2017年山东省高考数学试卷(理科)试卷及解析.pdf

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1、第 1 页（共 2 2 页）2 0 1 7 年山 东省 高考 数学 试卷（理 科）一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个选项 中，只有一 项是 符号题 目要求 的.1（5 分）设函数 y=的定义域为 A，函数 y=l n（1 x）的定义域为 B，则A B=（）A（1，2）B（1，2 C（2，1）D 2，1）2（5 分）已知 a R，i 是虚数单位，若 z=a+i，z=4，则 a=（）A 1 或1 B 或 C D 3（5 分）已知命题 p：x 0，l n（x+1）0；命题 q：若 a b，则 a2b2，下列命题为真命

2、题的是（）A p q B p q C p q D p q4（5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 z=x+2 y 的最大值是（）A 0 B 2 C 5 D 65（5 分）为 了 研 究 某 班 学 生 的 脚 长 x（单 位：厘 米）和 身 高 y（单 位：厘 米）的 关系，从该 班随 机 抽取 1 0 名 学生，根据 测量 数 据的 散 点图 可以 看 出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知 xi=2 2 5，yi=1 6 0 0，=4，该班某学生的脚长为 2 4，据此估计其身高为（）A 1 6 0 B 1 6 3 C 1 6 6 D 1 7 06（5 分）执行

3、 两次 如图 所示的 程序 框图，若第 一次 输入 的 x 值为 7，第 二次 输入的 x 值为 9，则第一次，第二次输出的 a 值分别为（）第 2 页（共 2 2 页）A 0，0 B 1，1 C 0，1 D 1，07（5 分）若 a b 0，且 a b=1，则下列不等式成立的是（）A a+l o g2（a+b）B l o g2（a+b）a+C a+l o g2（a+b）D l o g2（a+b）a+8（5 分）从分别 标有 1，2，9 的 9 张卡 片中不 放回地 随机抽 取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A B C D 9（5 分）在 A B C

4、 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若A B C 为锐角三角形，且满足 s i n B（1+2 c o s C）=2 s i n A c o s C+c o s A s i n C，则下列等式成立的是（）A a=2 b B b=2 a C A=2 B D B=2 A1 0（5 分）已知 当 x 0，1 时，函数 y=（m x 1）2的 图 象与 y=+m 的 图 象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（）A（0，1 2，+）B（0，1 3，+）C（0，）2，+）D（0，3，+）二、填空 题：本 大题 共 5 小题，每 小题 5 分，共 2 5 分第 3 页（共 2 2 页）

5、1 1（5 分）已知（1+3 x）n的展开式中含有 x2的系数是 5 4，则 n=1 2（5 分）已知，是互相垂直的单位向量，若 与+的夹角为 6 0，则实数 的值是 1 3（5 分）由一个长方体 和两个 圆柱体构成的几何 体的三视图如图，则该几何体的体积为 1 4（5 分）在平面直角坐标系 x O y 中，双曲线=1（a 0，b 0）的右支与 焦 点 为 F 的 抛 物 线 x2=2 p y（p 0）交 于 A，B 两 点，若|A F|+|B F|=4|O F|，则该双曲线的渐近线方程为 1 5（5 分）若函数 exf（x）（e 2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数）在 f（x）的定义域

6、上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质 下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 f（x）=2xf（x）=3xf（x）=x3f（x）=x2+2 三、解答 题（共 6 小题，满 分 7 5 分）1 6（1 2 分）设 函数 f（x）=s i n（x）+s i n（x），其中 0 3，已知 f（）=0（）求；（）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）在，上的最小值第 4 页（共 2 2 页）1 7（1 2 分）如 图，几 何 体 是 圆 柱 的 一 部分，它 是 由 矩 形 A

7、B C D（及 其 内 部）以A B 边所在直线为旋转轴旋转 1 2 0 得到的，G 是 的中点（）设 P 是 上的一点，且 A P B E，求C B P 的大小；（）当 A B=3，A D=2 时，求二面角 E A G C 的大小1 8（1 2 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲

8、种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示（）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率（）用 X 表 示 接 受 乙 种 心 理 暗 示 的 女 志 愿 者 人 数，求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望E X 1 9（1 2 分）已知xn是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，依次连接点 P1（x1，1），P2（x2，2）Pn+1（xn+1，n+1）得到折线 P1P2 Pn+1，求由该折线与直线 y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积 Tn2 0（1 3 分）已知 函数 f（x

