2016年天津市高考文科数学试题及答案.pdf

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1、2016 年天 津市 高考 数学 试卷（文 科）一、选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 要 求 的1（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 集 合 A=1，2，3，B=y|y=2 x 1，x A，则 A B=（）A 1，3 B 1，2 C 2，3 D 1，2，3 2（5 分）（2 0 1 6 天 津）甲、乙 两 人 下 棋，两 人 下 成 和 棋 的 概 率 是，甲 获 胜 的 概 率 是，则 甲 不 输 的 概 率 为（）A B C D 3（5 分）（2 0 1 6 天 津）将 一 个 长 方 体 沿 相 邻 三 个 面 的 对 角 线

2、 截 去 一 个 棱 锥，得 到 的 几 何 体的 正 视 图 与 俯 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 侧（左）视 图 为（）A B C D 4（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 双 曲 线=1（a 0，b 0）的 焦 距 为 2，且 双 曲 线的 一 条 渐 近 线 与 直 线 2 x+y=0 垂 直，则 双 曲 线 的 方 程 为（）A y2=1 B x2=1C=1 D=15（5 分）（2 0 1 6 天 津）设 x 0，y R，则“x y”是“x|y|”的（）A 充 要 条 件 B 充 分 不 必 要 条 件C 必 要 而 不 充 分 条 件 D 既 不 充 分

3、也 不 必 要 条 件6（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 f（x）是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，且 在 区 间（，0）上 单 调递 增，若 实 数 a 满 足 f（2|a1|）f（），则 a 的 取 值 范 围 是（）A（，）B（，）（，+）C（，）D（，+）7（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 A B C 是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形，点 D、E 分 别 是 边 A B、B C的 中 点，连 接 D E 并 延 长 到 点 F，使 得 D E=2 E F，则 的 值 为（）A B C D 8（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 函 数 f（x）

4、=s i n2+s i n x（0），x R，若 f（x）在 区 间（，2）内 没 有 零 点，则 的 取 值 范 围 是（）A（0，B（0，1）C（0，D（0，二、填 空 题 本 大 题 6 小 题，每 题 5 分，共 30 分9（5 分）（2 0 1 6 天 津）i 是 虚 数 单 位，复 数 z 满 足（1+i）z=2，则 z 的 实 部 为 _ _ _ _ _ _ 1 0（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 函 数 f（x）=（2 x+1）ex，f（x）为 f（x）的 导 函 数，则 f（0）的 值 为 _ _ _ _ _ _ 1 1（5 分）（2 0 1 6 天 津）阅 读 如

5、 图 所 示 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，则 输 出 S 的 值 为 _ _ _ _ _ _ 1 2（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 圆 C 的 圆 心 在 x 轴 正 半 轴 上，点（0，）圆 C 上，且 圆 心到 直 线 2 x y=0 的 距 离 为，则 圆 C 的 方 程 为 _ _ _ _ _ _ 1 3（5 分）（2 0 1 6 天 津）如 图，A B 是 圆 的 直 径，弦 C D 与 A B 相 交 于 点 E，B E=2 A E=2，B D=E D，则 线 段 C E 的 长 为 _ _ _ _ _ _ 1 4（5 分）（2 0 1 6 天 津）

6、已 知 函 数 f（x）=（a 0，且 a 1）在 R 上 单 调 递 减，且 关 于 x 的 方 程|f（x）|=2 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解，则 a 的 取 值 范围 是 _ _ _ _ _ _ 三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，80 分1 5（1 3 分）（2 0 1 6 天 津）在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，已 知a s i n 2 B=b s i n A（1）求 B；（2）已 知 c o s A=，求 s i n C 的 值 1 6（1 3 分）（2 0 1 6 天 津）某 化 工 厂 生 产 甲、乙 两

