2016年广东省高考理科数学试题及答案.pdf

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1、绝 密 启 封 并 使 用 完 毕 前试 题 类 型：A2 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学注 意 事 项：1.本 试 卷 分 第 卷(选 择 题)和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分.第 卷 1 至 3 页，第 卷 3 至 5页.2.答 题 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 本 试 题 相 应 的 位 置.3.全 部 答 案 在 答 题 卡 上 完 成，答 在 本 试 题 上 无 效.4.考 试 结 束 后，将 本 试 题 和 答 题 卡 一 并 交 回.第卷一.选 择 题：本 大 题 共 1 2 小

2、 题，每 小 题 5 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的.（1）设 集 合2|4 3 0 A x x x，|2 3 0 B x x，则 A B（A）3(3,)2（B）3(3,)2（C）3(1,)2（D）3(,3)2（2）设(1 i)1 i x y，其 中 x，y 是 实 数，则 i=x y（A）1（B）2（C）3（D）2（3）已 知 等 差 数 列 na前 9 项 的 和 为 2 7，10=8 a，则1 0 0=a（A）1 0 0（B）9 9（C）9 8（D）9 7（4）某 公 司 的 班 车 在 7:0 0，8:0 0，8:3 0

3、 发 车，小 明 在 7:5 0 至 8:3 0 之 间 到 达 发 车 站 乘 坐 班车，且 到 达 发 车 站 的 时 刻 是 随 机 的，则 他 等 车 时 间 不 超 过 1 0 分 钟 的 概 率 是（A）31（B）21（C）32（D）43(5)已 知 方 程 132222 n myn mx表 示 双 曲 线，且 该 双 曲 线 两 焦 点 间 的 距 离 为 4，则 m的 取 值 范 围 是（A）（1，3）（B）（1，3）（C）（0，3）（D）（0，3）(6)如 图，某 几 何 体 的 三 视 图 是 三 个 半 径 相 等 的 圆 及 每 个 圆 中 两 条 互 相 垂 直 的

4、半 径 若该 几 何 体 的 体 积 是32 8，则 它 的 表 面 积 是（A）1 7（B）1 8（C）2 0（D）2 8（7）函 数 y=2 x2 e|x|在 2,2 的 图 像 大 致 为（A）（B）（C）（D）（8）若 1 0 1 a b c，则（A）c ca b（B）c ca b b a（C）l og l ogb aa c b c（D）l og l oga bc c（9）执 行 右 面 的 程 序 图，如 果 输 入 的 0 1 1 x y n，则 输 出 x，y 的 值 满 足（A）2 y x（B）3 y x（C）4 y x（D）5 y x(1 0)以 抛 物 线 C 的 顶 点

5、为 圆 心 的 圆 交 C 于 A、B 两 点，交 C 的 标 准 线 于 D、E 两 点.已 知|A B|=4 2，|D E|=2 5，则 C 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为(A)2(B)4(C)6(D)8(1 1)平 面 a 过 正 方 体 A B C D-A 1 B 1 C 1 D 1 的 顶 点 A，a/平 面 C B 1 D 1，a 平 面 A B C D=m，a 平面 A B A 1 B 1=n，则 m、n 所 成 角 的 正 弦 值 为(A)32(B)22(C)33(D)131 2.已 知 函 数()s i n()(0),2 4f x x+x，为()f x 的 零 点，4

6、x 为()y f x 图 像 的 对 称 轴，且()f x 在518 36，单 调，则 的 最 大 值 为（A）1 1（B）9（C）7（D）5第 I I 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分.第(1 3)题 第(2 1)题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第(2 2)题 第(2 4)题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.二、填 空 题：本 大 题 共 3 小 题，每 小 题 5 分(1 3)设 向 量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=.(1 4)5(2)x x 的 展 开 式 中，x3的

7、系 数 是.（用 数 字 填 写 答 案）（1 5）设 等 比 数 列 满 足 a 1+a 3=1 0，a 2+a 4=5，则 a 1 a 2 a n 的 最 大 值 为。（1 6）某 高 科 技 企 业 生 产 产 品 A 和 产 品 B 需 要 甲、乙 两 种 新 型 材 料。生 产 一 件 产 品 A 需 要甲 材 料 1.5 k g，乙 材 料 1 k g，用 5 个 工 时；生 产 一 件 产 品 B 需 要 甲 材 料 0.5 k g，乙 材 料 0.3 k g，用 3 个 工 时，生 产 一 件 产 品 A 的 利 润 为 2 1 0 0 元，生 产 一 件 产 品 B 的 利

