2017年广东省高考理科数学试题及答案.pdf

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1、绝 密 启 用 前2017 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理科数学本 试 卷 5 页，23 小 题，满 分 150 分。考 试 用 时 120 分 钟。注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号、考 场 号 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上。用 2B 铅 笔 将 试 卷 类 型（B）填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上。将 条 形 码 横 贴 在 答 题卡 右 上 角“条 形 码 粘 贴 处”。2 作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2B 铅 笔 在 答 题 卡 上 对 应 题 目 选

2、项 的答 案 信 息 点 涂 黑；如 需 要 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案。答 案 不能 答 在 试 卷 上。3 非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目指 定 区 域 内 相 应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 无 效。4 考 生 必 须 保 证 答 题 卡 的 整 洁。考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择

3、 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 已 知 集 合 A=x|x1，B=x|3 1x，则A|0 A B x x B A B R C|1 A B x x D A B 2 如 图，正 方 形 A B C D 内 的 图 形 来 自 中 国 古 代 的 太 极 图.正 方 形 内 切 圆 中 的 黑 色 部 分 和 白 色部 分 关 于 正 方 形 的 中 心 成 中 心 对 称.在 正 方 形 内 随 机 取 一 点，则 此 点 取 自 黑 色 部 分 的 概 率是A 14

4、B 8C 12D 43 设 有 下 面 四 个 命 题1p：若 复 数 z 满 足1z R，则 z R；2p：若 复 数 z 满 足2z R，则 z R；3p：若 复 数1 2,z z 满 足1 2z z R，则1 2z z；4p：若 复 数 z R，则 z R.其 中 的 真 命 题 为A 1 3,p p B 1 4,p p C 2 3,p p D 2 4,p p4 记nS 为 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 若4 524 a a，648 S，则 na 的 公 差 为A 1 B 2 C 4 D 85 函 数()f x 在(,)单 调 递 减，且 为 奇 函 数 若(1 1)f，则

5、满 足 2 1()1 x f 的 x 的 取 值 范 围 是A 2,2 B 1,1 C 0,4 D 1,36 621(1)(1)xx 展 开 式 中2x 的 系 数 为A 15 B 20 C 30 D 357 某 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示，其 中 正 视 图 和 左 视 图 都 由 正 方 形 和 等 腰 直 角 三 角 形 组 成，正 方 形 的 边 长 为 2，俯 视 图 为 等 腰 直 角 三 角 形.该 多 面 体 的 各 个 面 中 有 若 干 个 是 梯 形，这些 梯 形 的 面 积 之 和 为A 10 B 12 C 14 D 168 右 面 程 序 框 图 是

6、为 了 求 出 满 足 3n2n1000 的 最 小 偶 数 n，那 么 在 和 两 个 空 白 框 中，可 以 分 别 填 入A A1 000 和 n=n+1B A1 000 和 n=n+2C A 1 000 和 n=n+1D A 1 000 和 n=n+29 已 知 曲 线 C1：y=cos x，C2：y=sin(2 x+23)，则 下 面 结 论 正 确 的 是A 把 C1 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍，纵 坐 标 不 变，再 把 得 到 的 曲 线 向 右 平 移6个 单 位 长 度，得 到 曲 线 C2B 把 C 1 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长

7、到 原 来 的 2 倍，纵 坐 标 不 变，再 把 得 到 的 曲 线 向 左 平 移12个 单 位 长 度，得 到 曲 线 C2C 把 C1 上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的12倍，纵 坐 标 不 变，再 把 得 到 的 曲 线 向 右 平 移6个 单 位 长 度，得 到 曲 线 C2D 把 C1 上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的12倍，纵 坐 标 不 变，再 把 得 到 的 曲 线 向 左 平 移12个 单 位 长 度，得 到 曲 线 C210 已 知 F 为 抛 物 线 C：y2=4 x 的 焦 点，过 F 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 l1

8、，l2，直 线 l1 与 C 交于 A、B 两 点，直 线 l2 与 C 交 于 D、E 两 点，则|A B|+|D E|的 最 小 值 为A 16 B 14 C 12 D 1011 设 x y z 为 正 数，且 2 3 5x y z，则A 2 x3 y5 z B 5 z2 x3 y C 3 y5 z2 x D 3 y2 x100 且 该 数 列 的 前 N 项 和 为 2 的 整 数 幂.那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是A 440 B 330 C 220 D 110二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20 分。13 已 知 向 量 a，b 的 夹 角