7、种 混 合 肥 料，需 要 A，B，C 三 种 主 要 原料，生 产 1 扯 皮 甲 种 肥 料 和 生 产 1 车 皮 乙 种 肥 料 所 需 三 种 原 料 的 吨 数 如 表 所 示：A B C甲 4 8 3乙 5 5 1 0现 有 A 种 原 料 2 0 0 吨，B 种 原 料 3 6 0 吨，C 种 原 料 3 0 0 吨，在 此 基 础 上 生 产 甲、乙 两 种 肥料 已 知 生 产 1 车 皮 甲 种 肥 料，产 生 的 利 润 为 2 万 元；生 产 1 车 品 乙 种 肥 料，产 生 的 利 润 为3 万 元、分 别 用 x，y 表 示 计 划 生 产 甲、乙 两 种 肥

8、料 的 车 皮 数（1）用 x，y 列 出 满 足 生 产 条 件 的 数 学 关 系 式，并 画 出 相 应 的 平 面 区 域；（2）问 分 别 生 产 甲、乙 两 种 肥 料，求 出 此 最 大 利 润 1 7（1 3 分）（2 0 1 6 天 津）如 图，四 边 形 A B C D 是 平 行 四 边 形，平 面 A E D 平 面 A B C D，E F A B，A B=2，D E=3，B C=E F=1，A E=，B A D=6 0，G 为 B C 的 中 点（1）求 证：F G 平 面 B E D；（2）求 证：平 面 B E D 平 面 A E D；（3）求 直 线 E F 与

9、 平 面 B E D 所 成 角 的 正 弦 值 1 8（1 3 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 a n 是 等 比 数 列，前 n 项 和 为 S n（n N*），且=，S 6=6 3（1）求 a n 的 通 项 公 式；（2）若 对 任 意 的 n N*，b n 是 l o g 2 a n 和 l o g 2 a n+1 的 等 差 中 项，求 数 列（1）nb 的 前 2 n项 和 1 9（1 4 分）（2 0 1 6 天 津）设 椭 圆+=1（a）的 右 焦 点 为 F，右 顶 点 为 A，已 知+=，其 中 O 为 原 点，e 为 椭 圆 的 离 心 率（1）求 椭 圆 的 方

10、 程；（2）设 过 点 A 的 直 线 l 与 椭 圆 交 于 B（B 不 在 x 轴 上），垂 直 于 l 的 直 线 与 l 交 于 点 M，与y 轴 交 于 点 H，若 B F H F，且 M O A=M A O，求 直 线 l 的 斜 率 2 0（1 4 分）（2 0 1 6 天 津）设 函 数 f（x）=x3 a x b，x R，其 中 a，b R（1）求 f（x）的 单 调 区 间；（2）若 f（x）存 在 极 值 点 x 0，且 f（x 1）=f（x 0），其 中 x 1 x 0，求 证：x 1+2 x 0=0；（3）设 a 0，函 数 g（x）=|f（x）|，求 证：g（x）在

11、 区 间 1，1 上 的 最 大 值 不 小 于 2016 年 天 津 市 高 考 数 学 试 卷（文 科）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 要 求 的1（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 集 合 A=1，2，3，B=y|y=2 x 1，x A，则 A B=（）A 1，3 B 1，2 C 2，3 D 1，2，3【分 析】根 据 题 意，将 集 合 B 用 列 举 法 表 示 出 来，可 得 B=1，3，5，由 交 集 的 定 义 计 算可 得 答 案【解 答】解：根 据 题 意，集 合 A=1，

12、2，3，而 B=y|y=2 x 1，x A，则 B=1，3，5，则 A B=1，3，故 选：A【点 评】本 题 考 查 集 合 的 运 算，注 意 集 合 B 的 表 示 方 法 2（5 分）（2 0 1 6 天 津）甲、乙 两 人 下 棋，两 人 下 成 和 棋 的 概 率 是，甲 获 胜 的 概 率 是，则 甲 不 输 的 概 率 为（）A B C D【分 析】利 用 互 斥 事 件 的 概 率 加 法 公 式 即 可 得 出【解 答】解：甲 不 输 与 甲、乙 两 人 下 成 和 棋 是 互 斥 事 件 根 据 互 斥 事 件 的 概 率 计 算 公 式 可 知：甲 不 输 的 概 率