8、润 为 9 0 0 元。该 企 业现 有 甲 材 料 1 5 0 k g，乙 材 料 9 0 k g，则 在 不 超 过 6 0 0 个 工 时 的 条 件 下，生 产 产 品 A、产 品 B的 利 润 之 和 的 最 大 值 为 元。三.解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 7）（本 题 满 分 为 1 2 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 别 为 a，b，c，已 知 2 c o s(c o s c o s).C a B+b A c（I）求 C；（I I）若 7,c A B C 的 面 积 为3 32，求 A B

9、C 的 周 长（1 8）（本 题 满 分 为 1 2 分）如 图，在 已 A，B，C，D，E，F 为 顶 点 的 五 面 体 中，面 A B E F 为 正 方 形，A F=2 F D，9 0 A F D，且 二 面 角 D-A F-E 与 二 面 角 C-B E-F 都 是 60（I）证 明 平 面 A B E F E F D C；（I I）求 二 面 角 E-B C-A 的 余 弦 值（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）某 公 司 计 划 购 买 2 台 机 器，该 种 机 器 使 用 三 年 后 即 被 淘 汰.机 器 有 一 易 损 零 件，在 购 进 机 器时，可 以 额 外

10、 购 买 这 种 零 件 作 为 备 件，每 个 2 0 0 元.在 机 器 使 用 期 间，如 果 备 件 不 足 再 购 买，则 每 个 5 0 0 元.现 需 决 策 在 购 买 机 器 时 应 同 时 购 买 几 个 易 损 零 件，为 此 搜 集 并 整 理 了 1 0 0 台这 种 机 器 在 三 年 使 用 期 内 更 换 的 易 损 零 件 数，得 下 面 柱 状 图：以 这 1 0 0 台 机 器 更 换 的 易 损 零 件 数 的 频 率 代 替 1 台 机 器 更 换 的 易 损 零 件 数 发 生 的 概 率，记X 表 示 2 台 机 器 三 年 内 共 需 更 换 的

11、 易 损 零 件 数，n 表 示 购 买 2 台 机 器 的 同 时 购 买 的 易 损 零件 数.（I）求 X 的 分 布 列；（I I）若 要 求()0.5 P X n，确 定 n 的 最 小 值；（I I I）以 购 买 易 损 零 件 所 需 费 用 的 期 望 值 为 决 策 依 据，在 1 9 n 与 2 0 n 之 中 选 其 一，应选 用 哪 个？2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）设 圆2 22 15 0 x y x 的 圆 心 为 A，直 线 l 过 点 B（1,0）且 与 x 轴 不 重 合，l 交 圆 A 于 C，D 两 点，过 B 作 A C 的 平 行 线 交

12、 A D 于 点 E.（I）证 明 E A E B 为 定 值，并 写 出 点 E 的 轨 迹 方 程；（I I）设 点 E 的 轨 迹 为 曲 线 C 1，直 线 l 交 C 1 于 M,N 两 点，过 B 且 与 l 垂 直 的 直 线 与 圆 A 交于 P,Q 两 点，求 四 边 形 M P N Q 面 积 的 取 值 范 围.（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数=2 e+(1)2有 两 个 零 点.(I)求 a 的 取 值 范 围；(I I)设 x 1，x 2 是()的 两 个 零 点，证 明：1+x 2 2.请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选

13、 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,做 答 时 请 写 清 题号（2 2）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲如 图，O A B 是 等 腰 三 角 形，A O B=1 2 0.以 O 为 圆 心，12O A 为 半 径 作 圆.(I)证 明：直 线 A B 与 O 相 切；(I I)点 C,D 在 O 上，且 A,B,C,D 四 点 共 圆，证 明：A B C D.（2 3）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 线 坐 标 系 x o y 中，曲 线 C 1 的 参 数

14、 方 程 为=c o s，=1+s i n，（t 为 参 数，a 0）。在 以 坐 标原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中，曲 线 C 2：=4 c o s.（I）说 明 C 1 是 哪 种 曲 线，并 将 C 1 的 方 程 化 为 极 坐 标 方 程；（I I）直 线 C 3 的 极 坐 标 方 程 为=0，其 中 0 满 足 t a n 0=2，若 曲 线 C 1 与 C 2 的 公 共 点 都 在 C 3上，求 a。（2 4）（本 小 题 满 分 1 0 分），选 修 4 5：不 等 式 选 讲已 知 函 数 f(x)=x+1-2 x-3.（I）在

15、 答 题 卡 第（2 4）题 图 中 画 出 y=f(x)的 图 像；（I I）求 不 等 式 f(x)1 的 解 集。2 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 参 考 答 案一、选 择 题：本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的.（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8）C（9）C（1 0）B（1 1）A（1 2）B二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分(1 3)2(1 4)1 0（1 5）6 4

