 极 限 后 点 俚 系 相 等，我 们 就 说 f(x)在 x=x0处 的 极 限 系 后 在。例 由，殁 曲 熬 fcos(x-l)X 1f(x)=sin(九-1)+1 x llim/(x)=limsin(x-1)+1=1 lim f(x)=lim cos(x-1)=1斛：x-*r x-*r x-r.r-i+由 lim y(j)=l=lim f(x)=lim/(x)lim/(x)=l故 7三、三

3、、无 穷 小 勿 无 穷 大 定 义 及 常 用 植 质 1、1.“工 察 名 极 限 的 变 量，称 名 无 穷 小(-f)o无 穷 力 存 用 a、6、T 表 示。2,2,咨 X X。时，(x)l无 限 褶 大 且 可 大 小 值 意 作 是 的 正 实 数，款 A x)为 无 lim fix)=oo穷 人(-t)o-x。上 式 表 朗 x f x。时，/(X)是 无 穷 上。3,3.有 用 健 质(1)(V 有 界 量 多 无 穷 小 的 积 是 无 穷(2)(2)有 限 个 无 穷 小 的 积、和 仍 为 无 穷 力(3)(3)无 穷 人 身 无 穷。鼠 倒 照 关 系。四、四、求 极

4、 限 有 用 方 让 上 种 k 1,用 极 限 四 则 运 算 法 则 求 的 为，求 下 列 匹 数 极 限 lim(x2+3)=limx2+lim3=I2+3=4(1).r-l*5 x 1lim(6x2-9x+4)=61imx2-91imx+lim4=6 x 2?-9 x 2+4=10(2)XT2 XT2 XT2 XT22、2、用 无 穷 小 傥 质 病 例 由；忒 极 限；lim的 XT8 元 今 折，此 魏 系 怩 用 运 算 法 则 求。-limsin x.limx,.一，、因.38 极 限 左 点 成，但 可 用 无 穷 小 但 质 点。解:,:I sin x 1 1,lim=0

5、X二.原 式=0(2)x x 2今 折；此 数 今 母 极 限 0,系 惋 用 运 算 彼 则 或；可 用 无 穷 小 与 无 穷 人 关 系 或。,/lim-=0；.原 式=oo解/Xf 2 X+23、3、漪 去 极 限%。的 国 3 点 例 的；求 极 限.x-16lim-()x f 4 x-4今 新：此 数 不 惋 用 高 的 法 则 求，合 母 极 限 0。势 领 先 靖 去 极 限 为 零 的 0 3,在 X f 4 的 极 限 过 程 中，工 一 4。0。对 公 式 忒 极 限 时，可 前 去 极 限，案 的 0 3。.x+1 2.x-1.1 1lim-=lim-=lim-=解,展

6、 式=3(x-D(x+l)H(X-1)(%+1)XT X+1 24.4、用 根 坎 市 限 化 第 用 公 式(五 一 四)(五+茄)=。一 人。杷 曲 熬 中 的 根 式 药 理 化 后，再 求 极 限 例 由：京 极 限 4 x-2lim,fl；x-+x-2 0今 新，上 式 中 今 母 极 限 者 0,不 怩 用 商 的 运 算 让 则，先 杷 式 中 根 式 理 化，春 求 极 限。解：縻 4l i m=U m=H m I=J-4(X2+X-20)(V X+2)(x-4)(x+5)(Vx+2)(x+5)(77+2)9x4 36(2)lim(x-77T7)今 新,由 X-8 时，上 式

7、是 不 确 金 的 熬，不 惋 用 运 案 法 则，先 根 式 嘴 理 化，森 求 极 限。解，源 蚊 X+X11+1 _25.5、比 较 零 法 法 忒 嘴 理 台 式 极 限，用 今 母 中 法 照 秦 裔 的 家 去 除 今 3、今 专，森 用 商 的 求 极 限 汝 则，的 为，求 极 限()(2).2 尸+x+1.x x2lim-.=hm 芋*T8%2-X-l XTB 1 1一;一 至 人 2+0+01-0-0c c 1 10 3 c 2 1 3x-2 H-1.3x-2x+x+1.x xiim-=h m-1 8 k+工 一 1 X f C O 1 11 H-不 X X6、6、用 变