13、P=+=故 选：A【点 评】本 题 考 查 互 斥 事 件 与 对 立 事 件 的 概 率 公 式，关 键 是 判 断 出 事 件 的 关 系，然 后 选 择 合适 的 概 率 公 式，属 于 基 础 题 3（5 分）（2 0 1 6 天 津）将 一 个 长 方 体 沿 相 邻 三 个 面 的 对 角 线 截 去 一 个 棱 锥，得 到 的 几 何 体的 正 视 图 与 俯 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 侧（左）视 图 为（）A B C D【分 析】根 据 主 视 图 和 俯 视 图 作 出 几 何 体 的 直 观 图，找 出 所 切 棱 锥 的 位 置，得 出 答 案【解

14、答】解：由 主 视 图 和 俯 视 图 可 知 切 去 的 棱 锥 为 D A D 1 C，棱 C D 1 在 左 侧 面 的 投 影 为 B A 1，故 选 B【点 评】本 题 考 查 了 棱 锥，棱 柱 的 结 构 特 征，三 视 图，考 查 空 间 想 象 能 力，属 于 基 础 题 4（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 双 曲 线=1（a 0，b 0）的 焦 距 为 2，且 双 曲 线的 一 条 渐 近 线 与 直 线 2 x+y=0 垂 直，则 双 曲 线 的 方 程 为（）A y2=1 B x2=1C=1 D=1【分 析】利 用 双 曲 线=1（a 0，b 0）的 焦 距

15、为 2，且 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 与直 线 2 x+y=0 垂 直，求 出 几 何 量 a，b，c，即 可 求 出 双 曲 线 的 方 程【解 答】解：双 曲 线=1（a 0，b 0）的 焦 距 为 2，c=，双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 与 直 线 2 x+y=0 垂 直，=，a=2 b，c2=a2+b2，a=2，b=1，双 曲 线 的 方 程 为=1 故 选：A【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 方 程 与 性 质，考 查 待 定 系 数 法 的 运 用，确 定 双 曲 线 的 几 何 量 是 关键 5（5 分）（2 0 1 6 天 津）设 x 0，y R，则“x

16、 y”是“x|y|”的（）A 充 要 条 件 B 充 分 不 必 要 条 件C 必 要 而 不 充 分 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【分 析】直 接 根 据 必 要 性 和 充 分 判 断 即 可【解 答】解：设 x 0，y R，当 x=0，y=1 时，满 足 x y 但 不 满 足 x|y|，故 由 x 0，y R，则“x y”推 不 出“x|y|”，而“x|y|”“x y”，故“x y”是“x|y|”的 必 要 不 充 分 条 件，故 选：C【点 评】本 题 考 查 了 不 等 式 的 性 质、充 要 条 件 的 判 定，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力

17、，属 于 基础 题 6（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 f（x）是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，且 在 区 间（，0）上 单 调递 增，若 实 数 a 满 足 f（2|a1|）f（），则 a 的 取 值 范 围 是（）A（，）B（，）（，+）C（，）D（，+）【分 析】根 据 函 数 的 对 称 性 可 知 f（x）在（0，+）递 减，故 只 需 令 2|a1|即 可【解 答】解：f（x）是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，且 在 区 间（，0）上 单 调 递 增，f（x）在（0，+）上 单 调 递 减 2|a1|0，f（）=f（），2|a1|=2|a 1|，解 得 故

18、选：C【点 评】本 题 考 查 了 函 数 的 单 调 性，奇 偶 性 的 性 质，属 于 中 档 题 7（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 A B C 是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形，点 D、E 分 别 是 边 A B、B C的 中 点，连 接 D E 并 延 长 到 点 F，使 得 D E=2 E F，则 的 值 为（）A B C D【分 析】由 题 意 画 出 图 形，把、都 用 表 示，然 后 代 入 数 量 积 公 式 得 答 案【解 答】解：如 图，D、E 分 别 是 边 A B、B C 的 中 点，且 D E=2 E F，=故 选：B【点 评】本 题 考 查

