2016年北京市高考文科数学试题及答案.pdf

《2016年北京市高考文科数学试题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年北京市高考文科数学试题及答案.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页（共 1 2 页）2016 年 北 京 市 高 考 数 学 试 卷（文 科）参 考 答 案 与 试 题 解 析一 选 择 题（共 8 小 题）1（2 0 1 6 北 京）已 知 集 合 A=x|2 x 4，B=x|x 3 或 x 5，则 A B=（）A x|2 x 5 B x|x 4 或 x 5 C x|2 x 3 D x|x 2 或 x 5【考 点】交 集 及 其 运 算【专 题】计 算 题；转 化 思 想；综 合 法；集 合【分 析】由 已 知 条 件 利 用 交 集 的 定 义 能 求 出 A B【解 答】解：集 合 A=x|2 x 4，B=x|x 3 或 x 5，A B=x|

2、2 x 3 故 选：C【点 评】本 题 考 查 交 集 的 求 法，是 基 础 题，解 题 时 要 认 真 审 题，注 意 交 集 的 定 义 的 合 理 运 用 2（2 0 1 6 北 京）复 数=（）A i B 1+i C i D 1 i【考 点】复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算【专 题】计 算 题；转 化 思 想；数 系 的 扩 充 和 复 数【分 析】将 分 子 分 线 同 乘 2+i，整 理 可 得 答 案【解 答】解：=i，故 选：A【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 复 数 代 数 形 式 的 加 减 运 算，共 轭 复 数 的 定 义，难 度 不 大，属 于

3、基 础 题 3（2 0 1 6 北 京）执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图，输 出 s 的 值 为（）A 8 B 9 C 2 7 D 3 6【考 点】程 序 框 图【专 题】计 算 题；操 作 型；算 法 和 程 序 框 图 第 2 页（共 1 2 页）【分 析】根 据 已 知 的 程 序 框 图 可 得，该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 S 的 值，模 拟 程 序 的 运 行 过 程，可 得 答 案【解 答】解：当 k=0 时，满 足 进 行 循 环 的 条 件，故 S=0，k=1，当 k=1 时，满 足 进 行 循 环 的 条 件，故

4、S=1，k=2，当 k=2 时，满 足 进 行 循 环 的 条 件，故 S=9，k=3，当 k=3 时，不 满 足 进 行 循 环 的 条 件，故 输 出 的 S 值 为 9，故 选：B【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 程 序 框 图，当 循 环 次 数 不 多，或 有 规 律 可 循 时，可 采 用 模 拟 程序 法 进 行 解 答 4（2 0 1 6 北 京）下 列 函 数 中，在 区 间（1，1）上 为 减 函 数 的 是（）A y=B y=c o s x C y=l n（x+1）D y=2x【考 点】函 数 单 调 性 的 判 断 与 证 明【专 题】函 数 思 想；综 合

5、 法；函 数 的 性 质 及 应 用【分 析】根 据 函 数 单 调 性 的 定 义，余 弦 函 数 单 调 性，以 及 指 数 函 数 的 单 调 性 便 可 判 断 每 个 选项 函 数 在（1，1）上 的 单 调 性，从 而 找 出 正 确 选 项【解 答】解：A x 增 大 时，x 减 小，1 x 减 小，增 大；函 数 在（1，1）上 为 增 函 数，即 该 选 项 错 误；B y=c o s x 在（1，1）上 没 有 单 调 性，该 选 项 错 误；C x 增 大 时，x+1 增 大，l n（x+1）增 大，y=l n（x+1）在（1，1）上 为 增 函 数，即 该 选项 错 误

6、；D.；根 据 指 数 函 数 单 调 性 知，该 函 数 在（1，1）上 为 减 函 数，该 选 项 正 确 故 选 D【点 评】考 查 根 据 单 调 性 定 义 判 断 函 数 在 一 区 间 上 的 单 调 性 的 方 法，以 及 余 弦 函 数 和 指 数 函数 的 单 调 性，指 数 式 的 运 算 5（2 0 1 6 北 京）圆（x+1）2+y2=2 的 圆 心 到 直 线 y=x+3 的 距 离 为（）A 1 B 2 C D 2【考 点】圆 的 标 准 方 程；点 到 直 线 的 距 离 公 式【专 题】计 算 题；转 化 思 想；综 合 法；直 线 与 圆【分 析】先 求 出