9、为 60，|a|=2，|b|=1，则|a+2 b|=.14 设 x，y 满 足 约 束 条 件2 12 10 x yx yx y，则 3 2 z x y 的 最 小 值 为.15 已 知 双 曲 线 C：2 22 21x ya b（a0，b0）的 右 顶 点 为 A，以 A 为 圆 心，b 为 半 径 做 圆 A，圆 A 与 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线 交 于 M、N 两 点。若 M A N=60，则 C 的 离 心 率 为_。16 如 图，圆 形 纸 片 的 圆 心 为 O，半 径 为 5 cm，该 纸 片 上 的 等 边 三 角 形 A B C 的 中 心 为 O。D、E、F

10、为 圆 O 上 的 点，D B C，E C A，F A B 分 别 是 以 B C，C A，A B 为 底 边 的 等腰 三 角 形。沿 虚 线 剪 开 后，分 别 以 B C，C A，A B 为 折 痕 折 起 D B C，E C A，F A B，使 得 D、E、F 重 合，得 到 三 棱 锥。当 A B C 的 边 长 变 化 时，所 得 三 棱 锥 体 积（单 位：cm3）的 最 大 值 为_。三、解 答 题：共 70 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23

11、题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 60 分。17（12 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 A B C 的 面 积 为23sinaA（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求 A B C 的 周 长.18.（12 分）如 图，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，A B/C D，且 90 B A P C D P.（1）证 明：平 面 P A B 平 面 P A D；（2）若 P A=P D=A B=D C，90 A P D，求 二 面 角 A-P B-C 的 余 弦

12、值.19（12 分）为 了 监 控 某 种 零 件 的 一 条 生 产 线 的 生 产 过 程，检 验 员 每 天 从 该 生 产 线 上 随 机 抽 取 16 个零 件，并 测 量 其 尺 寸（单 位：cm）根 据 长 期 生 产 经 验，可 以 认 为 这 条 生 产 线 正 常 状 态 下生 产 的 零 件 的 尺 寸 服 从 正 态 分 布2(,)N（1）假 设 生 产 状 态 正 常，记 X 表 示 一 天 内 抽 取 的 16 个 零 件 中 其 尺 寸 在(3,3)之 外 的 零 件 数，求(1)P X 及 X 的 数 学 期 望；（2）一 天 内 抽 检 零 件 中，如 果 出

13、 现 了 尺 寸 在(3,3)之 外 的 零 件，就 认 为 这条 生 产 线 在 这 一 天 的 生 产 过 程 可 能 出 现 了 异 常 情 况，需 对 当 天 的 生 产 过 程 进 行 检 查（）试 说 明 上 述 监 控 生 产 过 程 方 法 的 合 理 性；（）下 面 是 检 验 员 在 一 天 内 抽 取 的 16 个 零 件 的 尺 寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经 计 算 得16119.9716iix x，16 162 2 2

14、21 11 1()(16)0.21216 16i ii is x x x x，其 中ix 为 抽 取 的 第 i 个 零 件 的 尺 寸，1,2,16 i 用 样 本 平 均 数 x 作 为的 估 计 值，用 样 本 标 准 差s作 为的 估 计 值，利 用 估 计 值判 断 是 否 需 对 当 天 的 生 产 过 程 进 行 检 查？剔 除(3,3)之 外 的 数 据，用 剩 下 的 数 据估 计和（精 确 到 0.01）附：若 随 机 变 量 Z 服 从 正 态 分 布2(,)N，则(3 3)0.997 4 P Z，160.997 4 0.959 2，0.008 0.09 20.（12 分

15、）已 知 椭 圆 C：2 22 2=1x ya b（a b0），四 点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中 恰 有 三 点 在 椭 圆 C 上.（1）求 C 的 方 程；（2）设 直 线 l 不 经 过 P2 点 且 与 C 相 交 于 A，B 两 点.若 直 线 P2 A 与 直 线 P2 B 的 斜 率 的 和 为1，证 明：l 过 定 点.21.（12 分）已 知 函 数)f x（ae2 x+(a 2)ex x.（1）讨 论()f x 的 单 调 性；（2）若()f x有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.（二）选 考 题：共 10 分。请 考