19、平 面 向 量 的 数 量 积 运 算，考 查 向 量 加 减 法 的 三 角 形 法 则，是 中 档 题 8（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 函 数 f（x）=s i n2+s i n x（0），x R，若 f（x）在 区 间（，2）内 没 有 零 点，则 的 取 值 范 围 是（）A（0，B（0，1）C（0，D（0，【分 析】函 数 f（x）=，由 f（x）=0，可 得=0，解 得x=（，2），因 此=，即 可 得 出【解 答】解：函 数 f（x）=+s i n x=+s i n x=，由 f（x）=0，可 得=0，解 得 x=（，2），=，f（x）在 区 间（，2）内 没 有

20、零 点，故 选：D【点 评】本 题 考 查 了 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质、不 等 式 的 解 法，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题 二、填 空 题 本 大 题 6 小 题，每 题 5 分，共 30 分9（5 分）（2 0 1 6 天 津）i 是 虚 数 单 位，复 数 z 满 足（1+i）z=2，则 z 的 实 部 为 1【分 析】把 已 知 等 式 变 形，然 后 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 得 答 案【解 答】解：由（1+i）z=2，得，z 的 实 部 为 1 故 答 案 为：1【点 评】本 题 考 查 复 数

21、 代 数 形 式 的 乘 除 运 算，考 查 了 复 数 的 基 本 概 念，是 基 础 题 1 0（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 函 数 f（x）=（2 x+1）ex，f（x）为 f（x）的 导 函 数，则 f（0）的 值 为 3【分 析】先 求 导，再 带 值 计 算【解 答】解：f（x）=（2 x+1）ex，f（x）=2 ex+（2 x+1）ex，f（0）=2 e0+（2 0+1）e0=2+1=3 故 答 案 为：3【点 评】本 题 考 查 了 导 数 的 运 算 法 则，属 于 基 础 题 1 1（5 分）（2 0 1 6 天 津）阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图

22、，运 行 相 应 的 程 序，则 输 出 S 的 值 为 4【分 析】根 据 循 环 结 构，结 合 循 环 的 条 件，求 出 最 后 输 出 S 的 值【解 答】解：第 一 次 循 环：S=8，n=2；第 二 次 循 环：S=2，n=3；第 三 次 循 环：S=4，n=4，结 束 循 环，输 出 S=4，故 答 案 为：4【点 评】本 题 主 要 考 查 程 序 框 图，循 环 结 构，注 意 循 环 的 条 件，属 于 基 础 题 1 2（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 圆 C 的 圆 心 在 x 轴 正 半 轴 上，点（0，）圆 C 上，且 圆 心到 直 线 2 x y=0

23、的 距 离 为，则 圆 C 的 方 程 为（x 2）2+y2=9【分 析】由 题 意 设 出 圆 的 方 程，把 点 M 的 坐 标 代 入 圆 的 方 程，结 合 圆 心 到 直 线 的 距 离 列 式求 解【解 答】解：由 题 意 设 圆 的 方 程 为（x a）2+y2=r2（a 0），由 点 M（0，）在 圆 上，且 圆 心 到 直 线 2 x y=0 的 距 离 为，得，解 得 a=2，r=3 圆 C 的 方 程 为：（x 2）2+y2=9 故 答 案 为：（x 2）2+y2=9【点 评】本 题 考 查 圆 的 标 准 方 程，训 练 了 点 到 直 线 的 距 离 公 式 的 应

24、用，是 中 档 题 1 3（5 分）（2 0 1 6 天 津）如 图，A B 是 圆 的 直 径，弦 C D 与 A B 相 交 于 点 E，B E=2 A E=2，B D=E D，则 线 段 C E 的 长 为【分 析】由 B D=E D，可 得 B D E 为 等 腰 三 角 形，过 D 作 D H A B 于 H，由 相 交 弦 定 理 求得 D H，在 R t D H E 中 求 出 D E，再 由 相 交 弦 定 理 求 得 C E【解 答】解：如 图，过 D 作 D H A B 于 H，B E=2 A E=2，B D=E D，B H=H E=1，则 A H=2，B H=1，D H2