7、 圆（x+1）2+y2=2 的 圆 心，再 利 用 点 到 到 直 线 y=x+3 的 距 离 公 式 求 解【解 答】解：圆（x+1）2+y2=2 的 圆 心 为（1，0），圆（x+1）2+y2=2 的 圆 心 到 直 线 y=x+3 的 距 离 为：d=故 选：C【点 评】本 题 考 查 圆 心 到 直 线 的 距 离 的 求 法，是 基 础 题，解 题 时 要 认 真 审 题，注 意 点 到 直 线的 距 离 公 式 和 圆 的 性 质 的 合 理 运 用 第 3 页（共 1 2 页）6（2 0 1 6 北 京）从 甲、乙 等 5 名 学 生 中 随 机 选 出 2 人，则 甲 被 选

8、中 的 概 率 为（）A B C D【考 点】古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式【专 题】概 率 与 统 计【分 析】从 甲、乙 等 5 名 学 生 中 随 机 选 出 2 人，先 求 出 基 本 事 件 总 数，再 求 出 甲 被 选 中 包 含的 基 本 事 件 的 个 数，同 此 能 求 出 甲 被 选 中 的 概 率【解 答】解：从 甲、乙 等 5 名 学 生 中 随 机 选 出 2 人，基 本 事 件 总 数 n=1 0，甲 被 选 中 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 m=4，甲 被 选 中 的 概 率 p=故 选：B【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法，

9、是 基 础 题，解 题 时 要 认 真 审 题，注 意 等 可 能 事 件 概 率 计 算 公式 的 合 理 运 用 7（2 0 1 6 北 京）已 知 A（2，5），B（4，1）若 点 P（x，y）在 线 段 A B 上，则 2 x y 的 最大 值 为（）A 1 B 3 C 7 D 8【考 点】简 单 线 性 规 划【专 题】计 算 题；规 律 型；数 形 结 合；转 化 思 想；不 等 式【分 析】平 行 直 线 z=2 x y，判 断 取 得 最 值 的 位 置，求 解 即 可【解 答】解：如 图 A（2，5），B（4，1）若 点 P（x，y）在 线 段 A B 上，令 z=2 x y

10、，则 平 行 y=2 x z 当 直 线 经 过 B 时 截 距 最 小，Z 取 得 最 大 值，可 得 2 x y 的 最 大 值 为：2 4 1=7 故 选：C【点 评】本 题 考 查 线 性 规 划 的 简 单 应 用，判 断 目 标 函 数 经 过 的 点，是 解 题 的 关 键 第 4 页（共 1 2 页）8（2 0 1 6 北 京）某 学 校 运 动 会 的 立 定 跳 远 和 3 0 秒 跳 绳 两 个 单 项 比 赛 分 成 预 赛 和 决 赛 两 个 阶段，表 中 为 1 0 名 学 生 的 预 赛 成 绩，其 中 有 三 个 数 据 模 糊 学 生 序 号 1 2 3 4

11、5 6 7 8 9 1 0立 定 跳 远（单 位：米）1.9 6 1.9 2 1.8 2 1.8 0 1.7 8 1.7 6 1.7 4 1.7 2 1.6 8 1.6 03 0 秒 跳 绳（单 位：次）6 3 a 7 5 6 0 6 3 7 2 7 0 a 1 b 6 5在 这 1 0 名 学 生 中，进 入 立 定 跳 远 决 赛 的 有 8 人，同 时 进 入 立 定 跳 远 决 赛 和 3 0 秒 跳 绳 决 赛 的有 6 人，则（）A 2 号 学 生 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛 B 5 号 学 生 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛C 8 号 学 生 进 入 3 0 秒 跳

12、绳 决 赛 D 9 号 学 生 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛【考 点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用【专 题】探 究 型；简 易 逻 辑；推 理 和 证 明【分 析】根 据 已 知 中 这 1 0 名 学 生 中，进 入 立 定 跳 远 决 赛 的 有 8 人，同 时 进 入 立 定 跳 远 决 赛和 3 0 秒 跳 绳 决 赛 的 有 6 人，逐 一 分 析 四 个 答 案 的 正 误，可 得 结 论【解 答】解：这 1 0 名 学 生 中，进 入 立 定 跳 远 决 赛 的 有 8 人，故 编 号 为 1，2，3，4，5，6，7，8 的 学 生 进 入 立 定 跳 远 决 赛