8、要 极 限 lim吧=1和 lim(l+4)=e 来 求 极 限。X-0 X X-Q O%例 由；求 下 列 匹 粼 极 限/I 1 tanx sinx 1 sinx 1(1/h m-=lim-=lim-h m-X TO X X T O X COS X“f X XTO COS X.1!sin-limx-sin=lim-=1A 00 x 戈 T O O 1(2)x=lim(l+-)2 2=e2(3)*f8 X-8 X五、五、曲 叔 戊.陵 的 刘 是 1,/(X)点 点 X。处 迷 筱 定 义 若 视!x)=x),则 称/(x)点 点 X。处 遵 毯。点 X。4/(X)的 逡 旗 点。2、XlT

9、i”m/(x)=/(x0)送 等、式 1 三 种 含 义；()/(X)在 点 X。处 有 定 义,，(2)hmf(x)X T.%极 限 存 在；(3)极 限 值 T 等 于 曲 熬 值/(x。)。上 述 三 个 条 件 鞅 一 个，就 表 求 茁 熬/(X)点 点 与 处 系 it修。这 时 点 4 称 名/。)的 间 断 直。3、总#刘 断/(X)在 工。处 邃 读？用 途 旗 克 要 本 件 未 判 断/(X)X。处 心 索=嗯)=/)例 为，曲 数/(x)=4 一 点 x=O 处 是 否 直 裱 7x2 x 0lim f(x)=lim(x-l)=-l野:x-0-x-0-lim f(x)=

10、lim x2=0 lim/(x)x-0+x-0+x-0-盘 不 存 在，/(x)左 x=O处 系 it侵。4.4,力 要 辖 企，初 等 匹 熬 点 其 5t义 域 由 途 发。5.5、速 会 曲 剧“X)或 极 限，嘴。下 转 累，lim/(x)=f(lim x)x-xo X-X Q自 恻 敢/(X)=,透 裤 致 1、若 I1x w 2“2 财 弼=()A、2 B,4 C,1 D,系 志 在 2、当 X f+8 时，下 列 变 量 中()素 是 无 穷 小 量.1 sinx xx sin-A、x B、x C、x-x D、e3,不 列 晶 剧 中，在 x=O 处 同 断 嗡()sinx2xA

11、、12x w Ox=Ox 0C,/(x)=ln(l+x)0-1 x 0 x 0/(x)=j B、/(x)=：二、二、镇 室 要limxsin=、Xf 0 Xlim(l-)x=2、X2A+1f(x)=0 x 0sinxln(l+x)7、X T O8、lim(五 孕 8 X+12 J x+3lim(l-)2冬 嚓，一、一、逡 君 敢 L B 2、A 3、D二、二、碗 或 散 1.0 2,4 3.3e4三、三、4t耳 机 1,2 2,0 3、-8 4.18221忑 5,6.1 7.8.e经 济 数 学 基 础 辅 导 第 一 编 第 二 章 一 无 函 数 微 分 学(续)六、1、f(X)与 f(X

12、o)的 联 系 和 区 别 f(X)是 导 函 数,是 变 量 f(Xo)是 f(X)在 点 X o处 的 导 数 值，即 f(Xo)是 f(X)在 X o处 的 函 数 值，是 常 量.2、如 何 判 断 f(X)在 点(Xo)处 可 导？用 函 数 可 导 的 充 要 条 件 即：f(X)在 点(X。)处 可 导 O(X。)=(X。)=/(X。),来 判 断 f(X)在 点(Xo)处 是 否 可 导。3、本 教 材 用 导 数 定 义 推 导 出 来 的 十 条 基 本 公 式。(C)=0(C 为 常 数)(X，)=a x a 为 任 意 实 数)(ax)=axlna(a 为 常 数，a0

13、 a#l)(e=e1(log J)(Inx)x in aJ _x(a 为 常 数，a0 aWl)(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(tanx)1cos2 X(cotx)sin2 x10条 导 数 基 本 公 式 是 微 分、积 分、求 解 微 分 议 程 的 基 础，同 学 们 必 须 多 做 练 习，熟 练 使 用。4、微 分 与 导 数 关 系 导 数 又 名 微 商，即 y=空 dx故 有 dy=y dx上 式 表 明，求 微 分，只 要 求 出 导 数 y 再 乘 上 d x 即 可 七、求 导 常 用 方 法(一)用 四 则 运 算 法 则 求 导 1、四 则 运 算 法