25、=A H B H=2，则 D H=，在 R t D H E 中，则，由 相 交 弦 定 理 可 得：C E D E=A E E B，故 答 案 为：【点 评】本 题 考 查 与 圆 有 关 的 比 例 线 段，考 查 相 交 弦 定 理 的 应 用，是 中 档 题 1 4（5 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 函 数 f（x）=（a 0，且 a 1）在 R 上 单 调 递 减，且 关 于 x 的 方 程|f（x）|=2 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解，则 a 的 取 值 范围 是，）【分 析】由 减 函 数 可 知 f（x）在 两 段 上 均 为 减 函 数，且 在 第 一 段

26、 的 最 小 值 大 于 或 等 于 第 二段 上 的 最 大 值，作 出|f（x）|和 y=2 的 图 象，根 据 交 点 个 数 判 断 3 a 与 2 的 大 小 关 系，列出 不 等 式 组 解 出【解 答】解：f（x）是 R 上 的 单 调 递 减 函 数，y=x2+（4 a 3）x+3 a 在（，0）上 单 调 递 减，y=l o g a（x+1）+1 在（0，+）上 单 调递 减，且 f（x）在（，0）上 的 最 小 值 大 于 或 等 于 f（0），解 得 a 作 出 y=|f（x）|和 y=2 的 函 数 草 图 如 图 所 示：|f（x）|=2 恰 有 两 个 不 相 等

27、的 实 数 解，3 a 2，即 a 综 上，故 答 案 为，）【点 评】本 题 考 查 了 分 段 函 数 的 单 调 性，函 数 零 点 的 个 数 判 断，结 合 函 数 函 数 图 象 判 断 端 点值 的 大 小 是 关 键，属 于 中 档 题 三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，80 分1 5（1 3 分）（2 0 1 6 天 津）在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，已 知a s i n 2 B=b s i n A（1）求 B；（2）已 知 c o s A=，求 s i n C 的 值【分 析】（1）利 用 正 弦 定 理 将 边

28、化 角 即 可 得 出 c o s B；（2）求 出 s i n A，利 用 两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 计 算【解 答】解：（1）a s i n 2 B=b s i n A，2 s i n A s i n B c o s B=s i n B s i n A，c o s B=，B=（2）c o s A=，s i n A=，s i n C=s i n（A+B）=s i n A c o s B+c o s A s i n B=【点 评】本 题 考 查 了 正 弦 定 理 解 三 角 形，两 角 和 的 正 弦 函 数，属 于 基 础 题 1 6（1 3 分）（2 0 1 6 天 津）某

29、 化 工 厂 生 产 甲、乙 两 种 混 合 肥 料，需 要 A，B，C 三 种 主 要 原料，生 产 1 扯 皮 甲 种 肥 料 和 生 产 1 车 皮 乙 种 肥 料 所 需 三 种 原 料 的 吨 数 如 表 所 示：A B C甲 4 8 3乙 5 5 1 0现 有 A 种 原 料 2 0 0 吨，B 种 原 料 3 6 0 吨，C 种 原 料 3 0 0 吨，在 此 基 础 上 生 产 甲、乙 两 种 肥料 已 知 生 产 1 车 皮 甲 种 肥 料，产 生 的 利 润 为 2 万 元；生 产 1 车 品 乙 种 肥 料，产 生 的 利 润 为3 万 元、分 别 用 x，y 表 示 计

30、 划 生 产 甲、乙 两 种 肥 料 的 车 皮 数（1）用 x，y 列 出 满 足 生 产 条 件 的 数 学 关 系 式，并 画 出 相 应 的 平 面 区 域；（2）问 分 别 生 产 甲、乙 两 种 肥 料，求 出 此 最 大 利 润【分 析】（1）根 据 原 料 的 吨 数 列 出 不 等 式 组，作 出 平 面 区 域；（2）令 利 润 z=2 x+3 y，则 y=，结 合 可 行 域 找 出 最 优 解 的 位 置，列 方 程 组 解 出 最 优解【解 答】解：（1）x，y 满 足 的 条 件 关 系 式 为：作 出 平 面 区 域 如 图 所 示：（2）设 利 润 为 z 万