13、，又 由 同 时 进 入 立 定 跳 远 决 赛 和 3 0 秒 跳 绳 决 赛 的 有 6 人，则 3，6，7 号 同 学 必 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛，剩 下 1，2，4，5，8 号 同 学 的 成 绩 分 别 为：6 3，a，6 0，6 3，a 1 有 且 只 有 3 人 进 入 3 0 秒跳 绳 决 赛，故 成 绩 为 6 3 的 同 学 必 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛，故 选：B【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 推 理 与 证 明，正 确 利 用 已 知 条 件 得 到 合 理 的 逻 辑 推 理 过 程，是解 答 的 关 键 二 填 空 题（共 6 小

14、 题）9（2 0 1 6 北 京）已 知 向 量=（1，），=（，1），则 与 夹 角 的 大 小 为【考 点】数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角【专 题】计 算 题；定 义 法；平 面 向 量 及 应 用【分 析】根 据 已 知 中 向 量 的 坐 标，代 入 向 量 夹 角 公 式，可 得 答 案【解 答】解：向 量=（1，），=（，1），与 夹 角 满 足：c o s=，又 0，=，故 答 案 为：第 5 页（共 1 2 页）【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 平 面 向 量 的 夹 角 公 式，熟 练 掌 握 平 面 向 量 的 夹 角 公 式，是 解 答的 关

15、键 1 0（2 0 1 6 北 京）函 数 f（x）=（x 2）的 最 大 值 为 2【考 点】利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值【专 题】计 算 题；函 数 思 想；综 合 法；函 数 的 性 质 及 应 用【分 析】分 离 常 数 便 可 得 到，根 据 反 比 例 函 数 的 单 调 性 便 可 判 断 该 函 数 在 2，+）上 为 减 函 数，从 而 x=2 时 f（x）取 最 大 值，并 可 求 出 该 最 大 值【解 答】解：；f（x）在 2，+）上 单 调 递 减；x=2 时，f（x）取 最 大 值 2 故 答 案 为：2【点 评】考 查 函 数 最 大 值

16、 的 概 念 及 求 法，分 离 常 数 法 的 运 用，以 及 反 比 例 函 数 的 单 调 性，根据 函 数 单 调 性 求 最 值 的 方 法 1 1（2 0 1 6 北 京）某 四 棱 柱 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 四 棱 柱 的 体 积 为【考 点】由 三 视 图 求 面 积、体 积【专 题】计 算 题；空 间 位 置 关 系 与 距 离；立 体 几 何【分 析】由 已 知 中 的 三 视 图 可 得：该 几 何 体 上 部 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 四 棱 柱，进 而 可 得 答案【解 答】解：由 已 知 中 的 三 视 图 可 得：该 几 何 体 上

17、 部 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 四 棱 柱，棱 柱 的 底 面 面 积 S=（1+2）1=，棱 柱 的 高 为 1，故 棱 柱 的 体 积 V=，故 答 案 为：【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 由 三 视 图，求 体 积 和 表 面 积，根 据 已 知 的 三 视 图，判 断 几 何 体的 形 状 是 解 答 的 关 键 第 6 页（共 1 2 页）1 2（2 0 1 6 北 京）已 知 双 曲 线=1（a 0，b 0）的 一 条 渐 近 线 为 2 x+y=0，一 个 焦点 为（，0），则 a=1，b=2【考 点】双 曲 线 的 标 准 方 程【专 题】计 算 题

18、；转 化 思 想；综 合 法；圆 锥 曲 线 的 定 义、性 质 与 方 程【分 析】由 双 曲 的 一 条 渐 近 线 为 2 x+y=0，一 个 焦 点 为（，0），列 出 方 程 组，由 此 能 出 a，b【解 答】解：双 曲 线=1（a 0，b 0）的 一 条 渐 近 线 为 2 x+y=0，一 个 焦 点 为（，0），解 得 a=1，b=2 故 答 案 为：1，2【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 中 实 数 值 的 求 法，是 基 础 题，解 题 时 要 认 真 审 题，注 意 双 曲 线 的 性质 的 合 理 运 用 1 3（2 0 1 6 北 京）在 A B C 中，A=，a