16、（1 6）2 1 6 0 0 0三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 7）（本 小 题 满 分 为 1 2 分）解：（I）由 已 知 及 正 弦 定 理 得，2 c o s C s i n c o s s i n c o s s i n C，即 2 c o s C s i n s i n C 故 2 s i n C c o s C s i n C 可 得1c os C2，所 以 C3（I I）由 已 知，1 3 3s i n C2 2a b 又 C3，所 以 6 a b 由 已 知 及 余 弦 定 理 得，2 22 c o s C 7 a

17、 b a b 故2 21 3 a b，从 而 22 5 a b 所 以 C 的 周 长 为 5 7（1 8）（本 小 题 满 分 为 1 2 分）解：（I）由 已 知 可 得 F D F，F F，所 以 F 平 面 F D C 又 F 平 面 F，故 平 面 F 平 面 F D C（I I）过 D 作 D G F，垂 足 为 G，由（I）知 D G 平 面 F 以 G 为 坐 标 原 点，G F 的 方 向 为 x 轴 正 方 向，G F 为 单 位 长 度，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角坐 标 系 G x y z 由（I）知 D F 为 二 面 角 D F 的 平 面 角，故 D

18、 F 6 0，则 D F 2，D G 3，可 得 1,4,0，3,4,0，3,0,0，D 0,0,3 由 已 知，/F，所 以/平 面 F D C 又 平 面 C D 平 面 F D C D C，故/C D，C D/F 由/F，可 得 平 面 F D C，所 以 C F 为 二 面 角 C F 的 平 面 角，C F 6 0 从 而 可 得 C 2,0,3 所 以 C 1,0,3，0,4,0，C 3,4,3，4,0,0 设,n x y z 是 平 面 C 的 法 向 量，则C 00nn，即3 04 0 x zy，所 以 可 取 3,0,3 n 设 m是 平 面 C D 的 法 向 量，则C 0

19、0mm，同 理 可 取 0,3,4 m 则2 1 9c o s,1 9n mn mn m 故 二 面 角 C 的 余 弦 值 为2 1919（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）解：（）由 柱 状 图 并 以 频 率 代 替 概 率 可 得，一 台 机 器 在 三 年 内 需 更 换 的 易 损 零 件 数 为 8，9，1 0，1 1 的 概 率 分 别 为 0.2，0.4，0.2，0.2，从 而0 4.0 2.0 2.0)1 6(X P；1 6.0 4.0 2.0 2)1 7(X P；2 4.0 4.0 4.0 2.0 2.0 2)1 8(X P；2 4.0 2.0 4.0 2 2.0

20、 2.0 2)1 9(X P；2.0 2.0 2.0 4.0 2.0 2)2 0(X P；0 8.0 2.0 2.0 2)2 1(X P；0 4.0 2.0 2.0)2 2(X P.所 以 X 的 分 布 列 为X 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2P 0 4.0 1 6.0 2 4.0 2 4.0 2.0 0 8.0 0 4.0（）由（）知 4 4.0)1 8(X P，6 8.0)1 9(X P，故 n 的 最 小 值 为 1 9.（）记 Y 表 示 2 台 机 器 在 购 买 易 损 零 件 上 所 需 的 费 用（单 位：元）.当 1 9 n 时，0 8.0)5 0

21、0 2 2 0 0 1 9(2.0)5 0 0 2 0 0 1 9(6 8.0 2 0 0 1 9 E Y4 0 4 0 0 4.0)5 0 0 3 2 0 0 1 9(.当 2 0 n 时，0 4.0)5 0 0 2 2 0 0 2 0(0 8.0)5 0 0 2 0 0 2 0(8 8.0 2 0 0 2 0 E Y 4 0 8 0.可 知 当 1 9 n 时 所 需 费 用 的 期 望 值 小 于 2 0 n 时 所 需 费 用 的 期 望 值，故 应 选 1 9 n.2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）解：（）因 为|A C A D，A C E B/，故 A D C A C D

22、E B D，所 以|E D E B，故|A D E D E A E B E A.又 圆 A 的 标 准 方 程 为 16)1(2 2 y x，从 而 4|A D，所 以 4|E B E A.由 题 设 得)0,1(A，)0,1(B，2|A B，由 椭 圆 定 义 可 得 点 E 的 轨 迹 方 程 为：13 42 2 y x（0 y）.（）当 l 与 x 轴 不 垂 直 时，设 l 的 方 程 为)0)(1(k x k y，),(1 1y x M，),(2 2y x N.由 13 4)1(2 2y xx k y得 0 12 4 8)3 4(2 2 2 2 k x k x k.则3 48222