9、）=x2+2 c o s x，g（x）=ex（c o s x s i n x+2 x 2），其 中 e2.1 7 8 2 8 是自然对数的底数第 5 页（共 2 2 页）（）求曲线 y=f（x）在点（，f（）处的切线方程；（）令 h（x）=g（x）a f（x）（a R），讨论 h（x）的单 调性 并判 断有 无极值，有极值时求出极值2 1（1 4 分）在 平 面直 角 坐标 系 x O y 中，椭 圆 E：=1（a b 0）的离 心率为，焦距为 2（）求椭圆 E 的方程（）如图，该直线 l：y=k1x 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点，直线 O C 的斜率为 k2，且看

10、k1k2=，M 是线段 O C 延长线上一点，且|M C|：|A B|=2：3，M 的半径为|M C|，O S，O T 是M 的两条切线，切点分别为 S，T，求S O T的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率第 6 页（共 2 2 页）2 0 1 7 年 山 东 省 高 考 数 学 试 卷（理 科）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个选项 中，只有一 项是 符号题 目要求 的.1（5 分）（2 0 1 7 山东）设函数 y=的定义域为 A，函数 y=l n（1 x）的定义域为

11、 B，则 A B=（）A（1，2）B（1，2 C（2，1）D 2，1）【解答】解：由 4 x20，解得：2 x 2，则函数 y=的定义域 2，2，由 对 数 函 数 的定 义 域 可 知：1 x 0，解 得：x 1，则 函 数 y=l n（1 x）的 定 义域（，1），则 A B=2，1），故选 D 2（5 分）（2 0 1 7 山 东）已 知 a R，i 是 虚 数 单 位，若 z=a+i，z=4，则 a=（）A 1 或1 B 或 C D【解答】解：由 z=a+i，则 z 的共轭复数=a i，由 z=（a+i）（a i）=a2+3=4，则 a2=1，解得：a=1，a 的值为 1 或1，故选

12、A 3（5 分）（2 0 1 7 山东）已知命题 p：x 0，l n（x+1）0；命题 q：若 a b，则 a2b2，下列命题为真命题的是（）A p q B p q C p q D p q【解答】解：命题 p：x 0，l n（x+1）0，则命题 p 为真命题，则p 为假命第 7 页（共 2 2 页）题；取 a=1，b=2，a b，但 a2b2，则命题 q 是假命题，则q 是真命题p q 是假命题，p q 是真命题，p q 是假命题，p q 是假命题故选 B 4（5 分）（2 0 1 7 山东）已知 x，y 满足约束条件，则 z=x+2 y 的最大值是（）A 0 B 2 C 5 D 6【解答】解

13、：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；由 解得 A（3，4），此时直线 y=x+z 在 y 轴上的截距最大，所以目标函数 z=x+2 y 的最大值为zm a x=3+2 4=5 故选：C 5（5 分）（2 0 1 7 山东）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）的 关系，从该班随 机抽取 1 0 名学 生，根据 测量数 据的散点 图可以 看出 y 与 x 之 间 有 线 性 相 关 关 系，设 其 回 归 直 线 方 程 为=x+，已 知 xi=2 2 5，第 8 页（共 2 2 页）yi=1 6 0 0，=4，该班某学生的脚长为 2 4，据此估计其身高为（）A

14、1 6 0 B 1 6 3 C 1 6 6 D 1 7 0【解答】解：由线性回归方程为=4 x+，则=xi=2 2.5，=yi=1 6 0，则数据的样本中心点（2 2.5，1 6 0），由回归直线方程样本中心点，则=4 x=1 6 0 4 2 2.5=7 0，回归直线方程为=4 x+7 0，当 x=2 4 时，=4 2 4+7 0=1 6 6，则估计其身高为 1 6 6，故选 C 6（5 分）（2 0 1 7 山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 值为7，第二次输入的 x 值为 9，则第一次，第二次输出的 a 值分别为（）A 0，0 B 1，1 C 0，1 D 1，0第 9 页

15、（共 2 2 页）【解答】解：当输入的 x 值为 7 时，第一次，不满足 b2x，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3；第二次，满足 b2x，故输出 a=1；当输入的 x 值为 9 时，第一次，不满足 b2x，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3；第二次，不满足 b2x，满足 x 能被 b 整数，故输出 a=0；故选：D7（5 分）（2 0 1 7 山东）若 a b 0，且 a b=1，则下列不等式成立的是（）A a+l o g2（a+b）B l o g2（a+b）a+C a+l o g2（a+b）D l o g2（a+b）a+【解答】解：a b 0，且 a b=1，可取 a=2，b=