19、=c，则=1【考 点】正 弦 定 理 的 应 用【专 题】计 算 题；规 律 型；转 化 思 想；解 三 角 形【分 析】利 用 正 弦 定 理 求 出 C 的 大 小，然 后 求 出 B，然 后 判 断 三 角 形 的 形 状，求 解 比 值 即可【解 答】解：在 A B C 中，A=，a=c，由 正 弦 定 理 可 得：，=，s i n C=，C=，则 B=三 角 形 是 等 腰 三 角 形，B=C，则 b=c，则=1 故 答 案 为：1【点 评】本 题 考 查 正 弦 定 理 的 应 用，三 角 形 的 判 断，考 查 计 算 能 力 1 4（2 0 1 6 北 京）某 网 店 统 计

20、了 连 续 三 天 售 出 商 品 的 种 类 情 况：第 一 天 售 出 1 9 种 商 品，第二 天 售 出 1 3 种 商 品，第 三 天 售 出 1 8 种 商 品；前 两 天 都 售 出 的 商 品 有 3 种，后 两 天 都 售 出 的商 品 有 4 种，则 该 网 店 第 一 天 售 出 但 第 二 天 未 售 出 的 商 品 有 1 6 种；第 7 页（共 1 2 页）这 三 天 售 出 的 商 品 最 少 有 2 9 种【考 点】容 斥 原 理；集 合 的 包 含 关 系 判 断 及 应 用【专 题】计 算 题；转 化 思 想；综 合 法；集 合【分 析】由 题 意 画 出

21、图 形 得 答 案；求 出 前 两 天 所 受 商 品 的 种 数，由 特 殊 情 况 得 到 三 天售 出 的 商 品 最 少 种 数【解 答】解：设 第 一 天 售 出 商 品 的 种 类 集 为 A，第 二 天 售 出 商 品 的 种 类 集 为 B，第 三 天售 出 商 品 的 种 类 集 为 C，如 图，则 第 一 天 售 出 但 第 二 天 未 售 出 的 商 品 有 1 6 种；由 知，前 两 天 售 出 的 商 品 种 类 为 1 9+1 3 3=2 9 种，当 第 三 天 售 出 的 1 8 种 商 品 都 是 第 一 天 或 第 二 天 售 出 的 商 品 时，这 三 天

22、售 出 的 商 品 种 类 最 少为 2 9 种 故 答 案 为：1 6；2 9【点 评】本 题 考 查 集 合 的 包 含 关 系 及 其 应 用，考 查 了 集 合 中 元 素 的 个 数 判 断，考 查 学 生 的 逻辑 思 维 能 力，是 中 档 题 三 解 答 题（共 6 小 题）1 5（2 0 1 6 北 京）已 知 a n 是 等 差 数 列，b n 是 等 比 数 列，且 b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 1 4=b 4（1）求 a n 的 通 项 公 式；（2）设 c n=a n+b n，求 数 列 c n 的 前 n 项 和【考 点】等 差 数 列 与 等 比 数

23、 列 的 综 合【专 题】方 程 思 想；分 析 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列【分 析】（1）设 a n 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列，b n 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列，运 用 通 项 公 式 可得 q=3，d=2，进 而 得 到 所 求 通 项 公 式；（2）求 得 c n=a n+b n=2 n 1+3n1，再 由 数 列 的 求 和 方 法：分 组 求 和，运 用 等 差 数 列 和 等 比 数列 的 求 和 公 式，计 算 即 可 得 到 所 求 和【解 答】解：（1）设 a n 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列，b n 是 公 比 为 q 的

24、等 比 数 列，由 b 2=3，b 3=9，可 得 q=3，b n=b 2 qn2=3 3n2=3n1；即 有 a 1=b 1=1，a 1 4=b 4=2 7，则 d=2，则 a n=a 1+（n 1）d=1+2（n 1）=2 n 1；（2）c n=a n+b n=2 n 1+3n1，则 数 列 c n 的 前 n 项 和 为（1+3+（2 n 1）+（1+3+9+3n1）=n 2 n+第 8 页（共 1 2 页）=n2+【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 公 式 的 运 用，同 时 考 查 数 列 的 求 和方 法：分 组 求 和，考