16、 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一 题 计 分。22 选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程（10 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为3cos,sin,xy（为 参 数），直 线 l 的 参 数 方程 为4,1,x a tty t（为 参 数）.（1）若 a=1，求 C 与 l 的 交 点 坐 标；（2）若 C 上 的 点 到 l 的 距 离 的 最 大 值 为 17，求 a.23 选 修 45：不 等 式 选 讲（10 分）已 知 函 数 f（x）=x2+a x+4，g(x)=x

17、+1+x1.（1）当 a=1 时，求 不 等 式 f（x）g（x）的 解 集；（2）若 不 等 式 f（x）g（x）的 解 集 包 含1，1，求 a 的 取 值 范 围.2017 年 新 课 标 1 理 数 答 案1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A13.2 3 14.5 15.2 3316.4 1517.解：（1）由 题 设 得21sin2 3sinaac BA，即1sin2 3sinac BA.由 正 弦 定 理 得1 sinsin sin2 3sinAC BA.故2sin sin3B C.（2）由 题 设 及（1）得1cos

18、 cos sin sin,2B C B C，即1cos()2B C.所 以23B C，故3A.由 题 设 得21sin2 3sinabc AA，即 8 bc.由 余 弦 定 理 得2 29 b c bc，即2()3 9 b c bc，得 33 b c.故 A B C 的 周 长 为 3 33.18.解：（1）由 已 知 90 B A P C D P，得 A B A P，C D P D.由 于 A B C D，故 A B P D，从 而 A B 平 面 P A D.又 A B 平 面 P A B，所 以 平 面 P A B 平 面 P A D.（2）在 平 面 P A D 内 做 P F A D

19、，垂 足 为 F，由（1）可 知，A B 平 面 P A D，故 A B P F，可 得 P F 平 面 A B C D.以 F 为 坐 标 原 点，F A 的 方 向 为 x 轴 正 方 向，|A B 为 单 位 长，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐标 系 F x y z.由（1）及 已 知 可 得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C.所 以2 2(,1,)2 2P C，(2,0,0)C B，2 2(,0,)2 2P A，(0,1,0)A B.设(,)x y z n 是 平 面 P C B 的 法 向 量，则00P CC B nn，即2

20、 202 22 0 x y zx，可 取(0,1,2)n.设(,)x y z m 是 平 面 P A B 的 法 向 量，则00P AA B mm，即2 202 20 x zy，可 取(1,0,1)n.则3cos,|3 n mn mn m，所 以 二 面 角 A P B C 的 余 弦 值 为33.19.【解】（1）抽 取 的 一 个 零 件 的 尺 寸 在(3,3)之 内 的 概 率 为 0.9974，从 而 零 件 的尺 寸 在(3,3)之 外 的 概 率 为 0.0026，故(16,0.0026)X B.因 此(1)1(0)1 0.9974 0.0408 P X P X.X 的 数 学

21、期 望 为 16 0.0026 0.0416 E X.（2）（i）如 果 生 产 状 态 正 常，一 个 零 件 尺 寸 在(3,3)之 外 的 概 率 只 有 0.0026，一天 内 抽 取 的 16 个 零 件 中，出 现 尺 寸 在(3,3)之 外 的 零 件 的 概 率 只 有 0.0408，发生 的 概 率 很 小.因 此 一 旦 发 生 这 种 情 况，就 有 理 由 认 为 这 条 生 产 线 在 这 一 天 的 生 产 过 程 可 能出 现 了 异 常 情 况，需 对 当 天 的 生 产 过 程 进 行 检 查，可 见 上 述 监 控 生 产 过 程 的 方 法 是 合 理 的

22、.（ii）由 9.97,0.212 x s，得 的 估 计 值 为 9.97，的 估 计 值 为 0.212，由 样本 数 据 可 以 看 出 有 一 个 零 件 的 尺 寸 在(3,3)之 外，因 此 需 对 当 天 的 生 产 过 程 进 行检 查.剔 除(3,3)之 外 的 数 据 9.22，剩 下 数 据 的 平 均 数 为1(16 9.97 9.22)10.0215，因 此 的 估 计 值 为 10.02.162 2 2116 0.212 16 9.97 1591.134iix，剔 除(3,3)之 外 的 数 据 9.22，剩下 数 据 的 样 本 方 差 为2 21(1591.13