14、 则 设 u=u(x),v=v(x)C 为 常 数 有(cu)=cu(uu)=u u(uv)=uz v+uv(“)._ u v-u vV V2(0)2、求 下 列 函 数 的 导 数 例:(1)y二 2x+二 3(a、b 常 数)解：y=(a+b2)=总 十 a+b3-X d-a+b a+b)=(2a+bx)+(3 2a+b(2)y=L-x+x2-3,+log9 x+cosxG 一,-,1解：y=(x 2)-l+2x-3*ln3+-sinxxln21-1 x 2-l+2 x-3 T n 3+-sin x2 xln2(二)用 复 合 函 数 求 导 法 复 合 函 数 求 导 法，是 本 章 重

15、 点，同 学 们 应 熟 练 掌 握 1、复 合 函 数 求 导 法 则：设 y=f(u),u=p(x),且 f(x)和 p(x)在 X 处 可 导，则 y=f p(x)=f(u)pz(x)或 y，x=y u,uz x这 法 则 表 示 复 合 函 数 fp(x)的 导 数 是 y对 中 间 变 量 u求 导 乘 以 中 国 变 量 U 对 自 变 量 x 的 导 数。这 法 则 通 常 称 为 链 式 法 则。这 法 则 可 推 广 到 有 限 个 中 间 变 量 的 情 况。如 y=-f(u),u=p(u),u=x(x)贝 ijY x=Yn Uv V x2、求 导(或 微 分)例：(1)Y

16、=(l+2x)8解：令 Y=IJ8,U=1+2XY=Yu Ux=(U8)(1+2X)=8U72=16U7=16(1+2X)7(2)y=lncosx解：令 y=lnu U=COSxy=Yu U x=(lgu)z(c o sx)1 z、sin x=-(-s in x)=-=-t a n xu cos x注 意：用 复 合 函 数 求 导 法，复 合 函 数 分 解 为 简 单 函 数 求 导 后，需 用 代 入 法 消 去 所 有 中 间 变 量，把 导 数 表 示 为 X 的 复 合 函 数。熟 悉 了 复 合 函 数 求 导 法 后，司 以 不 用 写 出 中 间 变 量，直 接 由 外 及

17、里，逐 层 求 导，即 可(3)Y=log2(3X)1 3 X解：y=-(3%)=-=一 3x-In 2 3x-In 2 x In 2(4)Y=sin2 x解：y=cos2x(2X)Z=2xln2 cos2x又 例 如：(5)已 知 y=71+s in eA,求 dy。解:y-(1+sine)2ll+sine”=-(1+sin e*)2jl+sine，=-0+cosx(ex)2jl+sine，ex-cose”2川+sine，ex coseAay=-.7 ax2jl+sine6、已 知 y=xex+ln(x+x2+e2)求 f(0)解:y=(xev)+ln(x+y/x2+e2)=+xcx H-.

18、=，(x+dx2+e-)x+Vx2+e2x+J 厂+e 2 J+e1G+e?=ex+xex+/(0)=y Lo=e+O-e+1 1+-V02+e2 e(三)隐 函 数 求 导 法 1、求 法：设 y=f(x)是 由 方 程 F(x,y)=0 确 定 的 隐 函 数，求 导 方 法 是:(1)把 y看 成 x 的 函 数，在 方 程 两 边 对 x求 导：(2)用 复 合 函 数 求 导 法(3)解 出 y 的 表 达 式 2、例 题(1)函 数 y=f(x)是 由 方 程 exy=y所 确 定 的，求 y解：方 程 两 分 对 X 求 导 exy(xy);=y,exy(y+xy,)=yyexy

19、+xexy y y=0(xe-l)y=-yexy,=_ y*=)，-xex y-l 1 3(2)求 由 方 程 x?+xy+y2=4确 定 的 曲 线 y=y(x)在(2,-2)点 处 切 线 方 程，分 析：本 题 需 求 出 隐 函 数 的 导 数 及 导 数 在 点(2,-2)处 的 数 值，进 而 由 导 数 的 几 何 意 义 及 点 斜 式 求 得 切 线 方 程。解：方 程 两 边 对 X 求 导：2x+y+xy+2yy=0(x+2y)y/=-(2x+y)2x4-yy=-x+2y.2x+yy L=2=-1=2=Iy=-2 X+2y y=-2所 求 切 线 方 程 为：y+2=l(