25、 查 运 算 能 力，属 于 基 础 题 1 6（2 0 1 6 北 京）已 知 函 数 f（x）=2 s i n x c o s x+c o s 2 x（0）的 最 小 正 周 期 为（1）求 的 值；（2）求 f（x）的 单 调 递 增 区 间【考 点】复 合 三 角 函 数 的 单 调 性；三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法【专 题】计 算 题；函 数 思 想；数 学 模 型 法；三 角 函 数 的 图 像 与 性 质【分 析】（1）利 用 倍 角 公 式 结 合 两 角 和 的 正 弦 化 积，再 由 周 期 公 式 列 式 求 得 的 值；（2）直 接 由 相 位 在 正

26、 弦 函 数 的 增 区 间 内 求 解 x 的 取 值 范 围 得 f（x）的 单 调 递 增 区 间【解 答】解：（1）f（x）=2 s i n x c o s x+c o s 2 x=s i n 2 x+c o s 2 x=由 T=，得=1；（2）由（1）得，f（x）=再 由，得 f（x）的 单 调 递 增 区 间 为（k Z）【点 评】本 题 考 查 y=A s i n（x+）型 函 数 的 图 象 和 性 质，考 查 了 两 角 和 的 正 弦，属 中 档 题 1 7（2 0 1 6 北 京）某 市 居 民 用 水 拟 实 行 阶 梯 水 价，每 人 月 用 水 量 中 不 超 过

27、w 立 方 米 的 部 分按 4 元/立 方 米 收 费，超 出 w 立 方 米 的 部 分 按 1 0 元/立 方 米 收 费，从 该 市 随 机 调 查 了 1 0 0 0 0位 居 民，获 得 了 他 们 某 月 的 用 水 量 数 据，整 理 得 到 如 图 频 率 分 布 直 方 图：（1）如 果 w 为 整 数，那 么 根 据 此 次 调 查，为 使 8 0%以 上 居 民 在 该 月 的 用 水 价 格 为 4 元/立方 米，w 至 少 定 为 多 少？（2）假 设 同 组 中 的 每 个 数 据 用 该 组 区 间 的 右 端 点 值 代 替，当 w=3 时，估 计 该 市 居

28、 民 该 月 的人 均 水 费【考 点】频 率 分 布 直 方 图；随 机 抽 样 和 样 本 估 计 总 体 的 实 际 应 用【专 题】计 算 题；转 化 思 想；综 合 法；概 率 与 统 计 第 9 页（共 1 2 页）【分 析】（1）由 频 率 分 布 直 方 图 得：用 水 量 在 0.5，1）的 频 率 为 0.1，用 水 量 在 1，1.5）的频 率 为 0.1 5，用 水 量 在 1.5，2）的 频 率 为 0.2，用 水 量 在 2，2.5）的 频 率 为 0.2 5，用 水 量 在 2.5，3）的 频 率 为 0.1 5，用 水 量 在 3，3.5）的 频 率 为 0.0

29、 5，用 水 量 在 3.5，4）的 频 率 为 0.0 5，用 水 量 在 4，4.5）的 频 率 为 0.0 5，由 此 能 求 出 为 使 8 0%以 上 居 民 在 该 用 的 用 水 价 为 4 元/立方 米，w 至 少 定 为 3 立 方 米（2）当 w=3 时，利 用 频 率 分 布 直 方 图 能 求 出 该 市 居 民 的 人 均 水 费【解 答】解：（1）由 频 率 分 布 直 方 图 得：用 水 量 在 0.5，1）的 频 率 为 0.1，用 水 量 在 1，1.5）的 频 率 为 0.1 5，用 水 量 在 1.5，2）的 频 率 为 0.2，用 水 量 在 2，2.5