31、元，则 z=2 x+3 y y=x+当 直 线 y=x+经 过 点 B 时，截 距 最 大，即 z 最 大 解 方 程 组 得 B（2 0，2 4）z 的 最 大 值 为 2 2 0+3 2 4=1 1 2 答：当 生 产 甲 种 肥 料 2 0 吨，乙 种 肥 料 2 4 吨 时，利 润 最 大，最 大 利 润 为 1 1 2 万 元【点 评】本 题 考 查 了 简 单 的 线 性 规 划 的 应 用，抽 象 概 括 能 力 和 计 算 求 解 能 力，属 于 中 档 题 1 7（1 3 分）（2 0 1 6 天 津）如 图，四 边 形 A B C D 是 平 行 四 边 形，平 面 A E

32、 D 平 面 A B C D，E F A B，A B=2，D E=3，B C=E F=1，A E=，B A D=6 0，G 为 B C 的 中 点（1）求 证：F G 平 面 B E D；（2）求 证：平 面 B E D 平 面 A E D；（3）求 直 线 E F 与 平 面 B E D 所 成 角 的 正 弦 值【分 析】（1）利 用 中 位 线 定 理，和 平 行 公 理 得 到 四 边 形 O G E F 是 平 行 四 边 形，再 根 据 线 面平 行 的 判 定 定 理 即 可 证 明；（2）根 据 余 弦 定 理 求 出 B D=，继 而 得 到 B D A D，再 根 据 面

33、面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证明；（3）先 判 断 出 直 线 E F 与 平 面 B E D 所 成 的 角 即 为 直 线 A B 与 平 面 B E D 所 形 成 的 角，再 根据 余 弦 定 理 和 解 直 角 三 角 形 即 可 求 出 答 案【解 答】证 明：（1）B D 的 中 点 为 O，连 接 O E，O G，在 B C D 中，G 是 B C 的 中 点，O G D C，且 O G=D C=1，又 E F A B，A B D C，E F O G，且 E F=0 G，即 四 边 形 O G E F 是 平 行 四 边 形，F G O E，F G 平 面 B E

34、D，O E 平 面 B E D，F G 平 面 B E D；（2）证 明：在 A B D 中，A D=1，A B=2，B A D=6 0，由 余 弦 定 理 可 得 B D=，仅 而 A D B=9 0，即 B D A D，又 平 面 A E D 平 面 A B C D，B D 平 面 A B C D，平 面 A E D 平 面 A B C D=A D，B D 平 面 A E D，B D 平 面 B E D，平 面 B E D 平 面 A E D（）E F A B，直 线 E F 与 平 面 B E D 所 成 的 角 即 为 直 线 A B 与 平 面 B E D 所 形 成 的 角，过 点

35、 A 作 A H D E 于 点 H，连 接 B H，又 平 面 B E D 平 面 A E D=E D，由（2）知 A H 平 面 B E D，直 线 A B 与 平 面 B E D 所 成 的 角 为 A B H，在 A D E，A D=1，D E=3，A E=，由 余 弦 定 理 得 c o s A D E=，s i n A D E=，A H=A D，在 R t A H B 中，s i n A B H=，直 线 E F 与 平 面 B E D 所 成 角 的 正 弦 值【点 评】本 题 考 查 了 直 线 与 平 面 的 平 行 和 垂 直，平 面 与 平 面 的 垂 直，直 线 与 平

36、 面 所 成 的 角，考 查 了 空 间 想 象 能 力，运 算 能 力 和 推 理 论 证 能 力，属 于 中 档 题 1 8（1 3 分）（2 0 1 6 天 津）已 知 a n 是 等 比 数 列，前 n 项 和 为 S n（n N*），且=，S 6=6 3（1）求 a n 的 通 项 公 式；（2）若 对 任 意 的 n N*，b n 是 l o g 2 a n 和 l o g 2 a n+1 的 等 差 中 项，求 数 列（1）nb 的 前 2 n项 和【分 析】（1）根 据 等 比 数 列 的 通 项 公 式 列 方 程 解 出 公 比 q，利 用 求 和 公 式 解 出 a 1，