16、则=4，=，l o g2（a+b）=（1，2），l o g2（a+b）a+故选：B 8（5 分）（2 0 1 7 山东）从分别 标有 1，2，9 的 9 张卡 片中不放 回地随 机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A B C D【解答】解：从分别标有 1，2，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，共有=3 6 种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有=2 0 种，故抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率 P=，故选：C 第 1 0 页（共 2 2 页）9（5 分）（2 0 1 7 山东）在 A B

17、C 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若A B C为锐角三角形，且满足 s i n B（1+2 c o s C）=2 s i n A c o s C+c o s A s i n C，则下列等式成立的是（）A a=2 b B b=2 a C A=2 B D B=2 A【解答】解：在 A B C 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 s i n B（1+2 c o s C）=2 s i n A c o s C+c o s A s i n C=s i n A c o s C+s i n（A+C）=s i n A c o s C+s i n B，可得：2 s i n B c

18、o s C=s i n A c o s C，因为 A B C 为锐角三角形，所以 2 s i n B=s i n A，由正弦定理可得：2 b=a 故选：A 1 0（5 分）（2 0 1 7 山东）已知当 x 0，1 时，函数 y=（m x 1）2的图象与 y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（）A（0，1 2，+）B（0，1 3，+）C（0，）2，+）D（0，3，+）【解答】解：根据题意，由于 m 为正数，y=（m x 1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+）为增函数，函数 y=+m 为增函数，分 2 种情况讨论：、当 0 m 1 时，有 1，在区间0，1 上，

19、y=（m x 1）2为减函数，且其值域为（m 1）2，1，函数 y=+m 为增函数，其值域为m，1+m，此时两个函数的图象有 1 个交点，符合题意；、当 m 1 时，有 1，y=（m x 1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数 y=+m 为增函数，其值域为m，1+m，若两个函数的图象有 1 个交点，则有（m 1）21+m，解可得 m 0 或 m 3，第 1 1 页（共 2 2 页）又由 m 为正数，则 m 3；综合可得：m 的取值范围是（0，1 3，+）；故选：B 二、填空 题：本 大题 共 5 小题，每 小题 5 分，共 2 5 分1 1（5 分）（2 0 1 7 山东）已 知

20、（1+3 x）n的展 开式 中含 有 x2的系 数是 5 4，则 n=4【解答】解：（1+3 x）n的展开式中通项公式：Tr+1=（3 x）r=3rxr含有 x2的系数是 5 4，r=2=5 4，可得=6，=6，n N*解得 n=4 故答案为：4 1 2（5 分）（2 0 1 7 山东）已知，是互相垂直的单位向量，若 与+的夹角为 6 0，则实数 的值是【解答】解：，是互相垂直的单位向量，|=|=1，且=0；又 与+的夹角为 6 0，（）（+）=|+|c o s 6 0，即+（1）=，化简得=，即=，解得=故答案为：第 1 2 页（共 2 2 页）1 3（5 分）（2 0 1 7 山东）由一个

21、长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2+【解答】解：由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 V1=2 1 1=2，圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积 V2=121=，则该几何体的体积 V=V1+2 V1=2+，故答案为：2+1 4（5 分）（2 0 1 7 山东）在平面直角坐标系 x O y 中，双曲线=1（a 0，b 0）的 右 支 与 焦 点 为 F 的 抛 物 线 x2=2 p y（p 0）交 于 A，B 两 点，若|A F|+|B F|=4|O F|，则该双曲线的渐近线方程为 y=x【解答】解：把 x2=2 p y（p 0）代入双曲

22、线=1（a 0，b 0），可得：a2y22 p b2y+a2b2=0，yA+yB=，|A F|+|B F|=4|O F|，yA+yB+2=4，=p，=第 1 3 页（共 2 2 页）该双曲线的渐近线方程为：y=x 故答案为：y=x 1 5（5 分）（2 0 1 7 山东）若函数 exf（x）（e 2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数）在 f（x）的定义域上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质 下列函数中所有具 有M 性质的函数的序号为 f（x）=2xf（x）=3xf（x）=x3f（x）=x2+2【解答】解：对于，f（x）=2x，则 g（x）=exf（x）=为实数集上的增函数；对于，f

23、（x）=3x，则 g（x）=exf（x）=为实数集上的减函数；对于，f（x）=x3，则 g（x）=exf（x）=ex x3，g（x）=ex x3+3 ex x2=ex（x3+3 x2）=ex x2（x+3），当 x 3 时，g（x）0，g（x）=exf（x）在定义域 R 上先减后增；对于，f（x）=x2+2，则 g（x）=exf（x）=ex（x2+2），g（x）=ex（x2+2）+2 x ex=ex（x2+2 x+2）0 在实数集 R 上恒成立，g（x）=exf（x）在定义域 R 上是增函数具有 M 性质的函数的序号为故答案为：三、解答 题（共 6 小题，满 分 7 5 分）1 6（1 2 分