30、）的 频 率 为 0.2 5，用 水 量 在 2.5，3）的 频 率 为 0.1 5，用 水 量 在 3，3.5）的 频 率 为 0.0 5，用 水 量 在 3.5，4）的 频 率 为 0.0 5，用 水 量 在 4，4.5）的 频 率 为 0.0 5，用 水 量 小 于 等 于 3 立 方 米 的 频 率 为 8 5%，为 使 8 0%以 上 居 民 在 该 用 的 用 水 价 为 4 元/立 方 米，w 至 少 定 为 3 立 方 米（2）当 w=3 时，该 市 居 民 的 人 均 水 费 为：（0.1 1+0.1 5 1.5+0.2 2+0.2 5 2.5+0.1 5 3）4+0.0 5

31、 3 4+0.0 5 0.5 1 0+0.0 5 3 4+0.0 5 1 1 0+0.0 5 3 4+0.0 5 1.5 1 0=1 0.5，当 w=3 时，估 计 该 市 居 民 该 月 的 人 均 水 费 为 1 0.5 元【点 评】本 题 考 查 频 率 分 布 直 方 图 的 应 用，考 查 当 w=3 时，该 市 居 民 该 月 的 人 均 水 费 的 估计 的 求 法，是 中 档 题，解 题 时 要 认 真 审 题，注 意 频 率 分 布 直 方 图 的 合 理 运 用 1 8（2 0 1 6 北 京）如 图，在 四 棱 锥 P A B C D 中，P C 平 面 A B C D，

32、A B D C，D C A C（1）求 证：D C 平 面 P A C；（2）求 证：平 面 P A B 平 面 P A C；（3）设 点 E 为 A B 的 中 点，在 棱 P B 上 是 否 存 在 点 F，使 得 P A 平 面 C E F？说 明 理 由【考 点】空 间 中 直 线 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系；平 面 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系【专 题】综 合 题；转 化 思 想；综 合 法；立 体 几 何【分 析】（1）利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 D C 平 面 P A C；（2）利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 A

33、B 平 面 P A C，即 可 证 明 平 面 P A B 平 面 P A C；（3）在 棱 P B 上 存 在 中 点 F，使 得 P A 平 面 C E F 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 证 明【解 答】（1）证 明：P C 平 面 A B C D，D C 平 面 A B C D，P C D C，第 1 0 页（共 1 2 页）D C A C，P C A C=C，D C 平 面 P A C；（2）证 明：A B D C，D C A C，A B A C，P C 平 面 A B C D，A B 平 面 A B C D，P C A B，P C A C=C，A B 平 面 P A C

34、，A B 平 面 P A B，平 面 P A B 平 面 P A C；（3）解：在 棱 P B 上 存 在 中 点 F，使 得 P A 平 面 C E F 点 E 为 A B 的 中 点，E F P A，P A 平 面 C E F，E F 平 面 C E F，P A 平 面 C E F【点 评】本 题 考 查 线 面 平 行 与 垂 直 的 证 明，考 查 平 面 与 平 面 垂 直 的 证 明，考 查 学 生 分 析 解 决问 题 的 能 力，属 于 中 档 题 1 9（2 0 1 6 北 京）已 知 椭 圆 C：+=1 过 点 A（2，0），B（0，1）两 点（1）求 椭 圆 C 的 方

35、程 及 离 心 率；（2）设 P 为 第 三 象 限 内 一 点 且 在 椭 圆 C 上，直 线 P A 与 y 轴 交 于 点 M，直 线 P B 与 x 轴 交于 点 N，求 证：四 边 形 A B N M 的 面 积 为 定 值【考 点】椭 圆 的 标 准 方 程；直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系【专 题】综 合 题；方 程 思 想；综 合 法；圆 锥 曲 线 的 定 义、性 质 与 方 程【分 析】（1）由 题 意 可 得 a=2，b=1，则，则 椭 圆 C 的 方 程 可 求，离 心 率 为 e=；（2）设 P（x 0，y 0），求 出 P A、P B 所 在 直 线 方 程，

36、得 到 M，N 的 坐 标，求 得|A N|，|B M|由，结 合 P 在 椭 圆 上 求 得 四 边 形 A B N M 的 面 积 为 定 值 2【解 答】（1）解：椭 圆 C：+=1 过 点 A（2，0），B（0，1）两 点，a=2，b=1，则，椭 圆 C 的 方 程 为，离 心 率 为 e=；（2）证 明：如 图，设 P（x 0，y 0），则，P A 所 在 直 线 方 程 为 y=，第 1 1 页（共 1 2 页）取 x=0，得；，P B 所 在 直 线 方 程 为，取 y=0，得|A N|=，|B M|=1=四 边 形 A B N M 的 面 积 为 定 值 2【点 评】本 题 考