37、得 出 通 项公 式；（2）利 用 对 数 的 运 算 性 质 求 出 b n，使 用 分 项 求 和 法 和 平 方 差 公 式 计 算【解 答】解：（1）设 a n 的 公 比 为 q，则=，即 1=，解 得 q=2 或 q=1 若 q=1，则 S 6=0，与 S 6=6 3 矛 盾，不 符 合 题 意 q=2，S 6=6 3，a 1=1 a n=2n1（2）b n 是 l o g 2 a n 和 l o g 2 a n+1 的 等 差 中 项，b n=（l o g 2 a n+l o g 2 a n+1）=（l o g 2 2n1+l o g 2 2n）=n b n+1 b n=1 b

38、n 是 以 为 首 项，以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 设（1）nb n2 的 前 n 项 和 为 T n，则T n=（b 12+b 22）+（b 32+b 42）+（b 2 n 12+b 2 n2）=b 1+b 2+b 3+b 4+b 2 n 1+b 2 n=2 n2【点 评】本 题 考 查 了 等 差 数 列，等 比 数 列 的 性 质，分 项 求 和 的 应 用，属 于 中 档 题 1 9（1 4 分）（2 0 1 6 天 津）设 椭 圆+=1（a）的 右 焦 点 为 F，右 顶 点 为 A，已 知+=，其 中 O 为 原 点，e 为 椭 圆 的 离 心 率（1）求 椭 圆 的

39、方 程；（2）设 过 点 A 的 直 线 l 与 椭 圆 交 于 B（B 不 在 x 轴 上），垂 直 于 l 的 直 线 与 l 交 于 点 M，与y 轴 交 于 点 H，若 B F H F，且 M O A=M A O，求 直 线 l 的 斜 率【分 析】（1）由 题 意 画 出 图 形，把|O F|、|O A|、|F A|代 入+=，转 化 为 关于 a 的 方 程，解 方 程 求 得 a 值，则 椭 圆 方 程 可 求；（2）由 已 知 设 直 线 l 的 方 程 为 y=k（x 2），（k 0），联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程，化 为 关 于x 的 一 元 二 次 方 程，

40、利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 得 B 的 坐 标，再 写 出 M H 所 在 直 线 方 程，求 出 H的 坐 标，由 B F H F，得，整 理 得 到 M 的 坐 标与 k 的 关 系，由 M O A=M A O，得 到 x 0=1，转 化 为 关 于 k 的 等 式 求 得 k 的 值【解 答】解：（1）由+=，得+=，即=，a a2（a2 3）=3 a（a2 3），解 得 a=2 椭 圆 方 程 为；（2）由 已 知 设 直 线 l 的 方 程 为 y=k（x 2），（k 0），设 B（x 1，y 1），M（x 0，k（x 0 2），M O A=M A O，x 0=1，再 设

41、 H（0，y H），联 立，得（3+4 k2）x2 1 6 k2x+1 6 k2 1 2=0=（1 6 k2）2 4（3+4 k2）（1 6 k2 1 2）=1 4 4 0 由 根 与 系 数 的 关 系 得，M H 所 在 直 线 方 程 为 y k（x 0 2）=（x x 0），令 x=0，得 y H=（k+）x 0 2 k，B F H F，即 1 x 1+y 1 y H=1（k+）x 0 2 k=0，整 理 得：=1，即 8 k2=3 k=或 k=【点 评】本 题 考 查 椭 圆 方 程 的 求 法，考 查 直 线 与 椭 圆 位 置 关 系 的 应 用，体 现 了“整 体 运 算”思

42、想 方 法 和“设 而 不 求”的 解 题 思 想 方 法，考 查 运 算 能 力，是 难 题 2 0（1 4 分）（2 0 1 6 天 津）设 函 数 f（x）=x3 a x b，x R，其 中 a，b R（1）求 f（x）的 单 调 区 间；（2）若 f（x）存 在 极 值 点 x 0，且 f（x 1）=f（x 0），其 中 x 1 x 0，求 证：x 1+2 x 0=0；（3）设 a 0，函 数 g（x）=|f（x）|，求 证：g（x）在 区 间 1，1 上 的 最 大 值 不 小 于【分 析】（1）求 出 f（x）的 导 数，讨 论 a 0 时 f（x）0，f（x）在 R 上 递 增；