24、）（2 0 1 7 山东）设函数 f（x）=s i n（x）+s i n（x），其中0 3，已知 f（）=0（）求；（）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）在，上的最小值第 1 4 页（共 2 2 页）【解答】解：（）函数 f（x）=s i n（x）+s i n（x）=s i n x c o s c o s x s i n s i n（x）=s i n x c o s x=s i n（x），又 f（）=s i n（）=0，=k，k Z，解得=6 k+2，又 0 3，=2；（）由（）

25、知，f（x）=s i n（2 x），将函 数 y=f（x）的 图象 上各 点的 横坐 标伸 长为 原来 的 2 倍（纵坐 标不 变），得 到函数 y=s i n（x）的图象；再将得到的图象向左平移 个单位，得到 y=s i n（x+）的图象，函数 y=g（x）=s i n（x）；当 x，时，x，s i n（x），1，当 x=时，g（x）取得最小值是=1 7（1 2 分）（2 0 1 7 山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 A B C D（及其内部）以 A B 边所在直线为旋转轴旋转 1 2 0 得到的，G 是 的中点（）设 P 是 上的一点，且 A P B E，求C B P 的大小；

26、（）当 A B=3，A D=2 时，求二面角 E A G C 的大小第 1 5 页（共 2 2 页）【解答】解：（）A P B E，A B B E，且 A B，A P 平面 A B P，A B A P=A，B E 平面 A B P，又 B P 平面 A B P，B E B P，又E B C=1 2 0，因此C B P=3 0；（）解法一、取 的中点 H，连接 E H，G H，C H，E B C=1 2 0，四边形 B E C H 为菱形，A E=G E=A C=G C=取 A G 中点 M，连接 E M，C M，E C，则 E M A G，C M A G，E M C 为所求二面角的平面角又 A

27、 M=1，E M=C M=在B E C 中，由于E B C=1 2 0，由余弦定理得：E C2=22+222 2 2 c o s 1 2 0=1 2，因此E M C 为等边三角形，故所求的角为 6 0 解法二、以 B 为坐标 原点，分 别以 B E，B P，B A 所在直 线为 x，y，z 轴建立 空间直角坐标系由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，3），C（1，0），故，设 为平面 A E G 的一个法向量，由，得，取 z1=2，得；第 1 6 页（共 2 2 页）设 为平面 A C G 的一个法向量，由，可得，取 z2=2，得 c o s=二面角 E A G C 的大小为

28、6 0 1 8（1 2 分）（2 0 1 7 山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5人接受乙种心理暗示（）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率（）用 X 表 示 接 受 乙 种 心 理 暗 示 的 女 志 愿 者 人 数，求 X 的 分 布 列

29、 与 数 学 期 望E X【解答】解：（I）记接 受 甲 种心 理 暗 示的 志 愿 者中 包 含 A1但 不包 含 B1的 事件 为M，第 1 7 页（共 2 2 页）则 P（M）=（I I）X 的可能取值为：0，1，2，3，4，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=X 的分布列为X 0 1 2 3 4PX 的数学期望 E X=0+1+2+3+4=2 1 9（1 2 分）（2 0 1 7 山东）已知xn是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，依次连接点 P1（x1，

30、1），P2（x2，2）Pn+1（xn+1，n+1）得到折线 P1P2 Pn+1，求由该折线与直线 y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积 Tn第 1 8 页（共 2 2 页）【解答】解：（I）设数列xn的公比为 q，则 q 0，由题意得，两式相比得：，解得 q=2 或 q=（舍），x1=1，xn=2n1（I I）过 P1，P2，P3，Pn向 x 轴作垂线，垂足为 Q1，Q2，Q3，Qn，即梯形 PnPn+1Qn+1Qn的面积为 bn，则 bn=（2 n+1）2n2，Tn=3 21+5 20+7 21+（2 n+1）2n2，2 Tn=3 20+5 21+7 22+（2 n+1）2n1，