23、1 kkx x，3 412 4222 1kkx x.所 以3 4)1(12|1|222 12 kkx x k M N.过 点)0,1(B 且 与 l 垂 直 的 直 线 m：)1(1 xky，A 到 m 的 距 离 为122 k，所 以13 44)12(4 2|22222 kkkP Q.故 四 边 形 M P N Q 的 面 积3 411 1 2|212 kP Q M N S.可 得 当 l 与 x 轴 不 垂 直 时，四 边 形 M P N Q 面 积 的 取 值 范 围 为)3 8,1 2.当 l 与 x 轴 垂 直 时，其 方 程 为 1 x，3|M N，8|P Q，四 边 形 M P

24、N Q 的 面 积 为 1 2.综 上，四 边 形 M P N Q 面 积 的 取 值 范 围 为)3 8,1 2.（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）解：（）()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a（i）设 0 a，则()(2)xf x x e，()f x 只 有 一 个 零 点（i i）设 0 a，则 当(,1)x 时，()0 f x；当(1,)x 时，()0 f x 所 以()f x在(,1)上 单 调 递 减，在(1,)上 单 调 递 增 又(1)f e，(2)f a，取 b 满 足 0 b 且 l n2ab，则2 23()(2)(1)()02 2

25、af b b a b a b b，故()f x 存 在 两 个 零 点（i i i）设 0 a，由()0 f x 得 1 x 或 l n(2)x a 若2ea，则 l n(2)1 a，故 当(1,)x 时，()0 f x，因 此()f x 在(1,)上 单调 递 增 又 当 1 x 时，()0 f x，所 以()f x 不 存 在 两 个 零 点 若2ea，则 l n(2)1 a，故 当(1,l n(2)x a 时，()0 f x；当(l n(2),)x a 时，()0 f x 因 此()f x 在(1,l n(2)a 单 调 递 减，在(l n(2),)a 单 调 递 增 又 当 1 x 时

26、，()0 f x，所 以()f x 不 存 在 两 个 零 点 综 上，a 的 取 值 范 围 为(0,)（）不 妨 设1 2x x，由（）知1 2(,1),(1,)x x，22(,1)x，()f x 在(,1)上 单 调 递 减，所 以1 22 x x 等 价 于1 2()(2)f x f x，即2(2)0 f x 由 于22 22 2 2(2)(1)xf x x e a x，而222 2 2()(2)(1)0 xf x x e a x，所 以2 222 2 2(2)(2)x xf x x e x e 设2()(2)x xg x x e x e，则2()(1)()x xg x x e e 所

27、 以 当 1 x 时，()0 g x，而(1)0 g，故 当 1 x 时，()0 g x 从 而2 2()(2)0 g x f x，故1 22 x x 请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,做 答 时 请 写 清 题号（2 2）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲解：（）设 E 是 A B 的 中 点，连 结 O E，因 为,1 2 0 O A O B A O B，所 以 O E A B，6 0 A O E 在 R t A O E 中，12O E A O，即 O 到 直

28、 线 A B 的 距 离 等 于 圆 O 的 半 径，所 以 直 线A B 与 O 相 切（）因 为 2 O A O D，所 以 O 不 是,A B C D 四 点 所 在 圆 的 圆 心，设 O 是,A B C D 四 点 所 在 圆 的 圆 心，作 直 线 O O 由 已 知 得 O 在 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 上，又 O 在 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 上，所 以 O O A B 同 理 可 证，O O C D 所 以/A B C D（2 3）（本 小 题 满 分 1 0 分）解：c o s1 s i nx a ty a t（t 均 为 参 数）22 21 x

29、 y a 1C 为 以 0 1，为 圆 心，a 为 半 径 的 圆 方 程 为2 2 22 1 0 x y y a 2 2 2s i n x y y，2 22 s i n 1 0 a 即 为1C 的 极 坐 标 方 程24 c o s C：两 边 同 乘 得2 2 2 24 c o s c o s x y x，2 24 x y x 即 222 4 x y 3C：化 为 普 通 方 程 为 2 y x 由 题 意：1C 和2C 的 公 共 方 程 所 在 直 线 即 为3C 得：24 2 1 0 x y a，即 为3C21 0 a 1 a（2 4）（本 小 题 满 分 1 0 分）解：如 图 所 示：4 133 2 12342x xf x x xx x，1 f x 当 1 x，4 1 x，解 得 5 x 或 3 x 1 x 当312x，3 2 1 x，解 得 1 x 或13x 113x 或312x 当32x，4 1 x，解 得 5 x 或 3 x 332x 或 5 x 综 上，13x 或 1 3 x 或 5 x 1 f x，解 集 为 11 3 53，