43、当 a 0 时，由 导 数 大 于 0，可 得 增 区 间；导 数 小 于 0，可 得 减 区 间；（2）由 条 件 判 断 出 a 0，且 x 0 0，由 f（x 0）=0 求 出 x 0，分 别 代 入 解 析 式 化 简 f（x 0），f（2 x 0），化 简 整 理 后 可 得 证；（3）设 g（x）在 区 间 1，1 上 的 最 大 值 M，根 据 极 值 点 与 区 间 的 关 系 对 a 分 三 种 情 况 讨论，运 用 f（x）单 调 性 和 前 两 问 的 结 论，求 出 g（x）在 区 间 上 的 取 值 范 围，利 用 a 的 范 围化 简 整 理 后 求 出 M，再 利

44、 用 不 等 式 的 性 质 证 明 结 论 成 立【解 答】解：（1）若 f（x）=x3 a x b，则 f（x）=3 x2 a，分 两 种 情 况 讨 论：、当 a 0 时，有 f（x）=3 x2 a 0 恒 成 立，此 时 f（x）的 单 调 递 增 区 间 为（，+），、当 a 0 时，令 f（x）=3 x2 a=0，解 得 x=或 x=，当 x 或 x 时，f（x）=3 x2 a 0，f（x）为 增 函 数，当 x 时，f（x）=3 x2 a 0，f（x）为 减 函 数，故 f（x）的 增 区 间 为（，），（，+），减 区 间 为（，）；（2）若 f（x）存 在 极 值 点 x 0

45、，则 必 有 a 0，且 x 0 0，由 题 意 可 得，f（x）=3 x2 a，则 x 02=，进 而 f（x 0）=x 03 a x 0 b=x 0 b，又 f（2 x 0）=8 x 03+2 a x 0 b=x 0+2 a x 0 b=f（x 0），由 题 意 及（）可 得：存 在 唯 一 的 实 数 x 1，满 足 f（x 1）=f（x 0），其 中 x 1 x 0，则 有 x 1=2 x 0，故 有 x 1+2 x 0=0；（）设 g（x）在 区 间 1，1 上 的 最 大 值 M，m a x x，y 表 示 x、y 两 个 数 的 最 大 值，下 面 分 三 种 情 况 讨 论：当

46、 a 3 时，1 1，由（I）知 f（x）在 区 间 1，1 上 单 调 递 减，所 以 f（x）在 区 间 1，1 上 的 取 值 范 围 是 f（1），f（1），因 此 M=m a x|f（1）|，|f（1）|=m a x|1 a b|，|1+a b|=m a x|a 1+b|，|a 1 b|=，所 以 M=a 1+|b|2 当 a 3 时，由（）、（）知，f（1）=f（），f（1）=，所 以 f（x）在 区 间 1，1 上 的 取 值 范 围 是 f（），f（），因 此 M=m a x|f（）|，|f（）|=m a x|，|=m a x|，|=，当 0 a 时，由（）、（）知，f（1）=

47、f（），f（1）=，所 以 f（x）在 区 间 1，1 上 的 取 值 范 围 是 f（1），f（1），因 此 M=m a x|f（1）|，|f（1）|=m a x|1+a b|，|1 a b|=m a x|1 a+b|，|1 a b|=1 a+|b|，综 上 所 述，当 a 0 时，g（x）在 区 间 1，1 上 的 最 大 值 不 小 于【点 评】本 题 考 查 导 数 的 运 用：求 单 调 区 间 和 最 值，不 等 式 的 证 明，注 意 运 用 分 类 讨 论 的 思想 方 法 和 转 化 思 想，考 查 分 析 法 在 证 明 中 的 应 用，以 及 化 简 整 理、运 算 能 力，属 于 难 题