20、x-2)即 x-y-4=0八、高 数 导 数 定 义：y=f(x)的 n-1阶 导 数 的 导 数 称 为 n 阶 导 数。即 y(n)=y(n-1)以 上 是 n 阶 导 数 定 义。二 阶 及 二 阶 以 上 的 导 数 统 称 为 高 阶 导 数 利 用 导 数 的 基 本 公 式 和 运 算 法 则，对 函 数 一 次 一 次 求 导，可 得 高 阶 导 数,例 如：求 y=ln(l+x)的 二 阶 导 数 解：1 1y=T T 7(1+x)=T T Iy-(1+x)=-(1+x)2(1+X)2自 测 题 求 下 列 函 数 的 导 数(或 微 分)1、y=(Vx+2)(=1)7 X2

21、、y=e 63、y=ln2(3x+7)4、y=log2(x+x2)5、y=3A+x3+32-ln(l-2x)6、设 函 数 y=f（x）由 方 程/+,2=。2（a 为 常 数）所 确 定，求 dy.7、求 曲 线 y 一 在 点（0,1）处 的 切 线 方 程。2+x8、已 知 y=x21nx,求 y”及 y lx=e答 案：x+4、-r2xy1 x2 三 61n(3x+7)3、-3x+7心;In2v2+x2o5、31n3+3/+l-2x6、-dxy7 x+4y-4=08、21nx+3及 八 N=y(e)=5经 济 数 学 基 础 辅 导 4第 一 编 第 三 章 导 数 应 用 本 章 主

22、 要 是 介 绍 利 用 导 数 研 究 函 数 的 一 些 特 性，如 极 值、最 值 和 对 经 济 问 题 进 行 边 际 分 析、弹 性 分 析 等 内 容:一、如 何 确 定 函 数 的 单 调 区 间？1、定 理：设 y=f(x)在 a,b 上 连 续,在(a,b)内 可 导，若 X(a,b),有(1)f(X)0,f(X)在 a,b 上 单 调 增 加;(2)f(X)0,f(X)在 a,b 上 单 调 减 少;此 定 理 中 的 区 间，称 为 单 调 区 间。2、确 定 函 数 y=f(x)单 调 区 间 步 骤：(1)确 定 Y=f(x)的 定 义 域 D；(2)求 Y；(3)

23、令 Y=0,求 出 根；(4)用 Y=0 的 根，划 分 D 为 几 个 小 区 间，列 出 表 格 判 别；(5)结 论。例 如：确 定 函 数/3=2/_2+12-3的 单 调 区 间。解：f(X)的 定 义 域：(-8,+8)/(x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(XT)(X-2)令 尸(x)=0 即 6(X-l)(X-2)=0得 Xi=l,X2=2列 表 X(q,1)1(1,2)2(2,+8)Y+-+注 意：确 定 Y 的 符 号 时，可 取 小 区 间 中 任 意 一 个 确 定 数，如:0,1.5,3,代 入 f(X)式 中 定 出 y 的 正、负 号，再 用 符

24、 号“/”、分 别 表 示，曲 线 上 升 或 下 降。故 f(x)单 调 增 加 区 间 为(-8,1,2,+8),单 调 减 少 区 间 为 1,2二、函 数 极 值 和 最 值：函 数 极 大 值 与 极 小 值 统 称 为 极 值。取 到 极 大 值 或 极 小 值 的 点 统 称 为 极 值 点。1、极 值 的 必 要 条 件：f(x)在 点 Xo处 可 导，点 Xo是 f(X)的 极 值 点，则 f(Xo)=02、驻 点：使 f(X)=0的 点，称 为 f(X)的 驻 点(或 稳 定 点)。注 意：(1)点 Xo是 f(x)的 极 值 点(或 稳 定 点)，f(x)在 Xo处 可

25、导，则 点 Xo必 定 是 驻 点；(2)驻 点 不 一 定 是 极 值 点；(3)在 导 数 不 存 在 的 点 处，可 能 有 极 值。3、极 值 存 在 充 分 条 件：设 f(x)在 点 X0的 邻 域 连 续 且 可 导(f(Xo)可 以 不 存 在)，当 X 从 X。的 左 侧 到 右 侧 取 值 时，f(X)符 号:从+变-，Xo为 极 大 值 点，f(Xo)为 极 大 值;从-变+,Xo为 极 小 值 点,f(Xo)为 极 小 值;不 变 号，Xo不 是 极 值 点，f(X)在 X0处 无 极 值。用 以 上 定 理，可 判 别 Xo是 不 是 f(X)的 极 值 点。下 面