31、得：Tn=+（2+22+2n1）（2 n+1）2n1=+（2 n+1）2n1=+（1 2 n）2n1Tn=2 0（1 3 分）（2 0 1 7 山东）已知函数 f（x）=x2+2 c o s x，g（x）=ex（c o s x s i n x+2 x2），其中 e 2.1 7 8 2 8 是自然对数的底数（）求曲线 y=f（x）在点（，f（）处的切线方程；（）令 h（x）=g（x）a f（x）（a R），讨论 h（x）的单 调性 并判 断有 无极值，有极值时求出极值【解答】解：（I）f（）=22 f（x）=2 x 2 s i n x，f（）=2 曲线 y=f（x）在点（，f（）处的切线方程为：

32、y（22）=2（x）化为：2 x y 22=0 第 1 9 页（共 2 2 页）（I I）h（x）=g（x）a f（x）=ex（c o s x s i n x+2 x 2）a（x2+2 c o s x）h（x）=ex（c o s x s i n x+2 x 2）+ex（s i n x c o s x+2）a（2 x 2 s i n x）=2（x s i n x）（exa）=2（x s i n x）（exel n a）令 u（x）=x s i n x，则 u（x）=1 c o s x 0，函数 u（x）在 R 上单调递增u（0）=0，x 0 时，u（x）0；x 0 时，u（x）0（1）a 0 时

33、，exa 0，x 0 时，h（x）0，函数 h（x）在（0，+）单调递增；x 0 时，h（x）0，函数 h（x）在（，0）单调递减x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=1 2 a（2）a 0 时，令 h（x）=2（x s i n x）（exel n a）=0 解得 x1=l n a，x2=0 0 a 1 时，x（，l n a）时，exel n a0，h（x）0，函 数 h（x）单 调递增；x（l n a，0）时，exel n a0，h（x）0，函数 h（x）单调递减；x（0，+）时，exel n a0，h（x）0，函数 h（x）单调递增当 x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0

34、）=2 a 1 当 x=l n a 时，函 数 h（x）取 得 极 大 值，h（l n a）=a l n2a 2 l n a+s i n（l n a）+c o s（l n a）+2 当 a=1 时，l n a=0，x R 时，h（x）0，函数 h（x）在 R 上单调递增1 a 时，l n a 0，x（，0）时，exel n a0，h（x）0，函数 h（x）单调递增；x（0，l n a）时，exel n a0，h（x）0，函数 h（x）单调递减；x（l n a，+）时，exel n a0，h（x）0，函数 h（x）单调递增当 x=0 时，函数 h（x）取得极大值，h（0）=2 a 1 当 x=l

35、 n a 时，函 数 h（x）取 得 极 小 值，h（l n a）=a l n2a 2 l n a+s i n（l n a）+c o s（l n a）+2 综上所述：a 0 时，函数 h（x）在（0，+）单调递增；x 0 时，函数 h（x）在（，0）单调递减x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=1 2 a 第 2 0 页（共 2 2 页）0 a 1 时，函数 h（x）在 x（，l n a）是单调递增；函数 h（x）在 x（l n a，0）上单调递减 当 x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=2 a 1 当 x=l n a时，函数 h（x）取得极大值，h（l n a）=a l

36、 n2a 2 l n a+s i n（l n a）+c o s（l n a）+2 当 a=1 时，l n a=0，函数 h（x）在 R 上单调递增a 1 时，函数 h（x）在（，0），（l n a，+）上单调递增；函数 h（x）在（0，l n a）上单调递减 当 x=0 时，函数 h（x）取得极大值，h（0）=2 a 1 当 x=l n a时，函数 h（x）取得极小值，h（l n a）=a l n2a 2 l n a+s i n（l n a）+c o s（l n a）+2 2 1（1 4 分）（2 0 1 7 山东）在平面直角坐标系 x O y 中，椭圆 E：=1（a b0）的离心率为，焦距为

37、 2（）求椭圆 E 的方程（）如图，该直线 l：y=k1x 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点，直线 O C 的斜率为 k2，且看 k1k2=，M 是线段 O C 延长线上一点，且|M C|：|A B|=2：3，M 的半径为|M C|，O S，O T 是M 的两条切线，切点分别为 S，T，求S O T的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率【解答】解：（）由题意知，解得 a=，b=1 椭圆 E 的方程为；（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），第 2 1 页（共 2 2 页）联立，得 由题意得=0，|A B|=由题意可知圆 M 的半径 r 为r=由题意设知，因此直线 O C 的方程为 联立，得 因此，|O C|=由题意可知，s i n=而=令 t=，则 t 1，（0，1），第 2 2 页（共 2 2 页）因此，=1 当且仅当，即 t=2 时等式成立，此时，因此 S O T 的最大值为 综上所述：S O T 的最大值为，取得最大值时直线 l 的斜率为