23、4 9.22 15 10.02)0.00815，因 此 的 估 计 值 为 0.008 0.09.20.（12 分）解：（1）由 于3P，4P 两 点 关 于 y 轴 对 称，故 由 题 设 知 C 经 过3P，4P 两 点.又 由2 2 2 21 1 1 34 a b a b 知，C 不 经 过 点 P1，所 以 点 P2 在 C 上.因 此22 2111 314ba b，解 得2241ab.故 C 的 方 程 为2214xy.（2）设 直 线 P2 A 与 直 线 P2 B 的 斜 率 分 别 为 k1，k2，如 果 l 与 x 轴 垂 直，设 l：x=t，由 题 设 知 0 t，且|2

24、t，可 得 A，B 的 坐 标 分 别 为（t，242t），（t，242t）.则2 21 24 2 4 212 2t tk kt t，得 2 t，不 符 合 题 设.从 而 可 设 l：y k x m（1 m）.将 y k x m 代 入2214xy 得2 2 2(4 1)8 4 4 0 k x k m x m 由 题 设 可 知2 2=16(4 1)0 k m.设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=284 1k mk，x1 x2=224 44 1mk.而1 21 21 21 1 y yk kx x 1 21 21 1 k x m k x mx x 1 2 1 21 22(1

25、)()k x x m x xx x.由 题 设1 21 k k，故1 2 1 2(2 1)(1)()0 k x x m x x.即22 24 4 8(2 1)(1)04 1 4 1m k mk mk k.解 得12mk.当 且 仅 当 1 m 时，0，欲 使 l：12my x m，即11(2)2my x，所 以 l 过 定 点（2，1）21.解：（1）()f x 的 定 义 域 为(,)，2()2(2)1(1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e，（）若 0 a，则()0 f x，所 以()f x 在(,)单 调 递 减.（）若 0 a，则 由()0 f x 得 ln x a

26、.当(,ln)x a 时，()0 f x；当(ln,)x a 时，()0 f x，所 以()f x 在(,ln)a 单 调 递 减，在(ln,)a 单 调 递 增.（2）（）若 0 a，由（1）知，()f x 至 多 有 一 个 零 点.（）若 0 a，由（1）知，当 ln x a 时，()f x 取 得 最 小 值，最 小 值 为1(ln)1 ln f a aa.当 1 a 时，由 于(ln)0 f a，故()f x 只 有 一 个 零 点；当(1,)a 时，由 于11 ln 0 aa，即(ln)0 f a，故()f x 没 有 零 点；当(0,1)a 时，11 ln 0 aa，即(ln)0

27、 f a.又4 2 2(2)e(2)e 2 2e 2 0 f a a，故()f x 在(,ln)a 有 一 个 零 点.设 正 整 数0n 满 足03ln(1)na，则0 0 0 00 0 0 0()e(e 2)e 2 0n n n nf n a a n n n.由 于3ln(1)ln aa，因 此()f x 在(ln,)a 有 一 个 零 点.综 上，a 的 取 值 范 围 为(0,1).22.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（10 分）解：（1）曲 线 C 的 普 通 方 程 为2219xy.当 1 a 时，直 线 l 的 普 通 方 程 为 4 3 0 x y.由224 3

28、 019x yxy 解 得30 xy 或21252425xy.从 而 C 与 l 的 交 点 坐 标 为(3,0)，21 24(,)25 25.（2）直 线 l 的 普 通 方 程 为 4 4 0 x y a，故 C 上 的 点(3cos,sin)到 l 的 距 离 为|3cos 4sin 4|17ad.当 4 a 时，d 的 最 大 值 为917a.由 题 设 得91717a，所 以 8 a；当 4 a 时，d 的 最 大 值 为117a.由 题 设 得11717a，所 以 16 a.综 上，8 a 或 16 a.、23.选 修 4-5：不 等 式 选 讲（10 分）解：（1）当 1 a 时

29、，不 等 式()()f x g x 等 价 于2|1|1|4 0 x x x x.当 1 x 时，式 化 为23 4 0 x x，无 解；当 1 1 x 时，式 化 为22 0 x x，从 而 1 1 x；当 1 x 时，式 化 为24 0 x x，从 而1 1712x.所 以()()f x g x 的 解 集 为1 17|1 2x x.（2）当 1,1 x 时，()2 g x.所 以()()f x g x 的 解 集 包 含 1,1，等 价 于 当 1,1 x 时()2 f x.又()f x 在 1,1 的 最 小 值 必 为(1)f 与(1)f 之 一，所 以(1)2 f 且(1)2 f，得1 1 a.所 以 a 的 取 值 范 围 为 1,1.