26、举 例 说 明 如 何 求 函 数 的 极 值 和 极 值 点 o2例 如：求 函 数/(x)=3xx的 极 值。解：f(X)的 定 义 域(-8,+OO)-1 2 2-又 G/(x)=2x 3 _1=_1=乎 令 f(X)=O 则 有 2-次=0得 驻 点 X=8X=0使 f、(X)无 意 义，X=0是 f(X)不 可 导 的 点。列 表 X(-8,0)0(0,8)8(8,+8y不 存 在 y 0+04极 小 值 极 大 值 故 x=o是 极 小 值 点，极 小 值 f(0)=0 x=8是 极 大 值 点，极 大 值 f(8)=44、函 数 的 最 值:函 数 最 大 值 和 最 小 值 统

27、 称 为 函 数 的 最 值。对 整 个 函 数 定 义 域 而 言，极 值 是 局 部 概 念，函 数 最 值 是 整 体 概 念。求 应 用 问 题 的 最 值，常 用 以 下 的 结 论：f(x)在 a,b 上 连 续，在(a,b)内 可 导，且 Xo是 f(x)在(a,b)内 唯 一 驻 点，那 么 当 Xo是 f(x)极 大 值 点(或 极 小 值 点)时 一，Xo一 定 是 f(x)在 a,b 上 的 最 大 值 点(或 最 小 值 点)，f(x。)是 函 数 f(x)的 最 值。例 如：生 产 某 产 品 的 总 成 本 函 数 C(X)=400+10 x+x2 2求 使 平 均

28、 成 本 最 低 的 产 量 及 最 低 平 均 成 本。“、c(x)400 1n解：平 均 成 本 3)=丁=：+1+,、400,X2-400A(x)=一-+1=；X X令 A(X)=0,贝 I J 有 400=0得 Xl=20 X2=20(舍 去)当 X20时,A(X)20时,A(X)0X=2 0 是 极 小 值 点，在(0,+8)内 驻 点 唯 一，X=2 0 也 是 最 小 值 点。故 当 产 量 X=20时-，平 均 成 本 最 低，最 低 平 均 成 本 为 A(20)=.+10+20=50三、导 数 在 经 济 分 析 中 的 应 用 1、需 求(价 格)弹 性设 某 商 品 的

29、 市 场 需 求 量 为 q,价 格 为 P,需 求 函 数 q=q(P)可 导,则 称 为 该 商 品 需 求 价 格 弹 性，简 称 需 求 弹 性。其 经 济 意 义 是：当 某 种 商 品 的 价 格 下 降(或 上 升)1%时，某 需 求 量 将 增 加(或 减 少)IEpl%o例 如：某 种 商 品 的 需 求 量 q(单 位：百 件)与 价 格 P(单 位：千 元)的 关 系 为：q(p)=15e p 0,10求 当 价 格 为 9 千 元 时 的 需 求 弹 性。1-2 xl5e 3解：=P-=-?q i s/3当 P=9时，9 19=9 3 32、三 个 边 际 函 数(1)

30、边 际 成 本：边 际 成 本 是 总 成 本 函 数 C(q)关 于 产 量 q 的 导 数，记 为 M C,则 有 M C=C(q)o经 济 意 义：当 产 量 为 P 时，再 生 产 一 个 单 位 产 品 所 增 加 的 成 本。即 边 际 成 本 是 第 q+1个 产 品 的 成 本。(2)边 际 收 入：边 际 收 入 是 总 收 入 函 数 R(q)对 销 售 量 q 的 导 数，记 为 M R。经 济 意 义：当 销 售 量 q 时，再 销 售 一 个 商 品 所 增 加 的 收 入。(3)边 际 利 润：利 润 函 数 L=L(q)对 销 售 量 q 的 导 数，称 为 边

31、际 利 润，记 为 ML。由 于 利 润 函 数 L(q)=R(q)-C(q),则 有(q)=R(q)-c(q)例 如：已 知 总 成 本 函 数 为 C(q)=2000+450q+0.02q2销 售 单 价 为 490,求 1)C(q)2)L(q)及 L(q)解:DC(q)450+0,04q2)总 收 入 函 数 R(q)=pq=490q利 润 函 数：L(q)=R(q)-C(q)=490q-(2000+450q+0.02q2)=-0.02q2+40q-2000边 际 利 润 函 数 为：L(q)=-0.04q+40自 测 题：一、选 择 题：1 函 数 y=x?-4x+5 在 区 间(0,