37、 查 椭 圆 的 标 准 方 程，考 查 了 椭 圆 的 简 单 性 质，考 查 计 算 能 力 与 推 理 论 证 能 力，是 中 档 题 2 0（2 0 1 6 北 京）设 函 数 f（x）=x3+a x2+b x+c（1）求 曲 线 y=f（x）在 点（0，f（0）处 的 切 线 方 程；（2）设 a=b=4，若 函 数 f（x）有 三 个 不 同 零 点，求 c 的 取 值 范 围；（3）求 证：a2 3 b 0 是 f（x）有 三 个 不 同 零 点 的 必 要 而 不 充 分 条 件 第 1 2 页（共 1 2 页）【考 点】利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方

38、程；函 数 零 点 的 判 定 定 理【专 题】方 程 思 想；分 析 法；函 数 的 性 质 及 应 用；导 数 的 概 念 及 应 用【分 析】（1）求 出 f（x）的 导 数，求 得 切 线 的 斜 率 和 切 点，进 而 得 到 所 求 切 线 的 方 程；（2）由 f（x）=0，可 得 c=x3+4 x2+4 x，由 g（x）=x3+4 x2+4 x，求 得 导 数，单 调 区 间 和 极值，由 c 介 于 极 值 之 间，解 不 等 式 即 可 得 到 所 求 范 围；（3）先 证 若 f（x）有 三 个 不 同 零 点，令 f（x）=0，可 得 单 调 区 间 有 3 个，求 出

39、 导 数，由 导数 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点，运 用 判 别 式 大 于 0，可 得 a2 3 b 0；再 由 a=b=4，c=0，可 得 若 a2 3 b 0，不 能 推 出 f（x）有 3 个 零 点【解 答】解：（1）函 数 f（x）=x3+a x2+b x+c 的 导 数 为 f（x）=3 x2+2 a x+b，可 得 y=f（x）在 点（0，f（0）处 的 切 线 斜 率 为 k=f（0）=b，切 点 为（0，c），可 得 切 线 的 方 程 为 y=b x+c；（2）设 a=b=4，即 有 f（x）=x3+4 x2+4 x+c，由 f（x）=0，可 得

40、 c=x3+4 x2+4 x，由 g（x）=x3+4 x2+4 x 的 导 数 g（x）=3 x2+8 x+4=（x+2）（3 x+2），当 x 或 x 2 时，g（x）0，g（x）递 增；当 2 x 时，g（x）0，g（x）递 减 即 有 g（x）在 x=2 处 取 得 极 大 值，且 为 0；g（x）在 x=处 取 得 极 小 值，且 为 由 函 数 f（x）有 三 个 不 同 零 点，可 得 c 0，解 得 0 c，则 c 的 取 值 范 围 是（0，）；（3）证 明：若 f（x）有 三 个 不 同 零 点，令 f（x）=0，可 得 f（x）的 图 象 与 x 轴 有 三 个 不 同 的

41、 交 点 即 有 f（x）有 3 个 单 调 区 间，即 为 导 数 f（x）=3 x2+2 a x+b 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点，可 得 0，即 4 a2 1 2 b 0，即 为 a2 3 b 0；若 a2 3 b 0，即 有 导 数 f（x）=3 x2+2 a x+b 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点，当 c=0，a=b=4 时，满 足 a2 3 b 0，即 有 f（x）=x（x+2）2，图 象 与 x 轴 交 于（0，0），（2，0），则 f（x）的 零 点 为 2 个 故 a2 3 b 0 是 f（x）有 三 个 不 同 零 点 的 必 要 而 不 充 分 条 件【点 评】不 同 考 查 导 数 的 运 用：求 切 线 的 方 程 和 单 调 区 间、极 值，考 查 函 数 的 零 点 的 判 断，注 意 运 用 导 数 求 得 极 值，考 查 化 简 整 理 的 圆 能 力，属 于 中 档 题