32、+8)内 A、单 调 增 加 B、先 单 调 增 加 后 单 调 减 少C、先 单 调 减 少 后 单 调 增 加 2、下 列 结 论 中 正 确 的 是(A、函 数 的 驻 点 一 定 是 极 值 点 C、函 数 的 极 值 点 处 导 数 必 为 0驻 点 3、设 需 求 函 数 q=100e2_ p _A、-50e”_C、2D、单 调 减 少)oB、函 数 的 极 值 点 一 定 是 驻 点 D、函 数 的 导 数 为 0 的 点 一 定 是，则 需 求 弹 性 E P=()_ B、lOOpe 2D、2二、填 空 题 1、f(x)在(a,b)内 有 f(X)=O,则 f(X)=o2、函

33、数 f(x)=x 2-l的 单 调 下 降 区 间 是。23、已 知 需 求 函 数 q(p)=10-3p3,则 需 求 弹 性 EP=三、计 算 题 1、确 定 函 数 y=%3/一 3+1的 单 调 区 间。Q2.求 函 数 f(x)=-X4+-j X32x2+2 的 极 值。3.某 产 品 固 定 成 本 为 18(万 元)，可 变 成 本 2x 2+5X(万 元)，其 中 X为 产 量(百 台)，求 使 平 均 成 本 最 低 的 产 量。4.某 产 品 的 需 求 量 q=250-2P(P为 价 格)，价 格 为 多 少 时，可 使 收 入 最 大？5、已 知 某 商 品 的 需 求

34、 量 q=1200-100p(件)，其 中 P 是 价 格(元/件)，求 使 收 入 最 大 的 销 售 量 和 相 应 的 最 大 收 入。6、某 厂 生 产 X 个 产 品 的 成 本 为 C(X)=2X+100(元)得 到 收 益 为 R(X)=8X0.01x2(元)，问 生 产 多 少 个 产 品 时 才 能 利 润 最 大?最 大 利 润 是 多 少？答 案：一、选 择 题：1、C 2、D 3、C二、填 空 题：1、C(常 数)2、(0,+8)23、一 2P32三、计 算 题：1、f(x)单 调 增 加 区 间(-8,-1,3,+8)单 调 减 少 区 间 为 T,32、X=0是 极

35、 大 值 点，极 大 值 f(0)=23、3(百 台)4、62.55、q=600(件)，最 大 收 入 R(600)=3600(元)6、q=300(个)，最 大 利 润 L(300)=800(元)经 济 数 学 基 础 辅 导 5叶 挺 峰 第 二 编 一 元 函 数 积 分 学 第 四 章 一 元 函 数 积 分 学 一、不 定 积 分 1、什 么 是 原 函 数？设 f(x)是 定 义 在 区 间 D 上 的 函 数，若 存 在 F(x),对 任 何 x D,均 有 F(x)=f(x)(或 dF(x)=f(x)dx)则 称 F(x)为 f(x)在 D 上 原 函 数(简 称 f(x)的 原

36、 函 数)。注 意：函 数 f(x)的 原 函 数 不 唯 一，有 无 穷 多 个。f(x)的 任 意 两 个 原 函 数 只 差 一 个 常 数。例 如：F(X)是 f(x)的 一 个 原 函 数，C 为 常 数，有 F(x)+C=FZ(x)=f(x)o2、不 定 积 分 定 义：对 于 某 区 间 D 上 的 函 数 f(x)为 可 积 函 数，若 存 在 原 函 数，则 称 f(x)为 可 积 函 数，并 将 f(x)的 全 体 原 函 数 记 为/f(x)d x,并 称 它 为 函 数 f(x)的 不 定 积 分。若 F(x)是 f(x)的 一 个 原 函 数，C 为 任 意 常 数，

37、由 于 f(x)的 全 体 原 函 数 可 表 示 为 F(x)+C,则 有 f f(x)dx=F(x)+C其 中 C 称 为 积 分 常 数。3、为 什 么 求 积 与 求 导 互 为 逆 运 算？在 f f(x)dx=F(x)+C中，两 边 对 一 x 求 导，则 有/f(x)d x=F(x)+C=F(x)=f(x)又 因/F(x)dx=f f(x)dx=F(x)+C上 式 表 明：对 F(x)先 导 后 积，结 果 是 F(x)加 上 一 个 常 数。可 见：求 积 与 求 导(或 求 微 分)互 为 逆 运 算。4、基 本 积 分 公 式：求 积 与 求 导 互 为 逆 运 算，因 此

38、，有 一 个 导 数 公 式 就 有 一 个 对 应 的 积 分 公 式，同 学 们 应 熟 记 以 下 九 个 积 分 公 式。p p x J odx=c J xnd x=+C(nW l)f dx r axJ=In x+c J a dx=;+cx Inaf exdx=ex+c f sinxdx=-cosx+cC f dxJ cosdx=sinx+c J 也 入=-cotx+cdxCOS X=tanx+c二、基 本 积 分 方 法:(一)不 定 积 分 常 用 性 质 1、代 数 和 分 开 积 f f(x)g(x)dx=f f(x)dx f g(x)dx2、常 数 因 子 提 出 来f kf

39、（x）dx=k/f（x）dx（kWO 常 数）（二）积 分 基 本 方 法：1、直 接 积 分 法 这 是 用 不 定 积 分 运 算 性 质 和 积 分 基 本 公 式，直 接 求 出 不 定 积 分 的 方 法。例 1：求 下 列 不 定 积 分(1)f(3x1 2-3 42 x+l)dx1 2X2xdx=lnlxl+r7+c2 m2(3)f ex(l+e-x)dx解：原 式=f exdx+f dx=ex+x+c(4)f tan2xdxh a f sin2x,r l-cos2x,解：原 式=)蓊 dx=J 7 F d x解：原 式=3 f x2dx2 f xdx+f dxv3 2_ X X

40、.3 2=3 2 j+x+c=x-x+x+c(2)f 圭+2x)dx解:原 式=1 f Jdx+f乙 A.-d x cos xf dx=tanx-x+c2、凑 微 分 法（又 名 第 一 换 元 法）这 是 计 算 不 定 积 分 重 要 方 法，又 是 本 章 重 点，应 多 做 练 习，熟 练 掌 握。凑 微 分 法 又 名 第 一 换 元 法。这 方 法 实 质 上 是 把 被 积 表 达 式 凑 成 微分 形 式，再 用 基 本 公 式 求 积。即 fu(x)u(x)dx=fu(x)du(x)u(x)=u,有 f(u)du=F，(u)du=dF(u)故 f dF(u)=F(u)+c=F

41、u(x)+c u=u(x)注 意:使 用 这 方 法 求 积，凑 微 分 时 需 换 元 即 选 取 新 积 分 变 量；在 结 果 中 要 回 代，消 去 中 间 变 量。例 如：求 f e2xdx解：令 2x=u,(以 便 用/eXdx公 式)du=(2x)dx=2dx dx=；du原 式=J eu d u=J eudu=；e u+c=e 2x+c例 1、求 下 列 不 定 积 分，d x解：令 2x-l=u(以 便 用 f 7 d x公 式)A.du=(2x-l)dx=2dxdx=gdu原 式=J J 2d u=g：du1sin 一(2)f dx解：令:=U du=p dx原 式=-f

42、sin,(-4)d=f sinudu=cosu+c=cos1+X X Xc熟 悉 了 凑 微 分 法 求 积 分，可 以 省 略 换 元、回 代，但 要 熟 记 下 列 常 用 的 凑 微 分 公 式，公 式 是：(l)adx=d(ax+b)(aWO 常 数，b 常 数)1 2(2)xdx=/dx(3)cosxdx=d(sinx)(4)sinxdx=d(cosx)(5)-dx=2d(/x)(6)廿 dx=-d()(7)+dx=d(lnx)(8)exdx=d(ex)例 3：求 下 列 不 积 分(1)f sin2xdx,1 r 1解：原 式=”J sin2xd(2x)=cos2x+c(2)f t

43、anxdx&力 C sinx,r dcosx,角 车：原 式=J-dx=-J-=In cosx+ccosx cosx(3)/野 dx解：原 式=/nxdlnx=f ln2x+c r Eex dx解：原 式=/叫：x)=lnll+exl+c1 I w3、分 部 积 分 法 这 是 求 不 定 积 分 另 一 种 重 要 方 法，是 本 章 重 点 之 一。在 被 积 表 达 式 中，出 现 函 数 之 积，需 要 分 部 积 分 法 求 积。(1)分 部 积 分 公 式：设 u=u(x),V=v(x)都 是 连 续 可 微 函 数，则 f udv=uv j vdu(2)u、dv选 择 的 原 则

44、 在 被 积 表 达 式 中，对 出 现 下 列 情 况 时，u、dv选 择 的 原 则 是：xkeaxdx1 xk sinax dx 选 u=x R,其 他 为 dvX.xkcosax dx2 _feaxsinbxdxeaxcosbxdx 选 11=/淇 他 为 dv3 xklnmxdx 选 u=lnmx,其 他 为 dv。(3)分 部 积 分 时，dv中 函 数 v 如 何 找？1用 凑 微 分 得 到 2 一 时 无 法 凑 微 分，可 用 不 定 积 分/dv=v+c 求 得 一 个 原 函 数 v,把 v 放 在 d 之 后，不 必 把 积 分 常 数 c 也 放 入 d 之 后，因

45、 为 d(v+c)=dv。例 4：求 下 列 不 定 积 分：(1)f x2exdx解：原 式=f x2dex=x2ex f exdx2=x2ex2 f xexdx=x2ex2 f xdex=x2ex2xex f exdx=x2ex2x ex+2ex+c=(x22x+2)ex+c从 上 例 可 见，分 部 积 分 公 式 可 反 复 使 用。(2)f excosdx解：原 式=J exdsinx=exsinx-f sinxdex=exsinx-f exsinxdx=exsinx+f exdcosx=exsinx+excosx-f cosxdex=exsinx+excosx f excosxdx

46、+2c贝 I 2 f excosxdx=(sinx+cosx)ex+2c原 式=4(sinx+cosx)ex+c f 2xlnxdx解：原 式=f lnxdx2=x2lnx f x2dlnx=x2lnx f dx=x2lnx Xf xdx=x2lnx x2+c自 测 题：一、选 择 题:1、若 F(x)是 f(x)的 一 个 原 函 数，则 f f(3x+2)dx=()B、oF(x)+cD、F(x)+c则 f(x)=()B、3cos3xD、3cos3xA、F(3x+2)+cC、；F(3x+2)+c2、若 f f(x)dx=cos3x+c,A、3sin3xC、3sin3x3、下 列 等 式 成

47、立 的 有()A、d x=d也 C、sinxdx=d(cosx)4、下 列 等 式 正 确 的 是()A、g x2dx=d(x3)C、sinxdx=d(cosx)5、d(/a3xdx)=()A、a3xdxC、a3xB、T d x=-d(；)D、axdx=lnadaxB、dx=d(lnlxl)2XD、百 dx=d(2x)B、a3x(-31na)dxD、a3x+c6、若 f(x)是 可 导 函 数，则 下 列 等 式 中 不 正 确 的 是()A、f f(x)dxj=f(x)B、f(x)dx=f(x)+cC d f f(x)dx=f(x)dx D、f df(x)=f(x)二、填 空 题：1、若 函

48、 数 f(x)的 一 个 原 函 数 F(x)=x1则 f，(x)=o(4)f 2xln(x+l)dx2、f sin2xcosxdx=03、若 f f(x)dx=x2+c,则 f xf(l x2)dx=_ o、计 算 题：1、求 下 列 不 定 积 分(1)f(x)dxA(2)J(+sinx)dxX f ex(3+2x)dx2、求 下 列 不 定 积 分(1)f ex(l+ex)4dx(2)dx f sin(l-2x)dx(4)f cosxesinxdx C COS 侦 JJ cos r dxA/x3、求 不 定 积 分(1)f xedx fxlnxdx(3)f xsinxdx(4)fexsi

49、nxdx答 案：一、选 择 题:三、计 算 题:1、C 2、A 3、B 4、B 5、A 6、B二、填 空 题：1、6x 2、sin3x+c3、2(1x2)2+c1、4+Cc、2 x(2e)x 3e+由+c2、(1)|(l+ex)5+c;cos(l 2x)+c(5)2sinMT+c3、(l)xex-ex+c(2)x-Inlxlcosx+c1 2，)2+c(4)esinx+c(2)g x2lnx+c(3)xcosx+sinx+c(4)2 ex(sinxcosx)+c(5)x2ln(x+l)+x lnlx+ll+c经 济 数 学 基 础 辅 导 6第 二 编 第 四 章 一 元 函 数 积 分 学(

50、续)三.定 积 分(一)定 积 分 定 义：设 f(x)在 a,b 上 连 续，f(x)是 一 个 原 函 数，数 值 F(b)-F(a)称 为 f(x)在 a,b 上 的 定 积 分(或 称 为 f(x)从 a 到 b 的 定 积 分)记 为/bf(x)dx 即/f(x)dx=F(b)-F(a)简 记 为 f(x)|:a a 1 bb c1.f f(x)dx与 J f(x)dx有 什 么 关 系？a两 者 都 与 原 函 数 F(x)有 关 f f(x)d x 是 全 体 原 函 数，是 一 个 函 数；Zbf(x)dx是 一 个 数，它 与 原 函 数 及 积 分 上，下 限 有 关，与